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第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第1 1页页1.1 随机事件及其运算1.2 概率的定义及其确定方法1.3 概率的性质1.4 条件概率1.5 独立性 第一章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第2 2页页2.随机现象1.1.1 1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象1.确定性现象 每天早晨太阳从东方升起;水在标准大气压下加温到100oC沸腾;掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？一天内进入某超市的顾客数;某种型号电视机的寿命;1.1 随机事件及其运算第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第3 3页页1.1.1 随机现象随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.特点：1.结果不止一个;2.事先不知道哪一个会出现.随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果 会表现出一定的规律性，这种规律性称之为 统计规律性.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第4 4页页1.随机试验 (E)对随机现象进行的实验与观察.它具有两个特点：随机性、重复性.2.样本点 随机试验的每一个可能结果.3.样本空间()随机试验的所有样本点构成的集合.4.两类样本空间：离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个.连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.1.1.2 样本空间第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第5 5页页1.随机事件 某些样本点组成的集合,的子集，常用A、B、C表示.3.必然事件 ()4.不可能事件 ()空集.5.随机变量 表示随机现象结果的变量.常用大写字母 X、Y、Z 表示.2.基本事件 的单点集.1.1.3 随机事件第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第6 6页页表示随机现象结果的变量.常用大写字母 X、Y、Z 表示.1.1.4 随机变量第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第7 7页页在试验中，A中某个样本点出现了，就说 A 出现了、发生了，记为A.维恩图(Venn).事件的三种表示 用语言、用集合、用随机变量.事件的表示第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第8 8页页包含关系：A B,A 发生必然导致 B 发生.相等关系:A=B A B 而且 B A.互不相容：A 和 B不可能同时发生.1.1.5 事件间的关系第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第9 9页页解：1)显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;.2)又因为A发生必然导致B发生，所以 AB，由此得 A=B.例1.1.1 口袋中有a 个白球、b 个黑球，从中一个一个不返 回地取球。A=“取到最后一个是白球”，B=“取到最后一段是白球”。问 A 与 B 的关系？第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第1010页页并：A B A 与 B 至少有一发生 交：A B =AB A 与 B 同时发生 差：A B A发生但 B不发生 对立：A 不发生1.1.6 事件的运算第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第1111页页事件运算的图示 A B A B A B 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第1212页页德莫根公式第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第1313页页 记号 概率论 集合论 样本空间,必然事件 空间 不可能事件 空集 样本点 元素 AB A发生必然导致B发生 A是B的子集 AB=A与B互不相容 A与B无相同元素 AB A与B至少有一发生 A与B的并集 AB A与B同时发生 A与B的交集 AB A发生且B不发生 A与B的差集 A不发生、对立事件 A的余集第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第1414页页 基本事件互不相容，基本事件之并=注意点(1)第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第1515页页注意点(2)第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第1616页页 若 A1，A2，An 有 1.Ai互不相容；2.A1A2 An=则称 A1，A2，An 为的一组分割.样本空间的分割第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第1717页页1.若A 是 B 的子事件，则 AB=()，AB=()2.设 A 与B 同时出现时 C 也出现，则()AB 是 C 的子事件；C 是 AB 的子事件；AB 是 C 的子事件；C 是 AB 的子事件.课堂练习BA第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第1818页页 3.设事件 A=“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则 A 的对立事件为（）甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲、乙两种产品均畅销；甲种产品滞销；甲种产品滞销或者乙种产品畅销.4.设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系 A=|xa|，B=x a A=x20，B=x22 A=x22，B=x19AB相容不相容第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第1919页页5.试用A、B、C 表示下列事件：A 出现；仅 A 出现；恰有一个出现；至少有一个出现；至多有一个出现；都不出现；不都出现；至少有两个出现；第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第2020页页 设为样本空间，F 是由的子集组成的集合 类，若F 满足以下三点,则称 F 为事件域1.1.7 事件域1.F;2.若 AF，则 F;3.若 AnF，n=1,2,则 F.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第2121页页直观定义 事件A 出现的可能性大小.统计定义 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.古典定义；几何定义.1.2 概率的定义及其确定方法第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第2222页页非负性公理：P(A)0;正则性公理：P()=1;可列可加性公理：若A1,A2,An 互不相容，则1.2.1 概率的公理化定义第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第2323页页从 n 个元素中任取 r 个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序.全排列：Pn=n!0!=1.重复排列：nr选排列：1.2.2 排列与组合公式第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第2424页页组 合组合：重复组合：第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第2525页页 求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.注 意第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第2626页页加法原理 完成某件事情有 n 类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法.乘法原理 完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第2727页页随机试验可大量重复进行.1.2.3 确定概率的频率方法进行n次重复试验，记 n(A)为事件A的频数，称 为事件A的频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第2828页页 古典方法 设 为样本空间，若 只含有限个样本点;每个样本点出现的可能性相等，则事件A的概率为:P(A)=A中样本点的个数/样本点总数1.2.4 确定概率的古典方法第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第2929页页抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 1=(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)此样本空间中的样本点等可能.2=(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)此样本空间中的样本点不等可能.