带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的分析方法.pdf

带电拉子在匀强磁场中作圆周运动的分析方法基本思路：找圆心、画轨迹、找圆心角或偏向角、建立数学模型:(1)已知圆的两条切线，作它们垂线，交点为0,即为圆心。(2)已知圆的一条切线，和过圆上的另一点B,作过圆切线的垂线,的中垂线。交点即为圆心0。(3)偏向角补角的平分线，与另一条半径的交点第一类问题 直线平行边界球场L 方法提示：“先开枪，后画靶”即先画“圆然后再在轨迹原上添加边界线、切线等。例L.如图所示，在水平直线MN上方有一匀强磁场，磁感强度为B,方向垂直向里。一带电粒子质量为m、电量为q,从a点以与水平 线MN成。角度射入匀强磁场中，从b点离开磁场。问：(1)带电粒子带何种电荷？(2)带电粒子在磁场中运动的时间为多少？以上问题，先画“圆”，再增添边界线，视作此类问题的诀 窍。第二类问题 电粒子在三角形边界磁场中的运动问题L方法提示：探究法，动态寻找轨迹和那些边界相切，大胆试探，注意多解!有些时候，也可以采用，先画“圆”，再增添边界线的方法。例2.(10分)如图所示，截面为直角三角形的区域内，有一个具有理想 边界的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B,三角形区域的ab 边长为L,0=30.一个电子从ab边界外侧在ab边中点处与ab成30角垂 直于磁场方向射入场内，已知电子的电荷量为e,质量为m.为使电子能从ac 射出，电子入射速度vO应该满足什么条件？解析：因为磁场只分布于三角形范围内，所以只以 实线部分圆弧模拟粒子的运动轨迹如答图所示，可以 清晰地看到轨迹A与边ac相切，即为刚好不能从ac 边飞出的粒子轨迹.轨迹B相切于be边，其表示粒子 刚好能从ac边飞出的临界状态的轨迹.设轨迹A的圆 心为01，半径为R1,轨迹B的圆心为02,半径为R2,因vO与ab成30角，所以vO垂直be,如图b所示.由 几何知识知NdOlg=30,在NOldg中，9一耳=鸟sin30。,得色=54cos30。=旦在Adbe 中，de=R2=2 4广=竺 v竺二迤竺由 处得两轨迹所对应的粒子速度分别为A 3m R 4加qBL 下qBL.Vn 4m n(3)轨迹的半径 Lmv/qB=5cm要粒子的运动时间最长，轨迹如图8=74时间 t=74T/360=6.4X 10-8S(4)粒子的轨迹半径尸mv/qB=l.5cm有粒子到达的区域为如图阴影部分S=Ji r/2+2 nr(2r)2/6-r2=9.OXIO m2例10.真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示。从O点在纸面内向各个方向发射速率均为%的电子，设电子重力不计且相互间的作用也忽略，且电子在磁场中的偏转半径也为人已知电子的电量为e,质量为mo速度方向分别与Ox方向夹角成60。和90。的电子，在磁 场中的运动时间分别为多少？(2)所有从磁场边界出射的电子，速度方向有何特征？(3)设在某一平面内有M、N两点，由M点向平面内各个方向发射速率均为%的电子。请设计一种匀强磁场分布(需作图说明)，使得由M点发出的所有电子都能够汇集到N点。T jrr T 7VT解析：当。=60。时，1二 一=；当0=90。时，G=6 3v 4 2v(2)如右图所示，因NOO2A=0故02A_L0X而02A与电子射出的速度方向垂直，可知电子射出方向一 定与Ox轴方向平行，即所有的电子射出圆形磁场时，速度方向 沿x轴正向。(3)上述的粒子路径是可逆的，(2)中从圆形磁场射出的这些速度相同的电子再进入一相同的匀强磁 一1一场后，一定会聚焦于同一点，磁场的分布如下图所示。x x X X X X 注：四个圆的半径相同，半径r的大小与磁感！x X X X j 应强度的关系是r=mv()/qB；飞x x/下方的两圆形磁场与上方的两圆形磁场位置 谭三一关于MN对称且磁场方向与之相反；二:；只要在矩形区域MiNiN2M2内除图中4个半圆!