3本构方程及NS方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

本构方程及本构方程及N-S方程方程李连侠水力学与山区河流开发保护国家重点试验室年4月第1页内容提要流体运动分析及理想流体基本方程真实流体受力分析利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程第2页流体质点运动分析分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动基础。流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。实际运动也可能碰到只有其中某几个形式所组成。当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动、线变形、角变形及旋转四种基本形式所组成。第3页平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动右图为任意t时刻在平面流场中所取一个正方形流体微团。因为流体微团上各点运动速度不一致，经过微小时间间隔后，该流体微团形状和大小会发生改变，变成了斜四边形。第4页流体微团运动形式与微团内各点速度改变相关。设方形流体微团中心 M 流速分量为 ux 和 uy，则微团各侧边中点 A、B、C、D 流速分量分别为：微团上每一点速度都包含中心点速度以及因为坐标位置不一样所引发速度增量两个组成部分。第5页平移运动速度 微团上各点公有分速度 ux 和uy，使它们在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt,沿 y 方向移动一距离 uydt。因而，把中心点 M 速度 ux和 uy，定义为流体微团平移运动速度。线变形运动 微团左、右两侧 A 点和 C 点沿 x 方向速度差为 ，当这速度差值为正时，微团沿 x 方向发生伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。线变形速度 单位时间，单位长度线变形称为线变形速度。流体微团沿 x 方向线变形速度：第6页旋转角速度 把对角线旋转角速度定义为整个流体微团在平面上旋转角速度。；角变形速度：直角边 AMC（或BMD）与对角线 EMF 夹角变形速度第7页亥姆霍兹速度分解定理整理推广得第8页微元体及其表面质量通量微元体及其表面质量通量微元体及其表面质量通量微元体及其表面质量通量微元体内微元体内质量改变率质量改变率输入微元体输入微元体质量流量质量流量质量守恒质量守恒质量守恒质量守恒直角坐标系中直角坐标系中连续性方程连续性方程输出微元体输出微元体质量流量质量流量y xz dzdxdy不可压缩流体连续性微分方程第9页1 1、x x方向：方向：dtdt时间内沿从六面体时间内沿从六面体 x x 处与处与 x+dx x+dx 处输入与输出质处输入与输出质量差：量差：Y Y方向：方向：；Z Z方向：方向：2 2、d dt t时间内，整个六面体内输入与输出质量差：时间内，整个六面体内输入与输出质量差：第10页3 3、微元体内质量改变：、微元体内质量改变：从而有：或：连续性方程连续性方程连续方程物理意义：连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输流体在单位时间内流经单位体积空间输出与输入质量差与其内部质量改变代数和为零出与输入质量差与其内部质量改变代数和为零。矢量形式：（适合用于层流、湍流、（适合用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体）牛顿、非牛顿流体）第11页上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流入与流出液体体积之差等于零，即液体体积守恒。