注 意第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第3030页页例1.2.1 六根草，头两两相接、尾两两相接。求成环的概率.解：用乘法原则直接计算所求概率为第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第3131页页n 个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.2第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第3232页页n个人坐成一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意：请与上一题作比较)解：1)先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n1)种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3)甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：例1.2.3第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第3333页页1.2.5 确定概率的几何方法 若 样本空间充满某个区域，其度量(长度、面 积、体积)为S；落在中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量SA有关，而与子区域的位置无关(等可能的).则事件A的概率为:P(A)=SA/S第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第3434页页几何方法的例子 例1.2.3 蒲丰投针问题 平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l 的针，求针与平行线相交的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第3535页页蒲丰投针问题(续1)解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以表示针与此直线间的交角.易知样本空间满足：0 x d/2;0 .形成x-平面上的一个矩形，其面积为：S=d(/2).第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第3636页页蒲丰投针问题(续2)A=“针与平行线相交”的充要条件是:x l sin(/2).针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第3737页页由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线相交的概率为:2l/d.而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平行线相交，则频率为:n/N.用频率代替概率得：2lN/(dn).历史上有一些实验数据.的随机模拟第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第3838页页蒲丰投针问题的推广平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形与平行线相交的概率 分析：三角形与平行线相交有以下三种情况：1)一个顶点在平行线上;2)一条边与平行线重合;3)两条边与平行线相交.前两种情况出现的概率为零.所以只要去确定两条边与平行线相交的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第3939页页解：记Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分别为边ab,ac,bc,a,b,c与平行线相交的概率，则所求概率为 p=P(三角形与平行线相交)=Pab+Pac+Pbc.由蒲丰投针问题知Pa=2a/(d),Pb=2b/(d),Pc=2c/(d).因为 Pa=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc 所以 Pa+Pb+Pc=2(Pab+Pac+Pbc),由此得 p=Pab+Pac+Pbc=(Pa+Pb+Pc)/2=(a+b+c)/(d).第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第4040页页 性质1.3.1 P()=0.注意:逆不一定成立.1.3 概率的性质第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第4141页页性质1.3.2(有限可加性)若AB=，则P(AB)=P(A)+P(B).可推广到 n 个互不相容事件.性质1.3.3(对立事件公式)P()=1P(A).1.3.1 概率的可加性第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第4242页页性质1.3.4 若AB，则 P(AB)=P(A)P(B)；若AB，则 P(A)P(B).性质1.3.5 P(AB)=P(A)P(AB).1.3.2 概率的单调性第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第4343页页 (6)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)1.3.3 概率的加法公式第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第4444页页 AB=，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，求 B 的对立事件的概率。解：由 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)例1.3.1 得 P(B)=P(AB)P(A)=0.80.6=0.2，所以 P()=10.2=0.8.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第4545页页例1.3.2解：因为 P(AB)=P(A)P(AB)，所以先求 P(AB)由加法公式得 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.4+0.30.6=0.1 所以 P(AB)=P(A)P(AB)=0.3 P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6，求 P(AB).第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第4646页页例1.3.3解：因为A、B、C 都不出现的概率为=1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)=11/41/41/4+0+1/6+1/60=15/12=7/12 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求 A、B、C 都不出现的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第4747页页口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率.利用对立事件解：记A为“第k 次取到黑球”，则A的对立事件为“第k 次取到白球”.而“第k 次取到白球”意味着：“第1次第k1次取到黑球，而第k 次取到白球”第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第4848页页思 考 题 口袋中有2个白球，每次从口袋中随 机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第4949页页例1.3.4解：用对立事件进行计算,记 A=“至少出现一次6点”，则所求概率为 一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第5050页页例1.3.5解：记 B=“至少出现一次双6点”，则所求概率为 两颗骰子掷 24 次，求至少出现一次 双6点 的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第5151页页从 1,2,9中返回取n次，求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.利用对立事件和加法公式解：因为“乘积能被10整除”意味着：“取到过5”(记为A)且 “取到过偶数”(记为B)。因此所求概率为 P(AB).利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第5252页页甲掷硬币n+1次，乙掷n次.(习题1.3第10题)求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.