高考数学复习第十一章推理与证明11.1合情推理与演绎推理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件.pptx

高考数学高考数学(江苏省专用)第十一章推理与证实11.1合情推理与演绎推理1/44(江苏,23,10分,0.105)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN*),设Sn=(a,b)|a整除b或b整除a,aX,bYn.令f(n)表示集合Sn所含元素个数.(1)写出f(6)值;(2)当n6时,写出f(n)表示式,并用数学归纳法证实.A A组组 自主命题自主命题江苏卷题组江苏卷题组五年高考2/44f(n)=(tN*).下面用数学归纳法证实:当n=6时,f(6)=6+2+=13,结论成立;假设n=k(k6)时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk基础上新增加元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3解析解析(1)f(6)=13.(2)当n6时,3/44=k+2+3=(k+1)+2+,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1=(k+1)+2+,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+24/44=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1=(k+1)+2+,结论成立.总而言之,结论对满足n6自然数n均成立.易错警示易错警示因为f(n)表示式是分段形式,所以n由k变成k+1时需要验证分段表示式中不一样形式.5/44考点一合情推理考点一合情推理1.(课标全国文改编,9,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师问询成语竞赛成绩.老师说:你们四人中有2位优异,2位良好,我现在给甲看乙、丙成绩,给乙看丙成绩,给丁看甲成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我成绩.依据以上信息,则以下四种说法正确是.乙能够知道四人成绩;丁能够知道四人成绩;乙、丁能够知道对方成绩;乙、丁能够知道自己成绩.B B组组统一命题统一命题省省(区、市区、市)卷题组卷题组答案答案6/44解析解析本题主要考查逻辑推理能力.由题意可知,“甲看乙、丙成绩,不知道自己成绩”说明乙、丙两人是一个优异一个良好,则乙看了丙成绩,能够知道自己成绩,丁看了甲成绩,也能够知道自己成绩.故正确.2.(北京文,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员组成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数两倍多于男学生人数.若教师人数为4,则女学生人数最大值为;该小组人数最小值为.答案答案6127/44解析解析设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,由已知得且x,y,z均为正整数.当z=4时,8xy4,x最大值为7,y最大值为6,故女学生人数最大值为6.xyz,当x=3时,条件不成立,当x=4时,条件不成立,当x=5时,5yz,此时z=3,y=4.该小组人数最小值为12.3.(山东,11,5分)观察以下各式:=40;+=41;+=42;+=43;照此规律,当nN*时,+=.8/44答案答案4n-1解析解析由题知+=4n-1.4.(山东,12,5分)观察以下等式:+=12;+=23;+=34;+=45;照此规律,+=.9/44答案答案解析解析观察前4个等式,由归纳推理可知+=n(n+1)=.10/44考点二演绎推理考点二演绎推理1.(北京理,14,5分)三名工人加工同一个零件,他们在一天中工作情况如图所表示,其中点Ai横、纵坐标分别为第i名工人早晨工作时间和加工零件数,点Bi横、纵坐标分别为第i名工人下午工作时间和加工零件数,i=1,2,3.记Qi为第i名工人在这一天中加工零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大是;记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工零件数,则p1,p2,p3中最大是.11/44答案答案Q1p2解析解析本题考查推理基础知识和直线斜率,考查转化与化归思想及分析问题和处理问题能力.