黄埔区2023-2024学年第一学期黄埔广附教育集团数学联考（含答案）.docx

2023-2024 学年第一学期黄埔广附教育集团联考
七年级数学试卷
考试时长：120 分钟 试卷满分：120 分命题人：初一数学备课组
第一部分 选择题（共 30 分） 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1. -2 的倒数是（ ）

A. -2 B. - 1
2
C. 1

D. 2

2
2. 一种面粉的质量标识为“ 25 ± 0.25 千克”，则下列面粉质量合格的是（ ）
A. 24.70 千克 B. 25.30 千克 C. 25.51 千克 D. 24.80 千克

2
3. 下列各组数中，互为相反数的是（ ) A 2 和-2 B. -2 和 1

C. －2 和- 1
2

D. 1 和 2

2
4. 用四舍五入按要求对0.06019 分别取近似值，其中错误的是（ ）
A. 0.1（精确到 0.1） B. 0.06（精确到千分位） C. 0.06(精确到百分位) D. 0.0602（精确到 0.0001）
5. 下列算式正确的是（ ）

A. -3 + 2 = 5
B. (- 1) ¸(-4) = 1
4
C. -5 - (-2) = -3
D. (-8)2 = -16

6. 已知-2x6 y 与5x2m yn 是同类项，则（ ）

A. m = 2 ， n = 1

B. m = 3 ， n = 1
C. m = 3 ， n = 1
2
D. m = 3 ， n = 0

7. 下列正确的是（ ）

A. 3x + 3y = 6xy
B. x + x = x2
C. -9 y2 + 6 y2 = -3
D. 9a2b - 9a2b = 0

8. 一个多项式与 x2﹣2x+1的和是 3x﹣2，则这个多项式为（ ）
A x2﹣5x+3 B. ﹣x2+x﹣1 C. ﹣x2+5x﹣3 D. x2﹣5x﹣13

9. 有理数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，化简 a - c - a - b + b - c 结果为（ ）

A. 0 B.
-2c
C. 2b - 2c
D. 2a - 2c

10. 如图图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有 8 个●，第③个图中

共有 13 个●，第④个图中共有 19 个●，…，照此规律排列下去，则第 13 个图形中●的个数为（ ）．
A. 92 B. 96 C. 103 D. 118
第二部分 非选择题（共 90 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 用科学记数法表示 13040000，应记作 ．
12. 数轴上表示数-13 和表示数-4 的两点之间的距离是 ．
13. 多项式 2x2－3x＋5 是 次 项式．
14. 若有理数 a，b 满足 a + 2 + (b - 3)2 = 0 ，则 ab 的值为 ．

15. 关于 x，y 的多项式 2x3 + x2 + mx3 - 2x2 +1 不含 x3 项，则 m 的值是 .
2
16. 将 1、2、3¼¼、20 这 20 个自然数，任意分为 10 组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作 x，另一个记作 y，代入代数式 1 ( x - y + x + y) 中进行计算，求出其结果，10 组数代入后可求得 10 个
值，则这 10 个值的和的最小值是 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分）
17. 计算：
（1）12 - (-18) + (-7) -15 ；
（2） -9´(-11) ¸ 3 ¸(-3) ．
18. 化简：
（1） 3a + 2b - 5a - b ；
（2） (2x - 3y ) + 2 (5x + 4 y ) ．
19. 在数轴上画出表示数 0.5， -11 ， -(+4) ， -3 ， (-2)2 的点，并用“ <”连接起来．
2
20. 计算：
2 3

（1） (-3)
+ (4 - 7 )¸ - -1 ；
2

（2） -12 +1 3 ´ æ- 2 ö ¸ (0.5 -1)
4 ç 7 ÷
è ø
21 先化简，再求值： 5(3a2b - ab2 ) - (ab2 + 3a2b) ，其中 a = - 1 ， b = 1 ．
2 3

22. 某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）：
进出数量（单位：吨）
﹣3
4
﹣1
2
﹣5
进出次数
2
1
3
3
2
（1） 这天仓库的原料比原来增加了还是减少？请说明理由；
（2） 根据实际情况，现有两种方案：
方案一：运进每吨原料费用 5 元，运出每吨原料费用 8 元；
方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料 6 元； 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适．
23. 在数学兴趣小组活动中，甲乙两同学进行数字猜谜游戏：
（1） 甲说：若一个数 a 的相反数就是它本身，乙说：若一个数 b 的倒数也等于其本身，请你猜一猜 b + a 的

