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第三章第三章 地理学中的经典统计分析地理学中的经典统计分析方法方法1第6节 趋势面分析方法 趋势面分析的用途趋势面分析的用途趋势面分析的一般原理趋势面分析的一般原理 趋势面模型的适度检验趋势面模型的适度检验 趋势面分析应用实例趋势面分析应用实例趋势面分析的软件实现趋势面分析的软件实现2一、趋势面分析的用途一、趋势面分析的用途v趋势面分析趋势面分析(trend surface analysis,TSA)的主要功的主要功能是找出研究区域内变量的空间分布格局。能是找出研究区域内变量的空间分布格局。描述地理要描述地理要素的空间分布及变化趋势（如地质勘探、海底地形、生态环境、素的空间分布及变化趋势（如地质勘探、海底地形、生态环境、经济要素的空间分布、评估等等）。许多现象在空间都具有复杂经济要素的空间分布、评估等等）。许多现象在空间都具有复杂的分布特征，它们常常呈现为不规则的曲面。欲研究这些现象的的分布特征，它们常常呈现为不规则的曲面。欲研究这些现象的空间分布趋势，就要用适当的数学方法将现象的空间分布及其区空间分布趋势，就要用适当的数学方法将现象的空间分布及其区域变化趋势模拟出来，这就用到趋势面分析方法。趋势面分析方域变化趋势模拟出来，这就用到趋势面分析方法。趋势面分析方法常常被用来模拟资源、环境、人口及经济要素在空间上的分布法常常被用来模拟资源、环境、人口及经济要素在空间上的分布规律，它在空间分析方面具有重要的应用价值。规律，它在空间分析方面具有重要的应用价值。v进行空间插值进行空间插值.是空间内插的一种方法。在区域内通过已知点是空间内插的一种方法。在区域内通过已知点的数据，推求任意点数据的方法称为空间数据的内插。的数据，推求任意点数据的方法称为空间数据的内插。v在其他学科的应用（工程技术、传染病学、化学等）在其他学科的应用（工程技术、传染病学、化学等）3二、趋势面分析的一般原理二、趋势面分析的一般原理 p定义：趋势面分析，是利用数学曲面模拟地理系统要素在空定义：趋势面分析，是利用数学曲面模拟地理系统要素在空间上的分布及变化趋势的一种数学方法。它间上的分布及变化趋势的一种数学方法。它实质上就是通过回实质上就是通过回归分析原理，运用最小二乘法拟合一个归分析原理，运用最小二乘法拟合一个二维非线性函数二维非线性函数，模拟，模拟地理要素在空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的地理要素在空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的变化趋势。变化趋势。只不过多元线性回归分析考察的是多个自变量因素只不过多元线性回归分析考察的是多个自变量因素对因变量的影响程度，而趋势面分析是将三维坐标系中坐标点对因变量的影响程度，而趋势面分析是将三维坐标系中坐标点x,y作为自变量，点作为自变量，点z的值作为因变量来考察这个的值作为因变量来考察这个z值在空间上的值在空间上的变化趋势。变化趋势。p目的：找到一个空间趋势面去拟合地理要素的实际分布面。目的：找到一个空间趋势面去拟合地理要素的实际分布面。4p 空间趋势空间趋势面面是一种光滑的数学曲面，它能集中地代表地理是一种光滑的数学曲面，它能集中地代表地理数据在大范围内的空间变化趋势。它与实际上的地理曲面不数据在大范围内的空间变化趋势。它与实际上的地理曲面不同，它只是实际曲面的一种近似值。同，它只是实际曲面的一种近似值。趋势面是一种抽象的趋势面是一种抽象的数学曲面，它抽象并过滤掉了一些局域随机因素的影响，使数学曲面，它抽象并过滤掉了一些局域随机因素的影响，使地理要素的空间分布规律明显化。地理要素的空间分布规律明显化。p实际曲面实际曲面=趋势面趋势面+剩余曲面。剩余曲面。趋势面反映了区域性的变化规趋势面反映了区域性的变化规律，它受大范围的系统性因素影响，属于确定性因素作用的律，它受大范围的系统性因素影响，属于确定性因素作用的结果。而剩余面反映局部性变化特点，它受局部因素和随机结果。而剩余面反映局部性变化特点，它受局部因素和随机因素的影响。因素的影响。