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第三章第三章 量子力学导论量子力学导论3.13.1 波粒二相性波粒二相性 德布罗意物质波德布罗意物质波3.23.2 波函数及其统计解释波函数及其统计解释3.33.3 不确定关系不确定关系3.43.4 力学量算符表示及其本征值方程力学量算符表示及其本征值方程3.5 3.5 薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程3.63.6 氢原子薛定谔方程解氢原子薛定谔方程解氢原子薛定谔方程解氢原子薛定谔方程解第1页2024/11/8 周五1 量子力学“男孩”物理学爱因斯坦1905年提出光量子假说，26岁。玻尔1913年提出原子结构理论，28岁。德布罗意1923年提出德布罗意波，31岁。海森堡1925年创建矩阵力学，1927年提出测不准原理，24-26岁。还有更多年轻人：泡利25岁，狄拉克23岁，乌仑贝克25岁，古德施密特23岁，约尔当23岁和他们比起来，36岁薛定谔，43岁波恩，42岁普朗克，该算是叔叔了。第2页2024/11/8 周五2 许多人将听起来有些诡异量子理论视为天书，从而敬而远之。有些人感叹说：“量子力学，太不可思议了，不懂啊，晕！”不懂量子力学，听了就晕，那是非常正常反应。听听诺贝尔物理学奖得主，大物理学家费曼名言吧。费曼说：“我想我能够有把握地讲，沒有些人懂量子力学！”量子论另一创始人玻尔（Niels Bohr）也说过：“假如谁不为量子论而感到迷惑，那他就是没有了解量子论。”第3页2024/11/8 周五33.1 3.1 波粒二象性波粒二象性 德布罗意物质波德布罗意物质波1 1、德布罗意假设、德布罗意假设光电效应和康普顿散射告诉人们：光电效应和康普顿散射告诉人们：光电效应和康普顿散射告诉人们：光电效应和康普顿散射告诉人们：1 1）光现有）光现有）光现有）光现有波动性波动性波动性波动性，比如，比如，比如，比如干涉、衍射干涉、衍射干涉、衍射干涉、衍射；2 2）又含有）又含有）又含有）又含有粒子性粒子性粒子性粒子性，含有能量和动量。，含有能量和动量。，含有能量和动量。，含有能量和动量。光含有波粒二象性，并由爱因斯坦关系式描述为光含有波粒二象性，并由爱因斯坦关系式描述为光含有波粒二象性，并由爱因斯坦关系式描述为光含有波粒二象性，并由爱因斯坦关系式描述为受此启发，受此启发，受此启发，受此启发，1924192419241924年法国人德布罗意大胆提出：年法国人德布罗意大胆提出：年法国人德布罗意大胆提出：年法国人德布罗意大胆提出：实物粒子实物粒子实物粒子实物粒子也含有波粒二象性也含有波粒二象性也含有波粒二象性也含有波粒二象性，即任何物体都伴随以波，不可能将，即任何物体都伴随以波，不可能将，即任何物体都伴随以波，不可能将，即任何物体都伴随以波，不可能将物体运动和波传输分拆开来。这种波称作物体运动和波传输分拆开来。这种波称作物体运动和波传输分拆开来。这种波称作物体运动和波传输分拆开来。这种波称作物质波物质波物质波物质波。还给出了动量为还给出了动量为还给出了动量为还给出了动量为P P P P粒子所伴随波波长粒子所伴随波波长粒子所伴随波波长粒子所伴随波波长与与与与P P P P关系关系关系关系德布罗意关系第4页2024/11/8 周五42 2、德布罗意关系式试验验证、德布罗意关系式试验验证 1925 1925 1925 1925年戴维孙革末在做电子穿过镍单晶试验时，年戴维孙革末在做电子穿过镍单晶试验时，年戴维孙革末在做电子穿过镍单晶试验时，年戴维孙革末在做电子穿过镍单晶试验时，观察到了电子衍射图象。观察到了电子衍射图象。观察到了电子衍射图象。观察到了电子衍射图象。