总复习-走向清华北大--34基本不等式及其应用市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件.ppt

第三十四讲第三十四讲 基本不等式及其应用基本不等式及其应用1/43回归书本回归书本1.1.算术平均数算术平均数假如假如a,bRa,bR+,那么那么 叫做这两个正数算术平均数叫做这两个正数算术平均数.2.2.几何平均数几何平均数假如假如a,bRa,bR+,那么那么 叫做这两个正数几何平均数叫做这两个正数几何平均数.2/433.3.主要不等式主要不等式假如假如a,bR,a,bR,则则a a2 2+b+b2 22ab2ab(当且仅当当且仅当a=ba=b时时,取取“=”);=”);均值定理均值定理:假如假如a,bRa,bR+,那么那么 (当且仅当当且仅当a=ba=b时时,取取“=”).=”).均值定理能够叙述为均值定理能够叙述为:两个正实数算术平均数大于或等于它两个正实数算术平均数大于或等于它们几何平均数们几何平均数.3/434/435.5.已知已知x x、y y都是正数都是正数,则则(1)(1)若若x+y=S(x+y=S(和为定值和为定值),),则当则当x=yx=y时时,积积xyxy取最大值取最大值(2)(2)若若xy=P(xy=P(积为定值积为定值),),则当则当x=yx=y时时,和和x+yx+y取得最小值取得最小值即两个正数和为定值即两个正数和为定值,则可求其积最大值则可求其积最大值;积为定值积为定值,则可求则可求其和最小值其和最小值.应用此结论要注意三个条件应用此结论要注意三个条件;“;“一正二定三相一正二定三相等等”,即即:各项或各因式为正各项或各因式为正;和或积为定值和或积为定值;各项或各因式都能各项或各因式都能取得相等值取得相等值.5/43考点陪练考点陪练1.1.函数函数y=logy=log2 2x+logx+logx x2 2值域是值域是()()A.(-,-2A.(-,-2B.2,+)B.2,+)C.-2,2C.-2,2D.(-,-22,+)D.(-,-22,+)答案答案:D:D6/432.2.已知已知x+3y=2,x+3y=2,则则3 3x x+27+27y y最小值为最小值为()()答案答案:A:A7/43答案答案:C:C答案答案:B:B8/43答案答案:D:D9/43类型一类型一证实不等式证实不等式解题准备解题准备:证实不等式是均值不等式一个基本应用证实不等式是均值不等式一个基本应用,注意分析注意分析不等式左右两边结构特征不等式左右两边结构特征,经过拆经过拆(添添)项创设一个应用均项创设一个应用均值不等式条件值不等式条件.在处理本类问题时注意以下几点在处理本类问题时注意以下几点:(1):(1)均值均值不等式成立前提条件不等式成立前提条件;(2);(2)经过加减项方法配凑成算术平均经过加减项方法配凑成算术平均数、几何平均数形式数、几何平均数形式;(3);(3)注意注意“1”1”代换代换;(4);(4)灵活变换基灵活变换基本不等式形式并注意其变形式利用本不等式形式并注意其变形式利用.10/43【典例典例1 1】证实证实:a:a4 4+b+b4 4+c+c4 4aa2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2abc(a+b+c).abc(a+b+c).分析分析 利用利用a a2 2+b+b2 22ab(a,bR)2ab(a,bR)求证即可求证即可.证实证实aa4 4+b+b4 42a2a2 2b b2 2,b,b4 4+c+c4 42b2b2 2c c2 2,c c4 4+a+a4 42c2c2 2a a2 2,2(a2(a4 4+b+b4 4+c+c4 4)2(a)2(a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2),),即即a a4 4+b+b4 4+c+c4 4aa2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2,11/43又又a a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 22ab2ab2 2c,bc,b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 22abc2abc2 2,c c2 2a a2 2+a+a2 2b b2 22a2a2 2bc,bc,2(a2(a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2)2(ab)2(ab2 2c+abcc+abc2 2+a+a2 2bc),bc),即即a a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2abab2 2c+abcc+abc2 2+a+a2 2bc=abc(a+b+c).bc=abc(a+b+c).即原命题可得证即原命题可得证.12/4313/43类型二类型二 求最值求最值解题准备解题准备:1.:1.利用基本不等式能够求一些函数或代数式最值利用基本不等式能够求一些函数或代数式最值.2.2.应用主要不等式和基本不等式能够得到一些惯用不等式应用主要不等式和基本不等式能够得到一些惯用不等式,主要有主要有:14/4315/4316/4317/4318/4319/4320/43类型三类型三利用均值不等式解应用题利用均值不等式解应用题解题准备解题准备:均值不等式作为求最值惯用工具均值不等式作为求最值惯用工具,经常在相关最优经常在相关最优解实际问题中应用解实际问题中应用.