六节多元函数极值市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

第六节第六节 多元函数极值多元函数极值一 多元函数极值二 多元函数最值三 条件极值第1页第1页一一 多元函数极值多元函数极值1 极值定义极值定义 设函数设函数 在点在点 某一邻域内有某一邻域内有定义，假如对于该邻域内任意点定义，假如对于该邻域内任意点 都有都有则称函数则称函数 在点在点P0处取得极大值处取得极大值假如有假如有则称函数则称函数 在点在点P0处取得极小值处取得极小值 函数极大值和极小值统称为函数极大值和极小值统称为极值极值，使函数取得，使函数取得极值点称为极值点称为极值点极值点。第2页第2页 比如函数比如函数 在点（在点（0，0）处取得极小值，）处取得极小值，下列左图：下列左图：oxyzoxyz 函数函数 在点（在点（0，0）处取得极大）处取得极大值，如上右图：值，如上右图：如何求极值？假如能将有也许使函数取得极值如何求极值？假如能将有也许使函数取得极值点找到，这个问题就基本处理了。点找到，这个问题就基本处理了。第3页第3页2 二元函数极值存在必要条件二元函数极值存在必要条件 定理定理1 设函数设函数 在点在点 处取得处取得极值，且两个偏导数都存在，则在点极值，且两个偏导数都存在，则在点 有有证实：证实：由于由于 是函数是函数 极值，极值，若固定若固定则则 是是 一个一元函数，一个一元函数，则该则该函数在函数在 处取得极值，处取得极值，又由于又由于 对对处可导，故处可导，故同理可证同理可证第4页第4页 将二元函数两个偏导数为零点称为将二元函数两个偏导数为零点称为驻点驻点，则，则必要条件可叙述为：必要条件可叙述为：可微函数极值点一定是驻点，但驻点不一定可微函数极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。是极值点。3 极值存在充足条件极值存在充足条件 定理定理1 设函数设函数 在点在点 某个邻域某个邻域内含有二阶连续偏导数，且点内含有二阶连续偏导数，且点 是函数驻点，是函数驻点，即即设设则则（1）当当点点 是极值点，是极值点，且且 时，时，点点 是极大值点，是极大值点，点点 是极小值点。是极小值点。且且 时，时，第5页第5页 （2）当当 时，点时，点 不是极不是极值点。值点。（3）当）当 时，时，是否为极值点。是否为极值点。不能拟定点不能拟定点总结：求极值环节：总结：求极值环节：第一步：第一步：拟定定义域（若未给出）；拟定定义域（若未给出）；第二步：第二步：解方程组解方程组求得一切实数解，可得一切驻点。求得一切实数解，可得一切驻点。第三步：第三步：对每个驻点，求出二阶偏导数值对每个驻点，求出二阶偏导数值A，B，C。第四步：第四步：定出定出 符号，按充足条件结论做符号，按充足条件结论做出结论。出结论。第6页第6页例例1 求函数求函数 极值。极值。解：此函数定义域为解：此函数定义域为解方程组解方程组解得驻点（解得驻点（0，1），又），又因此因此故函数在点（故函数在点（0，1）取得极小值，为取得极小值，为0。第7页第7页例例2 求函数求函数 极值。极值。解：此函数定义域为解：此函数定义域为解方程组解方程组解得驻点解得驻点P1(-1,-1)，P2(0,0)，P3(-1,-1)，又又列表讨论下列：列表讨论下列：第8页第8页 驻点驻点参数参数P1（-1，-1）P2（0，0）P3（1，1）ABCB2-ACz10101010-2-2-2-2-2-96-960-2 极小值极小值0 不能拟定不能拟定-2 极小值极小值第9页第9页 例例3 求证函数求证函数 有无穷多有无穷多个极大值点而无一个极小值点。个极大值点而无一个极小值点。解：此函数定义域为解：此函数定义域为解方程组解方程组得得又又因此因此第10页第10页故当故当 为奇数时，为奇数时，无极值。无极值。故当故当 为偶数时，为偶数时，-20，函数，函数z有极大值，即当有极大值，即当 时，时，且且A=函数函数 有极大值。有极大值。由于由于 取整数，取整数，因此函数有无穷多个极大值点，而无一个极小值因此函数有无穷多个极大值点，而无一个极小值点。点。第11页第11页二二 多元函数最值多元函数最值 函数函数 假如在有界闭区域假如在有界闭区域D上连续，上连续，则一定在该区域上能够取得最大值和最小值。