设线段AiBi中点为Ci(xi,yi).由题意知Qi=2yi,i=1,2,3,由题图知y1最大,所以Q1,Q2,Q3中最大是Q1.由题意知pi=,i=1,2,3.几何意义为点Ci(xi,yi)与原点O连线斜率.比较OC1,OC2,OC3斜率,由题图可知OC2斜率最大,即p2最大.12/442.(课标全国,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙卡片后说:“我与乙卡片上相同数字不是2”,乙看了丙卡片后说:“我与丙卡片上相同数字不是1”,丙说:“我卡片上数字之和不是5”,则甲卡片上数字是.答案答案1和3解析解析丙卡片上数字之和不是5,则丙有两种情况:丙卡片上数字为1和2,此时乙卡片上数字为2和3,甲卡片上数字为1和3,满足题意;丙卡片上数字为1和3,此时乙卡片上数字为2和3,甲卡片上数字为1和2,这时甲与乙卡片上有相同数字2,与已知矛盾,故情况不符合,所以甲卡片上数字为1和3.疑难突破疑难突破先对丙分类讨论,确定出丙卡片上数字情况再确定乙、甲是处理问题关键.评析评析本题主要考查推理,考查学生分析、处理问题能力,先确定丙卡片上情况再确定乙、甲是问题突破口,注意对丙分类讨论.13/443.(北京改编,8,5分)学生语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优异”“合格”“不合格”.若学生甲语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中最少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.假如一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,而且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同两位学生,那么这组学生最多有人.答案答案3解析解析设学生人数为n,因为成绩评定只有“优异”“合格”“不合格”三种情况,所以当n4时,语文成绩最少有两人相同,若此两人数学成绩也相同,与“任意两人成绩不全相同”矛盾;若此两人数学成绩不一样,则此两人有一人比另一人成绩好,也不满足条件.所以:n4,即n3.当n=3时,评定结果分别为“优异,不合格”“合格,合格”“不合格,优异”,符合题意,故n=3.14/444.(北京理改编,8,5分)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占二分之一.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,假如这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,不然就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中全部球都被放入盒中,则乙盒中红球个数a与丙盒中黑球个数b大小关系为.答案答案a=b解析解析设袋中共有2n个球,最终放入甲盒中k个红球,放入乙盒中s个红球.依题意知,甲盒中有(n-k)个黑球,乙盒中共有k个球,其中红球有s个,黑球有(k-s)个,丙盒中共有(n-k)个球,其中红球有(n-k-s)个,黑球有(n-k)-(n-k-s)=s个.所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多.评析评析本题考查推理与论证能力,对考生综合与分析能力要求较高.15/445.(重庆理,22,12分)对正整数n,记In=1,2,n,Pn=.(1)求集合P7中元素个数;(2)若Pn子集A中任意两个元素之和不是整数平方,则称A为“稀疏集”.求n最大值,使Pn能分成两个不相交稀疏集并.16/44解析解析(1)当k=4时,中有3个数与I7中3个数重复,所以P7中元素个数为77-3=46.(2)先证当n15时,Pn不能分成两个不相交稀疏集并.若不然,设A,B为不相交稀疏集,使AB=PnIn.不妨设1A,则因1+3=22,故3A,即3B.同理6A,10B,又推得15A,但1+15=42,这与A为稀疏集矛盾.再证P14符合要求.当k=1时,=I14可分成两个稀疏集之并,实际上,只要取A1=1,2,4,6,9,11,13,B1=3,5,7,8,10,12,14,则A1,B1为稀疏集,且A1B1=I14.当k=4时,集中除整数外剩下数组成集,可分解为下面两稀疏集并:A2=,B2=.