入与流出液体体积之差等于零，即液体体积守恒。适用范围：适用范围：恒定流或非恒定流；理想液体或实际液体。恒定流或非恒定流；理想液体或实际液体。连续性方程是流体流动微分方程最基本方程之连续性方程是流体流动微分方程最基本方程之一。任何流体连续运动均必须满足。一。任何流体连续运动均必须满足。一维流动连续方程一维流动连续方程若流体不可压缩：若流体不可压缩：第12页理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程 理想流体运动微分方程式是研究流体运动学主要理论基础。理想流体运动微分方程式是研究流体运动学主要理论基础。能够用能够用牛顿第二定律牛顿第二定律加以加以推导推导。l 受力分析：受力分析：1 1、质量力：、质量力：2 2、表面力：、表面力：fxdxdydz切向应力切向应力0 0（理想流体）（理想流体）法向应力压强法向应力压强x轴正方向轴正方向x轴正方向轴正方向x轴负方向轴负方向第13页理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程依据依据牛顿第二定律牛顿第二定律得得x x轴方向运动微分方程轴方向运动微分方程理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程即欧拉运动微分方程即欧拉运动微分方程第14页粘性流体运动微分方程粘性流体运动微分方程 以流体微元为分析对象，流体运动方程可写为以下矢量形式：这里：是流体微团加速度，微分符号：称为物质导数或随体导数，它表示流体微团某性质 时间改变率。(1)(2)(3)第15页应力状态及切应力互等定律应力状态及切应力互等定律yxz微元体上微元体上微元体上微元体上X X X X和和和和Z Z Z Z方向表面力方向表面力方向表面力方向表面力粘性流场中任意一点应力有粘性流场中任意一点应力有粘性流场中任意一点应力有粘性流场中任意一点应力有9 9个个个个分量分量分量分量，包含，包含，包含，包含3 3个正应力个正应力个正应力个正应力分量和分量和分量和分量和6 6个切应力分量个切应力分量个切应力分量个切应力分量：应力状态：应力状态：切应力互等定律切应力互等定律在在在在6 6个切应力分量中，交换下标个切应力分量中，交换下标个切应力分量中，交换下标个切应力分量中，交换下标每一对切应力是相等。每一对切应力是相等。每一对切应力是相等。每一对切应力是相等。第16页微元体表面力总力分量微元体表面力总力分量X方向表面力：方向表面力：Y方向表面力：方向表面力：Z方向表面力：方向表面力：第17页动量流量及动量改变率动量流量及动量改变率y xz dzdxdy动量在微元体表面输入与输出动量在微元体表面输入与输出动量在微元体表面输入与输出动量在微元体表面输入与输出动量流量动量流量 动量通量动量通量动量流量动量流量动量流量动量流量x流通面积流通面积图图中中标标注注是是动动量量输输入入或或输输出出方方向向，而而动动量量或或其其通通量量本本身身方方向向均均指指向向x x方方向向，即即分分速速度度v vx x方向。方向。第18页x方向：方向：输入输出微元体动量流量输入输出微元体动量流量y方向：方向：z方向：方向：微元体内动量改变率微元体内动量改变率x方向：方向：y方向：方向：z方向：方向：流体瞬时质量为流体瞬时质量为X X方向瞬时动量为方向瞬时动量为第19页x方向运动方程：方向运动方程：以应力表示运动方程以应力表示运动方程y方向运动方程：方向运动方程：z方向运动方程：方向运动方程：注：上式就是以应力表示粘性流体运动方程，注：上式就是以应力表示粘性流体运动方程，适合用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。适合用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。