第二类曲线积分专题省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

第十章第十章 第二节第二节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二类曲线积分第二类曲线积分二、第二类曲线积分概二、第二类曲线积分概念与性质念与性质一、向量场一、向量场三、第二类曲线积分计三、第二类曲线积分计算算第1页一、向量场一、向量场机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第2页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第3页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 画向量场画向量场第4页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第5页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 梯度场和保守场梯度场和保守场第6页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:第7页二、对坐标曲线积分二、对坐标曲线积分定向曲线与切向量：定向曲线与切向量：定向曲线：带有确定走向一条曲线。定向曲线：带有确定走向一条曲线。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则 L 切向量为：切向量为：第8页分割分割解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 “分割分割,近似近似,求和求和,取极限取极限”求变力沿曲线所作功，利用求变力沿曲线所作功，利用近似近似例：例：求变力求变力 F 沿曲线沿曲线 L 所作功。所作功。已知常力已知常力 F 沿直线所作功沿直线所作功第9页求和求和:取极限取极限:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 向量形式向量形式坐标形式坐标形式则则第10页对坐标曲线积分定义：对坐标曲线积分定义：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第11页上式也称为第二类曲线积分上式也称为第二类曲线积分向量形式向量形式。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二类曲线积分也称为第二类曲线积分也称为向量场线积分向量场线积分。第12页说明说明：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第13页基本性质基本性质机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 性质性质1 1：性质性质2 2：性质性质3 3：第14页第二类曲线积分坐标表示第二类曲线积分坐标表示设设则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令若上式左端极限存在，则右端极限也存在若上式左端极限存在，则右端极限也存在记为记为上式右端称为第二类曲线积分坐标表示。上式右端称为第二类曲线积分坐标表示。第15页（2）若若机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 上式右端称为第二类曲线积分坐标表示。上式右端称为第二类曲线积分坐标表示。第16页则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、两类曲线积分之间关系三、两类曲线积分之间关系第17页证实：证实：于是有于是有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第18页即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 平面曲线情况完全类似推导。平面曲线情况完全类似推导。故故第19页解解1：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第20页解解2：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第21页解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 于是于是第22页四、对坐标曲线积分计算四、对坐标曲线积分计算定理（平面曲线情形）定理（平面曲线情形）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第23页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证实：证实：第24页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第25页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第26页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意：注意：a 未必小于未必小于 b。第27页特殊情形特殊情形机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第28页(4)若曲线若曲线 L 方程为极坐标方程：方程为极坐标方程：先化成参数方程：先化成参数方程：然后用公式计算。然后用公式计算。第29页定理（空间曲线情形）定理（空间曲线情形）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第30页注意：两类曲线积分之间注意：两类曲线积分之间区分区分（1 1）第一类第一类曲线积分是数量函数对弧长积分；曲线积分是数量函数对弧长积分；第二类第二类曲线积分是向量函数各分量函数曲线积分是向量函数各分量函数 对坐标积分。对坐标积分。（2 2）第一类第一类曲线积分与路径方向无关，化成曲线积分与路径方向无关，化成 定积分时，定积分时，下限总小于上限下限总小于上限；第二类第二类曲线积分与路径方向相关（方向曲线积分与路径方向相关（方向 改变，积分值变号），化成定积分时，改变，积分值变号），化成定积分时，下下 限未必小于上限。限未必小于上限。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第31页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 （2 2）对于第二类曲线积分，当积分弧）对于第二类曲线积分，当积分弧 L 是垂直于某坐是垂直于某坐标轴直线段标轴直线段 AB 时，对该坐标积分为零，即时，对该坐标积分为零，即空间曲线上第二类曲线积分也有类似性质。空间曲线上第二类曲线积分也有类似性质。