：,形磁场外无其他磁场，矩形MiNiN2M2区域外的磁场、：/均可向其余区域扩展。而一四、待定边界类根据运动轨迹和偏转方向等确定磁场区域的边界，速度或速度的反向延长线，往往是确定磁场区域的关键。例11.如图所示，在倾角为30。的斜面OA的左侧有一竖直档板，其上有一小孔P,OP=0.5m.现有一质量加=4x1。2，g,带电量q=+2xl()T4c的粒子，从小孔以速度vo=3xl()4m/s水平 射向磁感应强度B=0.2T方向垂直纸面向外的一圆形磁 场区域.且在飞出磁场区域后能垂直打在QA面上，粒 子重力不计.求：粒子在磁场中做圆周运动的半径；粒子在磁场中运动的时间；圆形磁场区域的最小半径；若磁场区域为正三角形且磁场方向垂直向里，粒子运 动过程中始终不碰到挡板，其他条件不变，求：此正 三角形磁场区域的最小边长.解：由，T=-得:r vmv qB0.3m由粒子的运动轨迹可知，=17，得:6=|xl0=1.08xl0由数学知识可得：=1=0.15m由如图运动轨迹可知正三角形磁场区域的最小边长：L=243r=1.02mu例12.（郑州市2008年高中毕业班第三次质量预测19分）如图所示，在直角坐标系的第I象限 和第H象限存在着电场强度均为正的匀强电场，其 中第I象限电场沿X轴正方向，第ni象限电场沿y 轴负方向.在第n象限和第iv象限存在着磁感应强 度均为B的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向 里.有一个电子从y轴的分点以垂直于y轴的初速 度西进入第ni象限，第一次到达x轴上时速度方 向与X轴负方向夹角为45。，第一次进入第I象 限时，与y轴夹角也是45。，经过一段时间电子质量为力，不考虑重力和空又回到了9点，进行周期性运动.已知电子的电荷量为&气阻力.求：9点距原点。的距离;（2）电子从点出发到第一次回到点所用的时间.例13.如图所示，空间存在着正交匀强电磁场，电场方向竖 直向下，场强为E,磁场方向水平向外，磁感应强度为B,两个带电小球A和B,都能在面内做匀速圆周远动（两球E间的库仑力可以忽略)运动轨迹如图，已知两带电小球质量关系为mA=3mB,轨迹半径为 RA=3RB=9CII(1)说明小球A和B带什么电性？求出它们所带电量之比(2)指出A,B绕行方向？求出它们绕行速率之比？(3)设球A和球B在图位置P处相碰，碰后原先在小圆轨迹上运动的B恰好能沿大圆的 轨迹运动，求A球碰后圆运动的半径？(碰撞时两球间电荷量不发生转移)例14.如图7,在某空间同时存在着互相正交的匀强电场和匀强磁场，电场的方向竖直向下。一带电体a带负电，电量为qi，恰能静止于此空间的c点，另一带电体b也带负电，电量为q2,正在过a点的竖直平面内作半径为r的匀速圆周运动，结果a、b在c处碰撞并粘合在一起，试分析a、b粘合一起后的运动性质。【解析】：设a、b的质量分别为mi和m2，b的速 a静止，则有qF=migb在竖直平面内作匀速圆周运动，则隐含着Eq2=m2g,Bq2V=m2对a和b碰撞并粘合过程有m2V+0=(mi+m2)V，a、b合在一起后，总电量为qi+q2，总质量为mi+度为V。此 时m2,仍满足(qi+q2)E=(mi+m2)g 0因此它们以速率在竖直平面内作匀速圆周运动，故有B(qi+q2)V，=(m1+m2)解得:例15.(15、(14分)如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场与匀强磁场5，E的大小为0.5xl03V/m,Bi大小为0.5T；第一象限的某个 矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场吕2,磁场 的下边界与x轴重合.一质量m=lxl0-14kg电荷量=lxlO-loC的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向 60。