第20页方程物理意义：方程物理意义：方程左边是：任意时刻方程左边是：任意时刻t t经过考查点经过考查点A A流体质点加流体质点加速度三个分量；速度三个分量；方程右边是：作用在单位体积流体上表面力和体积方程右边是：作用在单位体积流体上表面力和体积力在各坐标上分量。力在各坐标上分量。方程可简略表示成：方程可简略表示成：这就是以单位体积流体质量为基准这就是以单位体积流体质量为基准牛顿第二运动定律牛顿第二运动定律第21页粘性流体运动微分方程粘性流体运动微分方程以应力表示运动方程，需补充方程才能求解。以应力表示运动方程，需补充方程才能求解。以应力表示运动方程，需补充方程才能求解。以应力表示运动方程，需补充方程才能求解。NavierNavierStokesStokes方程方程对一维流动问题：对一维流动问题：补充方程：牛顿剪切定律补充方程：牛顿剪切定律补充方程：牛顿剪切定律补充方程：牛顿剪切定律对粘性流体流动问题：对粘性流体流动问题：补充方程：广义牛顿剪切定律补充方程：广义牛顿剪切定律补充方程：广义牛顿剪切定律补充方程：广义牛顿剪切定律即：即：即：即：牛顿流体本构方程牛顿流体本构方程牛顿流体本构方程牛顿流体本构方程目标目标将将将将应力应力应力应力从运动方程中从运动方程中从运动方程中从运动方程中消去消去消去消去，得到，得到，得到，得到由由由由速度分量和压力速度分量和压力速度分量和压力速度分量和压力表示粘性流体表示粘性流体表示粘性流体表示粘性流体运动微分方程，即运动微分方程，即运动微分方程，即运动微分方程，即N-SN-SN-SN-S方程方程方程方程。关键：关键：寻求寻求流体流体应力与应力与变形速率变形速率之之间关系间关系第22页牛顿流体本构方程牛顿流体本构方程引入基本假设：引入基本假设：为了寻求流体应力与变形速率之间关系，为了寻求流体应力与变形速率之间关系，StokesStokes提出三个基提出三个基本假设：本假设：应力与变形速率成线性关系应力与变形速率成线性关系;应力与变形速率之间关系各向同性；应力与变形速率之间关系各向同性；静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力第23页牛顿流体本构方程：牛顿流体本构方程：第24页本构方程讨论：本构方程讨论：正应力中粘性应力：正应力中粘性应力：流体正应力与三个速度偏导数相关流体正应力与三个速度偏导数相关流体正应力与三个速度偏导数相关流体正应力与三个速度偏导数相关(即即即即:线变形率线变形率线变形率线变形率)，同固体力学中虎克，同固体力学中虎克，同固体力学中虎克，同固体力学中虎克定律。定律。定律。定律。线变形率与流体流动：线变形率与流体流动：从流体流动角度看，从流体流动角度看，从流体流动角度看，从流体流动角度看，线变形率线变形率线变形率线变形率正负反正负反正负反正负反应了流体流动是应了流体流动是应了流体流动是应了流体流动是加速还是减速加速还是减速加速还是减速加速还是减速；体变体变体变体变形率形率形率形率正负反应了流动过程中正负反应了流动过程中正负反应了流动过程中正负反应了流动过程中流体体积流体体积流体体积流体体积是增加还是降低。是增加还是降低。是增加还是降低。是增加还是降低。正应力与线变形速率：正应力与线变形速率：附加粘性正应力附加粘性正应力附加粘性正应力附加粘性正应力附加粘性正应力产生是附加粘性正应力产生是附加粘性正应力产生是附加粘性正应力产生是速度沿流动方向改变所造成。速度沿流动方向改变所造成。速度沿流动方向改变所造成。速度沿流动方向改变所造成。第25页正应力与压力：正应力与压力：因为粘性正应力存在，流动流体压力在数值上普通不等于正因为粘性正应力存在，流动流体压力在数值上普通不等于正因为粘性正应力存在，流动流体压力在数值上普通不等于正因为粘性正应力存在，流动流体压力在数值上普通不等于正应力值。但有：应力值。但有：应力值。但有：应力值。但有：这说明：这说明：三个正压力在数值上普通不等于压力，但它们平均三个正压力在数值上普通不等于压力，但它们平均值却总是与压力大小相等。