值是多少？

（2） 甲说：若 a


2
b = 9 = (-1)n -
= 2 ， 2 ，且 a - b = b - a ，乙说：若c （n 为正奇数），请你算一算 a + b - c
1

的值是多少？
24. 有这样一道题“如果代数式5a + 3b 的值为-4 ，那么代数式2(a + b) + 4(2a + b) 的值是多少？”爱动脑筋的吴同学这样来解：原式 = 2a + 2b + 8a + 4b = 10a + 6b ．我们把 5a + 3b 看成一个整体，把式子5a + 3b = -4 两边乘以 2 得10a + 6b = -8 ．
整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的 解题方法，完成下面问题：
（1）已知 a 2 - 2 a = 1 ，则 2a2 - 4a + 1 = ．
（2）已知 m + n = 2 ， mn = -4 ，求 2 (mn - 3m ) - 3(2n - mn ) 的值．
（3）已知 a2 + 2ab = -5 ， ab - 2b2 = -3 ，求代数式2a2 + 11 ab + 2 b2 的值．
3 3
25. 数轴上点 A 表示-8 ，点 B 表示 6，点 C 表示 12，点 D 表示 18．如图，将数轴在原点 O 和点 B、C 处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距
离．例如，点 A 和点 D 在折线数轴上的和谐距离为 -8 -18 = 26 个单位长度．动点 M 从点 A 出发，以 4
个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点 O 运动到点 C 期间速度变为原来的一半，过点 C 后继续以原来的速度向终点 D 运动；点 M 从点 A 出发的同时，点 N 从点 D 出发，一直以 3 个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点 A 运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为 t 秒．

（1） 当t = 2 秒时，M、N 两点在折线数轴上的和谐距离 MN 为 ；
（2） 当点 M、N 都运动到折线段O - B - C 上时，O、M 两点间的和谐距离 OM = （用含有 t

的代数式表示）；C、N 两点间的和谐距离 CN
= （用含有 t 的代数式表示）；t = 时，

M、N 两点相遇；
（3） 当t = 时，M、N 两点在折线数轴上的和谐距离为 4 个单位长度；当t = 时，M、
O 两点在折线数轴上的和谐距离与 N、B 两点在折线数轴上的和谐距离相等．

2023-2024 学年第一学期黄埔广附教育集团联考
七年级数学试卷
考试时长：120 分钟 试卷满分：120 分命题人：初一数学备课组
第一部分 选择题（共 30 分） 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
2
1. -2 的倒数是（ ）

A. -2 B. - 1
2
【答案】B
【解析】
C. 1

D. 2

【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为 1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解．
2
【详解】解：-2 的倒数是- 1 ，

故选：B．
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握．

2. 一种面粉的质量标识为“ 25 ± 0.25 千克”，则下列面粉质量合格的是（ ）
A. 24.70 千克 B. 25.30 千克 C. 25.51 千克 D. 24.80 千克
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数的加法法则可求(25 + 0.25) 和(25 - 0.25) 的值，进而可得合格面粉的质量范围，进而可得答案．
【详解】解：∵ 25 + 0.25 = 25.25 ， 25 - 0.25 = 24.75 ；
∴合格的面粉质量在 24.75 和 25.25 之间， 故选∶D．
【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正负数在题目中的实际意义．

2
3. 下列各组数中，互为相反数的是（ ) A. 2 和-2 B. -2 和 1

C. －2 和- 1
2

D. 1 和 2

2
【答案】A

【解析】
【详解】解：A、2 和-2 只有符号不同，它们是互为相反数，选项正确；
B、-2 和 1 除了符号不同以外，它们的绝对值也不相同，所以它们不是互为相反数，选项错误；
2

