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气体动理论气体动理论第七章第七章麦克斯韦速率分布律（Maxwells law of distribution of speeds）第1页 4.5 4.5 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律1、速率分布函数速率分布函数要深入研究气体性质，要深入研究气体性质，一步搞清分子按速率和按一步搞清分子按速率和按能量等能量等分布分布情况。情况。不能光是研究一些平均值，不能光是研究一些平均值，还应该进还应该进整体上看，气体速率分布是有统计规律性。整体上看，气体速率分布是有统计规律性。麦克斯韦麦克斯韦（Maxwell s law of distribution of speeds）第2页设总分子数为设总分子数为 N N 表示速率在表示速率在 v v+v 区间内分子数。区间内分子数。N 与与 v、v 相关相关 。表示速率处于表示速率处于 v v+v 区间内分子数占总区间内分子数占总 分子数百分率。分子数百分率。也与也与 v、v 相关。相关。分子速率在分子速率在 v 附近单位速率区间内分子数占总附近单位速率区间内分子数占总 分子数比率。分子数比率。第3页下面列出了下面列出了HgHg分子在某温度时不一样速率分子分子在某温度时不一样速率分子数占总分子百分比。数占总分子百分比。90以下以下6.290-140140-190190-240240-290290-340340-390390以上以上10.3218.9322.718.312.86.24.0第4页注意注意：以上速率分布情况只要在相同试验条件下屡次以上速率分布情况只要在相同试验条件下屡次重复试验，其结果一样。说明尽管每次任取一分子看，重复试验，其结果一样。说明尽管每次任取一分子看，分子速率各不相同。但大量分子总体而言却遵照着确分子速率各不相同。但大量分子总体而言却遵照着确定规律。定规律。1）试验数据图示化）试验数据图示化6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%0 90 140 190 240 290 340 390 第5页从图中能够看出从图中能够看出:1)每个小长方形面积代表某速率区间分子数每个小长方形面积代表某速率区间分子数 占总分子数百分比占总分子数百分比 N/N2)全部小面积和恒等于一。全部小面积和恒等于一。3）当速率区间）当速率区间，小矩形面积端点，小矩形面积端点连成一函数曲线连成一函数曲线-分子速率分布函数。分子速率分布函数。第6页2 2）分布函数）分布函数 意义意义要搞清函数意义，先要搞要搞清函数意义，先要搞清纵坐标意义。清纵坐标意义。在在区间区间作一小矩形，小矩作一小矩形，小矩形面积：形面积：按函数定义按函数定义故故或：或：当当第7页占总分子数百分比。占总分子数百分比。”率率v 附近单位速率区间概率。附近单位速率区间概率。由定义式由定义式可看出可看出 f(v)意义是：意义是：因为因为 所以所以 这称为速率分布函数这称为速率分布函数归一化条件归一化条件。即即 对于一个分子来说，对于一个分子来说，f(v)就是分子处于速就是分子处于速“在速率在速率v 附近，附近，单位速率区间内分子数单位速率区间内分子数（function of distribution of speeds）称称 速率分布函数速率分布函数第8页思索：思索：1、若若 表示速率分布函数，试说明以下各式物理意义表示速率分布函数，试说明以下各式物理意义（1）（2）（3）（4）（5）第9页2、麦克斯韦速率分布函数、麦克斯韦速率分布函数（1860年从理论上导出）年从理论上导出）是分子质量，是分子质量，玻耳兹曼常数玻耳兹曼常数速率分布曲线速率分布曲线 以以 v 为横坐标，为横坐标，为纵坐标，画出曲线称为为纵坐标，画出曲线称为速率分布曲线速率分布曲线。由上式可得到一个分子在由上式可得到一个分子在 v v+dv 区间概率为区间概率为第10页f(v)vv2v1分布曲线物理意义分布曲线物理意义 小矩形面积小矩形面积表示速率处于表示速率处于 v v+dv 区间内分子数占总分子数区间内分子数占总分子数百分率。百分率。曲边梯形面积曲边梯形面积 表示速率处于表示速率处于 v1 v2 区间内分子数占总分子数百分率。区间内分子数占总分子数百分率。曲线下总面积曲线下总面积归一化条件归一化条件第11页3 3、三种统计速率三种统计速率三种统计速率三种统计速率1.最可几速率最可几速率 (最概然速最概然速率率)vpf(v)vvpvp把整个速率区间分成许多相等小区间把整个速率区间分成许多相等小区间,则速率大小与则速率大小与 相近相近气体分子数占总分子数比率为最大。气体分子数占总分子数比率为最大。可由求极值条件可由求极值条件 求得求得 分布曲线极大值对应速分布曲线极大值对应速率叫最可几速率。