同年汤姆逊得到电子穿过同年汤姆逊得到电子穿过同年汤姆逊得到电子穿过同年汤姆逊得到电子穿过多晶薄膜衍射图，多晶薄膜衍射图，多晶薄膜衍射图，多晶薄膜衍射图，证实了证实了证实了证实了电子含有波动性电子含有波动性电子含有波动性电子含有波动性。随即人们从试验还发觉质子、随即人们从试验还发觉质子、随即人们从试验还发觉质子、随即人们从试验还发觉质子、中子、原子、分子都含有波动性。中子、原子、分子都含有波动性。中子、原子、分子都含有波动性。中子、原子、分子都含有波动性。德布罗意假设被大量事实证实，德布罗意假设被大量事实证实，德布罗意假设被大量事实证实，德布罗意假设被大量事实证实，为此获为此获为此获为此获1929192919291929年诺贝尔物理奖。年诺贝尔物理奖。年诺贝尔物理奖。年诺贝尔物理奖。第5页2024/11/8 周五53.2 3.2 波函数及其统计诠释波函数及其统计诠释 德布罗意引入物质波，物质波需用波函数德布罗意引入物质波，物质波需用波函数德布罗意引入物质波，物质波需用波函数德布罗意引入物质波，物质波需用波函数(r(r(r(r t)t)t)t)描述。那么物质波波函数代表什么描述。那么物质波波函数代表什么描述。那么物质波波函数代表什么描述。那么物质波波函数代表什么物理意义？（单孔物理意义？（单孔物理意义？（单孔物理意义？（单孔成像？）成像？）成像？）成像？）1926 1926年年年年玻恩玻恩玻恩玻恩提出波函数提出波函数提出波函数提出波函数几率解释几率解释几率解释几率解释，指出波振幅，指出波振幅，指出波振幅，指出波振幅模方与该处发觉粒子几率成正比。所以德布罗意模方与该处发觉粒子几率成正比。所以德布罗意模方与该处发觉粒子几率成正比。所以德布罗意模方与该处发觉粒子几率成正比。所以德布罗意波函数是几率波。波函数是几率波。波函数是几率波。波函数是几率波。这个假设得到散射试验支持，取得了人们认可，这个假设得到散射试验支持，取得了人们认可，这个假设得到散射试验支持，取得了人们认可，这个假设得到散射试验支持，取得了人们认可，玻恩所以取得玻恩所以取得玻恩所以取得玻恩所以取得19541954年诺贝尔物理奖。年诺贝尔物理奖。年诺贝尔物理奖。年诺贝尔物理奖。第6页2024/11/8 周五6波尔与爱因斯坦量子之争能够概括为一个著名问题：上帝掷骰子吗？要解释清楚这个量子论中哲学问题，我们首先介绍一下著名杨氏双缝干涉试验。杨氏双缝试验比量子论历史还要早上100年。当初法国物理学家托马斯扬用这个简单试验挑战牛顿微粒说，证实了光波动性。原始试验装置异常简单，这试验影响却涉及了几百年。托马斯扬用经过一个小孔光作为点光源，点光源发出光穿过纸上两道平行狭缝后，投射到屏幕上。然后，观察者能够看到，屏幕上形成了一系列明暗交替干涉条纹。干涉是波特有现象，所以，试验中出现干涉条纹是光波动性强有力证实（见图）。第7页2024/11/8 周五7年，物理世界杂志评出十大经典物理试验，杨氏双缝试验用于电子名列第一名。费曼认为，杨氏双缝电子干涉试验是量子力学心脏，“包含了量子力学最深刻奥秘”。第8页2024/11/8 周五8第9页2024/11/8 周五9第10页2024/11/8 周五10试验观察结果也显示，电子确实是像子弹那样，一个一个抵达屏幕，以下列图所表示，对应于抵达屏幕每个电子，屏幕上出现一个亮点。伴随发射电子数目标增加，亮点越来越多，越来越多。当亮点多到不轻易区分时候，接收屏上显示出了确定干涉图案。这是怎么一回事呢？这干涉从何而来？从电子双缝试验，我们会得出一个貌似荒谬结论：一个电子同时经过了两条狭缝，然后，自己和自己发生了干涉！第11页2024/11/8 周五11 试验中电子同时穿过了两条狭缝，似乎表明：电子处于一个叠加态，既在位置A，又在位置B情形？