角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B2区域.一段时间后，小球经过y轴上的N 点并与y轴正方向成60。角的方向飞出。V点的坐标为(0,-10),N点的坐标为(0,30),不计粒子重力，g取 X x 力cmX X10m/s2.请分析判断匀强电场i的方向并求出微粒的运动速度v；(2)匀强磁场&的大小为多大？；(3)当磁场区域的最小面积为多少？解：(1)由于重力忽略不计，微粒在第四象限内仅受电场力和 洛伦兹力，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛仑兹力 的变化，所以微粒必做匀速直线运动.这样，电场力和洛仑 兹力大小相等，方向相反，电场E的方向与微粒运动的方向 垂直，即与y轴负方向成30。角斜向下.由力的平衡有Eq=B、qv.昨与二 0.5x103 冰二 103mzs0.5(2)画出微粒的运动轨迹如图.由几何关系可知粒子在第一象限内做圆周运动的半径为 R=9微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即 qB2V=m解之得不=与丁(3)由图可知，磁场B2的最小区域应该分布在图示的矩形PACD内.由几何关系易得PD=2R sin 60=0.2mPA=7?(1-cos 60)=所以，所求磁场的最小面积为8=而西=g邸=注意临界点和边界点。由垂直于此边，到垂直于彼边，顶点是否圆心、边界是否沿半径例16.如图所示，在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度 为B,方向垂直于Oxy所在纸面向外.某时刻在x=l(),y=0处,一个质子沿y轴的负方向进入磁场；同一时刻，在x=-l(),y=0 处，一个a粒子进入磁场，速度方向与磁场垂直.不考虑质子 与a粒子的相互作用.设质子的质量为m,电量为e.(1)如果质子经过坐标原点0,它的速度为多大？(2)如果a粒子与质子在坐标原点相遇，a粒子的速度应为何值？方向如何？解析：如图所示，圆心01是过C点跟速度垂直的直线(即0C)和线段0C的中垂线的交点.egi由此可求得圆半径为L/2,进而求得质子的速度的大小vp=2m由明款J：质子和。粒子做圆周运动的周期分别为I；=富，工=且 Tp=Ta/2.1?质子做圆周运动由C点到达O点的时间可为t=Tp,|Tp,1?a粒子做圆周运动由D到O所用的时间也为3 t=wT-Tff=等情形可不必再考虑).4 ua粒子做圆周运动由D到。圆弧所对的圆心角分别是2 y.由此可以确定圆心的位置。或0,，如图3-12-2(2)所示，圆半径进而求得a粒子从D点进入磁场的速度的大小九=阜S,速度方 4m向与蚌由正方向成角；冗或冢七、同源同速率电粒子在有界磁场中的运动直径相同，轨迹直径的一个端点在源点，另一个端点在以源点为圆心，2R为半径的 圆上。这样的题有很多很多，高考热点。例17.(2004广东18题)如图图H.3-9,真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度 的大小B=0.6()T,磁场内有一块平面感光板板面与磁场方向平行，在距次?的距离/=16。加处，有一个点状的。放射源S,它向各个方向发射。粒子，。粒子Xa XXXXX的速度都是v=3.0 xl()6m/,已知。粒子的电荷与质X bXX；XXX量之比=5.0 x107。/封，现只考虑在图纸平面中运XXX;XXX1mXXX：XXX动的。粒子，求助上被。粒子打中的区域的长度。SXXXXXX解析。粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，2用H表示轨道半径，有qvB=m%图 n.3-io由此得R=v(q/m)B代入数值得H=10cm 可见，2RlR.因朝不同方向发射的。