值却总是与压力大小相等。切应力与角边形率：切应力与角边形率：流体流体流体流体切应力切应力切应力切应力与与与与角变形率角变形率角变形率角变形率相关。相关。相关。相关。牛顿流体本构方程牛顿流体本构方程反应了流体应力与变形速率之间关系，是反应了流体应力与变形速率之间关系，是流体力学虎克定律（反应应力和应变关系）。流体力学虎克定律（反应应力和应变关系）。第26页流体运动微分方程流体运动微分方程NavierNavierStokesStokes方程方程适合用于牛顿流适合用于牛顿流体体第27页常见条件下常见条件下N NS S方程表示形式：方程表示形式：适合用于牛顿流适合用于牛顿流体体常粘度条件下常粘度条件下NS方程：方程：矢量形式：矢量形式：第28页适合用于牛顿流适合用于牛顿流体体不可压缩流体不可压缩流体NS方程：方程：矢量形式：矢量形式：第29页常粘度条件下不可压缩流体常粘度条件下不可压缩流体NS方程：方程：矢量形式：矢量形式：非定常项非定常项定常流动为定常流动为0静止流场为静止流场为0对流项对流项静止流场为静止流场为0蠕变流时蠕变流时 0单位质量流体单位质量流体体积力体积力单位质量流体单位质量流体压力差压力差扩散项（粘性力项）扩散项（粘性力项）对静止或理想流体为对静止或理想流体为0高速非边界层问题高速非边界层问题0第30页流动微分方程应用求解步骤流动微分方程应用求解步骤(1)依依据据问问题题特特点点对对普普通通形形式式运运动动方方程程进进行行简简化化，取取得得针对详细问题针对详细问题微分方程或方程组微分方程或方程组。(2)提出相关初始条件和边界条件。提出相关初始条件和边界条件。(3)初始条件初始条件：非稳态问题：非稳态问题边界条件边界条件固壁流体边界：固壁流体边界：流体含有粘性，在与壁面接流体含有粘性，在与壁面接触处流体速度为零。触处流体速度为零。液体气体边界：液体气体边界：对非高速流，气液界面上，对非高速流，气液界面上，液相速度梯度为零。液相速度梯度为零。液体液体边界：液体液体边界：液液界面两侧速度或切应力液液界面两侧速度或切应力相等。相等。第31页广义牛顿粘性应力公式广义牛顿粘性应力公式粘性流体动力学基本方程粘性流体动力学基本方程一、应一、应力张量分析力张量分析二、变二、变形速率张量形速率张量三、本三、本构方程构方程四、连四、连续方程续方程六、能六、能量方程量方程五、运五、运动方程动方程七、方七、方程组封闭性程组封闭性第32页广义牛顿粘性应力公式在流体作直线层流运动条件下，我们能够直接由试验得到切应力与变形速率之间关系式。在流体作非直线层流运动条件下，并不能直接由试验给出应力与变形速率之间普通关系式。为了得到这么关系式，必须对粘性流体中应力性质作仔细分析。第33页一、应力张量分析 运动流体中任一点应力状态，能够由九个分量来表示，这九个应力分量组成一个二阶对称张量 分别为与坐标轴x，y，z相垂直平面上应力 第34页任意平面上应力可表示为+n为任意平面法向单位向量 第35页为便于书写，我们要求：分别用e1、e2、e3代替i、j、k，带有下标量下标分别用i=1，2，3代替x,y,z。而且遵照爱因斯坦符号算法规则：一项中下标符号重复量，表示此项是变换下标后各项相加。比如：第36页在静止流体中或理想流体中，过一点任意平面法向应力方向，都与该平面单位法线向量n方向相反，且法向应力数值p与n无关，即 式中，p只是坐标位置及时间函数p=p(x,y,z,t)。这个压力就是经典热力学平衡态意义上压力。在粘性流体动力学中，流体质点物理量都处于改变过程中，过一点不一样平面上法向应力数值并不一定相同。所以，严格说来，并不存在平衡态意义上压力。但我们能够定义一平均意义上压力Pm,，它是球形流体微团(也可取任意形状流体微团，结果相同)表面所承受法向应力Pnn平均值负值，即第37页式中 a为球形微团半径。球面上法向应力和球面微元面积分别可写成第38页于是此式右侧包含9项，分别积分之，最终得即 第39页由此可见，流场中任意一点平均压力pm，等于过此点三个坐标面上法向应力p11,p22,p33算术平均值负值。