C、-2 和- 1 符号相同，它们不是互为相反数，选项错误；
2
D、 1 和 2 符号相同，它们不是互为相反数，选项错误．
2

故选 A．
4. 用四舍五入按要求对0.06019 分别取近似值，其中错误的是（ ）
A. 0.1（精确到 0.1） B. 0.06（精确到千分位） C. 0.06(精确到百分位) D. 0.0602（精确到 0.0001）
【答案】B
【解析】
【分析】根据近似数的精确度分别进行判断．
【详解】A．0.06019≈0.1(精确到 0.1)，所以 A 选项的说法正确，不符合题意； B．0.06019≈0.060(精确到千分位)，所以 B 选项的说法错误，符合题意； C．0.06019≈0.06(精确到百分)，所以 C 选项的说法正确，不符合题意； D．0.06019≈0.0602(精确到 0.0001)，所以 D 选项的说法正确，不符合题意． 故选 B．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是 0 的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度 表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
5. 下列算式正确的是（ ）

A. -3 + 2 = 5
B. (- 1) ¸(-4) = 1
4
C. -5 - (-2) = -3
D. (-8)2 = -16

【答案】C
【解析】
【分析】根据有理数的加法、乘法，除法，乘方及减法运算法则计算可得．
【详解】解：A. -3 + 2 = -1 ，故选项 A 计算结果错误；
1 1 1 1
B. (- ) ¸ (-4) = (- ) ´ (- )= ，故选项 B 计算结果错误；
4 4 4 16
C. -5 - (-2) = -5 + 2 = -3 ，故选项 C 计算结果正确；

D. (-8)2 = 64 ，故选项 D 计算结果错误；

故选：C
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则．
6. 已知-2x6 y 与5x2m yn 是同类项，则（ ）

A. m = 2 ， n = 1
B. m = 3 ， n = 1
C. m = ， n = 1
3
2
D. m = 3 ， n = 0

【答案】B
【解析】
【分析】根据相同字母的指数相同即可求出 m 和 n 的值．
【详解】解：∵ -2x6 y 与5x2m yn 是同类项，
∴ 2m = 6, n = 1 ，
∴ m = 3 ， n = 1
故选 B．
【点睛】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键，所含字母 相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，根据相同字母的指数相同列方程求解即可．
7. 下列正确的是（ ）

A. 3x + 3y = 6xy
B. x + x = x2
C. -9 y2 + 6 y2 = -3
D. 9a2b - 9a2b = 0

【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则分别判断．
【详解】解：A、3x 和3y 不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、 x + x = 2x ，故错误，不符合题意；
C、 -9 y2 + 6 y2 = -3y2 ，故错误，不符合题意；
D、9a2b - 9a2b = 0 ，故正确，符合题意； 故选 D．
【点睛】本题考查了合并同类项法则，解题的关键是掌握运算法则．
8. 一个多项式与 x2﹣2x+1 的和是 3x﹣2，则这个多项式为（ ）
A. x2﹣5x+3 B. ﹣x2+x﹣1 C. ﹣x2+5x﹣3 D. x2﹣5x﹣13
【答案】C
【解析】

【分析】根据题意列出关系式，去括号合并同类项即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：
3x-2-（x2-2x+1）
=3x-2-x2+2x-1
=-x2+5x-3． 故选：C．
【点睛】此题考查了整式的减法的运用，熟练掌握整理式减法运算法则是解本题的关键．
9. 有理数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，化简 a - c - a - b + b - c 结果为（ ）

A. 0 B.
【答案】D
-2c
C. 2b - 2c
D. 2a - 2c

【解析】
【分析】首先根据数轴上表示的数，它们从左往右的顺序，就是它们由小到大的顺序，得出c < a < 0 < b ， 结合有理数的加减法法则判断出绝对值内代数式的符号，最后进行整式的加减运算．
【详解】解：由图知： c < a < 0 < b ，
∴ a - c > 0, a - b 0, b - c 0 ．

∴ a - c - a - b + b - c

= a - c + (a - b) + (b - c)

= a - c + a - b + b - c
= 2a - 2c ， 故选：D．
【点睛】本题考查数轴、绝对值的有关内容，有理数的加减法法则及整式的加减运算，解决此题的关键是 能够正确判断绝对值内代数式的符号，然后根据绝对值的性质去掉绝对值．
10. 如图图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有 8 个●，第③个图中共有 13 个●，第④个图中共有 19 个●，…，照此规律排列下去，则第 13 个图形中●的个数为（ ）．