作为量子论中叠加态粒子，每个电子（或光子）真是像孙悟空一样，有分身术，一个孙大圣到了两条狭缝处，就变成了两个大圣，同时穿过了两条狭缝！然后，两个真假孙悟空又自己跟自己打起来了！争斗结果，有可能是双赢，变出一个大孙悟空，打得屏幕上异常明亮；也有可能两败俱伤，真假悟空全死光，那时，就对应于屏幕上暗淡地方。第12页2024/11/8 周五12电子到底是穿过那条狭缝过来？用测量来确定第13页2024/11/8 周五13 “观察影响粒子量子行为”“波函数坍塌”量子叠加态一经测量，就按照一定概率，塌缩到一个固定本征态，回到经典世界。而在没有被测量之前，粒子则是处于既是此，又是彼混合叠加不确定状态。所以，我们无法预知粒子未来行为，只知道可能塌缩到某个本征态概率。比如：光经过偏振片试验结果了解第14页2024/11/8 周五14爱因斯坦生气地说：“玻尔，上帝不会掷骰子!”玻尔一脸不高兴：“爱因斯坦，别去指挥上帝应该怎么做!”几十年后霍金，看着历年试验统计，有些垂头丧气地说：“上帝不但掷骰子，他还把骰子掷到我们看不见地方去!”第15页2024/11/8 周五15薛定谔为了说明几率波荒谬，提出了薛定谔猫假设。第16页2024/11/8 周五16霍金：“当我听说薛定谔猫时候，我就跑去拿枪，想一枪把猫打死！”第17页2024/11/8 周五173.3 3.3 不确定关系不确定关系接收波函数统计诠释等于摒弃了经典粒子轨道概念，接收波函数统计诠释等于摒弃了经典粒子轨道概念，接收波函数统计诠释等于摒弃了经典粒子轨道概念，接收波函数统计诠释等于摒弃了经典粒子轨道概念，即排除了粒子每时每刻有确定位置和确定动量。所即排除了粒子每时每刻有确定位置和确定动量。所即排除了粒子每时每刻有确定位置和确定动量。所即排除了粒子每时每刻有确定位置和确定动量。所以由波函数只能给出粒子位置平均值及其偏差，一样以由波函数只能给出粒子位置平均值及其偏差，一样以由波函数只能给出粒子位置平均值及其偏差，一样以由波函数只能给出粒子位置平均值及其偏差，一样对粒子动量也只能知道其统计平均值及其偏差。对粒子动量也只能知道其统计平均值及其偏差。对粒子动量也只能知道其统计平均值及其偏差。对粒子动量也只能知道其统计平均值及其偏差。1927192719271927年海森伯指出，两个偏差乘积有一个最小限制年海森伯指出，两个偏差乘积有一个最小限制年海森伯指出，两个偏差乘积有一个最小限制年海森伯指出，两个偏差乘积有一个最小限制这个关系称这个关系称这个关系称这个关系称不确定关系不确定关系不确定关系不确定关系，与仪器和测量没有任何关系，与仪器和测量没有任何关系，与仪器和测量没有任何关系，与仪器和测量没有任何关系，而是波粒二象性必定结果。（单缝衍射试验？而是波粒二象性必定结果。（单缝衍射试验？而是波粒二象性必定结果。（单缝衍射试验？而是波粒二象性必定结果。（单缝衍射试验？原子大小估算）原子大小估算）原子大小估算）原子大小估算）第18页2024/11/8 周五183.4 3.4 力学量算符表示及其本征值方程力学量算符表示及其本征值方程怎样描述物理量这种只有可能值和对应几率性质呢？怎样描述物理量这种只有可能值和对应几率性质呢？怎样描述物理量这种只有可能值和对应几率性质呢？怎样描述物理量这种只有可能值和对应几率性质呢？在量子力学中力学量用运算符号（在量子力学中力学量用运算符号（在量子力学中力学量用运算符号（在量子力学中力学量用运算符号（算符算符算符算符）表示。）表示。）表示。）表示。量子力学与经典力学相比有两个显著区分：量子力学与经典力学相比有两个显著区分：量子力学与经典力学相比有两个显著区分：量子力学与经典力学相比有两个显著区分：1 1 1 1）引入态函数（波函数）描述体系状态；）引入态函数（波函数）描述体系状态；）引入态函数（波函数）描述体系状态；）引入态函数（波函数）描述体系状态；2 2 2 2）用算符表示力学量。）