粒子的圆轨迹都过S,由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点尸1就是。粒子能打中的左侧最远点.为定出Pi 点的位置，可作平行于仍的直线cd,cd到的距离为H,以S为圆心，H为半径，作弧交cd于。点，过。作曲的垂线，它与成的交点即为NP=_&2 再考虑N的右侧。任何。粒子在运动中离S的距离不可能超过2H,以2H为半径、S为圆心作圆，交 ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点.由图图11.3-10中几何关系得 NP2=QR)2 _尸 所求长度为PrP2=NPr+NP2 代入数值得PiP2=20cm 点评带电粒子在洛伦兹力作用下的匀速圆周运动，圆心位置的确定是关键。在解决此类问题时，应首先 根据各种可能的方向，结合边界条件确定圆心位置，再利用几何关系结合运动规律求解。例18.如图所示，粒子源S能在图示纸面内的360。范围内发射速率相同，质量为m,电量为-q的粒子，MN是足够大的竖直挡板，S到板的距离为L,挡板 左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B(重力不计)求：(D粒子速度至少为多大，才能有粒子到达挡板？qBL(2)若s发射的粒子速率为 m，则挡板被粒子击中的部分的长度为？(1)挡板上的点到s的距离最小为L,所以要保证有粒子打在板上，粒子圆周mv L-=运动的半径最小为L/2,此时粒子速度最小，设为v,则有2,即BqL v=-2m。qBL(2)当粒子速度为 m 时，粒子圆周运动半径R二L,所以打在挡板上 的点与S的距离最大为2R=2L,如图A点。当粒子向右水平射出时刚好能打在档板上如图B点，所以被粒 子击中的部分长度为AB二L+J4Z-=(1+)上.例19.如图所示，在直角坐标系的原点0处有一 Nx放射源，向四周均匀发射速度大小相等、方向都平行于纸面的带电粒子。在放射源右边有一 很薄的挡板，挡板与xop平面交线的两端以N与原点正好构成等腰直角三角形。已知带 电粒子的质量为如带电量为劣速度为，脉的长度为乙（1）若在y轴右侧加一平行于X轴的匀强电场，要使y轴右侧所有运动的粒子都能打到挡 板腑上，则电场强度片的最小值为多大？在电场强度为6时，打到板上的粒子动能为多大？（2）若在整个空间加一方向垂直纸面向里的匀强磁场，要使板右侧的 枫连线上都有粒子打 到，磁场的磁感应强度不能超过多少（用旌、q、/表示）？若满足此条件，放射源。向外 发射出的所有带电粒子中有几分之几能打在板的左边？答案：由题意知，要使y轴右侧所有运动粒子都能打在MN板上，其临界条件为：沿y 轴方向运动的粒子作类平抛运动，且落在M或N点。,1MO=-L=v）t 00 L=一 af2 2解式得由动能定理知QEQ X L=Ek JTiu解式得5 2E=mu由题意知，要使板右侧的MN连线上都有粒子打到，粒 子轨迹直径的最小值为MN板的长度心放射源。发射出的粒子中，打在板上的粒子的临界径 迹如图所示。V OM=ON,S OMON：.000。2v 1 u 2.放射源。放射出的所有粒子中只打在板的左侧。评分标准：各1分，各2分，第2问的第二部分的文字叙述正确得2分。八、“有界磁、电拼合场内”的运动问题1.归去来兮型：去了又来了，“出入点”一般必然是两个圆心的对称点，两个半径相等，两个圆心 分别在垂直于“出入点”速度的直线上，这样的情况有许多。电场中类平抛运动、匀减速运动匀减速直线运动是最常见，磁场中匀速圆周运动 例20.(16分)在xoy平面内，第HI象限内的直线OM是电场与磁场的边界，OM与负x 轴成45角。在x0且OM的左侧空间存在着负x方向的匀强电场E,场强大小为0.32N/C,在y0且OM的右侧空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场B,磁 感应强度大小为0.1T,如图所示。一不计重力的带负电的微粒，从坐标原点O沿y轴负方向以v0=2X 103m/s的初速度进入磁场，已知微粒的带电量为q=5X IO*。