余弦定理优质课优质课市名师优质课比赛一等奖市公开课获奖课件.pptx

余弦定理余弦定理第1页 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各在一个三角形中，各边边和和它它所对角所对角正弦值正弦值比比相等，即相等，即正弦定理能够解哪几类三角形问题？正弦定理能够解哪几类三角形问题？（1）已知）已知两角两角和和任一边任一边，求其它两边和一角；，求其它两边和一角；（2）已知）已知两边两边和其中和其中一边一边对对角角，求另一边对角（进，求另一边对角（进而求出其它边和角）。而求出其它边和角）。什么叫什么叫正弦定理正弦定理？第2页千岛湖千岛湖 ABC110.8 700m1338m第3页千岛湖千岛湖 ABC110.8 700m1338m用用正弦定理正弦定理能否能否直接直接求出求出A,B两处距离？两处距离？这是一个已知三角形两边这是一个已知三角形两边a和和b,和两边夹角和两边夹角C，求出第三边，求出第三边c问问题题.?第4页ABCcba 已知三角形两边分别为已知三角形两边分别为a和和b,这两边夹角为这两边夹角为C，角，角C满足满足什么条什么条件件时较易求出第三边时较易求出第三边c？勾股定理勾股定理你能用你能用向量向量证实勾股定理吗？证实勾股定理吗？即证即证第5页CBAbca第6页三、课题：三、课题：余弦定理余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC你能用文字说明吗你能用文字说明吗？CBAabc 三角形任何一边平方等三角形任何一边平方等于其它两边平方和减去这两于其它两边平方和减去这两边与它们夹角余弦积两倍。边与它们夹角余弦积两倍。第7页四、公式认识和应用：四、公式认识和应用：想一想：想一想：余弦定理能够处理什余弦定理能够处理什么问题？么问题？a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC方程思想：四个量，知三求一1、已知两边和它们夹角求另一边（直接用）2、已知三边求角（变形）第8页变一变乐在其中变一变乐在其中CBAabc a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosCb2+c2-a22bc cosA=c2+a2-b22ca cosB=a2+b2-c22ab cosC=变形变形第9页练一练：练一练：会用才是硬道理会用才是硬道理 1、在、在ABC中，已知中，已知a=,c=2，B=150，求，求b。2、已知、已知ABC三边为三边为 、2、1，求它最大内角。，求它最大内角。第10页解：解：例例1、在三角形、在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,求求A，B，C（准确到（准确到 ）思索：思索：已知条件不变，将例已知条件不变，将例1稍做改动稍做改动 （1）在三角形）在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,判定判定三角形三角形ABC形状形状例题例题第11页变式变式1:1:已知三角形三边长为已知三角形三边长为a,b,c,a,b,c,怎样判断怎样判断ABCABC是锐角三角形是锐角三角形,直角三角形还是钝角三角直角三角形还是钝角三角形？形？设设a是最长边是最长边,则则ABC是直角三角形是直角三角形a2=b2+c2 ABC是锐角三角形是锐角三角形a2b2+c2第12页解：在AOB中，|a b|2|a|2|b|2 2|a|b|cos120 61,|a b|61.例 2：已知向量a、b夹角为120，且|a|5，|b|4，求|a b|、|ab|及ab与a夹角.ababBbACa120O第13页 ab 21.COA即ab与a夹角约为49.cosCOA 0.6546,a 2 ab 2 b 22 a ab例 2：已知向量a、b夹角为120，且|a|5，|b|4，求|a b|、|ab|及ab与a夹角.ababBbACa120O在OAC中，|a+b|2|a|2|b|2 2|a|b|cos60 21,第14页例3 已知四边形ABCD四边长为AB=2.4,BC=CD=DA=1,A=30,求C.解:BD2=AB2+AD2 2ABADcosA 2.60,cosC=0.30,DC2+BC2 BD22DCBCA30DCBC 107.5.思索思索：若A=,怎样用表示四边形ABCD面积？第15页例例4：在三角形：在三角形ABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC=,求求最大角余弦值最大角余弦值分析：求最大角余弦值，最主要是判断哪个角分析：求最大角余弦值，最主要是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边三边,找到最大角。找到最大角。解：解：则有：则有：b是最大边，那么是最大边，那么B 是最大角是最大角第16页例例5：一钝角三角形边长为连续自然数，则这三边长为（：一钝角三角形边长为连续自然数，则这三边长为（）A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6分析：分析：要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项 中最大角是钝角，即该角余弦值小于中最大角是钝角，即该角余弦值小于0。B中：中：，所以，所以C是钝角是钝角D中：中：，所以，所以C是锐角，是锐角，所以以所以以4，5，6为三边长三角形是锐角三角形为三边长三角形是锐角三角形A、C显然不满足显然不满足B第17页千岛湖千岛湖 ABC110.8 700m1338m?答：答：A,B两处距离约为两处距离约为1716米。米。（准确到（准确到1米）米）引例引例第18页总结总结（1）余弦定理适合用于任何三角形）余弦定理适合用于任何三角形（3）由余弦定理可知：）由余弦定理可知：（2）余弦定理作用：）余弦定理作用：a、已知三边，求三个角、已知三边，求三个角 b、已知两边及这两边夹角，求第三边，进、已知两边及这两边夹角，求第三边，进而可求出其它两个角而可求出其它两个角c、判断三角形形状、判断三角形形状第19页