应用均值不等式处理实际问题基本步应用均值不等式处理实际问题基本步骤是骤是:仔细阅读题目仔细阅读题目,透彻了解题意透彻了解题意;分析实际问题中分析实际问题中数量关系数量关系,引入未知数引入未知数,并用它表示其它变量并用它表示其它变量,把要求最值把要求最值变量设为函数变量设为函数;应用均值不等式求出函数最值应用均值不等式求出函数最值;还原实还原实际问题际问题,作出解答作出解答.21/43【典例典例3 3】某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m200 m2 2三级三级污水处理池污水处理池(平面图如图所表示平面图如图所表示).).假如池四面围墙建造单假如池四面围墙建造单价为价为400400元元/m,/m,中间两道隔墙建造单价为中间两道隔墙建造单价为248248元元/m,/m,池底建造池底建造单价为单价为8080元元/m/m2 2,水池全部墙厚度忽略不计水池全部墙厚度忽略不计.(1)(1)试设计污水处理池长和宽试设计污水处理池长和宽,使总造价最低使总造价最低,并求出最低总并求出最低总造价造价;(2)(2)若因为地形限制若因为地形限制,该池长和宽都不能超出该池长和宽都不能超出16 m,16 m,试设计污试设计污水池长和宽水池长和宽,使总造价最低使总造价最低,并求出最低总造价并求出最低总造价.22/4323/4324/4325/43 反思感悟反思感悟 不等式应用特点是不等式应用特点是:(1):(1)问题背景是人们关心社问题背景是人们关心社会热点问题会热点问题,如如“物价物价 税收税收 销售销售 市场信息市场信息”等等,题目往题目往往篇幅较长往篇幅较长.(2).(2)建立函数模型常见有建立函数模型常见有“正正(反反)百分比函数百分比函数 一次函数一次函数 二次函数二次函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数 三角函数三角函数,以及以及 ”等形式等形式.解函数应用题中最值问题普通利用二次函数性解函数应用题中最值问题普通利用二次函数性质或基本不等式来处理质或基本不等式来处理.26/43错源一错源一 忽略等号成立条件忽略等号成立条件27/4328/43 剖析剖析解法一和解法二错误原因是等号同时成立条件不具备解法一和解法二错误原因是等号同时成立条件不具备,所以使用基本不等式一定要验证等号成立条件所以使用基本不等式一定要验证等号成立条件,只有等号成只有等号成立时立时,所求出最值才是正确所求出最值才是正确.29/4330/4331/43错源二错源二 忽略均值不等式应用条件致误忽略均值不等式应用条件致误32/43 答案答案(-,-13,+)(-,-13,+)33/4334/43技法一技法一 快速解题快速解题(三角换元三角换元)【典例典例1 1】已知已知a a、b b、c c、dR,xdR,x、yRyR+,且且x x2 2=a=a2 2+b+b2 2,y,y2 2=c=c2 2+d+d2 2.求证求证:xyac+bd.:xyac+bd.快解快解 联想到圆参数方程联想到圆参数方程,设设a=xcos,b=xsin,c=ycos,d=ysin,a=xcos,b=xsin,c=ycos,d=ysin,则则ac+bd=xycoscos+xysinsin=xycos(-)xy.ac+bd=xycoscos+xysinsin=xycos(-)xy.另解切入点另解切入点 有有a a2 2+b+b2 2、c c2 2+d+d2 2形式出现形式出现,就能够用就能够用a a2 2+b+b2 22ab.2ab.因为因为a a、b b、c c、dR,dR,故故ac+bdac+bd可能为正可能为正,也可能为负也可能为负.当当ac+bd0ac+bd0ac+bd0情况情况.35/43 证实证实 证法一证法一:当当ac+bd0ac+bd0时时,显然有显然有xyac+bdxyac+bd成立成立.当当ac+bd0ac+bd0时时,x x2 2y y2 2=(a=(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)=a)=a2 2c c2 2+b+b2 2d d2 2+a+a2 2d d2 2+b+b2 2c c2 2aa2 2c c2 2+b+b2 2d d2 2+2abcd=(ac+bd)+2abcd=(ac+bd)2 2,即即xyac+bd.xyac+bd.36/43证法二证法二:当当ac+bd0ac+bd0 xy0、-1cos(-)1-1cos(-)1就行就行了了.得分主要步骤得分主要步骤 本题证实步骤简单本题证实步骤简单,但需考虑但需考虑ac+bdac+bd或正或负或正或负两种情况两种情况.若若ac+bd0,ac+bd0,则则(ac+bd)(ac+bd)2 2与与x x2 2y y2 2大小不能确定大小不能确定,证证题时需注意此处题时需注意此处.易丢分原因易丢分原因 没有考虑到没有考虑到ac+bd0ac+bd0还是还是ac+bc0.ac+bc0.38/43技法二技法二 怎样处理含有多个变量条件最值问题怎样处理含有多个变量条件最值问题求解含有多个变量条件最值问题求解含有多个变量条件最值问题,普通方法是利用给出条件普通方法是利用给出条件,经过代换降低变量个数经过代换降低变量个数,将问题转化为只含有一个变量函将问题转化为只含有一个变量函数最值问题进行处理数最值问题进行处理.假如条件等式中含有两个变量和与假如条件等式中含有两个变量和与积形式积形式,能够直接利用均值不等式对两个正数和与积进行能够直接利用均值不等式对两个正数和与积进行转化转化,然后经过解不等式进行求解然后经过解不等式进行求解,或者经过结构一元二次或者经过结构一元二次方程方程,依据已知变量取值范围依据已知变量取值范围,利用根分布处理问题利用根分布处理问题.39/4340/4341/4342/43 方法与技巧方法与技巧 本题是一道条件下求代数式最值问题本题是一道条件下求代数式最值问题.解题解题思绪是利用给出条件思绪是利用给出条件,用用a a来表示来表示b,b,从而在所求问题中消去从而在所求问题中消去b,b,利用均值不等式转化成函数最值求解利用均值不等式转化成函数最值求解.43/43