当k=9时,集中除正整数外剩下数组成集,可分解为下面两稀疏集并:A3=,17/44B3=.最终,集C=mI14,kI14,且k1,4,9中数分母均为无理数,它与P14中任何其它数之和都不是整数,所以,令A=A1A2A3C,B=B1B2B3.则A和B是不相交稀疏集,且AB=P14.综上,所求n最大值为14.注:对P14分拆方法不是唯一.评析评析本题是新定义问题,考查了阅读能力、分析问题、处理问题能力,难度较大,要求较高.18/44(陕西,14,5分)观察分析下表中数据:猜测普通凸多面体中F,V,E所满足等式是.多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812C C组组 教师专用题组教师专用题组答案答案F+V-E=2解析解析观察表中数据,并计算F+V分别为11,12,14,又其对应E分别为9,10,12,轻易观察并猜测F+V-E=2.19/44一、填空题(每小题5分,共20分)1.(江苏新海高级中学月考,11)已知“整数对”按以下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),则第60个“整数对”是.三年模拟A A组组 高考模拟高考模拟基础题组基础题组(时间：35分钟 分值：55分)答案答案(5,7)解析解析把“整数对”中两个数字和相同分为一组,得知第n组中每个“整数对”中两个数字和均为n+1,且第n组共有n个“整数对”,则前n组一共有个“整数对”,注意到600有各种解法,其中有一个解法以下:在同一直角坐标系中作出y=x+1和y=x2-4x+3图象,然后进行求解.请类比上述解法,求解以下问题:设a,bZ,若对任意x0,都有(ax+2)(x2+2b)0,则a+b=.答案答案-121/44解析解析在同一坐标系中画出y=ax+2和y=x2+2b图象,若对任意x0,都有(ax+2)(x2+2b)0,则两个图象应如图所表示.则由a,bZ得a+b=-1.22/443.(江苏姜堰联考,13)把正整数按一定规律排成了如图所表示三角形数表,设aij(i,jN*)是这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若aij=2015,则i+j=.12,43,5,76,8,10,129,11,13,15,1714,16,18,20,22,24答案答案11023/44解析解析由三角形数表能够看出,奇数行中数都是奇数,偶数行中数都是偶数,2015=21008-1,所以2015为第1008个奇数,又每一行中奇数个数就是行数,且前31个奇数行内奇数个数和为311+2=961,前32个奇数行内奇数个数和为321+2=1024,故2015在第32个奇数行内,所以i=63,因为第31个奇数行最终一个奇数是9612-1=1921,所以第63行第一个数为1923,所以2015=1923+2(j-1),故j=47,从而i+j=63+47=110.4.(江苏徐州适应性训练,7)在平面中,ABC中CE平分ACB,则CE分ABC面积所成比=.将这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中,平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于点E,则类比得到结论为=.答案答案24/44解析解析由已知条件得在图(1)中:点E到边AC和边BC距离相等,所以=;类比知在图(2)中:点E到平面ACD和平面BCD距离相等,设为h,所以=.25/44二、解答题(共35分)5.(江苏赣榆高级中学月考,9)在ABC中,三个内角A、B、C对边分别为a、b、c,若+=,试问A,B,C是否成等差数列?若不成等差数列,请说明理由;若成等差数列,请给出证实.26/44解析解析A、B、C成等差数列.证实以下:+=,+=3.+=1,c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),b2=a2+c2-ac.在ABC中,由余弦定理,得cosB=,0B180,B=60,A+C=120=2B.A、B、C成等差数列.27/446.(江苏新海高级中学周练,21)数列an前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(nN*).证实:(1)数列是等比数列;(2)对于任意正整数n都有Sn+1=4an.证实证实(1)an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn.