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测量不确定度的评估 测量不确定度的评估 第一章 第一章 引言 引言 1.1 不确定度表达的意义 可以毫不不太夸张地说，测量支撑着现代社会；测量是科学技术、工农业生产、国内外贸易以至于日常生活各个领域中不可或缺的。测量的目的在于确定被测量的值或获取测量结果测量的目的在于确定被测量的值或获取测量结果。测量结果的质量（品质），往往会对社会交往、商业利益、人身安全、社会公平、履行法律等等产生决定性的影响。测量不确定度是测量结果质量（品质）的定量表征，是测量结果可信度的表达。测量结果只有在附有不确定度时才具有完整的意义测量不确定度是测量结果质量（品质）的定量表征，是测量结果可信度的表达。测量结果只有在附有不确定度时才具有完整的意义。1.2 不确定度发展历程 1963 年，美国国家标准局（NBS）的 Eisenhart 先生在研究“仪器校准系统的精密度和准确度的估计”时，第一次提出了测量结果不确定度的表达建议。上世纪 70 年代初，NBS 在研究和推广测量保证方案(MAP)时，对测量结果不确定度的表达有了定量表示的进展。不确定度的概念逐渐被测量领域接受和应用，但表示方法却各不相同。1977 年，国际计量委员会(CIPM)的电离辐射咨询委员会提出并讨论了研究解决不确定度的必要性和迫切性问题。时任 NBS 局长和电离辐射咨询委员会主席的 Ambler 先生将该问题提交到 CIPM 和国际计量局(BIPM)，并正式提出解决测量不确定度表示的国际统一性提案。1978 年，BIPM 按 CIPM 要求向全球 32 个国家计量院和 5 个国际组织征求意见，正式开始着手解决这一问题。1980 年，BIPM 成立的不确定度表示工作组起草了一份建议书INC-1(1980)，向各国推荐不确定度的表示原则，以促进测量不确定度的表示方法趋于统一。1981 年，第七十届 CIPM 批准了该建议书，并发布了 CIPM 建议书CI-1981。1986 年 CIPM 再次重申了测量不确定度表示的统一方法(CI-1986)，并要求 CIPM 在出具结果时必须使用合成不确定度。由于测量涉及社会的方方面面，测量不确定度得到了 7 个著名的国际组织（国际计量局BIPM、国际电工委员会IEC、国际临床化学联合会IFCC、国际标准化组织ISO、国际理论化学与应用化学联合会IUPAC、国际理论物理与应用物理联合会IUPAP、国际法制计量组织OIML）的支持，最终由 ISO 负责起草了测量不确定度表示指南测量不确定度表示指南(GUM)，GUM 以 7 个国际组织名义由 ISO 出版发行。GUM 在术语定义、概念、评定方法和报告的表达方式上都作出了明确的统一规定，代表了国际上表示测量结果及其不确定度的约定做法，从而使不同国家、不同地区、不同学科、不同领域在表示测量结果及其不确定度时具有了一致的含义在术语定义、概念、评定方法和报告的表达方式上都作出了明确的统一规定，代表了国际上表示测量结果及其不确定度的约定做法，从而使不同国家、不同地区、不同学科、不同领域在表示测量结果及其不确定度时具有了一致的含义。1.3 测量不确定度的应用范围 我国的现行的国家计量技术规范 JJF1059-1999 测量不确定度评定与表示规定了测量中评估与表示不确定度的通用规则，它适用于各种准确度等级的测量，而不仅仅限于计量领域。主要应用领域列举如下：建立国家计量基准、计量标准及其国际比对；标准物质、标准参考数据；测量方法、检定规程、检定系统、校准规范等；科学研究及工程领域的测量；计量认证、计量确认、质量认证、实验室认可；测量仪器的校准或检定；生产过程的质量保证以及产品的检验和测试；贸易结算、医疗卫生、安全防护、环境监测及资源测量等等。JJF1059 现正在进行最新的修订中。第二章 概率与统计基础 2.1 随机事件与随机变量 2.1.1 事件与随机事件 观测或试验的结果称为事件事件。如：天气是晴天、阴天还是雨天。这三种可能的每一种都被称为事件。在客观世界中，我们可把事件大致分为确定和不确定的两类。如：向上抛石子下落确定的确定的；抛硬币，人头向上或向下不确定的不确定的。确定性事件有着内在的规律，我们比较容易接受和处理。对于不确定性事件，虽然每次结果可疑，但通过大量试验或观测可得出其统计规律性。如抛硬币，人头向上和向下的可能性大致各占一半。概率统计就是用来研究不确定性事件的统计规律性的，它把客观世界可能出现的事件区分为三种典型的情况：必然事件必然事件：在一定条件下必然出现的事件（如：工件直径测量结果一定是正值）。