平均压力偏量:平均压力与平衡态压力之差pm-p。现在让我们把从应力张量pm中分离出来。为此，令即为单位二阶张量；D称作偏应力张量。第40页上式可写成份量形式式中为偏应力张量分量；为单位二阶张量分量 所以应力张量又可写成 第41页二、变形速率张量 我们曾经得到描写流体变形速率9个分量，由这9个分量能够组成一个描写变形速率二阶对称张量E式中所以变形速率张量E可表示为式中第42页过一点任意平面上变形速率可写成式中 第43页三、应力张量与变形速率张量关系 斯托克斯依据牛顿粘性公式提出了关于应力与变形速率之间普通关系三条假定：(1)应力与变形速率成线性关系；(2)应力与变形速率关系在流体中各向同性；(3)在静止流体中,切应力为零，正应力数值为静压力p。依据这三条假定,不难给出应力与变形速率普通关系式。我们将分两步讨论：第一步，建立偏应力张量第一步，建立偏应力张量D与变形速率与变形速率E之间关系；之间关系；第二步，建立平均压力偏量与变形速率第二步，建立平均压力偏量与变形速率E之间关系。之间关系。第44页(一)偏应力张量D与变形速率张量E之间关系依据斯托克斯第(1)、(2)条假定，偏应力张量与变形速率张量之间关系可写成或 式中系数a，b能够是坐标位置函数，但因为假定各向同性，所以它们与作用面方向无关。将该式用于牛顿平板试验，上式可写成 对比牛顿粘性应力公式能够确定系数第45页于是 系数b能够应用平均压力pm性质来确定。第46页将此三式相加可得而由定义故上式左侧为零 于是由 得从而 或写成第47页（二）平均压力偏量与变形速率之间得关系 我们曾指出，严格说来，在粘性流体动力学中并不存在平衡态压力，而是人为定义平均压力。平均压力与平衡态压力是又差异，这个差异反应了因为速度场不均匀所造成流体质点得状态对于平衡态得偏离。利用斯托克斯假定能够确定平均应力偏量与变形速率之间关系。因为斯托克斯第（1），（2）条假定，能够给出以下线性关系式中g,c为系数，它们能够是坐标函数，但因为假定各向同性，所以它们与平均压力偏量作用面方向无关。第48页利用斯托克斯第三条假定，能够确定系数c。在静止流体中，代入上述关系式可得 c=0令 则上式可写成 于是或或通常称为第二粘性系数，或体变形粘性系数 第49页(三)应力张量与变形速率张量普通关系式 将式(1218)、(1222)代入式(1210)可得应力与变形速率普通关系式或写成此式称作广义牛顿粘性应力公式。第50页(四)讨论 (1)应力与变形速率成线性关系假定，对于大多数真实流动来说是与实际相符。不过在像激波层这么区域中，应力与变形速率成线性关系假定是不符合实际，此时广义牛顿粘性应力公式不再适用。(2)应力与变形速率关系在流体中各向同性是建立在流体分子结构各向同性前提之下。对于绝大多数流体来说，这个前提能够得到满足。不过对于长分子结构流体，就不再含有各向同性性质，所以广义牛顿粘性应力公式不再适用。第51页(3)由关系式可见，平均压力偏量 pm-p取决于 。对于不可压缩流体，因为 ，所以pm=p，即平均压力等于平衡态压力。不过应该注意，平均压力依然是法向应力平均值负值，而并不是pm、p11、p22、p33这四个值相等。对于静止流体，因为变形速率为零，所以 pm=p，此时第52页对于可压缩流体，在普通情况下，与p相比往往是小量。所以，斯托克斯又假定于是，实际上对绝大多数气体和液体真实流动都能够认为不过在像激波层这么区域中，因为与p相比可能是同量级这时候就不能再假定所以也就不能认为p=pm第53页（4）第二粘性系数 只可能是正值。