高中数学【排列组合】.ppt

10.2 10.2 排列、组合及其应用要点梳理1.1.排列 （1 1）排列的定义：从n n个 的元素中取出m m(m m n n)个元素，按照一定的 排成一列，叫做从n n个不同的元素中取出m m个元素的一个排列.（2 2）排列数的定义：从n n个不同的元素中取出m m（m mn n）个元素的 的个数叫做从n n个 不同的元素中取出m m个元素的排列数，用A A 表示.不同顺序所有不同排列基础知识 自主学习1.（3 3）排列数公式：A=A=.（4 4）全排列：n n个不同的元素全部取出的 ，叫 做n n个不同元素的一个全排列，A=A=n n(n n-1-1）（n n-2-2）21=21=.于是排列数公式写成阶乘 的形式为 ，这里规定0 0！=.2.2.组合（1 1）组合的定义：从n n个 的元素中取出m m（m m n n）个元素 叫做从n n个不同的元素中取出 m m（m mn n）个元素的一个组合.n n(n n-1)(-1)(n n-2)(-2)(n n-m m+1)+1)排列n n！1 1不同合成一组2.（2 2）组合数的定义：从n n个不同的元素中取出m m（m m n n）个元素的 的个数，叫做从n n个不同的元素中取出m m（m mn n）个元素的组合数，用C C 表示.（3 3）组合数的计算公式：=，由于0 0！=，所以 C=C=.（4 4）组合数的性质：C =C =；C =C =+.所有不同组合1 11 13.基础自测1.1.从1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）A.9 A.9个B.24B.24个C.36C.36个D.54D.54个 解析 选出符合题意的三个数有 =9=9种方法，每三个数可排成 =6 =6个三位数，共有96=5496=54个符合题意的三位数.D4.2.2.已知11，22X X1,2,3,4,51,2,3,4,5，满足这个关系式的集合X X共有（）A.2 A.2个B.6B.6个C.4C.4个D.8D.8个 解析 由题意知集合X X中的元素1 1，2 2必取，另外，从3 3，4 4，5 5中可以不取，取1 1个，取2 2个，取3 3个.故有 =8 =8（个）.D5.3.3.某中学要从4 4名男生和3 3名女生中选派4 4人担任奥 运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（）A.25 A.25种B.35B.35种C.840C.840种D.820D.820种 解析 若选男生甲，则有 =10 =10种不同的选法；同 理，选女生乙也有1010种不同的选法；两人都不选有 =5 =5种不同的选法，所以共有2525种不同的选派方案.A6.4.4.（20092009湖南理，5 5）从1010名大学毕业生中选3 3人担任村长助理，则甲、乙至少有1 1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.85 A.85B.56B.56C.49C.49D.28D.28 解析 丙不入选的选法有 =84 =84（种）,甲乙丙都不入选的选法有 =35 =35（种）.所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84-35=4984-35=49种.C7.5.5.有6 6个座位连成一排，现有3 3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A.36 A.36种B.48B.48种C.72C.72种D.96D.96种 解析 恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第 三个空位不相邻，先排三个人，然后插空.从而共 =72 =72种排法.C8.题型一 排列问题【例1 1】有3 3名男生、4 4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1 1）选其中5 5人排成一排；（2 2）排成前后两排，前排3 3人，后排4 4人；（3 3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4 4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5 5）全体排成一排，男生互不相邻；（6 6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3 3人.题型分类 深度剖析9.思维启迪 无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可.但要看清是全排列还是选排列；有限制条件的排列问题，常见类型是“在与不在”、“邻与不邻”问题，可分别用相应方法.解 （1 1）从7 7个人中选5 5个人来排列，有 =76543=2 520 =76543=2 520种.（2 2）分两步完成，先选3 3人排在前排，有 种方法，余下4 4人排在后排，有 种方法，故共有 =5=5 040040种.事实上，本小题即为7 7人排成一排的全排列，无任何限制条件.10.（3 3）（优先法）方法一 甲为特殊元素.先排甲，有5 5种方法；其余6 6人有 种方法，故共有5 =3 6005 =3 600种.方法二 排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非甲的6 6个人中选2 2个排列，有 种方法，中间5 5个位置由余下4 4人和甲进行全排列有 种方法，共有 =3 600 =3 600种.