说明：说明：（1 1）在第二类曲线积分中，因为包括积分曲线方向问）在第二类曲线积分中，因为包括积分曲线方向问题，所以要慎用对称性。普通情况下，应在曲线积分化题，所以要慎用对称性。普通情况下，应在曲线积分化为定积分后再考虑能否利用对称性来化简计算。为定积分后再考虑能否利用对称性来化简计算。第32页例例3:3:解解:原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第33页例例4 4：解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第34页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第35页 普通情况下，普通情况下，第二类曲线积分值，不但与积分第二类曲线积分值，不但与积分路径起点或终点相关，而且与积分路经本身相关。路径起点或终点相关，而且与积分路经本身相关。即被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不一即被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不一样积分结果不一样。样积分结果不一样。例例3说明：说明：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在有些情况下，在有些情况下，第二类曲线积分值，仅与积分路第二类曲线积分值，仅与积分路径起点或终点相关，而与积分路经本身无关。即被径起点或终点相关，而与积分路经本身无关。即被积函数相同，起点和终点也相同，路径不一样积分积函数相同，起点和终点也相同，路径不一样积分但结果相同。但结果相同。例例4说明：说明：第36页例例5.5.求求其中其中 L 是双纽线右半支是双纽线右半支逆时针方向。逆时针方向。解解:L 极坐标方程是：极坐标方程是：L 参数方程是：参数方程是：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 奇函数奇函数第37页例例6.6.求求其中其中从从 z 轴正向看为顺时针方向轴正向看为顺时针方向.解解:取取 参数方程参数方程机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第38页例例7.7.解解:动到动到向坐标原点，向坐标原点，其大小与作用点到其大小与作用点到 xoy 面距离成反比。面距离成反比。沿直线移沿直线移求求 F 所作功所作功 W。已知已知 F 方向指方向指一质点在力场一质点在力场F 作用下由点作用下由点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第39页例例8 8：解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如图如图则则第40页例例9 9：解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则在则在 t 时刻：时刻：单位时间流出油漆为：单位时间流出油漆为：第41页1.1.定义定义2.2.性质性质(1)(1)L L 可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧(2)(2)L 表示表示 L 反向弧反向弧对坐标曲线积分必须注意对坐标曲线积分必须注意积分弧段方向积分弧段方向!内容小结内容小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第42页3.3.计算计算 对有向光滑弧对有向光滑弧机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若曲线若曲线 L 方程为极坐标方程：方程为极坐标方程：先化成参数方程：先化成参数方程：然后用公式计算。然后用公式计算。第43页 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第44页区分：区分：第一类第一类曲线积分与路径方向无关，化成定积曲线积分与路径方向无关，化成定积分时，下限总小于上限；分时，下限总小于上限；机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二类第二类曲线积分与路径方向相关（方向改变，曲线积分与路径方向相关（方向改变，积分值变号），化成定积分时，下限未必小积分值变号），化成定积分时，下限未必小于上限。于上限。4.4.两类曲线积分联络与区分两类曲线积分联络与区分联络：联络：第45页作业作业 习题习题9-2(P250)1(3)(6)(7)(8)；2(2)(4);3;5；7第三节 目录 上页 下页 返回 结束 第46页1 1、解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 备用题备用题第47页解：解：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第48页3.已知已知为折线为折线 ABCOA(如图如图),),计算计算提醒提醒:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第49页原点原点 O 距离成正比距离成正比,4 4、设一个质点在设一个质点在处受处受恒指向原点恒指向原点,沿椭圆沿椭圆此质点由点此质点由点逆时针移动到逆时针移动到提醒提醒:F 大小与大小与M 到原到原F 方向方向力力F 作用作用,求力求力F 所作功所作功.思索思索:若题中若题中F 方向方向 改为与改为与OM 垂直且与垂直且与y 轴夹锐角轴夹锐角,则则 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第50页5.5.将积分将积分化为对弧长积化为对弧长积分分,解解1 1：其中其中L 沿上半圆周沿上半圆周机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第51页5.5.将积分将积分化为对弧长积化为对弧长积分分,解解2 2：其中其中L L 沿上半圆周沿上半圆周机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第52页6 6：设在力场设在力场作用下作用下,质点由质点由沿沿 移动到移动到解解:(1)(1)(2)(2)参数方程为参数方程为试求力场对质点所作功试求力场对质点所作功.其中其中 为为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第53页7.7.设曲线设曲线 C 为曲面为曲面与曲面与曲面从从 ox 轴轴(1)(1)写出曲线写出曲线 C 参数方程参数方程 ；(2)(2)计算曲线积分计算曲线积分解解:(1)(1)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 正向看去为逆时针方向。正向看去为逆时针方向。第54页(2)(2)利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第55页