不可能事件不可能事件：在一定条件下不可能出现的事件（如：工件直径测量结果是负值）。随机事件随机事件：在一定条件下可能出现可能不出现的事件（如：射击可能击中或脱靶）。2.1.2 随机变量 在一定条件下，如果变量（如测量结果）取某一个值，或在某一范围内取值是一个随机事件，该变量便被称为随机变量。随机变量不同与其他变量，它的特点在于它的研究方法概率统计，即：它是以一定概率在一定区间上取值，或以一定概率取某一值它是以一定概率在一定区间上取值，或以一定概率取某一值。如：工件直径测量结果在（20.019.9）mm 范围内的概率为 0.95。由此可见：测量结果及其不确定度均为随机变量测量结果及其不确定度均为随机变量。随机变量根据其取值的特征可分为两种：连续型随机变量连续型随机变量：可在某一区间内，其可能的取值布满整个区间。如：由重复测量所得结果（测量次数无限多）。离散型随机变量离散型随机变量：可能的取值不能布满区间。如：有效位数的取舍误差。2.2 概率和分布函数 2.2.1 事件的概率 随机事件的特点是：在一次观测或试验中，它可能出现也可能不出现，但在大量的观测或试验中呈现出统计规律性。如：在连续独立 n 次试验中，事件 A 发生的了 m 次，m 就被称为事件的频次，m/n 则称为事件的相对频数或频率。当你 n 极大时，频率 m/n 稳定趋于某一个常数 p，该常数便被称为事件 A的概率，记为 P(A)=p。即：概率是用来度量随机事件概率是用来度量随机事件 A 出现的可能性大小的出现的可能性大小的数值数值。必然事件概率为必然事件概率为 1，不可能事件概率为，不可能事件概率为 0，随机事件的概率大于，随机事件的概率大于 0 小于小于 1（0P(A)1）。由此可见：必然事件和不可能事件是随机事件的两个极端情况。概率还可以通过一定的法则进行运算：设：U 代表必然事件；V 代表不可能事件；AB 代表 A 或 B 至少有一个出现事件；AB 代表 A 和 B 同时出现事件。加法定理 若 AB=V，称 A，B 为互斥事件互斥事件。若A=A1A2A3An，且AiAj=V 则：P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)P(An)例例：加工 100 个零件，要求尺寸（1000.01）mm，检测后知：有 2 件尺寸小于 99.99mm，有 3 件大于 100.01mm。问任取一零件，其尺寸超出（1000.01）mm 的概率是多少？解：设A1为零件尺寸大于 100.01mm事件，P(A1)=3%；A2为零件尺寸小于 99.99mm事件，P(A2)=2%。显然，A1和A2是互斥事件，即：A1A2=V 则：A=A1A2。于是：P(A)=P(A1)+P(A2)=3%+2%=5%乘法定理 若事件若事件 A 的出现并不影响事件的出现并不影响事件 B 的出现，则称事件的出现，则称事件 A 与事件与事件 B 相互独立相互独立。由许多独立简单事件组成、且各独立简单事件同时出现的事件称为复杂事件由许多独立简单事件组成、且各独立简单事件同时出现的事件称为复杂事件。概率乘法定理将复杂事件描述为：复杂事件的概率等于组成复杂事件的各个简单事件概率的乘积。即：P(A1,A2,A3,An)=P(A1)P(A2)P(A3)P(An)例例：加工 100 个工件，小端超差的有 5 件，大端超差的有 8 件。问在其中任取一件，大小端同时超差的概率是多少？解：小端超差的概率P(A1)=5%大端超差的概率P(A2)=8%大小端同时超差的概率P(A)=P(A1)P(A2)=5%8%=0.4%2.2.2 分布函数 随机变量的特点是以一定的概率取值，但并不是所有的观测或试验都能以一定的概率取某一个固定值。例如，重复测量直径时，测量结果是一个随机变量，记为 X，它所取的可能值是可以充满某一个区间的（并非是一个固定值）。我们关心的问题是：直径测量结果落在区间的概率是多少（即可能性是多大）？即 PaXb=?由概率的加法定理可得：PaXb=PXb-PXa 显然，对于上述问题，只要分别求出 PXb 和 PXa便能解决问题，这要比直接求 PaXb简便得多，因为它们只依赖一个参数（a 或 b）。对于任何实数 x，事件Xx的概率当然是一个 x 的函数。若令 F(x)=PXx，则有 F(-)=0，F(+)=+1，于是我们便称 F(x)为随机变量 X 的分布函数。