质量为m=lXl(y24kg,(不计 微粒所受重力)，求：(1)带电微粒第一次经过磁场边界的位置坐标(2)带电微粒在磁场区域运动的总时间；(3)带电微粒最终离开电、磁场区域的位置坐标。解析：(1)带电微粒从O点射入磁场，运动轨迹如图。第一次经过磁场边界上的A点r=4x10 3 m 1 分qBA 点位置坐标（-4X l（y3m,_4X l（y3m）2 分(2)设带电微粒在磁场中做圆周运动的周期为T1 3则,=勿+以+T 2分4 4代入数据解得：7=1.256X10-5s 所以 1.256X10-5s1分(3)微粒从C点沿y轴正方向进入电场，做曲线运动qEQ=-mAx=:%2=2r2分2分Ay=v.t.代入数据解得：Ay=0.2m 1分y=Ay-2r=0.2-2 X4X 10-3m=0.192m 2分离开电、磁场时的位置坐标（0,0.192m）1分例21（16分）在如图所示，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于纸面向里，大小为B,x轴下方有一匀强电场，电场强度的大小为石，方向与y轴的夹角8为45。且斜 向上方.现有一质量为m电量为q的正离子，以速度为由y轴上的A点沿y轴正方向射入 磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x轴上的。点进入电场区域，该离子经。点时的速度方向与x轴夹角为45。.不计离子的重力,设磁场区域和电场区域足够大.求:（1）。点的坐标；（2）离子从Z点出 发到第三次穿越x轴时的 运动时间；（3）离子第四次穿越 x轴时速度的大小及速度 方向与电场方向的夹角.（16分）（1）磁场中带电 粒子在洛仑兹力作用下做 圆周运动，故有XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXYxff XXXXv2 qvB=m r（1分）X*XX SY XX X XK*K X X X X xff X X X K Y y W K V X r X K K x x r x x KxXXXXXXXXXXXXXXXXXX XX XXX X X X X Xx y x x x*xX X*K X X XX*Z X*X Xx x xS好 X*X X、XX X X Xx*产产）XX同时有7=次=泡vqB-（1 分）粒子运动轨迹如图所示，由几何知识知,/,o、（2+V2）mv 与Ac=（r+rcos45）=-，（1分）2qB故，c点坐标为（0+衣叫0）o-（1分）2qB（2）设粒子从A到C的时间为3设粒子从A到C的时间为3由题意知5T 5 7im A/r 八、/=-T=-（1 分）8 4qB设粒子从进入电场到返回C的时间为创其在电场中做匀变速运动，由牛顿第二定律和运动 学知识，有qE=ma 及2%=g，联立解得2=也乜 qE（1分）设粒子再次进入磁场后在磁场中运动的时间为的 由题意知3=包-（1 分）4 2qB故而，设粒子从A点到第三次穿越x轴的时间为2H2%4 小八彳=（+%2+，3=-+-1-（2 分）4qB qE（3）粒子从第三次过x轴到第四次过x轴的过程是在电场中做类似平抛的运动，即沿着西 的方向（设为X，轴）做匀速运动，即=vot.V%，=%.一（1 分）沿着的方向（设为y，轴）做初速为0的匀变速运动，即厂;必产，2 mv,=-t.；-（1 分）m设离子第四次穿越x轴时速度的大小为速度方向与电场方向的夹角为a.由图中几何关系知m=cos45.，（1 分）xy=J 说+V；.，（1 分）tan 口=-.（1 分）七,综合上述得v=V5v0.（Dcr=arctan-2（1分）（1分）例22.（20分）如图所示,真空室内存在宽度为d=8cm的匀强磁场区域，磁感应强度B=0.332T,磁场方向垂直于纸面向里；ab、cd足够长，cd为厚度不计的金箔，金箔右侧有一匀强电场区域，电场强度E=3.32X1 5N/C；方向与金箔成37。