A. 92 B. 96 C. 103 D. 118
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知图形得出图 n 中点的个数为（n+1）2-（1+2+3+…+n-1），据此可得．
【详解】因为图①中点的个数为 4=22-0， 图②中点的个数为 8=32-1，
图③中点的个数为 13=42-（1+2）， 图④中点的个数为 19=52-（1+2+3），
……
所以图 10 中点的个数为 112-（1+2+3+…+9）=121-45=76， 故选：D．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第 n 个图形中点的个数为（n+1）
2-（1+2+3+…+n-1）．
第二部分 非选择题（共 90 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 用科学记数法表示 13040000，应记作 ．
【答案】1.304×107
【解析】
【分析】13 040 000 是 8 位整数，用科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式， a = 1.304 ， n = 8 -1 = 7 ．
【详解】解：将 13 040 000 用科学记数法表示为：13 040 000=1.304×107． 故答案为：1.304×107．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
12. 数轴上表示数-13 和表示数-4 的两点之间的距离是 ．
【答案】9
【解析】
【分析】根据数轴上两点间的距离公式求解即可．
【详解】解：∵数轴上两点分别用-13 ， -4 表示，
\在数轴上表示数-13 和表示数-4 的两点之间的距离=| (-13) - (-4) |=| -13 + 4 |= 9 ． 故答案为：9．

【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离等于两点所表示的数的差的绝对值是解答此题的关 键．
13. 多项式 2x2－3x＋5 是 次 项式．
【答案】 ①. 二 ②. 三
【解析】
【详解】解：根据多项式的定义可得多项式 2x2－3x＋5 是二次三项式． 故答案为：二，三．
14. 若有理数 a，b 满足 a + 2 + (b - 3)2 = 0 ，则 ab 的值为 ．
【答案】 -6
【解析】
【分析】根据绝对值和平方的非负性求出 a，b 的值计算即可；
【详解】解：∵ a + 2 + (b - 3)2 = 0 ，
∴ a + 2 = 0 ， b - 3 = 0 ，
∴ a = -2 ， b = 3 ，
∴ ab = (-2)´ 3 = -6 ； 故答案为-6 ．
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的应用，有理数的乘方，代数式求值，准确计算是解题的关键．
15. 关于 x，y 的多项式 2x3 + x2 + mx3 - 2x2 +1 不含 x3 项，则 m 的值是 .
【答案】 -2
【解析】
【分析】合并同类项，令 x3 的系数为 0 即可求解．

【详解】解： 2x3 + x2 + mx3 - 2x2 +1 = (2 + m)x3 - x2 +1，
∵ 2x3 + x2 + mx3 - 2x2 +1 不含 x3 项，
∴ 2 + m = 0 ， 解得： m = -2 ， 故答案为： -2 ．
【点睛】本题考查了合并同类项，多项式的次数，理解题意是解题的关键．
16. 将 1、2、3¼¼、20 这 20 个自然数，任意分为 10 组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记

( - + + )
1
作 x，另一个记作 y，代入代数式 x y x y 中进行计算，求出其结果，10 组数代入后可求得 10 个
2
值，则这 10 个值的和的最小值是 ．
【答案】55.
【解析】
【分析】先分别讨论 x 和 y 的大小关系，分别得出代数式的值，进而得出规律，然后以此规律可得出符合题意的组合，求解即可．
【详解】① 若x ³ y ，则代数式中绝对值符号可直接去掉，
\代数式等于 x，
② 若y > x 则绝对值内符号相反，
\代数式等于 y，
由此一来，只要 20 个自然数里面最小的十个数字从 1 到 10 任意俩个数字不同组，
这样最终求得十个数之和最小值就是十个数字从 1 到 10 的和，
1+ 2 + 3 +¼+10 = 55 ．
【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，通过假设，把所给代数式化简，然后判断出各组中 的 a 值恰好是 11 到 20 这 10 个数时取得最小值时解题的关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分）
17. 计算：
（1）12 - (-18) + (-7) -15 ；
（2） -9´(-11) ¸ 3 ¸(-3) ．
【答案】（1） 8
（2） -11
【解析】
【分析】（1）根据有理数的加减法运算法则计算即可；
（2）依据有理数乘除法的运算法则计算即可．
【小问 1 详解】
解：12 - (-18) + (-7) -15
= 12 +18 - 7 -15
= 8 ；
【小问 2 详解】