二元则一定在该区域上能够取得最大值和最小值。二元函数最值，也也许在区域函数最值，也也许在区域D内驻点、不可微点或区内驻点、不可微点或区域边界上取得。域边界上取得。求二元函数最值办法是：求二元函数最值办法是：将函数在所讨论区域内所有驻点函数值，不将函数在所讨论区域内所有驻点函数值，不可微点函数值以及函数在区域边界上最值相比较，可微点函数值以及函数在区域边界上最值相比较，其中最大者就是函数最大值，最小者就是函数最小其中最大者就是函数最大值，最小者就是函数最小值值。第12页第12页 例例4 求函数求函数 在闭区域在闭区域 上最值。上最值。解：由于函数解：由于函数z在区域在区域D内处处可微，解方程组内处处可微，解方程组得驻点（得驻点（6，-8），函数在该点处值为），函数在该点处值为在在D边界上，将边界上，将代入函数中得代入函数中得第13页第13页由于由于 因此在边界上函数最大值为因此在边界上函数最大值为125，最小值为，最小值为-75。故该函数在此有界闭区域上最。故该函数在此有界闭区域上最大值为大值为125，最小值为，最小值为-100。例例5 要制作一个中间是圆柱，两端为相等圆锥要制作一个中间是圆柱，两端为相等圆锥形中空浮标，如图。形中空浮标，如图。在体积在体积V是一定量情况下，是一定量情况下，如何选择圆柱和圆锥尺寸，如何选择圆柱和圆锥尺寸，才干使制作材料最省？才干使制作材料最省？第14页第14页 解：设圆柱底面半径为解：设圆柱底面半径为 ，高为，高为H，圆锥高，圆锥高为为 ，由题意得，由题意得因此因此又又定义域为定义域为解方程组解方程组第15页第15页解得驻点解得驻点代入代入H H 表示式得表示式得 。从实际考虑，此浮标在体积从实际考虑，此浮标在体积V一定条件一定条件下，存在最小表面积。下，存在最小表面积。故制作时应取故制作时应取才干使制作材料最省。才干使制作材料最省。总结求实际问题最值环节下列：总结求实际问题最值环节下列：第一步：建立函数关系式，拟定定义域；第一步：建立函数关系式，拟定定义域；第二步：求出所有驻点；第二步：求出所有驻点；第三步：结合实际意义，鉴定最大或最小值。第三步：结合实际意义，鉴定最大或最小值。第16页第16页三三 条件极值条件极值先看下列例子：先看下列例子：在在 条件下，求函数条件下，求函数 极值。极值。解：解：从从 中解出中解出并代入并代入中得中得 这是一个一元函数，可用一元函数这是一个一元函数，可用一元函数求极值办法解，不难得到在点求极值办法解，不难得到在点 处取得极值处取得极值为为 这类问题称为这类问题称为条件极值条件极值，称为称为约束条约束条件件。当把约束条件代入函数（称目的函数）时，当把约束条件代入函数（称目的函数）时，条件极值化为无条件极值。条件极值化为无条件极值。第17页第17页 对于条件极值问题，我们经常采用所谓对于条件极值问题，我们经常采用所谓Lagrange乘数法乘数法，环节下列：，环节下列：第一步第一步：结构辅助函数（结构辅助函数（Lagrange函数）；函数）；第二步：第二步：解方程组解方程组第三步：第三步：判断所有驻点是否为极值点。判断所有驻点是否为极值点。第18页第18页 例例6 某厂生产甲乙两种产品，计划天天总某厂生产甲乙两种产品，计划天天总产量为产量为42件，假如生产甲产品件，假如生产甲产品 件，生产乙产品件，生产乙产品 件，则总成本函数为件，则总成本函数为单位为元，求最小成本。单位为元，求最小成本。解：约束条件为解：约束条件为结构结构 Lagrange 函数：函数：解方程组：解方程组：第19页第19页得驻点（得驻点（25，17）。）。由于驻点是唯一，因此在此点处函数取得最由于驻点是唯一，因此在此点处函数取得最小值，即应计划天天生产甲产品小值，即应计划天天生产甲产品25件，乙产品件，乙产品17件，才干取得最小成本，为：件，才干取得最小成本，为：C（25，17）=8252-2517+12172 =8043（元）（元）这个办法还能够推广：这个办法还能够推广：（1 1）如：目的函数为：）如：目的函数为：约束条件为：约束条件为：，可设，可设Lagrange函数：函数：然后解下面方程组讨论。然后解下面方程组讨论。第20页第20页（2）如目的函数为：）如目的函数为：约束条件有约束条件有两个：两个：可设可设Lagrange函数：函数：然后解右侧方程然后解右侧方程组加以讨论。组加以讨论。第21页第21页