角.紧挨边界 ab放一点状a粒子放射源S,可沿纸面向各个方向均匀放射初速率相 同的a粒子，已知：m=6.64xl0 27kg,q=3.2xlO_19C,初速度 v=3.2x106m/s。（sin37=0.6,cos37=0.8）求：（1）a粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径R;（2）金箔cd被a粒子射中区域的长度L；（3）设打在金箔上d端离cd中心最远的a粒子沿直线穿出金箔进入 电场，在电场中运动通过N点，SN_Lab且SN=40cm,则此a 粒子从金箔上穿出时，损失的动能AEK为多少？解：（1）a粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即v2Krn v则氏=0.2m=20c机（2分）（2分）Bqa（2）设cd中心为0,向c端偏转的a粒子，当圆周轨迹与cd相切时偏离0最远，设切 点为P,对应圆心01，如图所示，则由几何关系得：OP=SA=J/_（氏_ 疗:16cm（3分）向d端偏转的a粒子，当沿sb方向射入时，偏离O最远，设此时圆周轨迹与cd交于Q 点，对应圆心。2,如图所示，则由几何关系得：OQ=52 _（R_dy=16cm故金箔cd被a粒子射中区域的长度L=PQ=OP+OQ=32cm（3分）（3）设从Q点穿出的a粒子的速度为V，因半径O2Q场强E,粒子在电场中做类平抛运动，轨迹如图所示。沿速度M方向做匀速直线运动，位移 s九二（丽一H）sin530=16cm沿场强E方回故匀加速直线运动，位移 Sy=（SN-7?）cos53+R=32cm则由邑（1分）则 V_LE,（1分）故穿出的a（1分）（1分）（1分）1）Sy=IS l 1 分）a二店（1分）得：maV=8.0 xl（）5根/s（1 分）故此a粒子从金箔上穿出时，损失的动能为AEk=-mV2-mVr2=3A9xlO-14J长 2 a 2 a（2分）例23.（17分）如图甲所示，偏转电场的两个平行极板水平放置，板长L=0.08m,板距足够大，两板的右侧有水平宽度/=0.06m、竖直宽X0XXX度足够大的有界匀强磁场.一个比荷为XXxB XXX2=5x1070/的带负电粒子（其重力不计）以 m为=8x105mzs速度从两板中间沿与板平行的方向射人偏转电场，进入偏转电场时，偏转电场的场XXbP XXAXXXXXXXXXXX+o uXXXXXXXXXXXX强恰好按图乙所示的规律变化，粒子离 开偏转电场后进入匀强磁场，最终垂直甲fzaavnr】）磁场右边界射出.求:2.4（1）粒子在磁场中运动的速率V；（2）粒子在磁场中运动的轨道半径R；O/10 飞5 1015 20乙(3)磁场的磁感应强度B.解：(1)电子在偏转电场中的运动时间,=半 5=10 x10-8 v0 8xl05对比乙图可知，电子在极板间运动的时间是偏转电压的一个周期在第一个 t=5X10-8s时间内，电子在垂直于极板方向上做初速为0的匀加速运动，在第二个t=5xi(r8s时间内，电子做匀速直线运动.在第一个t=5xi(r8s时间内，v=-Z=5X107 X 2.4X 105 X 5X 10-8m/s=6 X 105m/s mJ=二 J(8xl()5)2+(6X105)2/S=1XH)6(2)电子在磁场中的轨迹如图所示.设电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R,有H由几何关系,R I I。x0.06m=0.1mv1 6xl052(3)粒子在磁场中做匀速圆周运动，有q v B=m RB=T=0.2T qR 5xl07 xO.l例24(22分)如图所示，直角坐标系在一真空区域里，y轴的左方有一匀强电场，场强方 向跟y轴负方向成。=30。角，y轴右方有一垂直于坐标系平面的匀强磁场，在x轴上的 A点有一质子发射器，它向x轴的正方向发射速度大小为v=2.0 xl06mzs的质子，质子经 磁场在y轴的尸点射出磁场，射出方向恰垂直于电场的方向，质子在 电场中经过一段时间，运动到x轴的。