-9-(´11¸ )3 -(¸3)
=99 ¸3 -( ¸3)
=33 -( ¸3)
- =11 ．
【点睛】题目主要考查有理数的加减法及乘除法运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键．
18. 化简：
（1） 3a + 2b - 5a - b ；
（2） (2x - 3y ) + 2 (5x + 4 y ) ．
【答案】（1） -2a + b
（2）12x + 5y
【解析】
【分析】（1）根据整式的加减计算法则求解即可；
（2）先去括号，再根据整式的加减计算法则求解即可．
【小问 1 详解】
解： 3a + 2b - 5a - b
= -2a + b ；
【小问 2 详解】
(2x - 3y ) + 2 (5x + 4 y )

= 2x - 3y +10x + 8 y

= 12x + 5 y ．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
19. 在数轴上画出表示数 0.5， -11 ， -(+4) ， -3 ， (-2)2 的点，并用“ <”连接起来．
2
【答案】数轴表示见解析， -(+4) ＜ -11 ＜0.5＜ -3 ＜ (-2)2
2
【解析】
【分析】根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来，根据数轴上的点表示的数右边的总比 左边的大，可得答案．
【详解】解： -(+4) = - 4 ， -3 =3 ， (-2)2 =4 ，

如图所示：

-(+4) ＜ -11 ＜0.5＜ -3 ＜ (-2)2
2
【点睛】本题考查了有理数大小比较，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．
20. 计算：
2 3

（1） (-3)
+ (4 - 7 )¸ - -1 ；
2

（2） -12 +1 3 ´ æ- 2 ö ¸ (0.5 -1)
4 ç 7 ÷
è ø
【答案】（1） 6
（2） 0
【解析】
【分析】（1）先计算有理数的乘方运算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可；
（2）先计算有理数的乘方运算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可．
【小问 1 详解】
2 3

解： (-3)
+ (4 - 7 )¸ - -1
2

= 9 + (-3) ´ 2 -1
3
= 9 - 2 -1
= 6 ；
【小问 2 详解】
-12 +1 3 ´ æ- 2 ö ¸ (0.5 -1)
4 ç 7 ÷
è ø

= -1+ 7 ´ æ- 2 ö ¸ (-0.5)
4 ç 7 ÷
è ø
= -1+ (- 1 ) ´ (-2) 2
= -1+1
= 0 ．
【点睛】题目主要考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．

21. 先化简，再求值： 5(3a2b - ab2 ) - (ab2 + 3a2b) ，其中 a = - 1 ， b = 1 ．
2 3
【答案】12a2b - 6ab2 ， 4
3
【解析】
【分析】先去括号、合并同类项化简原式，再将a 、b 的值代入计算即可．
【详解】 解：原式= 15a2b - 5ab2 - ab2 - 3a2b

= 12a2b - 6ab2 ，
1 1
当 a = - ， b = 时，
2 3
原式= 12 ´ (- 1 )2 ´ 1 - 6 ´ (- 1 ) ´ (1)2
2 3 2 3
= 1 + 1
3
4
= ．
3
【点睛】此题主要考查了整式的加减，化简求值，解题关键是掌握整式加减的运算法则．
22. 某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）：
进出数量（单位：吨）
﹣3
4
﹣1
2
﹣5
进出次数
2
1
3
3
2
（1） 这天仓库的原料比原来增加了还是减少？请说明理由；
（2） 根据实际情况，现有两种方案：
方案一：运进每吨原料费用 5 元，运出每吨原料费用 8 元；
方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料 6 元； 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适．
【答案】（1）减少了 9 吨；（2）方案二运费少，选择方案二比较合适．
【解析】
【分析】（1）先分别将运进数量×运进次数，运出数量×运出次数，再把它们相加即可求解；
（2）分别求出两种方案的运费，再进行比较，即可求解．
【详解】解：
（1） (-3) ´ 2 + 4 ´ 1 + (-1) ´ 3 + 2 ´ 3 + (-5) ´ 2
= -6 + 4 - 3 + 6 - 10
= -9

答：这天仓库的原料比原来减少了 9 吨；
（2）方案一： (4 ´1 +2 ´3 ´ )5 ( +3 ´2 +1 ´3 +5 ´2 ´ )8
( =4 +6 ´ )5 ( +6 +3 +10 ´ )8
=10 ´5 +19 ´8
=50 +152
=202 （元），
方案二(3 ´2 +4 ´1 +1 ´3 +2 ´3 +5 ´2 ´ )6
( =6 +4 +3 +6 +10 ´ )6
=29 ´6
=174 （元）
∵174 <202 ，
∴方案二运费少，选择方案二比较合适．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，以及正数和负数，解题关键是理解“正"和“负”的相对性，明确 什么是一对具有相反意义的量．
23. 在数学兴趣小组活动中，甲乙两同学进行数字猜谜游戏：