二、趋势面分析的一般原理二、趋势面分析的一般原理 5p趋势面分析的一个基本要求，就是所选择的趋势面模型趋势面分析的一个基本要求，就是所选择的趋势面模型应该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精度才应该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精度才能达到足够的准确性。空间趋势面分析，正是从地理要能达到足够的准确性。空间趋势面分析，正是从地理要素分布的实际数据中分解出趋势值和剩余值，从而揭示素分布的实际数据中分解出趋势值和剩余值，从而揭示地理要素空间分布的趋势与规律。地理要素空间分布的趋势与规律。p观测值观测值=确定性函数值确定性函数值+随机性函数值随机性函数值=趋势值趋势值+剩余值剩余值 v我们通常用回归分析的方法来求趋势值和剩余值。我们通常用回归分析的方法来求趋势值和剩余值。二、趋势面分析的一般原理二、趋势面分析的一般原理 6 （一）（一）建立趋势面模型建立趋势面模型 设某地理要素的实际观测数据为设某地理要素的实际观测数据为 ，趋势面拟合值为趋势面拟合值为 ，则有，则有 式中：式中：i即为剩余值（残差值）。即为剩余值（残差值）。显然，当（显然，当（xi，yi）在空间上变动时，）在空间上变动时，（3.6.13.6.1）式就刻画了地理要素的实际分布）式就刻画了地理要素的实际分布曲面、趋势面和剩余面之间的互动关系。曲面、趋势面和剩余面之间的互动关系。（3.6.1）7v 趋势面分析的核心趋势面分析的核心 从实际观测值出发推算趋势面，使得残从实际观测值出发推算趋势面，使得残差平方和趋于最小，即差平方和趋于最小，即 以此来以此来估计趋势面参数估计趋势面参数。这就是在最小。这就是在最小二乘法意义下的趋势面拟合。二乘法意义下的趋势面拟合。8 用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数和傅立叶级数，其中最为常用的是多项式函数形和傅立叶级数，其中最为常用的是多项式函数形式。因为任何一个函数都可以在一个适当的范围式。因为任何一个函数都可以在一个适当的范围内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可使所求的回归方程适合实际问题的需要。使所求的回归方程适合实际问题的需要。9v多项式趋势面的形式多项式趋势面的形式 一次趋势面模型一次趋势面模型 二次趋势面模型二次趋势面模型 三次趋势面模型三次趋势面模型 （3.6.2）（3.6.3）（3.6.4）10（二）（二）估计趋势面模型的参数估计趋势面模型的参数v实质实质 根据观测值根据观测值zi，xi，yi（i=1,2,n）确定多）确定多项式的系数项式的系数a0，a1，ap，使残差平方和最小。，使残差平方和最小。v过程过程 将多项式回归（非线性模型）模型转化将多项式回归（非线性模型）模型转化为多元线性回归模型。为多元线性回归模型。11 令令 则则其残差平方和为其残差平方和为（3.6.5）12 求求Q对对a0，a1，ap的偏导数，并的偏导数，并令其等于令其等于0，得正规方程组，得正规方程组(式中式中 为为p+1个未知量）个未知量）（3.6.6）13一般采用消元法求解正规方程组。一般采用消元法求解正规方程组。解此正规方程组，即得解此正规方程组，即得p1个系数个系数a0，a1，ap。带入原拟合模型，即带入原拟合模型，即得到趋势面方程。得到趋势面方程。14三、趋势面模型的显著性检验 趋势面拟合适度的趋势面拟合适度的R2检验检验趋势面拟合适度的显著性趋势面拟合适度的显著性F检验检验趋势面适度的逐次检验趋势面适度的逐次检验 趋势面分析拟合程度与回归模型的效果直接趋势面分析拟合程度与回归模型的效果直接相关，因此，对趋势面分析进行相关，因此，对趋势面分析进行适度性检验适度性检验是一是一个关系到趋势面能否在实际研究中加以应用的关个关系到趋势面能否在实际研究中加以应用的关键问题，也是趋势面分析中不可缺少的重要环节。键问题，也是趋势面分析中不可缺少的重要环节。这可以通过以下检验来完成：这可以通过以下检验来完成：15（一）（一）趋势面拟合适度的R2检验 趋势面与实际面的拟合度系数趋势面与实际面的拟合度系数R R2 2是测是测定回归模型拟合优度的重要指标。定回归模型拟合优度的重要指标。