高考数学复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT.pptx

第七节正弦定理和余弦定理1/32总纲目录教材研读1.正弦定理和余弦定理考点突破2.在ABC中,已知a、b和A时,解情况3.三角形面积考点二充分条件、必要条件判断考点一四种命题相互关系及真假判断考点三充要条件应用2/32定理正弦定理余弦定理内容=2R(R是ABC外接圆半径)a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC变形形式(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=,sinB=,sinC=;(3)abc=sinA sinB sinC;(4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,cosA=;cosB=;cosC=应用类型(1)已知两角和任一边,求另一角和其它两条边;(2)已知两边和其中一边对角,求另一边和其它两角(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们夹角,求第三边和其它两角1.正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理教材研读教材研读3/322.在在ABC中中,已知已知a、b和和A时时,解情况解情况上表中,若A为锐角,当absinA时无解;若A为钝角或直角,当ab时无解.A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinAab解个数一解一解两解两解一解一解一解一解4/323.三角形面积三角形面积设ABC角A、B、C所正确边分别为a、b、c,其面积为S.(1)S=ah(h为BC边上高).(2)S=absinC=acsinB=bcsinA.5/321.在ABC中,a=3,b=5,sinA=,则sinB=()A.B.C.D.1B答案答案B依据=,有=,得sinB=.故选B.6/322.在ABC中,若a=2,c=4,B=60,则b等于()A.2B.12C.2D.28答案答案A由b2=a2+c2-2accosB,得b2=4+16-8=12,所以b=2.A7/323.在ABC中,化简bcosC+ccosB结果为()A.aB.bC.cD.b答案答案AbcosC+ccosB=b+c=+=a.A8/324.在ABC中,角A,B,C所正确边分别为a,b,c,若a=,b=3,c=2,则A=()A.B.C.D.答案答案C易知cosA=,又A(0,),A=.故选C.C9/325.在非钝角ABC中,2bsinA=a,则B=.答案答案解析解析由正弦定理得bsinA=asinB,所以2bsinA=2asinB=a,即sinB=,又B非钝角,所以B=.10/326.在ABC中,a=3,b=2,cosC=,则ABC面积为.答案答案4解析解析cosC=,sinC=.SABC=absinC=32=4.11/32典例典例1(1)(课标全国,11,5分)ABC内角A、B、C对边分别为a、b、c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=()A.B.C.D.(2)(课标全国,15,5分)ABC内角A,B,C对边分别为a,b,c.已知C=60,b=,c=3,则A=.(3)(课标全国,16,5分)ABC内角A,B,C对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.考点一利用正、余弦定了解三角形考点一利用正、余弦定了解三角形考点突破考点突破12/32答案答案(1)B(2)75(3)60解析解析(1)因为sinB+sinA(sinC-cosC)=0,所以sin(A+C)+sinAsinC-sinAcosC=0,所以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,整理得sinC(sinA+cosA)=0,因为sinC0,所以sinA+cosA=0,所以tanA=-1,因为A(0,),所以A=,由正弦定理得sinC=,又0Cb,B=45,A=75.(3)解法一:由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即sin2B=sin(A+C),即sin2B=sin(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2b=a+c,即b=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cosB=,又0B180,所以B=60.14/32方法技巧方法技巧应用正弦、余弦定理解题技巧(1)求边:利用公式a=,b=,c=或其它对应变形公式求解.(2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sinA=,sinB=,sinC=或其它对应变形公式求解.(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子特点转化.如出现a2+b2-c2=ab形式用余弦定理,等式两边是关于边或角正弦齐次式用正弦定理.15/321-1(课标全国,4,5分)ABC内角A,B,C对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cosA=,则b=()A.B.C.2D.3答案答案D由余弦定理,得4+b2-22bcosA=5,整理得3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-(舍去),故选D.D16/321-2(课标全国,15,5分)ABC内角A,B,C对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.答案答案解析解析由cosC=,0C,得sinC=.由cosA=,0A,得sinA=.所以sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=,依据正弦定理得b=.17/32典例典例2在ABC中,若a2+b2-c2=ab,且2cosAsinB=sinC,试判断ABC形状.考点二判断三角形形状考点二判断三角形形状解析解析解法一:利用边关系来判断.由正弦定理得=,由2cosAsinB=sinC,有cosA=.又由余弦定理得cosA=,所以=,即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.又因为a2+b2-c2=ab.所以2b2-c2=b2,所以b2=c2,所以b=c,所以a=b=c.所以ABC为等边三角形.18/32解法二:利用角关系来判断.因为A+B+C=180,所以sinC=sin(A+B),又因为2cosAsinB=sinC,所以2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以sin(A-B)=0.又因为A与B均为ABC内角,所以A=B,因为a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cosC=,又0C180,所以C=60,所以ABC为等边三角形.19/32易错警示易错警示判定三角形形状两种惯用路径提醒“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边对应关系;“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角关系.20/322-1设ABC内角A,B,C所正确边分别为a,b,c,若acosA=bcosB,则ABC形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案答案D由条件及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B,又A、B均为ABC内角,所以2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B=.所以ABC为等腰三角形或直角三角形.D21/32典例典例3(课标全国,17,12分)ABC内角A,B,C对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,ABC面积为2,求b.考点三与三角形面积相关问题考点三与三角形面积相关问题22/32解析解析(1)由题设及A+B+C=得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=.(2)由cosB=得sinB=,故SABC=acsinB=ac.又SABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2=4.所以b=2.23/32方法技巧方法技巧(1)对于面积公式S=absinC=acsinB=bcsinA,普通是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积相关问题,普通要用到正弦定理或余弦定理进行边和角转化.24/32同类练同类练在ABC中,内角A,B,C对边长分别为a,b,c,且(2b-c)cosA=acosC.(1)求角A大小;(2)若a=3,b=2c,求ABC面积.25/32解析解析(1)由(2b-c)cosA=acosC,得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA,得2sinBcosA=sin(A+C),所以2sinBcosA=sinB,因为0B,所以sinB0,所以cosA=,因为0A,所以A=.(2)因为a=3,b=2c,由(1)知A=,所以cosA=,解得c=,26/32所以b=2.所以SABC=bcsinA=2=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2=4.所以b=2.27/32变式练变式练(河北石家庄质检)ABC内角A,B,C对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC面积为,求ABC周长.28/32解析解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.可得cosC=,所以C=.(2)由已知,得absinC=.又C=,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以ABC周长为5+.29/32深化练深化练在ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,且c(asinB-bcosA)=a2-b2.(1)求B;(2)若b=3,求ABC面积最大值.30/32解析解析(1)c(asinB-bcosA)=a2-b2acsinB-bc=a2-b2acsinB=,b2=a2+c2-2accosB,=accosB,acsinB=accosB,即tanB=1,又0B,B=.31/32(2)由b=3及b2=a2+c2-2accosB得ac=a2+c2-92ac-9,(2-)ac9,ac=(2+),SABC=acsinB=ac(2+)=(+1).32/32