高中数学排列与组合.ppt

问题一：从甲、乙、丙3 3名同学中选出2 2名去参加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3 3名同学中选出2 2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3情境创设1.从已知的3个不同元素中每次取出2个元素 ,并成一组问题2从已知的3 个不同元素中每次取出2个元素 ,按照一定的顺序排成一列.问题1排列组合有顺序无顺序2.一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 排列与组合的概念有什么共同点与不同点？概念讲解组合定义:3.组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合排列定义:一般地，从n n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.概念讲解4.思考一:ab b与b ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?）元素相同；）元素排列顺序相同.元素相同概念理解 构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.思考三:组合与排列有联系吗?5.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3 3个元素的子集有多少个?(2)(2)某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?组合问题(4)10(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合问题(5)(5)从4 4个风景点中选出2 2个游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)(6)从4 4个风景点中选出2 2个,并确定这2 2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.6.1.1.从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc 2.2.已知4 4个元素a,b,c,d ,写出每次取出两个元素的所有组合.ab c d b c d cd ab,ac,ad,bc,bd,cd(3(3个)(6(6个)概念理解7.从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.如:从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:如:已知4 4个元素a、b、c、d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：概念讲解组合数:注意：注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来 8.1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd练一练练一练9.组合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？你发现了什么?10.如何计算:11.组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系根据分步计数原理，得到：因此：一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下2步：第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数 这里 ，且 ，这个公式叫做组合组合数公式数公式 概念讲解12.组合数公式:从 n 个不同元中取出m个元素的排列数 概念讲解13.例1 1计算：例2.2.甲、乙、丙、丁4 4支足球队举行单循环赛，(1)(1)列出所有各场比赛的双方；（2)2)列出所有冠亚军的可能情况.（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙(1)(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：例题分析(4)(4)求14.例315.例1：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？16.例3.(1)3.(1)凸五边形有多少条对角线？(2)(2)凸n n（n3 n3）边形有多少条对角线？例2.(1)2.(1)平面内有1010个点，以其中每2 2个点为端点的线段共有多少条？(2)(2)平面内有1010个点，以其中每2 2个点为端点的有向线段共有多少条？17.例4：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。18.变式练习按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；19.例5 5、某医院有内科医生1212名，外科医生8 8名，现要派5 5人参加支边医疗队，至少要有1 1名内科医生和1 1名外科医生参加，有多少种选法？例6：（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定多少条直线？可以作多少个三角形？（2）空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？20.例7 7、有翻译人员1111名，其中5 5名仅通英语、4 4名仅通法语，还有2 2名英、法语皆通。现欲从中选出8 8名，其中4 4名译英语，另外4 4名译法语，一共可列多少张不同的名单？例8、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：（1）4只鞋子恰有两双；（2）4只鞋子没有成双的；（3）4只鞋子只有一双。21.课堂练习：课堂练习：2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（）4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（）1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种。99CD22.5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形）（1）其中有多少个矩形？（2）其中有多少个正方形？课堂练习：课堂练习：23.排列组合组合的概念组合数的概念组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果联系小结24.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？从口袋内取出3个球，使其中含有1 1个黑球，有多少种取法？从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1）性质225.我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球因此根据分类计数原理，上述等式成立 我们发现：为什么呢26.性质227.注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用28.例计算：29.例2 求证:30.一、等分组与不等分组问题例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（2）分成三份，每份两本；（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；（6）分给5个人，每人至少一本；（7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。31.练习：(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?解:(1)(2)32.例4、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）（A）种（B）种（C）种 （D）种二、不相邻问题插空法33.三、混合问题，先“组”后“排”例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有：种可能。34.练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法_种.解：采用先组后排方法:2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.35.四、分类组合,隔板处理例6、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.解:采用“隔板法”得:36.练习：1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？37.课堂练习：课堂练习：2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（）4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（）1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种。99CD38.5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形）（1）其中有多少个矩形？（2）其中有多少个正方形？课堂练习：课堂练习：39.