（4 4）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3 3名男生在一起进行全排列，有 种方法，再将4 4名女生进行全排列,也有 种方法,故共有 =576 =576种.11.（5 5）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有 种方法，再在女生之间及首尾空出的5 5个空位中任选3 3个空位排男生，有 种方法，故共有 =1 440 =1 440种.（6 6）把甲、乙及中间3 3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有 种方法，再从剩下的5 5人中选3 3人排到中间，有 种方法，最后把甲、乙及中间3 3人看作一个整体，与剩余2 2人全排列，有 种方法，故共有 =720 =720种.12.探究提高 排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.”.对于这类问题在分析时，主要按“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子.13.知能迁移1 1 用0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1 1）奇数；（2 2）偶数；（3 3）大于3 1253 125的数.解 （1 1）先排个位，再排首位，共有 =144 =144（个）.（2 2）以0 0结尾的四位偶数有 个，以2 2或4 4结尾的四位偶数有 个，则共有 =156 =156（个）.（3 3）要比3 3 125125大，4 4、5 5作千位时有2 2 个，3 3作千位，2 2、4 4、5 5作百位时有3 3 个，3 3作千位，1 1作百位时有2 2 个，所以共有2 =162(2 =162(个).).14.题型二 组合问题【例2 2】（1212分）男运动员6 6名，女运动员4 4名，其中男女队长各1 1人.选派5 5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1 1）男运动员3 3名，女运动员2 2名；（2 2）至少有1 1名女运动员；（3 3）队长中至少有1 1人参加；（4 4）既要有队长，又要有女运动员.15.思维启迪 （1 1）分步.（2 2）可分类也可用间接法.（3 3）可分类也可用间接法.（4 4）分类.解题示范解 （1 1）第一步：选3 3名男运动员，有 种选法.第二步：选2 2名女运动员，有 种选法.共有 =120 =120种选法.33分（2 2）方法一 至少1 1名女运动员包括以下几种情况：1 1女4 4男，2 2女3 3男，3 3女2 2男，4 4女1 1男.由分类加法计数原理可得总选法数为 =246 =246种.66分 16.方法二 “至少1 1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从1010人中任选5 5人有 种选法，其中全是男运动员的选法有 种.所以“至少有1 1名女运动员”的选法为 =246 =246种.6.6分（3 3）方法一 可分类求解：“只有男队长”的选法为 ；“只有女队长”的选法为 ；“男、女队长都入选”的选法为 ；所以共有2 +=1962 +=196种选法.9 9分 17.方法二 间接法：从1010人中任选5 5人有 种选法.其中不选队长的方法有 种.所以“至少1 1名队长”的选法为 -=196 -=196种.99分（4 4）当有女队长时，其他人任意选，共有 种选法.不选女队长时，必选男队长，共有 种选法.其中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时的选法共有 -种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有 +-=191 +-=191种.12 12分 18.探究提高 解组合题时，常遇到“至多”、“至少”问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量.当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足.19.知能迁移2 2 在7 7名男生5 5名女生中选取5 5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？（1 1）A A，B B必须当选；（2 2）A A，B B必不当选；（3 3）A A，B B不全当选；（4 4）至少有2 2名女生当选；（5 5）选取3 3名男生和2 2名女生分别担任班长、体育委员等5 5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.20.解 （1 1）由于A A，B B必须当选，那么从剩下的1010人中选取3 3人即可，有 =120 =120种.（2 2）从除去的A A，B B两人的1010人中选5 5人即可，有 =252 =252种.（3 3）全部选法有 种，A A，B B全当选有 种，故A A，B B不全当选有 -=672 -=672种.21.（4 4）注意到“至少有2 2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，有 =596 =596种选法.（5 5）分三步进行：第一步：选1 1男1 1女分别担任两个职务为 ；第二步：选2 2男1 1女补足5 5人有 种；第三步：为这3 3人安排工作有 .