=2,故是以1为首项,2为公比等比数列.(2)由(1)可知=4(n2),Sn+1=4(n+1)=4Sn-1=4an(n2),又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.28/447.(江苏南京一中联考,20)已知两个无穷数列an,bn分别满足|an+1-an|=2,=4,且a1=1,b1=-1.(1)若数列an,bn都为递增数列,求数列an,bn通项公式;(2)若数列cn满足:存在唯一正整数r(rN*),使得cr+1cr,称数列cn为“梦r数列”.设数列an,bn前n项和分别为Sn,Tn.若数列an为“梦5数列”,求Sn;若an为“梦r1数列”,bn为“梦r2数列”,是否存在正整数m,使得Sm+1=Tm?若存在,求m最大值;若不存在,请说明理由.29/44解析解析(1)数列an,bn都为递增数列,an+1-an=2,b2=-2b1,bn+2=2bn+1,nN*,an=2n-1,bn=(2)数列an满足:存在唯一正整数r=5,使得ar+17,数列an中,(Sm+1)max=1+3+(2m+1)=(m+1)2,而数列bn中,bm必定为正,不然Tm=-1+b2+(-2m-1)=-1+21+2m-2+(-2m-1)=-30(m7),dm(m7)为递增数列,30/44d70,进而cm(m7)为递增数列,且c80,(Tm)min(Sm+1)max,不存在正整数m7,使得Sm+1=Tm.m6.当m=6时,结构an:1,3,1,3,5,7,9,bn:-1,2,4,8,-16,32,64,此时r1=2,r2=4,所以存在正整数m,使得Sm+1=Tm,且m最大值为6,对应r1=2,r2=4.31/44一、填空题(每小题5分,共20分)1.(江苏赣榆高级中学月考,12)将正奇数排列成以下形式,其中aij表示第i行第j个数(iN*,jN*),比如a32=9,若aij=2009,则i+j=.135791113151719B B组组 高考模拟高考模拟综合题组综合题组(时间：40分钟 分值：45分)答案答案6032/44解析解析2009是第1005个奇数,则1+2+3+(i-1)=1005,验证i=45时,式成立,所以i=45;易得出第45行第1个数是4445+1=1981,1981+2(j-1)=2009,j=15.2009是第45行第15个数,则i+j=60.2.(江苏扬州期中)以下是一个数表,第一行依次写着从小到大正整数,然后把每行相邻两个数和写在这两个数下方,得到下一行,数表从上到下与从左到右均为无限项,则这个数表中第13行第10个数为.1234567357911138121620242028364433/44答案答案216解析解析观察数表可知,每行数分别组成公差为20,21,22,23,等差数列,所以第13行公差为212.每行第一个数分别为1,3=2+120,8=22+221,20=23+322,故第13行第一个数为212+12211=7212,第10个数为7212+9212=16212=216.3.(江苏姜堰期中,12)过点P(-1,0)作曲线C:y=ex切线,切点为T1,设T1在x轴上投影是点H1,过点H1再作曲线C切线,切点为T2,设T2在x轴上投影是点H2,依此下去,得到第n(nN*)个切点Tn,则点T2015坐标为.答案答案(2014,e2014)34/44解析解析设T1(x1,),由y=ex得y=ex,故在T1处切线方程为y-=(x-x1),又切线过P(-1,0),所以0-=(-1-x1),从而x1=0,所以T1(0,1),所以H1(0,0),同理设T2(x2,),所以曲线在T2处切线方程为y-=(x-x2),因为切线过H1(0,0),所以0-=(0-x2),从而x2=1,即T2(1,e),所以H2(1,0),依此顺推得Tn(n-1,en-1),Hn(n-1,0),从而T2015(2014,e2014).35/444.(江苏如皋期末,9)设函数f(x)=(x0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=,f3(x)=f(f2(x)=,f4(x)=f(f3(x)=,依据以上事实,由归纳推理可得:当nN*且n2时,fn(x)=f(fn-1(x)=.答案答案36/44解析解析由f(x)=(x0)得,f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=,f3(x)=f(f2(x)=,f4(x)=f(f3(x)=,当n2且nN*时,fn(x)=f(fn-1(x)=.37/445.