一般用变量一般用变量z z的总离差平方和中的总离差平方和中回归平回归平方和所占的比重方和所占的比重表示回归模型的拟合优度。表示回归模型的拟合优度。总离差平方和等于回归平方和与剩余总离差平方和等于回归平方和与剩余平方和之和。即平方和之和。即16 越大（或越大（或 越小）就表示因变量与自变量的越小）就表示因变量与自变量的关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。记记 越大，趋势面的拟合度就越高。越大，趋势面的拟合度就越高。为剩余平方和，剩余平方和，它表示随机因素它表示随机因素对离差的影响，对离差的影响，为回归平方和，为回归平方和，它它表示自变量对因变量的离差的总影响表示自变量对因变量的离差的总影响。（3.6.9）17 （二）趋势面拟合适度的显著性（二）趋势面拟合适度的显著性F F 检验检验 趋势面适度的F检验，是对趋势面回归模型整体的显著性检验。方法：是利用变量方法：是利用变量z的总离差平方和中的总离差平方和中回归平方和与剩余平方和的比值，确定变量回归平方和与剩余平方和的比值，确定变量z与自变量与自变量x、y之间的回归关系是否显著。之间的回归关系是否显著。即即 结果分析：在显著性水平结果分析：在显著性水平下，查下，查F分分布表得布表得F，若计算的，若计算的F值大于临界值值大于临界值F，则，则认为趋势面方程显著；反之则不显著。认为趋势面方程显著；反之则不显著。（3.6.10）18（三）趋势面适度的逐次检验（三）趋势面适度的逐次检验 v方法方法 (1)(1)求出较高次多项式方程的回归平方和与较低求出较高次多项式方程的回归平方和与较低次多项式方程的回归平方和之差次多项式方程的回归平方和之差;(2)(2)将此差除以回归平方和的自由度之差，得出将此差除以回归平方和的自由度之差，得出由于多项式次数增高所产生的回归均方差由于多项式次数增高所产生的回归均方差;(3)(3)将此均方差除以较高次多项式的剩余均方差，将此均方差除以较高次多项式的剩余均方差，得出相继两个阶次趋势面模型的适度性比较检验值得出相继两个阶次趋势面模型的适度性比较检验值F。若所得的若所得的F值是显著的，则较高次多项式对回归值是显著的，则较高次多项式对回归作出了新贡献，若作出了新贡献，若F值不显著，则较高次多项式对于值不显著，则较高次多项式对于回归并无新贡献。相应的方差分析表见表回归并无新贡献。相应的方差分析表见表3.6.13.6.1。19资 表3.6.1 多项式趋势面由K次增高至（K+1）次 的回归显著性检验 离差来源平方和自由度均方差F检验（K+1）次回归 p（K+1）次剩余 np1 K次回归 q K次剩余 nq1 由K次增高至（K+1）次的回归pq总离差SST20四、趋势面分析应用实例 某某流流域域1 1月月份份降降水水量量与与各各观观测测点点的的坐坐标标位位置置数数据据如如表表3.6.23.6.2所所示示。下下面面，我我们们以以降降水水量量为为因因变变量量z，地地理理位位置置的的横横坐坐标标和和纵纵坐坐标标分分别别为为自自变变量量x、y，进进行行趋趋势势面面分分析析，并并对对趋趋势势面面方方程程进进行适度行适度F F检验。检验。21表3.6.2 流域降水量及观测点的地理位置数据序号降水量Z/mm横坐标x/104 m纵坐标y/104 m12345678910111227.638.42424.73255.540.437.53131.75344.901.11.82.953.41.80.70.20.851.652.653.6510.6000.21.71.323.353.153.12.5522v建立趋势面模型建立趋势面模型 (1)(1)首先采用二次多项式进行趋势面拟合，用最小二乘法求得拟合方程为 解题步骤解题步骤23图3.6.1 某流域降水量的二次多项式趋势面 24 (2)(2)再采用三次趋势面进行拟合，用最小二乘法求得拟合方程为 25图3.6.2 某流域降水量的三次多项式趋势面 26 (1)趋势面拟合适度的趋势面拟合适度的R2检验检验:根据根据R2检验检验方法计算，结果表明，二次趋势面的判定系数方法计算，结果表明，二次趋势面的判定系数为为R22=0.839，三次趋势面的判定系数为，三次趋势面的判定系数为R32=0.965，可见二次趋势面回归模型和三次，可见二次趋势面回归模型和三次趋势面回归模型的显著性都较高，而且三次趋趋势面回归模型的显著性都较高，而且三次趋势面较二次趋势面具有更高的拟合程度。