分布函数 F(x)完全决定了事件 PaXb的概率，或者说分布函数 F(x)完整的描述了随机变量 X 的统计特性。离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数：设：x1,x2,x3,xn是离散型随机变量X的所有取值，而p1,p2,p3,pn是上述取值的概率，即：PX=xi=pi，概率Pi应满足=1，=niip1PX=xi=pi便是离散型随机变量X的概率分布。连续性随机变量的分布函数连续性随机变量的分布函数：设连续型随机变量X取值于区间a,b，则X的分布函数F(x)对于任意两实数x1，x2(x1x2)有：F(x2)-F(x1)=P(x1Xx2)0 概率分布密度函数 f(x)是描述连续型随机变量概率分布的规律。变量 X 落在 x 至 x+x 区间的概率为：P(x X x+x)=F(x+x)F(x)则：)()()(limxfxxFxxF=+x 所以，概率分布密度函数 f(x)被定义为概率分布函数的导数。即：=xdxxfxF)()(若已知概率分布密度F(x)，则随机变量X落在（x1,x2）内的概率P(x1Xx2）为：=21)()()()(1221xxdxxfxFxFxXxP 2.3 随机变量的数字特征 由上所述，利用分布函数或分布密度函数可以完全确定一个随机变量。但在实际问题中，求分布函数或分布密度函数不仅十分困难，而且常常是完全没有必要。例如，在测量直径时，我们需要的是直径的测量平均值以及测量值的分布范围就够用了。用一些数字来描述随机变量的主要特征，显然十分方便、直观、实用。在概率和统计中，我们关心的正是随机变量的这些数字特征。下面我们讨论这些主要特征量：数学期望数学期望、方差方差。2.3.1 数学期望 数学期望也称期望 E(X)，用来表征随机变量本身的大小，说明 X 的取值中心或在数轴上的位置。期望表征随机变量分布的中心，也就是说期望是随机期望是随机变量可能取值的一个平均的大约数值变量可能取值的一个平均的大约数值，随机变量的所有可能取值围绕着它分布。即：期望用来表征测量结果（平均值）或最佳测量估计值。获得期望的前提是其分布函数收敛。离散型随机变量的期望：=1)(iiipxXE连续型随机变量的期望：+=)()(xxdFXE期望的运算法则：E(C)=C（常数的期望是其本身）；E(CX)=CE(X)；E(X+Y)=E(X)+E(Y)；E(XY)=E(X)E(Y)2.3.2 方差 表征测量结果的可靠性或品质高低，即各测量值对期望的分散程度用方差测量值对期望的分散程度用方差D(X)来表示来表示。方差小，则在不考虑系统效应的情况下，测量品质高或可靠性高。方差为随机变量的每一个可能取值对其期望的偏差的平方的期望。即：D(X)=E(X-E(X)2 离散型随机变量的方差：=12)()(iiipXExXD 连续型随机变量的方差：+=dxxfXExXDi)()()(2为更为实用和便于理解，我们常常用与随机变量同量纲的量方差的正平方根，即标准差标准差 来表征其分散性来表征其分散性。方差的运算法则：D(C)=0；(常数的方差等于 0)D(CX)=C2D(X)；D(X+Y)=D(X)+D(Y)；(X,Y 独立)2.4 几种常见随机变量的概率分布及其数字特征 2.4.1 均匀分布（矩形分布）被测量值等概率分布于区间-a,a各处，而落在区间外的概率为零，则称被测量值服从均匀分布。期望 0)(=XE 方差3)(2aXD=标准差=3a 常见服从均匀分布的有：数据取舍带来的不确定度；电子计数器的量化带来的不确定度；摩擦引起的不确定度；数字示值的分辨率；滞后等等。在缺乏任何信息的情况下，一般均可假设其分布为均匀分布一般均可假设其分布为均匀分布。2.4.2 正态分布（拉普拉斯-高斯分布/高斯分布）正态分布的概率分布密度函数：=2)(21exp21)(xxf（-x）正态分布在测量中应用极为广泛，当测量受大量、微小和相互独立因素影正态分布在测量中应用极为广泛，当测量受大量、微小和相互独立因素影响时，连续型随机变量一般都服从正态分布响时，连续型随机变量一般都服从正态分布。常见服从正态分布的有：重复性或复现性条件下，多次测量的算术平均值；被测量的合成标准不确定度uc，当其各分量u(yi)独立、较多且大小接近时，Y服从正态分布；被测量的合成标准不确定度uc，当其各分量u(yi)独立，且其中存在两个及以上三角分布、或存在 4 个及以上均匀分布，Y服从正态分布；被测量的合成标准不确定度uc，当其各分量u(yi)独立，且其中量值较大者（起决定作用的分量）接近于正态分布，Y服从正态分布。