(苏锡常镇四市高三教学情况调研(二),20)已知数列an满足a1=1,an+1=,其中nN*,为非零常数.(1)若=3,=8,求证:an+1为等比数列,并求数列an通项公式;(2)若数列an是公差不等于零等差数列.求实数,值;数列an前n项和Sn组成数列Sn,从Sn中取不一样四项按从小到大排列组成四项子数列.试问:是否存在首项为S1四项子数列,使得该子数列中全部项之和恰好为2017?若存在,求出全部满足条件四项子数列;若不存在,请说明理由.二、解答题(共25分)38/44解析解析(1)当=3,=8时,an+1=3an+2,an+1+1=3(an+1),又a1+1=2,an+1是以2为首项,3为公比等比数列,an+1=23n-1,an=23n-1-1.(2)设数列an公差为d(d0),则an=a1+(n-1)d=dn-d+1,由an+1=得an+1(an+2)=+an+4,(dn-d+3)(dn+1)=(dn-d+1)2+(dn-d+1)+4,d2n2+(4d-d2)n-d+3=d2n2+2(1-d)+dn+(1-d)2+(1-d)+4对任意nN*恒成立.即=1,=4.39/44由知an=2n-1,则Sn=n2.假设存在满足条件四项子数列,由2017为奇数,知这四项三个奇数一个偶数或者一个奇数三个偶数.若三个奇数一个偶数,设S1,S2x+1,S2y+1,S2z是满足条件四项(x,y,zN*,xy),则1+(2x+1)2+(2y+1)2+4z2=2017,2(x2+x+y2+y+z2)=1007,这与1007为奇数矛盾,不合题意,舍去.若一个奇数三个偶数,设S1,S2x,S2y,S2z是满足条件四项(x,y,zN*且互不相等),则12+4x2+4y2+4z2=2017,x2+y2+z2=504.由504为偶数知,x,y,z中一个偶数两个奇数或者三个偶数.(i)若x,y,z中一个偶数两个奇数,不妨设x=2x1,y=2y1+1,z=2z1+1,则2(+y1+z1)=251,这与251为奇数矛盾.(ii)若x,y,z均为偶数,不妨设x=2x1,y=2y1,z=2z1,则+=126,继续奇偶分析知x1,y1,z1中两个奇数一个偶数,40/44不妨设x1=2x2,y1=2y2+1,z1=2z2+1,则+y2+z2=31.因为y2(y2+1),z2(z2+1)均为偶数,所以x2为奇数,不妨设0y2z2,当x2=1时,+y2+z2=30,+y214,检验得y2=0,z2=5,x2=1,当x2=3时,+y2+z2=22,+y210,检验得y2=1,z2=4,x2=3,当x2=5时,+y2+z2=6,+y22,检验得y2=0,z2=2,x2=5,即S1,S4,S8,S44或者S1,S12,S24,S36或者S1,S4,S20,S40满足条件,总而言之,S1,S4,S8,S44,S1,S12,S24,S36,S1,S4,S20,S40为满足条件四项子数列.思绪分析思绪分析(1)结构数列an+1,从而利用等比数列定义得以证实,进而求得通项公式;(2)设数列an公差为d,则可得an=dn-d+1,将an+1=变形为(dn-d+3)(dn+1)=(dn-d+1)2+(dn-d+1)+4,将其展开、整理可得出与值;假设存在满足条件四项子数列,然后对四个数奇偶进行讨论,分情况求解.41/446.(江苏盐城期中,20)各项均为正数数列an满足=pn+r(p,r为常数),其中Sn为数列an前n项和.(1)若p=1,r=0,求证:an是等差数列;(2)若p=,a1=2,求数列an通项公式;(3)若a2015=2015a1,求p,r值.42/44解析解析(1)证实:由p=1,r=0,得Sn=nan,所以Sn-1=(n-1)an-1(n2),两式相减,得an-an-1=0(n2),所以an是等差数列.(2)令n=1,得p+r=1,所以r=,则Sn=an,所以Sn-1=an-1(n2),两式相减,得=(n2),所以=,化简得=(n2),所以an=n2+n(n2),又a1=2=12+1,所以an=n2+n.(3)由(2)知r=1-p,所以Sn=(pn+1-p)an,所以Sn-1=(pn+1-2p)an-1(n2),两式相减,得p(n-1)an=(pn+1-2p)an-1(n2),易知p0,所以=(n2).当p=时,=(n2),所以=,43/44满足a2015=2015a1;当p时,因为p(n-1)an=(pn+1-2p)an-1(n2),且an0,所以p(n-1)anpnan-1(n2),即(n2),所以,不满足a2015=2015a1;当p且p0时,类似能够证实a2015=2015a1也不成立.总而言之,p=,r=.44/44