在 条件下，平衡态压力总是大于平均压力结论，即ppm首先对式上式两侧乘以 ，则可得 单位时间内单位质量流体所作实际膨胀功 单位时间内单位质量流体在平衡态条件下所作可逆膨胀功 单位时间内单位质量流体所作体积改变耗散功 第54页粘性流体动力学基本方程 一、连续方程式与应力无关，所以它形式不变二、运动方程,普通形式运动方程以下 为作用在单位质量流体上表面力 第55页利用张量表示法运动方程可写成 将广义牛顿粘性应力公式代入上式 此式又称纳维-斯托克斯方程，向量形式为 第56页各种特殊情况下NS方程（1）对于 ，流体，N-S方程能够写成 式中右侧第四项中偏微分部分可写称第57页于是纳维-斯托克斯方程可写成它向量形式为2）对于不可压缩流体，因为向量形式 张量形式 第58页三、能量方程 能量方程普通式为 为表面力在单位时间内对单位质量流体所作功。为以热传导方式传给单位质量流体热量。由富里埃定律知 第59页从分子输运观点来看，热传导反应了分子能量输运，粘性力反应了分子动量输运。若假定分子输运通量(即动量或能量)与分子输运强度(即宏观速度梯度或温度梯度)成正比，并假定概率分布函数随空闻与时间改变都很小，则由分子运动论能够直接得到广义牛顿粘性应力公式和富里埃热传导定律。将以上两式代入能量方程可得 三种形式能量方程式：能量，温度，焓 第60页四、关于粘性流体动力学方程组封闭性四、关于粘性流体动力学方程组封闭性 连续方程式，纳维-斯托克斯方程式和能量方程式是研究牛顿流体粘性流体动力学基本方程组。在这些方程中，独立未知物理量共包含14个标量函数，不过基本方程组中只包含5个独立方程，所以这组方程并不封闭。为了使方程组封闭，除必须给出 三个表示流体物性确实切关系式外，还必须补充6个独立方程。而这些补充关系式和方程组只能由其它条件、假定、或规律来提供。第61页在通常流体力学问题中，辐射热与其它量相比为小量，故可假定 在通常流体力学问题中，质量力为重力，即 f=g假如能再找到两个联络热力学状态参数状态方程，则可使方程封闭。不过，到当前为止，还未找到普遍适用状态方程。我们在这里只准备讨论一类简单流体，即它们在热学上和热量上是完全气体，即它们满足 第62页由以上诸式组成了重力场中完全气体在无辐射条件下封闭方程组 7个未知物理量 7个方程，封闭第63页常物性不可压缩流体基本方程式 第64页粘性流动边界条件粘性流动边界条件 由上面几节讨论，我们已经得到粘性流体动力学问题基本方程组。由偏微分方程理论知，任何一个方程或封闭方程组含有没有数组可能解。所以，若要得到完全确定解，必须给出完全确定定解条件，即所谓边界条件和起始条件。为了给定粘性流动在边界上物理量，必须首先从物理角度研究边界面两侧物质物理量相互关系。第65页一、流体边界面两侧过渡关系一、流体边界面两侧过渡关系通常流体边界面包含三种类型：流体与固体接触面液体和气体接触面两种液体接触面利用热力学和力学平衡特征以及一些物理量守恒性，能够建立接触面两侧物质物理量之间关系。第66页(一)两种物质接触关系 只要两种物质相互接触，则这两种物质在交界面上法向速度一定相等，即或下标“1”、“2”表示边界两侧。这即两种物质保持接触条件。由光滑流体面保持性条件知，流体边界面永远保持为流体边界面。因为相互接触交界面方程是两种物质所共有，所以，两种物质保持接触条件又可写成第67页(二)边界面上分子输运特征 1在边界面上切向速度及温度连续 在普通流体力学问题中，总是认为交界面两侧物质处 于热学和力学平衡态，即温度、切向速度在边界面上 连续。应该指出，在密度很低条件下，交界面两侧物质可能处于热学和力学非平衡态，温度和切向速度可能不连续。对于理想流体，因为假定不存在分子输运现象，故可允许在边界面上存在切向速度和温度不连续。第68页2边界面两侧热通量过渡关系 所以边界面两侧温度梯度在其法向投影并不相等。通常 第69页（三）边界面两侧应力过渡关系 表面张力协力和表面力平衡第70页二、边界条件二、边界条件 依据流体边界面上过渡关系，我们能够给出粘性流体动力学以下四种类型边界条件：流体在物面上运动学条件；流体在物面上热力学条件；流体在自由面上运动学条件；流体在自由面上动力学条件。第71页边界条件 1.流体在物面上运动学条件2.流体在物面上热力学条件 3.流体在自由面上运动学条件4.流体在自由面上动力学条件 第72页