正态分布具有以下 4 个特点：单峰性单峰性，曲线在平均值（期望）处具有极大值；对称性对称性，对称轴左右对称；有一条水平渐进线水平渐进线，曲线两头将无限接近于横轴；对称曲线两侧各有一个拐点拐点（标准差）。X 落在如下区间的概率特别有用：P(E(X)-X E(X)+)=0.6826 P(E(X)-2X E(X)+2)=0.9545 P(E(X)-3 X E(X)+3)=0.9973 2.4.3 三角分布 三角分布是正态分布和均匀分布的一种折衷。区间的中心概率最大，两侧均匀减小至两端为零。若区间半宽度为 a，则标准差=6/a。常见服从三角分布的有：有理由认为数值靠近 X 取值中心的可能性比接近区间边缘的概率大时、估计值是以最大区间形式给出、并且对称分布、宽度相同的两均匀分布的合成两均匀分布的合成分布分布；因分辨率引起的两次测量结果之的和或差的不确定度；2.4.4 梯形分布 梯形分布介于三角和均匀分布之间。设梯形下底为 a，上下底之比为，梯形分布的标准差：)1/(62+=a 由上式可见：当=1 时，即梯形上下底相等，梯形就变成均匀（矩形）分布，=3a；当=0 时，即梯形上底等于零，梯形就变成三角分布，=6/a。2.4.5 反正弦分布（U 形分布）服从均匀分布变量的正弦或余弦函数服从反正弦分布。如在角度、位移和无线电测量中，因其影响量大多呈正弦或余弦变化，故由其引入的不确定度就服从反正弦分布。反正弦分布的标准差=2/a（a：区间的半宽度）。常见服从三角分布的有：度盘偏心引起的角度测量不确定度；正弦或余弦振动引起的位移不确定度；随时间呈正弦或余弦变化的温度不确定度。第三章 测量的基本术语 3.1可测量的量 现象、物体或物质的一种属性，通过它们可以做定性的区别和定量的确定现象、物体或物质的一种属性，通过它们可以做定性的区别和定量的确定。量是表征自然界运动规律的基本概念，如长短、轻重等等。量所表述的对象是不以人的主观意识客观存在的。一切自然现象、物体或物质，只有用相应的量来表述，才能发现其运动规律。量是计量学研究的对象。在此讨论的量都是可以测量的，尽管方法各式各样，故也称为可测量的量。量是由数值和单位组合起来表示的。因为数值大并不一定表示量就大，数值小也不一定表示量就小，因此没有单位的数值是不能表示量的。虽然，有些量表面看起来是没有单位的，如密度、折射率等，但他们一般都是具有相同测量单位量的比值。3.2 量值 一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小。如 1.25m、16kg、300等等。3.3量的真值 与给定的特定量定义一致的值与给定的特定量定义一致的值。它是一个较为理想的概念。3.4量的约定真值 约定真值/指定值/最佳估计值或参考值：对于给定目的、具有适当的不确定度的、赋予特定量的值对于给定目的、具有适当的不确定度的、赋予特定量的值。约定真值可以充分接近真值，常常替代真值使用。通常，我们将计量标准复现的量值、比对中的参考值、被测量的实际测量值、已修正的算术平均值等作为约定真值。3.5 被测量 作为测量对象的特定量作为测量对象的特定量。被测量可以是待测量，也可以是已测量（无论测量与否）。被测量应根据需要的准确度准确度要求、考虑相关影响量来相关影响量来定义，否则会由于定义的不完善带来附加的测量不确定度。如定义被测量是一根 1m 长的钢棒，若要求测量至微米级，完善的定义应该是：一根标称值为 1m 的钢棒在、kPa 时的长度。3.6 测量结果 由测量所得到的赋予被测量的值由测量所得到的赋予被测量的值。测量结果仅仅是被测量的最佳估计值，并非真值，完整的测量结果表述应附带其测量不确定度测量结果仅仅是被测量的最佳估计值，并非真值，完整的测量结果表述应附带其测量不确定度。3.7 测量准确度 测量准确度是一个定性的概念，用于表征测量结果与被测量真值之间的一表征测量结果与被测量真值之间的一致程度致程度。准确度用级或等表示，十分忌讳用量值来表示（如：16mg、3.5V）。3.8测量结果的重复性 在相同测量条件下在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性性（用方差/标准差表征）。相同的测量条件相同的测量程序、测量人、仪器、地点、时间段，通常也被称为重复性条件。3.9实验标准偏差 其定义见 2.3.2。对同一被测量进行 n 次测量，可用实验标准偏差来表征其测量结果的分散表征其测量结果的分散性性。