由分步计数原理共有 =12 600 =12 600种选法.22.题型三 排列、组合的综合应用【例3 3】4 4个不同的球，4 4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1 1）恰有1 1个盒不放球，共有几种放法？（2 2）恰有1 1个盒内有2 2个球，共有几种放法？（3 3）恰有2 2个盒不放球，共有几种放法？把不放球的盒子先拿走，再放球到余 下的盒子中并且不空.解 （1 1）为保证“恰有1 1个盒不放球”，先从4 4个盒 子中任意取出去一个，问题转化为“4“4个球，3 3个盒 子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把 4 4个球分成2 2，1 1，1 1的三组，然后再从3 3个盒子中选1 1 个放2 2个球，其余2 2个球放在另外2 2个盒子内，由分 步乘法计数原理，共有 =144 =144种.思维启迪23.（2 2）“恰有1 1个盒内有2 2个球”，即另外3 3个盒子放2 2个球，每个盒子至多放1 1个球，也即另外3 3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1 1个盒内有2 2个球”与“恰有1 1个盒不放球”是同一件事，所以共有144144种放法.（3 3）确定2 2个空盒有 种方法.4 4个球放进2 2个盒子可分成（3 3，1 1）、（2 2，2 2）两类，第一类有序不均匀分组有 种方法；第二类有序均匀分组有 种方法.故共有 （）=84=84种.24.探究提高 排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.知能迁移3 3 已知1010件不同产品中有4 4件是次品，现对它们进行一一测试,直至找出所有4 4件次品为止.（1 1）若恰在第5 5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？（2 2）若恰在第5 5次测试后，就找出了所有4 4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？25.解 （1 1）先排前4 4次测试，只能取正品，有 种不同测试方法，再从4 4件次品中选2 2件排在第5 5和第1010的位置上测试，有 =种测法，再排余下4 4件的测试位置，有 种测法.所以共有不同排法 =103 680 =103 680种.（2 2）第5 5次测试恰为最后一件次品，另3 3件在前4 4次中出现，从而前4 4次有一件正品出现.所以不同测试方法共有 （）=576 =576种.26.方法与技巧1.1.解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素、或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理.2.2.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏.3.3.对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析答案的形式，错误的答案都是犯有重复或遗漏的错误.思想方法 感悟提高27.4.4.对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.失误与防范 要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不 要重复计数.28.一、选择题1.1.（20092009辽宁理，5 5）从5 5名男医生、4 4名女医生中选3 3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A.70 A.70种B.80B.80种 C.100 C.100种D.140D.140种 解析 对此问题可分类：男2 2女1 1和男1 1女2 2，故总共有 =70 =70种不同的组队方案.A定时检测29.2.2.（20092009北京理，7 7）用0 0到9 9这1010个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324 A.324B.328B.328 C.360 C.360D.648D.648 解析 若组成没有重复数字的三位偶数，可分为两种情况：当个位上是0 0时，共有98=7298=72种情况；当个位上是不为0 0的偶数时，共有488=256488=256种情况.综上，共有72+256=32872+256=328种情况.B30.3.3.高三（一）班学生要安排元旦晚会的4 4个音乐节目，2 2个 舞蹈节目和1 1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节 目不连排，则不同排法的种数是（）A.1 800 A.1 800 B.3 600 B.3 600C.4 320C.4 320D.5 040D.5 040 解析 4 4个音乐节目和1 1个曲艺节目的排列共 种.两个舞蹈节目不连排，用插空法，不同的排法种 数是 =3 600.=3 600.B31.4.4.摄影师要为5 5名学生和2 2位老师拍照，要求排成一排，2 2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有（）A.1 440 A.1 440种B.960B.960种 C.720 C.720种D.480D.480种 解析 2 2位老师作为一个整体与5 5名学生排队，相当于6 6个元素排在6 6个位置，且老师不排两端，先安排老师，有 种排法，5 5名学生排在剩下的5 5个位置,有 种，所以共有 =960 =960种排法.B32.5.5.