利用对称性解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数.甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数.因为 P(甲正乙正)=P(n+1-甲反 n-乙反)=P(甲反-1乙正)(对称性)所以 2P(甲正乙正)=1,由此得 P(甲正乙正)=1/2第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第5353页页N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.(口袋中有M 个白球，NM 个黑球)常见模型(1)不返回抽样从中不返回任取n 个,则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：此模型又称 超几何模型.n N,m M,nmNM.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第5454页页口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.从中不返回任取3 个.求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.思 考 题第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第5555页页购买：从01，35 中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码.彩票问题幸运35选7第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第5656页页中奖规则 1)7个基本号码 2)6个基本号码+1个特殊号码 3)6个基本号码 4)5个基本号码+1个特殊号码 5)5个基本号码 6)4个基本号码+1个特殊号码 7)4个基本号码，或 3个基本号码+1个特殊号码 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第5757页页中奖概率 中所含样本点个数：将35个号分成三类：7个基本号码、1个特殊号码、27个无用号码记 pi 为中i 等奖的概率。利用抽样模型得：第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第5858页页中奖概率如下：不中奖的概率为：p0=1p1p2p3p4p5p6 p7第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第5959页页 N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.从中有返回地任取n 个.则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：常见模型(2)返回抽样条件：m n,即 m=0,1,2,n.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第6060页页n 个不同球放入 N 个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限.求恰有n 个盒子中各有一球的概率(nN)常见模型(3)盒子模型第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第6161页页求n 个人中至少有两人生日相同的概率.看成 n 个球放入 N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少两人生日相同)=生日问题p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第6262页页n 个人、n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.记 Ai=“第 i 个人拿对自己的帽子”，i=1,n.求 P(A1A2An)，不可用对立事件公式.用加法公式：常见模型(4)配对模型第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第6363页页P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n1),P(AiAjAk)=1/n(n1)(n2),P(A1A2An)=1/n!P(A1A2An)=配对模型(续)第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第6464页页因为概率是事件(集合)的函数，所以先讨论事件(集合)的“极限”.本节给出可列可加性的充要条件.1.3.4 概率的连续性第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第6565页页若事件序列Fn满足：F1 F2 Fn 则称Fn为单调不减事件序列，其极限事件为事件序列的极限若事件序列Fn满足：F1F2 Fn 则称Fn为单调不增事件序列，其极限事件为第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第6666页页 设P()是一个集合函数，(1)若任对单调不减集合序列Fn，有 则称P()是下连续的.集合函数的连续性 (2)若任对单调不增集合序列Fn，有 则称P()是上连续的.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第6767页页 性质1.3.7 若P()是事件域F上的一个概率函数，则P()既是下连续的，又是上连续的.概率的连续性第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第6868页页性质1.3.8若P()是事件域F上满足：非负、正则的集合函数，则P()有可列可加性的充要条件是它具有有限可加性和下连续性.可列可加性的充要条件第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第6969页页问题的提出：1)10个人摸彩，有3张中彩.问：第1个人中彩的概率为多少？第2个人中彩的概率为多少？2)10个人摸彩，有3张中彩.问：已知第l个人没摸中，第2个人中彩的概率为多少？1.4 条件概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第7070页页 定义1.4.1 对于事件A、B，若 P(B)0，则称 P(A|B)=P(AB)/P(B)为在 B 出现的条件下，A 出现的条件概率.1.4.1 条件概率的定义第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第7171页页 1)缩减样本空间：将 缩减为B=B.2)用定义：P(A|B)=P(AB)/P(B).条件概率 P(A|B)的计算第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第7272页页 10个产品中有7个正品、3个次品，从中 不放回地抽取两个，已知第一个取到次 品，求第二个又取到次品的概率.P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9 解：设 A=第一个取到次品，B=第二个取到次品，例1.4.1第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第7373页页条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理.由此得：P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)；若 A 与 B 互不相容，则P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)；P(|B)=1 P(A|B).条件概率是概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第7474页页P(|B)=1;P(B|)1;P(A|)=P(A);P(A|A)=1.注 意 点第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第7575页页(1)设P(B)0，且AB，则下列必然成立的是()P(A)P(A|B)P(A)P(A|B)(2)P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P(B|A)=0.4,则 P(B)=().课堂练习第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第7676页页乘法公式;全概率公式；贝叶斯公式.条件概率的三大公式第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第7777页页性质1.4.2 (1)若 P(B)0，则 P(AB)=P(B)P(A|B)；若 P(A)0，则 P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若 P(A1A2 An1)0，则 P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2 An1)1.4.2 乘法公式第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第7878页页乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.