测量列单次测量的实验标准差单次测量的实验标准差：1)()(12=nxxxsnkkk 式中：第 k 次测量结果；kxn 次测量结果的平均值；x kkvxx=残差残差。上式就是著明的贝塞尔（Bessel）公式，也是计算单次测量标准差的“万万能能”公式。上述测量列平均值的实验标准差平均值的实验标准差：nxsxsk/)()(=3.10 测量不确定度 表征合理赋予被测量之值的分散性表征合理赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数与测量结果相联系的参数。用标准差来表示不确定度称为标准不确定度，以 u 表示。用标准差的倍数、或是说明了置信水平区间来表示不确定度称为扩展不确定度，以 U 表示。不确定度有两种表示形式绝对或相对不确定度。绝对不确定度的量纲与被测量相同，相对不确定度由于是绝对不确定度与测量值/示值/量程的比，故其无量纲。3.11 包含因子 为获得扩展不确定度为获得扩展不确定度 U，而对标准不确定度而对标准不确定度 u 所乘的数字因子所乘的数字因子。包含因子用k表示；置信概率为p时，其包含因子表示为kp。3.12 自由度 自由度反映标准不确定度的可靠程度自由度反映标准不确定度的可靠程度。自由度等于方差计算中和的项数减去对和的限制数。在利用贝塞尔公式计算的标准差中，和的项数等于 n，对和的限制只有一个0=iv，故其自由度为n-1。3.13 置信概率 当测量值服从某分布时当测量值服从某分布时，落在某区间的概率落在某区间的概率 p 称为置信概率称为置信概率，也称为置信水平。3.14 相关系数 相关系数是对两个变量之间相互依赖性的度量两个变量之间相互依赖性的度量，等于两个变量间的协方差除以各自方差积的正平方根 r(X,Y)：)()(),(),(YsXsYXsYXr=当 r(X,Y)=1 时，表示两变量完全正相关；当 r(X,Y)=0 时，表示两变量不相关；当 r(X,Y)=-1 时，表示两变量完全负相关。在合成标准不确定度时，应十分注意考虑各变量的相关性（建议尽量回避化解相关性）。3.15 独立 如果两个随机变量的联合概率分布是其每个概率分布的积，则这两个随机变量就被称为是独立的。如果两变量是独立的，则它们就是不相关的（r(X,Y)=0），但反之不一定成立。判断变量间的独立性是比较困难的，一般在实际工作中都是通过分析变量间的相关性来确定其独立性的。如：用同一温度计既测量标准又测量被测的温度，标准和被测的温度就是相关的。第四章 不确定度的来源和测量模型化 4.1 测量不确定度的来源 测量过程中不确定度的来源可能极多，大致归纳如下：4.1.1 人（员）由于测量人员的知识、实际操作本领以及对测量认识水平的局限给测量带来的不确定度。如：由于缺乏热胀冷缩的知识，在测量 1m 长的钢棒长度时未进行温度测量与修正；量块的研合技巧、超导 PN 结的制作、仪器读数等等；4.1.2 机（参考标准或标准物质的值与测量仪器）测量受测量参考标准或标准物质的值不确定度、仪器示值误差/分辨率/漂移等的影响。4.1.3 料（被测量及其处置）例如 1：被测量的定义不完善或不完整。定义被测量是一根 1m 长的钢棒，要求测量至微米级，完善的定义应该是：一根标称值为 1m 的钢棒在、kPa 时的长度。如缺少对温度和大气压力的表述，就会给测量结果带来温度和大气压力方面的不确定度。例如 2：被测量的样本并不能完全代表所定义的被测量。如测量某一介质的在给定频率上的介电常数，由于设备的限制，只能取其部分进行测量，测量结果必定会受到介质的均匀性影响。被测测量前的处理。如测量前长度的温度平衡、电学的预热、化学的浓度提炼或配制等。4.1.4 法（测量方法）实现被测量定义的方法不理想。如将被测的热膨胀系数用线性方程来表示。用抽样所得样品测量结果表征全体被测量。引用数据或参数的不确定度。如：测量使用光速常数 3108ms-1，但实为299792458 ms-1。4.1.5 环（测量环境条件）同样以上述钢棒为例，虽然在测量钢棒长度时，对钢棒测量所得的温度也达到了定义的要求，但这时还会存在因环境温度波动以及钢棒和温度传感器热容量差异引起的温度变化不同步给钢棒长度测量结果的不确定度影响。4.2 测量模型的建立 在实际测量的多数情况下，被测量Y（输出量）是不能直接被测量得到的，而是由N个其他量X1，X2，X3，Xn（输入量）通过函数关系f来确定的：).,(xxxxfY=321n上式这种函数关系被称为测量模型测量模型或数学模型数学模型或测量过程数学模型。