（1） 甲说：若一个数 a 的相反数就是它本身，乙说：若一个数 b 的倒数也等于其本身，请你猜一猜 b + a 的

值是多少？

（2） 甲说：若 a


2
b = 9 = (-1)n -
= 2 ， 2 ，且 a - b = b - a ，乙说：若c （n 为正奇数），请你算一算 a + b - c
1

的值是多少？
【答案】（1）1 （2）6 或 2
【解析】
【分析】（1）首先根据相反数和倒数的定义，判断出 a、b 的值，然后再求出它们和的绝对值．
【小问 1 详解】
解：∵ a 的相反数是它本身， b 的倒数也等于它本身，
∴ a = 0, b = ±1 ，

当b = 1时， b + a = 1+ 0 = 1，

当b = -1时， b + a = -1+ 0 = 1；

∴ b + a 的值为 1；
【小问 2 详解】
∵ a = 2 ， b2 = 9 ，

∴ a = ±2, b = ±3 ，
∵ a - b = b - a ，
∴ a < b ，
∴ a = ±2, b = 3 ，
(- )n -
∵ c = 2 （n 为正奇数）
1 1

2
∴ c = -1-1 = -1 ，
∴当 a = 2, b = 3, c = -1 时， a + b - c = 2 + 3 - (-1) = 6 ； 当 a = -2, b = 3, c = -1时， a + b - c = -2 + 3 - (-1) = 2 ；
∴ a + b - c 的值是 6 或 2．
【点睛】此题主要考查相反数、倒数的定义，绝对值的性质以及有理数的加减运算，理解题意，熟练掌握 运用这些知识点进行分情况讨论是解题关键．
24. 有这样一道题“如果代数式5a + 3b 的值为-4 ，那么代数式2(a + b) + 4(2a + b) 的值是多少？”爱动脑筋的吴同学这样来解：原式 = 2a + 2b + 8a + 4b = 10a + 6b ．我们把 5a + 3b 看成一个整体，把式子5a + 3b = -4 两边乘以 2 得10a + 6b = -8 ．
整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的 解题方法，完成下面问题：
（1）已知 a 2 - 2 a = 1 ，则 2a2 - 4a + 1 = ．
（2）已知 m + n = 2 ， mn = -4 ，求 2 (mn - 3m ) - 3(2n - mn ) 的值．
（3）已知 a2 + 2ab = -5 ， ab - 2b2 = -3 ，求代数式2a2 + 11 ab + 2 b2 的值．
3 3

【答案】24. 3 25.
-32

26. -9

【解析】
【分析】（1）利用整体代入的思想代入计算即可；

（2） 首先把整式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入计算即可；
（3） 首先把代数式进行变形，然后再代入计算即可．
【小问 1 详解】

解： 2a2 - 4a +1
= 2(a2 - 2a) +1 ， 当 a 2 - 2 a = 1 时， 原式= 2´1+1 = 3 ， 故答案为：3；
【小问 2 详解】
2(mn - 3m) - 3(2n - mn)

= 2mn - 6m - 6n + 3mn
= 5mn - 6 (m + n )
当 m + n = 2 ， mn = -4 时，
原式= 5´(-4) - 6´ 2 = -20 -12 = -32 ；
【小问 3 详解】
2a2 + 11 ab + 2 b2
3 3
3
= 1 (6a2 +11ab + 2b2 )
3 ë û
= 1 é6 (a2 + 2ab) - ab + 2b2 ù
3 ë û
= 1 é6 (a2 + 2ab) - (ab - 2b2 )ù
3
当 a2 + 2ab = -5 ， ab - 2b2 = -3 时， 原式= 1 ëé6 ´(-5) - (-3)ûù = -9 ．
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，掌握去括号，合并同类项的运算法则，利用整体代入的思想是 解此题的关键．
25. 数轴上点 A 表示-8 ，点 B 表示 6，点 C 表示 12，点 D 表示 18．如图，将数轴在原点 O 和点 B、C 处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距
离．例如，点 A 和点 D 在折线数轴上的和谐距离为 -8 -18 = 26 个单位长度．动点 M 从点 A 出发，以 4
个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点 O 运动到点 C 期间速度变为原来的一半，过点 C 后继续