势面较二次趋势面具有更高的拟合程度。n模型检验模型检验 27 (2)趋势面适度的显著性趋势面适度的显著性F检验检验:根据根据F检验检验方法计算，结果表明，二次趋势面和三次趋势方法计算，结果表明，二次趋势面和三次趋势面的面的F值分别为值分别为F2=6.236和和F3=6.054。在置信水。在置信水平平=0.05下，查下，查F分布表得分布表得 F3=。显然显然 ，故二次趋势面的回故二次趋势面的回归方程显著而三次趋势面不显著。因此，归方程显著而三次趋势面不显著。因此，F检验检验的结果表明，用二次趋势面进行拟合比较合理。的结果表明，用二次趋势面进行拟合比较合理。28资 趋势面比较：在二次和三次趋势面检验中，趋势面比较：在二次和三次趋势面检验中，对两个阶次趋势面模型的适度进行比较，相应对两个阶次趋势面模型的适度进行比较，相应的方差分析计算结果见表的方差分析计算结果见表3.6.3。(3)趋势面适度的逐次检验：趋势面适度的逐次检验：离差来源平方和自由度均方差F检验三次回归三次剩余二次回归二次剩余由二次增高至三次的回归 1 129.78941.474982.244189.018147.545912-9-1512-5-14125.53220.737196.44931.50336.8866.0546.2361.779表3.6.3 二次和三次趋势面回归模型的逐次检验方差分析表 29分析：从二次趋势面增加到三次趋势面，分析：从二次趋势面增加到三次趋势面，F32=1.779。在置信度水平。在置信度水平=0.05下，查下，查F分布表得分布表得F0.05(4,2)=6.94，由于，由于F32 F0.05(4,2)=6.94，故将趋势面拟合次数由二，故将趋势面拟合次数由二次增高至三次，对回归方程并无新贡献，因次增高至三次，对回归方程并无新贡献，因而选取二次趋势面比较合适。这也进一步验而选取二次趋势面比较合适。这也进一步验证了趋势面拟合适度的显著性证了趋势面拟合适度的显著性F检验的结论。检验的结论。30五、可用软件五、可用软件vMatlab6.0vSas8.0vArcview,Arcinfo 趋势面分析模块趋势面分析模块3132333435实际应用中，趋势面分析具实际应用中，趋势面分析具体计算方法步骤：体计算方法步骤：1、以原始数据列表、以原始数据列表2、等间隔选取纵横坐标网，将原始数据点入、等间隔选取纵横坐标网，将原始数据点入坐标坐标3、用、用spss软件建立并选择趋势面回归方程软件建立并选择趋势面回归方程即选取模型（即选取模型（xy等二次或三次项可通过数据等二次或三次项可通过数据转换，用转换，用compute功能产生新的变量，建立功能产生新的变量，建立二元高次多项式，选取强迫进入法进行回归。二元高次多项式，选取强迫进入法进行回归。4、模型检验、模型检验5、用、用matlab或或arcgis绘制趋势面分析图绘制趋势面分析图3637资38394041资424344454647484950511202.29525354555657资5859需要注意的问题需要注意的问题在实际应用中，往往用次数低的趋势面逼近变化比较小的地在实际应用中，往往用次数低的趋势面逼近变化比较小的地理要素数据，用次数高的趋势面逼近起伏变化比较复杂的地理要素数据，用次数高的趋势面逼近起伏变化比较复杂的地理要素数据。次数低的趋势面使用起来比较方便，但具体到理要素数据。次数低的趋势面使用起来比较方便，但具体到某点拟合较差；次数较高的趋势面只在观测点附近效果较好，某点拟合较差；次数较高的趋势面只在观测点附近效果较好，而在外推和内插时则效果较差。而在外推和内插时则效果较差。趋势面分析虽然是一种多元分析的数学工具趋势面分析虽然是一种多元分析的数学工具,实际上却只能对实际上却只能对单一的原始数据进行处理单一的原始数据进行处理,基本上是一种一元分析方法。基本上是一种一元分析方法。60思考题：思考题：v趋势面分析的基本原理是什么？与一般回归趋势面分析的基本原理是什么？与一般回归分析的步骤有哪些不同？分析的步骤有哪些不同？v除了多项式形式以外，是否可以用其他函数除了多项式形式以外，是否可以用其他函数形式拟合趋势面？为什么？形式拟合趋势面？为什么？61