用算符表示力学量。）用算符表示力学量。）用算符表示力学量。基本算符有两个：基本算符有两个：基本算符有两个：基本算符有两个：其它力学量算符：其它力学量算符：其它力学量算符：其它力学量算符：比如动能算符：比如动能算符：比如动能算符：比如动能算符：第19页2024/11/8 周五19在数学上在数学上在数学上在数学上,算符普通定义为当它作用倒一个函数算符普通定义为当它作用倒一个函数算符普通定义为当它作用倒一个函数算符普通定义为当它作用倒一个函数u u u u上后上后上后上后能够把能够把能够把能够把u u u u映射为另一个函数映射为另一个函数映射为另一个函数映射为另一个函数v v v v，即，即，即，即当函数当函数当函数当函数u u u u与与与与v v v v只差一个常数只差一个常数只差一个常数只差一个常数时，即时，即时，即时，即v=v=v=v=u u u u，该方程称作该方程称作该方程称作该方程称作算符算符算符算符F F F F本征方程本征方程本征方程本征方程，u u u u称作称作称作称作本征函数本征函数本征函数本征函数，称作称作称作称作本征值本征值本征值本征值。量子力学中将会看到：量子力学中将会看到：量子力学中将会看到：量子力学中将会看到：1 1）力学量可能取值就是其本征值；）力学量可能取值就是其本征值；）力学量可能取值就是其本征值；）力学量可能取值就是其本征值；2 2）力学量取某本征值几率由对应本征函数确定。）力学量取某本征值几率由对应本征函数确定。）力学量取某本征值几率由对应本征函数确定。）力学量取某本征值几率由对应本征函数确定。第20页2024/11/8 周五203.5 3.5 薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程是量子力学基本动力学方程，它在量子薛定谔方程是量子力学基本动力学方程，它在量子薛定谔方程是量子力学基本动力学方程，它在量子薛定谔方程是量子力学基本动力学方程，它在量子力学中地位和作用相当于牛顿力学中牛顿方程，力学中地位和作用相当于牛顿力学中牛顿方程，力学中地位和作用相当于牛顿力学中牛顿方程，力学中地位和作用相当于牛顿力学中牛顿方程，电磁学中麦克斯韦方程，完全描述了量子系统状态电磁学中麦克斯韦方程，完全描述了量子系统状态电磁学中麦克斯韦方程，完全描述了量子系统状态电磁学中麦克斯韦方程，完全描述了量子系统状态演化规律。演化规律。演化规律。演化规律。称作哈密顿算符。称作哈密顿算符。称作哈密顿算符。称作哈密顿算符。假如势场不显含时间假如势场不显含时间假如势场不显含时间假如势场不显含时间t,t,t,t,即即即即V=V(r)V=V(r)V=V(r)V=V(r)定态薛定谔方程定态薛定谔方程定态薛定谔方程定态薛定谔方程第21页2024/11/8 周五213.7 3.7 氢原子薛定谔方程解氢原子薛定谔方程解电子在原子核库仑场中运动：电子在原子核库仑场中运动：电子在原子核库仑场中运动：电子在原子核库仑场中运动：定态薛定谔方程：定态薛定谔方程：定态薛定谔方程：定态薛定谔方程：在球坐标下定态薛定谔方程：在球坐标下定态薛定谔方程：在球坐标下定态薛定谔方程：在球坐标下定态薛定谔方程：解：解：第22页2024/11/8 周五22结果讨论：结果讨论：结果讨论：结果讨论：1 1 1 1、主量子数、主量子数、主量子数、主量子数n n n n与能量量子化与能量量子化与能量量子化与能量量子化能量量子化自然得到，且与玻尔理论结果一致。能量量子化自然得到，且与玻尔理论结果一致。能量量子化自然得到，且与玻尔理论结果一致。能量量子化自然得到，且与玻尔理论结果一致。角动量量子化自然得到，不过与玻尔理论有差异。角动量量子化自然得到，不过与玻尔理论有差异。