等差数列的前n项和公式的性质(课堂PPT).ppt

2.2.2等差数列前等差数列前n项和公式项和公式 的性质及其应用的性质及其应用1思（思（2分钟）分钟）an1an12an（n2）an an1d（n2）在结构上是关于n的一次函数.ana1(n1)dam(nm)dpnk.1.等差数列的递推公式是什么？2.等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？23.等差数列前n项和的两个基本公式是什么？3思考1：若数列an的前n和 那么数列an是等差数列吗？an是等差数列 知识探究（一）等差数列与前n项和的关系议（议（5分钟）分钟）4思考2：将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？当d0时，Sn是常数项为零的二次函数.5思考3：一般地，若数列an的前n和SnAn2Bn，那么数列an是等差数列吗？若SnAn2BnC 呢？（1）数列an是等差数列 SnAn2Bn（2）数列an 的前n项和是SnAn2BnC，则：若C0，则数列an是等差数列；若C0，则数列an从第2项起是等差数列。6思考4：若an为等差数列，那么 是什么数列？数列an是等差数列 为等差数列 即等差数列an的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列，且公差是数列an的公差的一半。7学以致用学以致用2.等差数列an中，Sn是其前n项和，a12011，则S2011的值为()A.0 B.2011 C.2011 D.20112011C8知识探究（二）等差数列前n项和的性质思考1：在等差数列an中，每连续k项的和组成的数列，即数列a1a2ak，ak+1ak+2a2k，a2k+1a2k+2a3k，是等差数列吗？性质：若数列an是等差数列，那么数列Sk，S2kSk，S3kS2k,仍然成等差数列9思考3：在等差数列an中，设S偶a2a4a2n，S奇a1a3a2n1，则S偶S奇与 等于什么？S偶S奇nd思考2：在等差数列an中，Sn，S2n，S3n三者之间有什么关系？S3n3(S2nSn)103.等差数列an中，已知S42，S87，则S12=_；学以致用学以致用154.等差数列an的前m项的和为30，前2m项的和 为100，则它的前3m项的和为()A.130 B.170 C.210 D.260c11思考4：设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，则 等于什么？思考5：在等差数列an中，若a10，d0，则Sn是否存在最值？如何确定其最值？当ak0，ak10时，Sk为最大.12且 ，则 .例例2：Sn，Tn分别是等差数列分别是等差数列an、bn的前的前n项的和，项的和，学以致用学以致用131.已知两个等差数列已知两个等差数列an和和bn的前的前n项和分别为项和分别为An和和Bn，且，且 ，则使得，则使得 为整数的正整数为整数的正整数n的的个数是个数是()A2 B3 C4 D5变式探究D14【题型分类 深度剖析】题型1：等差数列前n项和性质的简单应用例1：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则该数列有()项。A.13 B.12 C.11 D.10A15变式探究1.已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0，则有()A.a1+a1010 B.a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=512.等差数列an 前n项和Snan2(a1)na2，则an .C16题型2：等差数列最值问题例例2：等差数列等差数列an中，中，a118小结：小结：求等差数列求等差数列an前前n项和项和Sn的最值常用方法：的最值常用方法：方法方法1：二次函数性质法，即求出二次函数性质法，即求出Sn=an2+bn，讨论二次函数的性质讨论二次函数的性质方法方法2：讨论数列讨论数列an 的通项，找出正负临界项。的通项，找出正负临界项。（1）若）若a10，d0，则，则Sn有大值，且有大值，且Sn最大时的最大时的n满足满足an0且且an+10;（2）若）若a10，则，则Sn有小值，且有小值，且Sn最小时的最小时的n满足满足an0且且an+10;19变式探究1.首项为正数的等差数列首项为正数的等差数列an，它的前，它的前3项和与前项和与前11项项和相等，则此数列前和相等，则此数列前_项和最大？项和最大？2.等差数列等差数列an 前前n项和项和Sn中，以中，以S7最大，且最大，且|a7|0的的n的最大值为的最大值为_ 3.等差数列等差数列an中，已知中，已知|a7|=|a16|=9，且，且a14=5，则使，则使 an0的最大自数的最大自数n=（）A.10 B.11 C.12 D.1371320例4：已知数列an的前n项和Sn12nn2，求数列|an|的前n项和Tn.当n1时，a1S1121211；当n2时，anSnSn112nn212(n1)(n1)2132n.n1时适合上式，an的通项公式为an132n.由an132n0，得n ，即当1n6(nN*)时，an0；当n7时，an0.解析：题型3：求等差数列的前n项的绝对值之和 21(1)当1n6(nN*)时，Tn|a1|a2|an|a1a2an12nn2.(2)当n7(nN*)时，Tn|a1|a2|an|(a1a2a6)(a7a8an)(a1a2an)2(a1a6)Sn2S6n212n72.22变式探究1数列an中，a18，a42，且满足an22an1an0，nN*.(1)求数列an的通项；(2)设Sn|a1|a2|an|，求Sn.解析：(1)由an22an1an0得，2an1anan2，所以数列an是等差数列，d =2，an2n10，nN*.23当n6，nN*时，24