测量模型既可以由已知的物理公式得到（如电功率=电压2/电阻），也可以由实验方法确定（如在测量电功率时，考虑电阻的温度和温度系数）。建立测量模型的总体原则是不遗漏也不重复不遗漏也不重复考虑每一个影响量对测量结果的影响。例 1：用 K 型热电偶的数字式温度计来校准工业恒温箱的温度示值。设：工业恒温箱的温度为 t，K 型热电偶的数字式温度计读数为 d，K 型热电偶的数字式温度计修正值为 b，则其测量模型：t=d+b 例 2：检测大豆的水分含量。取大豆样品约 2g，放入经烘干恒重的铝盒中，用天平称量，称准至 0.0001g。将其置于干燥箱内，在（1053）的温度下干燥 4 小时，冷却后在称重。再次烘干 30 分钟后在称重，直至恒重。10001=mmmmX（1）式中：X：样品中的水分（%）m0：干燥恒重的铝盒质量 m：干燥前的铝盒加样品质量 m1：干燥后的铝盒加样品质量 例 3：以同名义值的 3 等量块为标准，通过在立式接触式干涉仪上的比较测量，求取 4 等量块中心长度的测量方程为：)1.().20()20(+=xxxssssxtLtLdLL 式中：Lx：被测量块长度；Ls：标准量块长度；d：测量读数；s：标准量块热膨胀系数；x：被测量块热膨胀系数；ts：标准量块温度；tx：被测量块温度.测量模型的建立与对测量的要求或对测量的认识密切相关测量模型的建立与对测量的要求或对测量的认识密切相关。在中，当被测量Y的最佳估计值y是通过输入量X).,(321nxxxxfY=1，X2，X3，Xn的估计值x1，x2，x3，xn得出的时，被测量最佳估计值y可以：表达方式 1：=nkkynyy11 表达方式 2：),.,(321nxxxxfy=由于不确定度是表征合理赋予被测量值的分散性，故在评估由于不确定度是表征合理赋予被测量值的分散性，故在评估 y 的不确定度的不确定度之前，应将所有修正量加入测得值，并剔除所有测量异常值（粗大误差）。之前，应将所有修正量加入测得值，并剔除所有测量异常值（粗大误差）。4.3 不确定度的传播律 y的不确定度取决于xi的不确定度。如由Y).,(321nxxxxf=可得输出量（被测量）Y的估计值（测量结果）y的不确定度：),(2)().()()(11223223222212212jijNiNijinnxxuxfxfxuxfxuxfxuxfxuxfu+=上式称为不确定度转播律，其中：ixf称为灵敏度系数灵敏度系数；)(ixu),(jixxu分别为各输入量Xi的标准不确定度标准不确定度；为两相关输入量的协方差协方差。4.4 不确定度的分类 根据不确定度的评估方法不同评估方法不同，将不确定度分为两类：A 类和 B 类。A 类不确定度是由重复观测列，通过实际计算标准差而得到的。如由贝塞尔求得。B 类不确定度并不进行实际重复观测，而是依据其他相关信息估计的。如参考标准证书。A类和B类不确定度只是在获取方法上不同，其实不仅并没有实质的区别，而且相互还是可以进行相互转换。如在不确定度估计时，引用别人的实验标准差。别人的实验标准差是别人由重复观测列通过实际计算标准差而得到的，即该不确定度在别人处属于 A 类不确定度。而我引用，我并没有进行实际的重复观测及其标准差计算，是通过相关信息得到的，即同一不确定度在我处却属于 B 类不确定度。第五章 标准不确定度的 A 类估计 原则上所有的不确定度分量都可以采用 A 类不确定度方法来进行评估。由于其评估结果直接源于实验数据的分析计算，故其结果较 B 类不确定度评估方法更为客观。也正是由于 A 类不确定度方法直接取用实验数据，测量中各不确定度分量对实验数据或多或少都有不同的贡献，因此在进行 A 类不确定度评估时，更需注意各影响量的独立性（相关性），不要重复计算，或尽可能将不可避免的重复计算量降至最小。5.1 单次测量结果实验标准差与平均值实验标准差 对同一被测量进行 n 次测量，其单次单次测量结果的实验标准偏差（由贝塞尔公式得）：1)()(12=nxxxsnkkk n 次测量结果平均值平均值的实验标准差：nxsxsk/)()(=由于随着测量次数的增加，测量结果的平均值收敛于期望，因此多次测量结果的平均值更为准确可靠。故通常将测量结果的平均值作为被测量的最佳估计值（最终测量结果），以测量平均值 的实验标准差x)(xs作为测量结果的标准不确定度。即 A 类不确定度。测量次数 n 越大，其标准不确定度的自由度 n-1 就越大，即)(xs就越可靠。一般认为测量次数 n 不应小于 5。