角动量量子化自然得到，不过与玻尔理论有差异。角动量量子化自然得到，不过与玻尔理论有差异。2 2 2 2、角量子数、角量子数、角量子数、角量子数l l l l与角动量量子化与角动量量子化与角动量量子化与角动量量子化nlmnlmnlmnlm不但仅是能量本征函数，而且也是角动量平方不但仅是能量本征函数，而且也是角动量平方不但仅是能量本征函数，而且也是角动量平方不但仅是能量本征函数，而且也是角动量平方算符本征函数，即满足算符本征函数，即满足算符本征函数，即满足算符本征函数，即满足第23页2024/11/8 周五233 3 3 3、磁量子数、磁量子数、磁量子数、磁量子数m m m ml l l l与空间量子化与空间量子化与空间量子化与空间量子化角动量在外场方向分量也是量子化，即空间取向角动量在外场方向分量也是量子化，即空间取向角动量在外场方向分量也是量子化，即空间取向角动量在外场方向分量也是量子化，即空间取向量子化自然得到。量子化自然得到。量子化自然得到。量子化自然得到。nlmnlm不但仅是能量算符和角动量平方算符本征函数，不但仅是能量算符和角动量平方算符本征函数，不但仅是能量算符和角动量平方算符本征函数，不但仅是能量算符和角动量平方算符本征函数，而且还是角动量在而且还是角动量在而且还是角动量在而且还是角动量在Z Z轴分量算符本征函数，即满足轴分量算符本征函数，即满足轴分量算符本征函数，即满足轴分量算符本征函数，即满足经过上面讨论，经过上面讨论，经过上面讨论，经过上面讨论，nlmnlmnlmnlm是是是是H H H H，L L L L2 2 2 2和和和和L L L LZ Z Z Z共同本征函数。共同本征函数。共同本征函数。共同本征函数。这在量子力学里对应于三维问题应该选这在量子力学里对应于三维问题应该选这在量子力学里对应于三维问题应该选这在量子力学里对应于三维问题应该选3 3 3 3个对易物理量个对易物理量个对易物理量个对易物理量算符组成一个力学量完备集。算符组成一个力学量完备集。算符组成一个力学量完备集。算符组成一个力学量完备集。第24页2024/11/8 周五244 4 4 4、电子分布概率、电子分布概率、电子分布概率、电子分布概率 依据波函数统计解释有依据波函数统计解释有依据波函数统计解释有依据波函数统计解释有在球体积元在球体积元在球体积元在球体积元d d d d=r=r=r=r2 2 2 2sinsinsinsindrddrddrddrdd d d d内内内内发觉电发觉电子几率子几率子几率子几率为为1 1 1 1）几率随）几率随）几率随）几率随角分布角分布角分布角分布-几率密度分布几率密度分布几率密度分布几率密度分布绕绕绕绕Z Z Z Z轴轴轴轴旋旋旋旋转对转对转对转对称称称称2 2 2 2）角向分布几率）角向分布几率）角向分布几率）角向分布几率第25页2024/11/8 周五25第26页2024/11/8 周五26发觉：对于给定发觉：对于给定发觉：对于给定发觉：对于给定n n n n，和最大可能和最大可能和最大可能和最大可能l l l l取值，取值，取值，取值，当当当当r r r r等于玻尔半径时等于玻尔半径时等于玻尔半径时等于玻尔半径时电子出现几率最大，电子出现几率最大，电子出现几率最大，电子出现几率最大，也就是说玻尔轨道对也就是说玻尔轨道对也就是说玻尔轨道对也就是说玻尔轨道对应于电子出现几率最应于电子出现几率最应于电子出现几率最应于电子出现几率最大位置。大位置。大位置。大位置。在离核在离核在离核在离核r r r rr+drr+drr+drr+dr处球形壳层内发觉电子几率处球形壳层内发觉电子几率处球形壳层内发觉电子几率处球形壳层内发觉电子几率 3 3）电子径向分布概率）电子径向分布概率第27页2024/11/8 周五27