率叫最可几速率。物理意义物理意义:第12页讨论两种情况：讨论两种情况：（1 1）m0 一定一定,曲线高峰右移曲线高峰右移,同时高度下降。同时高度下降。（2 2）T 一定一定，f(v)vvp1vp2f(v)v第13页2.平均速率平均速率大量分子速率算术平均值叫平均速率。大量分子速率算术平均值叫平均速率。若用若用dN表示速率在表示速率在vv+dv 区间内分子数区间内分子数，v 连续连续分布时，上式过渡到积分。分布时，上式过渡到积分。第14页分立：分立：连续：连续：vi v，对麦氏速率分布经计算得：对麦氏速率分布经计算得：Ni dNv=N f(v)dv，平均速率平均速率（average speed）平均速率平均速率 任意函数任意函数(v)对对全体分子全体分子按速按速率分布平均值：率分布平均值：第15页3.方均根速率方均根速率速率平方平均值速率平方平均值方均根速率方均根速率第16页f(v)v三种速率中，三种速率中，最大，最大，次之，最小次之，最小第17页附录附录:三种统计速率计算三种统计速率计算速率分布函数中令速率分布函数中令则第18页速率平方平均值速率平方平均值第19页讨论思索题：讨论思索题：试说明以下各式物理意义试说明以下各式物理意义速率在速率在 全部分子速全部分子速率总和被总分子数除率总和被总分子数除速率在速率在 区间内分子区间内分子数数速率在速率在 区间内分子区间内分子数占总分子数比率数占总分子数比率并非并非 之间分子平之间分子平均速率均速率第20页速率在速率在 全部分子速全部分子速率总和率总和分子平动动能平均值分子平动动能平均值速率在速率在 内分子平均内分子平均速率速率第21页f(v)vT1T2例例1、图为同一个气体，处于不一样温度下速率分布曲线，试图为同一个气体，处于不一样温度下速率分布曲线，试问（问（1）哪一条曲线对应温度高？（）哪一条曲线对应温度高？（2)假如这两条曲线分别对应假如这两条曲线分别对应是同一温度下氧气和氢气分布曲线，问哪条曲线对应是氧气，是同一温度下氧气和氢气分布曲线，问哪条曲线对应是氧气，哪条对应是氢气？哪条对应是氢气？解：解：(1)T1 T2(2)绿：氧绿：氧 白白：氢：氢第22页例例2、处理理想气体分子速率分布统计方法可用于金属中自处理理想气体分子速率分布统计方法可用于金属中自由电子由电子(“电子气电子气”模型模型)。设导体中自由电子数为。设导体中自由电子数为 N,电子电子速率最大值为费米速率速率最大值为费米速率 ，且已知电子速率在，且已知电子速率在 v v+d v 区间概率为：区间概率为：A 为常数为常数（1）画出电子气速率分布曲线画出电子气速率分布曲线（2）由）由 定出常数定出常数 A（3）求）求第23页Ovf(v)解：解：（1）第24页（2）由归一化条件确定常数由归一化条件确定常数A（3）第25页讨论：讨论：1、用分子数用分子数N，气体分子速率，气体分子速率v和速率分布函数和速率分布函数表示以下各量表示以下各量（1）速率大于）速率大于 分子数；分子数；（2）速率大于）速率大于 那些分子平均速率；那些分子平均速率；（4）分子速率倒数平均值。）分子速率倒数平均值。（5）分子平均平动动能。）分子平均平动动能。2、设某种气体分子速率分布函数为设某种气体分子速率分布函数为f(v),则速率在则速率在v1v2区间分区间分子平均速率为：子平均速率为：（3）屡次观察某一分子速率，发觉其速率大于）屡次观察某一分子速率，发觉其速率大于 概率。概率。第27页（A）m/s，1000 m/s（B）1000 m/s，m/s（C）1000 m/s，1000 m/s（D）1000 m/s，1000 m/s 3、若气体分子速率分布曲若气体分子速率分布曲线线如如图图所表示，所表示，图图中中A、B两部分面两部分面积相等，则图中积相等，则图中 表示（表示（D ）4、图示曲线分别是氢气和氦气在同温度下分子速率分布曲线，图示曲线分别是氢气和氦气在同温度下分子速率分布曲线，由图可知，氢气分子最概然速率和氧气分子最概然速率分别为由图可知，氢气分子最概然速率和氧气分子最概然速率分别为（）（A）最概然速率）最概然速率 （B）平均速率）平均速率 （C）方均根速率）方均根速率 （D）速率大于和小于）速率大于和小于 分子各占二分之一分子各占二分之一 第28页5、以下说法中正确是（以下说法中正确是（）（A）N个理想气体分子组成分子束，都以垂直于器壁速度个理想气体分子组成分子束，都以垂直于器壁速度v与器壁作完全弹性碰撞。当分子数与器壁作完全弹性碰撞。当分子数N小时，不能使用理想小时，不能使用理想气体压强公式；当气体压强公式；当N很大时就能够使用它；很大时就能够使用它；（B）表示温度表示温度为为T平衡平衡态态下，分子在一个自由度上运下，分子在一个自由度上运动动平均平均动动能；能；（C）因为氢分子质量小于氧分子质量，故在相同温度下）因为氢分子质量小于氧分子质量，故在相同温度下它们速率满足它们速率满足 ；（D）气体分子速率等于最概然速率）气体分子速率等于最概然速率 概率最大。