具体的测量次数 n 应根据该不确定度分量对测量的贡献大小来确定，如贡献大，则需要相对可靠一些，即 n 就应大一些；如贡献小，则其可靠要求就相对弱一些，即 n 取大取小都关系不大。实验标准差并不是每一次或每一个测量点都要去实际做，即可沿用以前或同类测量的结果，也可以用关键测量点（标准差最大）的实验标准差来代表整个量程。5.2 极差法 在有些特殊情况下，如硬度（对被测量有损环的）测量，我们不可能进行次数较多的重复性测量，即用贝塞尔公式来评估其标准差存在一定的困难或是不方便。实验标准差可以在重复性条件下，对Xi进行有限次测量，通过其最大和最小值之差极差（R）由下式获得：CRxsi=)(上式中的测量次数、极差 R 和自由度见下表：次数 C 2 3 4 5 6 7 8 9 极差 R 1.13 1.64 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 自由度 v 0.9 1.8 2.7 3.6 4.5 5.3 6.0 6.8 一般测量次数较少时采用极差法，测量次数以 49 为宜。用极差法来估计标准差的前提是：Xi属于或接近于正态分布。5.3 标准化差值法 在化学/医学测量中，由于种种原因测量所得值可能差异极大，若用上述两种方法来评估测量结果的分散性，已失去了实际意义。标准化差值法首先进行成对的测量，将其差值（dn+1-dn）除以其平均值（21nnddd+=+），即得其相对差值相对差值（dn+1-dn）/d，将相对差值视为观测例，通过计算相对差值的相对标准差来评估测量结果的分散性。n dndn+1dn+1-dnd（dn+1-dn）/d 1 1.30 1.30 0.00 1.30 0.000 2 1.30 0.90 0.40 1.10 0.364 3 0.57 0.53 0.04 0.55 0.073 4 0.16 0.26-0.10 0.21-0.476 5 0.65 0.58 0.07 0.61 0.114 6 0.04 0.04 0.00 0.04 0.000 7 0.08 0.09-0.01 0.085-0.118 8 0.02 0.02 0.00 0.02 0.000 9 0.01 0.02-0.01 0.015-0.667 10 0.02 0.01 0.01 0.015 0.667 11 0.03 0.02 0.015 0.01 0.400 12 0.04 0.06-0.02 0.05-0.400 13 0.07 0.08-0.01 0.075-0.133 14 0.01 0.01 0.00 0.01 0.00 15 0.06 0.03 0.03 0.045 0.667 标准化差值标准差s(dn+1-dn)/0.382 d因为在一组测量中各测量均是等精度测量，故s(dn)=s(dn+1)=s(d)，于是：)(2)(2)()()(21221ddsddsddsddsdddsnnnn=+=+故，将标准化差值标准差（0.382）除以2，便可得到单次测量值的相对标准差（0.27），其自由度仍为和的项数（15）减去残差趋于零一个限制条件，即自由度为 14。A 类不确定度由其定义决定，均是通过测量例计算而得到的。只是在计算前，需根据测量和测量结果来选择适用的具体计算方法。第六章 B 类标准不确定度的评估 如果对所有的不确定度分量都用 A 类方法来进行评估，显然是不可取的、不经济的。不确定度 B 类评估方法就是利用相关的信息去对各不确定度分量的标准差进行估计，及非 A 类评估的各种方法。A 类和 B 类不确定度，仅仅存在评估方法的差异。6.1 B 类不确定度评估的信息来源 B 类不确定度评估信息来源大致如下：以前的测量数据；对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验；生产方提供的技术说明性文件；证书报告或其相关文件提供的数据、准确度等级；手册或资料给出的参考数据及其不确定度；法规文件的规定等等。6.2 B 类不确定度的评估方法 6.2.1 已知扩展不确定度已知扩展不确定度 U 和包含因子和包含因子 k 由证书报告得：标称值为 1kg 的砝码实际质量为 1000.00032g，其扩展不确定度 U=0.24mg，包含因子 k=3。