点。已知A点与原点。的距 离为10cm,。点与原点。的距离为(20g-10)cm,质子的比荷为=1.0 xl08C/kg o 求：m(1)(2)(3)磁感应强度的大小和方向;质子在磁场中运动的时间;电场强度的大小。解：(1)设质子在磁场中做圆运动的半径为过A、P点作速度v的垂线，交点即为质子在磁场中作 圆周运动的圆心。1。由几何关系得a=。二30。，所以：r=2OA=20cmo2分设磁感应强度为B,根据质子的运动方向和左手定则,1 axO A可判断磁感应强度的方向为垂直于纸面向里。根据：=:-=0.1Tqr l.OxlO8 x0.2（2）设质子在磁场中运动的时间为1,如图所示，质子在磁场中转过的圆周角为匕，设质子在磁场中运动的周期为7BqT 2 兀 12（3）如图所示，过。点做平行于P点速度方向的平行线，交AM于N点，在三角形QAN 中，边长QA=20/cm o由几何关系可知=。=30。，AN=20cm,所以，N点与Q点是重 合的。质子在平行于电场方向上做匀速直线运动，在垂直于电场方向做匀加速直线运动，2r=vt由几何关系得:r=atE=-4X1012x0.2xl.0 xl08=1.0X105N/C例25.（14分）如图所示，两平行金属板板长为L板间距离为小板间接在电压=Uosin碗 的交流电源上.在边界MN的右侧有磁感应强度为范围足够大、方向垂直纸面向里 的匀强磁场.现有一束带电粒子以速度w沿两板中线00,方向平行金属板射入电场中，已知磁场边界与中线0。垂直，带电粒子的质量为相，电荷量为V，粒子的重力可忽略不计，且每个粒子都能飞出?M：x x x x电场.在每个粒子通过电场区域的极短时间内，板间电压可-1-!X XXX视作是恒定不变的（即该时刻的瞬时值）.9dX X xx（1=0时刻射入的带电粒子沿直线射入磁场，求在磁场中 _ 1 j；运动的入射点和出射点间的距离；x X X X（2）求带电粒子飞出电场时最大速度的大小；=（3）证明射出电场的任何一个带电粒子，在磁场中运动的入射点和出射点间的距离为定解：（1）/=（）时刻粒子垂直边界进入磁场，设做半径为厂的匀速圆周运动，则 NqvB=m（2 分）r入射点和出射点的距离S0=2r（1分）解得邑=加为（1分）qB（2）设当=U0时有最大速度为，飞出所用时间为看,粒子在极板间作类平抛运动,则加速度。=里=西 m md初速方向 L=vQt 垂直方向=at（2分）而编二片+守（1分）联列解得=年+（也由）2（1分）mdv0（3）设粒子在电场中的偏转角为。，飞出电场时的速度为v,在磁场中圆周运动的半径为心如图所示，则有=cos。（2 分）V2qvB=m（2 分）r根据几何关系可得入射点和出射点的距离S=2/cos。（1 分）由式解得S=网&（与。等因素无关）（1分）qB故入射点和出射点间的距离为定值.例26.如图甲所示，在两平行金属板的中线00某处放置一个粒子源，粒子源沿00方向 连续不断地放出速度0X105m/s的带正电的粒子.在直线MN的右侧分布范围足够大的匀强磁场，磁感应强度6=0.01rT,方向 MN与中线00垂直.两平行金属板的电 压。随时间变化的U-t图线如图乙所示.已知带电粒子的荷质比。旦=1.0 x1080/伙，粒子的重力和粒子 m之间的作用力均可忽略不计，若Z=0.Is时MxxXXX图甲kXXXXX垂直纸面向里,刻粒子源放出的粒子恰能从平行金属板边缘离开电场（设在每个粒子通 过电场区域的时间内，可以把板间的电场看作是恒定的）.求：在尸0.Is时刻粒子源放出的粒子离开电场时的速度大小和方向.（2）从粒子源放出的粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间.（1）设板间距为d,尸0.1s时刻释放的粒子在板间做类平抛运动 在沿电场方向上匕产2 2md（2分）粒子离开电场时，沿电场方向的分速度 vy-dm（2分）粒子离开电场时的速度v=（2分）粒子在电场中的偏转角为e tans=一%（2分）由得V=正：+筹=1.4 X1（）5根/S（1分）tan。