以原来的速度向终点 D 运动；点 M 从点 A 出发的同时，点 N 从点 D 出发，一直以 3 个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点 A 运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为 t 秒．

（1） 当t = 2 秒时，M、N 两点在折线数轴上的和谐距离 MN 为 ；
（2） 当点 M、N 都运动到折线段O - B - C 上时，O、M 两点间的和谐距离 OM = （用含有 t

的代数式表示）；C、N 两点间的和谐距离 CN
= （用含有 t 的代数式表示）；t = 时，

M、N 两点相遇；
（3） 当t = 时，M、N 两点在折线数轴上的和谐距离为 4 个单位长度；当t = 时，M、
O 两点在折线数轴上的和谐距离与 N、B 两点在折线数轴上的和谐距离相等．

【答案】（1）12 （2） 2t - 4 ， 3t - 6 ， 22
5

（3） 26
5
18 16
或 ；8 或
5 5

【解析】
【分析】（1）当t = 2 秒时，M 表示的数是-8 + 2´ 4 = 0 ，N 表示的数是18 - 3´ 2 = 12 ，即的 M、N 两点在折线数轴上的和谐距离 MN 为|12 - 0 |= 12 ；

（2） 当点 M、N 都运动到折线段O - B - C 上，即t ³ 2 时，M 表示的数是
4 ´ (t - 2) = 2t - 4 ，N 表示的
2

数是12 - 3(t - 2) = 18 - 3t ，而 M、N 两点相遇时，M、N 表示的数相同，即得 2t - 4 = 18 - 3t ，可解得答案；
（3） 根据 M、N 两点在折线数轴上的和谐距离为 4 个单位长度，得| 2t - 4 - (18 - 3t) |= 4 ，可解得t = 26
5

18
或t = ，由t = 2 时，M 运动到 O，同时 N 运动到 C，可知t < 2 时，不存在 M、O 两点在折线数轴上的
5
和谐距离与 N、B 两点在折线数轴上的和谐距离相等，当 2 £ t £ 8 ，即 M 在从点 O 运动到点 C 时，有
2t - 4 =| 6 - (18 - 3t) |，可解得t = 8 或t = 16 ，当8 < t £ 26 时，M 在从 C 运动到 D，速度变为 4 个单位/
5 3
秒，不存在 M、O 两点在折线数轴上的和谐距离与 N、B 两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案．
【小问 1 详解】

当t = 2 秒时，M 表示的数是-8 + 2´ 4 = 0 ，N 表示的数是18 - 3´ 2 = 12 ，
∴M、N 两点在折线数轴上的和谐距离 MN 为|12 - 0 |= 12 ， 故答案为：12；
【小问 2 详解】

由（1）知，2 秒时 M 运动到 O，N 运动到 C，
∴当点 M、N 都运动到折线段O - B - C 上，即t ³ 2 时，M 表示的数是
12 - 3(t - 2) = 18 - 3t ，

4 ´ (t - 2) = 2t - 4 ，N 表示的数是
2

∴O、M 两点间的和谐距离| OM |=| 2t - 4 - 0 |= 2t - 4 ，C、N 两点间的和谐距离
| CN |=|12 - (18 - 3t) |= 3t - 6 ，
∵M、N 两点相遇时，M、N 表示的数相同，
∴ 2t - 4 = 18 - 3t ，
=
22
解得t ，
5
故答案为： 2t - 4 ， 3t - 6 ， 22 ；
5

【小问 3 详解】
∵M、N 两点在折线数轴上的和谐距离为 4 个单位长度，
∴| 2t - 4 - (18 - 3t) |= 4 ，即| 5t - 22 |= 4 ，
∴ 5t - 22 = 4 或5t - 22 = -4 ，

26 18
解得t = 或t = ，
5 5

由（1）知， t = 2 时，M 运动到 O，同时 N 运动到 C，
∴ t < 2 时，不存在 M、O 两点在折线数轴上的和谐距离与 N、B 两点在折线数轴上的和谐距离相等， 当 2 £ t £ 8 ，即 M