则：该砝码测量的标准不确定度 u（x）=U/k=0.24mg/3=0.08mg 6.2.2 已知扩展不确定度已知扩展不确定度Up和置信水平和置信水平p的正态分布的正态分布 按正态分布考虑其标准不确定度u（x）=Up/kp正态分布的置信水平 p 与包含因子 k 的关系见下表：p(%)50 68.27 90 95 95.45 99 99.73 kp0.67 1 1.645 1.960 2 2.576 3 6.2.3 已知扩展不确定度已知扩展不确定度Up、置信水平、置信水平p、有效自由度、有效自由度veff的的t分布分布 正态分布是 t 分布随机变量取值可能趋于无穷的特例。t 分布与正态分布最突出的差异在于其分布的对称性较正态分布差一些。按t分布考虑其标准不确定度u（x）=Up/kp，此时的kp应根据t分布表由veff和置信水平p差得。6.2.4 几种常见的分布几种常见的分布 事实上，在实际的不确定度评估中，不确定度最常见分布多是服从如下分布的。如果已知其分布区间（或半宽度），并假定其可能取值均在其中（发生的概率为 100%），则标准差 u（x）不仅固定，具体求取起来也十分方便。分布类型 置信概率p(%)包含因子k 标准差u（x）正态分布 99.73 3 a/3 三角分布 100 6 a/6 梯形分布（=0.71）100 2 a/2 均匀（矩形）分布 100 3 a/3 反正弦分布 100 2 a/2 注：a区间半宽度。6.2.5 按等别使用器具的标准差按等别使用器具的标准差 按等别使用的器具（使用测量结果修正量），一般都是服从正态分布的。由其证书报告、检定系统表、检定规程/校准规范可得其扩展不确定度Up和包含因子kp，故其标准差u（x）=Up/kp6.2.6 按级使用的器具的标准差按级使用的器具的标准差 按级使用的器具（不使用测量结果修正量），一般均将其考虑为均匀分布。由标准、规程可得各级别最大允许示值误差 A，故其标准差 u（x）=A/3。6.3 B 类不确定度评估的自由度及其意义 如前所述，自由度是表征不确定度可靠性的参数。B类不确定度分量的自由度v与所得标准不确定度u(xii)的相对不确定度u(xi)/u(xi)关系如下：222)()(21)()(21=iiiiixuxuxuxuV 通常，我们并不按上式实际进行自由度v的计算，而是根据对 B 类不确定度的把握、信息来源的可靠程度，即标准不确定度的相对不确定度由下表直接给出：iu(xi)/u(xi)vi u(xi)/u(xi)vi 0 0.25 8 0.05 200 0.30 6 0.10 50 0.40 3 0.20 12 0.50 2 即：当对 B 类不确定度估计的正确性/可靠程度为 90%，或考虑该 B 类不确定度的不确定度为 10%时，其自由度=50。vi 6.4 B 类不确定度评估流程 评估开始 Y N 已知 U 和 k？估计分布区间或区间半宽度 a 估计分布并按分布确定 k u(xi)=a/k 结束 u(xi)=U/k 第七章 合成标准不确定度 7.1 输入量不相关时不确定度的合成 当各输入量不相关时，按不确定度传播律，可得其合成标准不确定度uc(y)：=Niiicxuxfyu1222)()(式中：f被测量与诸直接测得量xi的函数关系；u(xi)各不确定度来源的（A/B类）标准不确定度。不确定度uc(y)是基于Y的泰勒级数近似为一阶时所得，当f非线性显著时，u).,(21nXXXf=effeffc2(y)表达式应考虑计入泰勒级数的高阶项。7.2 合成标准不确定度的自由度 合成标准不确定度uc(y)的自由度称为有效自由度v。其有效自由度可由韦尔奇-萨特斯韦特（Welch-Satterthwaite）公式计算：v=NiiiceffVyuyuV144)()(7.3 合成标准不确定度的流程 列出测量模型).,(21nXXXfy=求取灵敏度系数iixfc=/计算各不确定度分量ciu(xi)评估各分量标准不确定度u(xi)N Y 各分量是否相关 合成标准不确定度22)(ruyu ic?+=合成标准不确定度=2)(icuyu 第八章 扩展不确定度的评估 8.1 输出量的分布特征 合成标准不确定度的基本过程是通过各不确定度分量ui(y)=ciu(xi)，由其均方和而得到合成标准不确定度uc(y)的。需要特别注意的是：1、各输入量Xi均有三个参量：标准不确定度标准不确定度、自由度自由度及其分布分布；2、输出量（测量结果）Y 也有三参量：合成标准不确定度合成标准不确定度、有效自由度有效自由度及其分布分布。各输入量Xi的标准不确定度、有效自由度及其分布由前介绍均可一一通过计算和估计得到。那么输出量Y是服从什么分布？如果能搞清输出量（测量结果）的分布，根据要求的置信概率p便可得到包含因子k，从而最终导出其扩展不确定度Up。事实上，一方面是由于不同的输入量在