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第第0章章 基本知识基本知识一、什么是高等数学一、什么是高等数学?初等数学 研究对象为常量常量,以静止观点研究问题.高等数学 研究对象为变量变量,运动运动和辩证法辩证法进入了数学.数学中转折点转折点是笛卡儿变数变数.有了变数,运动运动进入了数学,有了变数，辩证法辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分微分和积分也就立刻成为必要了.恩格斯恩格斯第1页11.分析基础:函数,极限,连续 2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程二、主要内容二、主要内容多元微积分第2页2三、怎样学习高等数学三、怎样学习高等数学?1.认识高等数学主要性,培养浓厚学习兴趣.会利用数学能力。2.学数学最好方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习,天才在于积累天才在于积累.学而优则用学而优则用,学而优则创学而优则创.由薄到厚由薄到厚,由厚到薄由厚到薄.马克思马克思 一门科学,只有当它成功地利用数课时,才能到达真正完善地步.华罗庚华罗庚第3页33 3、极限思维方法、极限思维方法1 1）计算圆周长计算圆周长圆内接正圆内接正n 边形边形Or)第4页4第5页5abxyo3)计算曲边梯形面积计算曲边梯形面积曲边梯形面积为曲边梯形面积为第6页64)无穷级数第7页7具备数学素质：从实际问题抽象出数学模型能力 计算与分析能力 了解和使用当代数学语言和符号能力 使用数学软件学习和应用数学能力第8页8一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合:含有某种特定性质对象含有某种特定性质对象全体全体.组成集合事物称为该集合组成集合事物称为该集合元素元素.P（x)表示元素含有性质表示元素含有性质 第第0 0章章 基本知识基本知识第9页92.2.邻域邻域:第10页10二、函数第11页11函数类别：显函数 y=f(x)隐函数 F(x,y)=0 参量函数 初等代数函数(只含代数运算显函数）分段表示函数 单值函数 多值函数基本初等函数（基本初等函数（幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数三角函数和反三角函数）和反三角函数）.第12页12 (1)符号函数符号函数几个特殊函数举例几个特殊函数举例1-1xyo第13页13(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超出表示不超出 最大整数最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线第14页14有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函狄利克雷函数数第15页15(4)取最值函数取最值函数yxoyxo 在自变量不一样改变范围中在自变量不一样改变范围中,对应法则对应法则用不一样式子来表示函数用不一样式子来表示函数,称为称为分段函数分段函数.第16页16复合函数复合函数定义定义:设函数设函数y=f(u),u U，函数，函数u=(x),x X,其值其值域域为为(X)=uu=(x),x X U，则称函数，则称函数y=f(x)为为x复合函数复合函数。代入法代入法第17页17复合函数 则设有函数链称为由,确定复合函数,复合映射特例 u 称为中间变量.注意:组成复合函数条件 不可少.比如比如,函数链:函数但函数链不能组成复合函数.可定义复合第18页18注注:0复合函数能够由两个以上函数经过复合组复合函数能够由两个以上函数经过复合组成成.复合函数复合函数代入法代入法第19页19 初等函数初等函数定义定义:由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所组成并可用一个式子表示显函数，称为初等函数。运算所组成并可用一个式子表示显函数，称为初等函数。例：例：不是初等函数不是初等函数为初等函数为初等函数不是初等函数不是初等函数为初等函数为初等函数可表为故为初等函数.第20页20双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数奇函数奇函数.偶函数偶函数.双曲函数双曲函数第21页21奇函数奇函数,有界函数有界函数,第22页22双曲函数惯用公式双曲函数惯用公式第23页232.反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,第24页24第25页25奇函数奇函数,第26页26三三.函数几个特征函数几个特征设函数且有区间(1)有界性有界性使称 A为上界，B为下界。(2)单调性单调性为有界函数.当时,称 为 I 上单调增函数;称 为 I 上单调减函数.第27页27(3)奇偶性奇偶性且有若则称 f(x)为偶函数;若则称 f(x)为奇函数.说明说明:若在 x=0 有定义,为奇函数奇函数时,则当必有比如,偶函数双曲余弦 记第28页28例例1 1 判断函数判断函数 奇偶性奇偶性.解：解：f(x)f(x)是奇函数是奇函数.例例2 2 设设f(x)f(x)在在R R上定义，证实上定义，证实f(x)f(x)可分解为一个奇函数与可分解为一个奇函数与一个偶函数和。一个偶函数和。证实：设证实：设显然显然 g g(x x)是偶函数，是偶函数，h h(x x)是奇函数是奇函数,而而 故命题证故命题证.第29页29(4)周期性周期性且则称为周期函数,若称 l 为周期(普通指最小正周期).周期为 周期为注注:周期函数不一定存在最小正周期.比如,常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数第30页30四四.反函数反函数若函数为单射,则存在逆映射习惯上,反函数记成称此映射为 f 反函数.其反函数(减)(减).1)yf(x)单调递增且也单调递增 性质:第31页312)函数与其反函数图形关于直线对称.比如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数第32页32例例1 1 证实若函数证实若函数 y=y=f f(x)(x)是奇函数且存在反函数是奇函数且存在反函数 x=x=f f 1 1(y),(y),则反函数也是奇函数则反函数也是奇函数。证实：证实：反函数是奇函数。反函数是奇函数。例例2 2解解:当当x x 0 0时时,y,y 1,1,当当xx0 0时时,y1,x=y-1,y N2 时,有收敛数列极限唯一收敛数列极限唯一.使当 n N1 时,假设从而矛盾.所以收敛数列极限必唯一.则当 n N 时,故假设不真!满足不等式第37页37两边夹准则证证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故 第38页38两边夹法则.若则：第39页39例例.证实数列是发散.证证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限 a 存在.取则存在 N,但因交替取值 1 与1,内,而此二数不可能同时落在长度为 1 开区间 使当 n N 时,有所以该数列发散.第40页40例例(P10)(P10)证实证实 若若X2k-1a,Xa,X2k2ka(k),a(k),则则数列数列Xn收敛于收敛于a。证：对任0,K1,当kK1 时X2k 落在a-,a+即满足|2k-a|(1)K2当kK2时X2k-1 落在a-,a+即满足|2k-1-a|(2)取N=max2K1,2K2-1,当nN,必有Xn落在a-,a+即满足|n-a|第41页41例例解解由夹逼定理得由夹逼定理得第42页42例例 讨论以下极限讨论以下极限：（1）(3(3）设）设x x1 1=1,x=1,xn+1n+1=1+2x=1+2xn n(n=1,2)(n=1,2)讨论讨论(5)(5)若等比级数若等比级数第43页43例题例题第44页44