（20092009广东理，7 7）20102010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.36 A.36种B.12B.12种C.18C.18种D.48D.48种 解析 小张和小赵选派一人参加有 =24 =24种方案，小张和小赵都参加有 =12 =12种方案，共有不同的选派方案24+12=3624+12=36种.A33.6.20086.2008年北京奥运会期间，计划将5 5名志愿者分配到 3 3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至 少分配一名志愿者的方案种数为（）A.540 A.540B.300B.300C.150C.150D.180D.180 解析 每个场馆至少一名志愿者，相当于将5 5人分成三组，然后排列，三组的人数分别为3 3，1 1，1 1或2 2，2 2，1 1，这样,分组方法共有 种，然后三组进行排列，有 种.所以共有 =150 =150种方案.C34.二、填空题7.7.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有 种.（用数字作答）解析 甲、乙排在一起，用“捆绑”排列，丙丁 不排在一起，用插空法，不同的排法共有 =24 =24种.242435.8.8.宿舍楼内的走廊一排有8 8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄掉其中3 3盏，但这3 3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法种数为 .（用数字作答）解析 可以先将五盏灯排列，然后将3 3盏将要熄灭的灯分成三组插空，共有2020种不同的熄灯方法.202036.9.9.（20092009浙江理，1616）甲、乙、丙3 3人站到共有7 7级的台阶上，若每级台阶最多站2 2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）.解析 当每个台阶上各站1 1人时有 种站法，当两个人站在同一个台阶上时有 种站法，因此不同的站法种数有 =210+126 =210+126 =336 =336（种）.33633637.三、解答题10.10.某医院有内科医生1212名，外科医生8 8名，现选派5 5名参加赈灾医疗队，其中 （1 1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2 2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3 3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4 4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解（1 1）只需从其他1818人中选3 3人即可，共有 =816 =816（种）；38.（2 2）只需从其他1818人中选5 5人即可，共有 =8=8 568568（种）；（3 3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 =6 936 =6 936（种）；（4 4）方法一 （直接法）至少一名内科医生一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有=14 656=14 656（种）.方法二（间接法）由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得 =14 656(=14 656(种）.39.11.11.已知平面 ，在 内有4 4个点,在 内有6 6个点.（1 1）过这1010个点中的3 3点作一平面，最多可作多少个不同平面？（2 2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？（3 3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解 （1 1）所作出的平面有三类：内1 1点，内2 2点确定的平面，有 个；内2 2点，内1 1点确定的平面，有 个；，本身.所作的平面最多有 +2=98 +2=98（个）.40.（2 2）所作的三棱锥有三类：内1 1点，内3 3点确定的三棱锥，有 个；内2 2点，内2 2点确定的三棱锥，有 个；内3 3点，内1 1点确定的三棱锥，有 个.最多可作出的三棱锥有 =194 =194（个）.（3 3）当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等,且平面 ，体积不相同的三棱锥最多有 =114 =114（个）.41.12.12.有两排座位，前排1111个座位，后排1212个座位，现安排2 2人就座，规定前排中间的3 3个座位不能坐，并且这2 2人不左右相邻，共有多少种不同排法？解 前排中间3 3个座位不能坐，实际可坐的位置前排8 8个，后排1212个.（1 1）两人一个前排，一个后排，方法数为 种；（2 2）两人均在后排左右不相邻，共 (种)；42.（3 3）两人均在前排，又分两类：两人一左一右，共 种；两人同左同右，有2 2（）种.综上可知，不同排法种数为=346(=346(种).).返回43.