概率最大。第29页6、某气体分子速率分布曲线如选某气体分子速率分布曲线如选7-7图所表示，图所表示，表示最概然表示最概然速率，速率，表示速率分布在表示速率分布在 之间分子数占总分子之间分子数占总分子数百分率，当温度减低时，则（数百分率，当温度减低时，则（A ）（A）减小，减小，也减小也减小（B）增大，增大，也增大也增大 （C）减小，减小，增大增大（D）增大，增大，减小减小第30页7、设为设为N个（个（N很大）分子组成系统速率分布函数。很大）分子组成系统速率分布函数。（1）分别写出题图（）分别写出题图（a）、）、(b)中阴影面积对应数学表示式并中阴影面积对应数学表示式并回答其物理意义；回答其物理意义；（2）设设分子分子质质量量为为m，试试用用 表示以下各量：表示以下各量：分子动量大小平均值；分子动量大小平均值；分子平动动能平均值。分子平动动能平均值。第31页4.6 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律(了解了解)1、麦克斯韦速度分布律、麦克斯韦速度分布律（1859年导出）年导出）分子动能分子动能上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即 上述麦克斯韦速率分布律，未考虑气体分子速度方向，更上述麦克斯韦速率分布律，未考虑气体分子速度方向，更上述麦克斯韦速率分布律，未考虑气体分子速度方向，更上述麦克斯韦速率分布律，未考虑气体分子速度方向，更详细描述应指出气体分子是怎样按速度分布，如以详细描述应指出气体分子是怎样按速度分布，如以详细描述应指出气体分子是怎样按速度分布，如以详细描述应指出气体分子是怎样按速度分布，如以 表示分子表示分子表示分子表示分子速度，速度，速度，速度，分别表示速度沿分别表示速度沿分别表示速度沿分别表示速度沿x x,y y,z z分量，则理论表明，平衡分量，则理论表明，平衡分量，则理论表明，平衡分量，则理论表明，平衡态下，在速度分量区间态下，在速度分量区间态下，在速度分量区间态下，在速度分量区间 内分子数内分子数内分子数内分子数d d d dN N与总分子数与总分子数与总分子数与总分子数N N比率为比率为比率为比率为第32页全全全全“速度空间速度空间速度空间速度空间”捕捉粒子概率为捕捉粒子概率为捕捉粒子概率为捕捉粒子概率为1 1 “速率区间速率区间速率区间速率区间 v v v v +v v ”对应对应对应对应“速度空间速度空间速度空间速度空间”中半径中半径中半径中半径为为为为 v v 、厚度为、厚度为、厚度为、厚度为 d d v v “球壳球壳球壳球壳”，所以粒子在，所以粒子在，所以粒子在，所以粒子在速率区间内概速率区间内概速率区间内概速率区间内概率为率为率为率为第33页2、玻耳兹曼分布律、玻耳兹曼分布律 当系统当系统当系统当系统在保守力场中在保守力场中在保守力场中在保守力场中处于平衡态时，坐标介于处于平衡态时，坐标介于处于平衡态时，坐标介于处于平衡态时，坐标介于 内，同时速度介于内，同时速度介于内，同时速度介于内，同时速度介于 分子数为分子数为分子数为分子数为式改写一下式改写一下式改写一下式改写一下式中式中式中式中n n0 0为势能为势能为势能为势能 时单位体积内含有各种速度分子总数，时单位体积内含有各种速度分子总数，时单位体积内含有各种速度分子总数，时单位体积内含有各种速度分子总数，上式称为上式称为上式称为上式称为玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律(又称玻耳兹曼分子按能量分布律又称玻耳兹曼分子按能量分布律又称玻耳兹曼分子按能量分布律又称玻耳兹曼分子按能量分布律)。第34页式对全部速度积分得体积元式对全部速度积分得体积元式对全部速度积分得体积元式对全部速度积分得体积元 内总分子数内总分子数内总分子数内总分子数 式中中间项为麦克斯韦速度分布项，它满足归一化条件式中中间项为麦克斯韦速度分布项，它满足归一化条件式中中间项为麦克斯韦速度分布项，它满足归一化条件式中中间项为麦克斯韦速度分布项，它满足归一化条件令令令令 ，式写成式写成式写成式写成第35页称为分子数密度按势能分布规律称为分子数密度按势能分布规律重力场中分子数密度按高度分布规律重力场中分子数密度按高度分布规律n0 为为 z=0 处处分子数密度分子数密度由理想气体状态方程得：由理想气体状态方程得：理想气体状态方程另一形式理想气体状态方程另一形式第36页等温气压公式等温气压公式高度计原理高度计原理第37页课外练习：课外练习：速率分布函数速率分布函数 P 94 96 页页 5，6,7，8，9，11，14，21，22第38页第四章作业：第四章作业：P 94 96 页页 1，3,6，8，14，21第39页