一批零件共有100个，其中10个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：记 Ai=“第i 次取出的是不合格品”Bi=“第i 次取出的是合格品”,目的求 P(B1B2A3)用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=乘法公式的应用第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第7979页页性质1.4.3 若事件B1,B2,Bn是样本空间的一组分割，且 P(Bi)0，则1.4.3 全概率公式第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第8080页页全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件 来“分割”样本空间.全概率公式最简单的形式：注意点(1)第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第8181页页若事件B1,B2,Bn是互不相容的，且 P(Bi)0，注意点(2)则由 可得 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第8282页页 设10 件产品中有 3 件不合格品，从中 不放回地取两次，每次一件，求取出 的第二件为不合格品的概率。解：设 A=“第一次取得不合格品”，B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：=(3/10)(2/9)+(7/10)(3/9)=3/10例1.4.2第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第8383页页 n 张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸 取，记 Ai为“第 i 次摸到中奖券”，则 (1)P(A1)=1/n.(2)可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n.(3)可用归纳法计算得 P(Ai)=1/n,i=1,2,n.摸 彩 模 型第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第8484页页n 张彩票中有 k 张中奖，从中不返回地摸取，记 Ai 为“第 i 次摸到奖券”，则 P(Ai)=k/n,i=1,2,n结论：不论先后，中彩机会是一样的.摸 彩 模 型(续)第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第8585页页 口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情况下，求第k次取出的是白球的概率：(1)从中一只一只返回取球；(2)从中一只一只不返回取球；(3)从中一只一只返回取球，且 返回的同时再加入一只同色球.思 考 题第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第8686页页 罐中有 b 个黑球、r 个红球，每次从中任取一个，取出后将球放回，再加入c 个同色球和 d 个异色球.(1)当 c=1,d=0 时，为不返回抽样.(2)当 c=0,d=0 时，为返回抽样.(3)当 c 0,d=0 时，为传染病模型.(4)当 c=0,d 0 时，为安全模型.波利亚罐子模型第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第8787页页 记 pk(b,r)为“口袋中有b个黑球、r个红球时，第k 次取出黑球”的概率，k=1,2,(1)当 c=1,d=0 时为不返回抽样，所以由摸彩模型 得：pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,(2)当 c=0,d=0 时为返回抽样，所以 pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,(3)当 c 0,d=0 时，为传染病模型。此时pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,波利亚罐子模型(续)第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第8888页页甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑球.从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后 从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白 球的概率.概率为：全概率公式的例题第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第8989页页甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白 球、m只黑球.从甲口袋任取两球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球的概率.以上是甲、乙两口袋的球数不同，如果两口袋装的黑、白球个数都相同，则情况又如何？思 考 题第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第9090页页要调查“敏感性”问题中某种比例 p；两个问题：A：生日是否在7月1日前？B：是否考试作弊？抛硬币回答A或B.答题纸上只有：“是”、“否”.可用全概率公式分析“敏感性”问题.敏感性问题的调查第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第9191页页乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；贝叶斯公式是已知“最后结果”，求“原因”的概率.1.4.4 贝叶斯公式第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第9292页页 某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率.（1/6，2/6，3/6）已知“结果”，求“原因”第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第9393页页若事件B1,B2,Bn是样本空间的一组分割，且P(A)0,P(Bi)0，则贝叶斯（Bayes）公式 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第9494页页 1)B1,B2,.,Bn可以看作是导致A发生的原因;2)P(Bj|A)是在事件A发生的条件下,某个原因Bj 发生的概率,称为“后验概率”;3)Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”;4)称P(Bj)为“先验概率”.注 意 点第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第9595页页例1.4.3 某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%,2%,4%.若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率?解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设 Ai=“取到第i 个工厂的产品”，B=“取到次品”，由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.=0.4由Bayes公式得:第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第9696页页 口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大？课堂练习2/3第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第9797页页 事件的独立性 直观说法：对于两事件，若其中任何一个 事件的发生不影响另一个事件的发生，则这两事件是独立的.P(A|B)=P(A)P(AB)/P(B)=P(A)P(AB)=P(A)P(B)1.5 独立性第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第9898页页定义1.5.1 若事件 A 与 B 满足：P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立，简称A与B独立.结论 A、B 为两个事件，若 P(A)0,则 A 与 B 独立等价于 P(B|A)=P(B).性质1.5.1 若事件A与B独立，则 A 与 独立、与 B独立、与 独立.1.5.1 两个事件的独立性第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 华东师范大学华东师范大学11/6/202411/6/2024第第9999页页 实际应用中，往往根据经验来判断两个事件 的独立性：例如 返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等.事件独立性的判断第一章第一章 随机