=1 夕=45（1 分）V mvo说明：用9且=,研2 一研；和cos6=为联立求出正确结果，参照上述评分标准给 2 2 2 v带电粒在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期八箸2x10%（2分）不同时刻释放的粒子在电场中的偏转角。不同，进入磁场后在磁场中运动的时间不同，夕大的在磁场中的偏转角大，运动时间长.尸0时刻释放的粒子，在电场中的偏转角为3在磁场中运动的时间最短：t=Z=ixi（r（3 分）2尸0.1s时刻释放的粒子，在电场中的偏转角最大为45,在磁场中运动的时间最长：3=7=L5xl（r65 4例27.如图（甲）所示，两平行金属板的板长不超过0.2m,板间的电压随时间看变化的 一看图线如图（乙）所示，在金属板右侧有一左边界为MN、右边无界的匀强磁场，磁感应 强度B=0.01T,方向垂直纸面向里.现有带正电的粒子连续不断地以速度vo=l（）5m/s,沿 两板间的中线0。平行金属板射人电场中，磁场边界MN与中线00,垂直.已知带电粒 子的比荷与nlOc/kg,粒子的重力和粒子间相互作用力均可以忽略不计.m（1）在每个粒子通过电场区域的时间内，可以把板间的电场强度看作是恒定的.试说 明这种处理能够成立的理由.（2）设/=O.ls时刻射入电场的带电粒子恰能从平行金属板边缘穿越电场射人磁场，求 该带电粒子射出电场时速度的大小.（3）对于所有经过电场射人磁场的带电粒子，设其射入磁场的入射点和从磁场射出的 出射点间的距离为d,试判断：d的大小是否随时间而变化?若不变，证明你的结论；若变，求出d的变化范围.u M X X Xv0|xfix X 1000 A 匕，：X X X N j X X X（甲）解：（1）带电粒子在金属板间运动时间=,2x10-%0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 次（乙）得看V V 7,（或看时间内金属板间电压变化 U 2、3、（2分）（3）当力取奇数时，微粒从到0过程中圆心角的总和为TT YYl0-n.+n.=2n7T,（2 分）4=2一=上，其中厅1、3、5、（2 分）2 2 1 qB qB当力取偶数时，微粒从到0过程中圆心角的总和为：JT 7T m 冗 TYI0?=n-n-=njr,（2 分）=nn-n,其中 刀二2、4、6、.（2 分）2 2 2 qB qB欲使时间最小，取行1或者2,此时*n=（2分）qB八、三场复合下的直线和圆周运动（1）三场复合下的直线运动，多为匀速直线运动，三力合力为零，重力竖直向下，洛伦 兹力垂直于轨迹，电场力方向有多种可能。只有电场力与洛伦兹力垂直时，电场力才最小。竖直面内的匀速圆周运动，必然有电场力与重力平衡，qE=mg，例33、如图所示，在地面附件，坐标系xoy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度大小为Bo在x0区 域。要使油滴进入x0的区域后能在竖直平面内做匀 速圆周运动，需在x0区域内加一个匀强电场。若带 电油滴做圆周运动通过x轴的N点，且M0=N0。求：（1）油滴运动的速度大小。（2）在x0空间内所加电场的场强大小和方向。（3）油滴从x轴上的M点开始到达x轴上的N点 所用的时间。解：（1）因油滴沿直线运动，重力和电场力又为 恒力，则与运动方向垂直的洛伦兹力的大小运动不能 变化，油滴必然做匀速直线运动。口 qE 2EqvB=-v=则有：sina,B mg油滴进入x0的区域后，要做匀速圆周运动，贝U：qEi=mg因为 mg=qEcot a,所以 Ei=JE,电场方向竖直向上。（2）油滴的运动轨迹如图所示，Z0PN=60,过P作 PM 的垂线交 x 轴于 Oi,HZ0iPN=Z0iNP=30,AOiPN为等腰三角形，所以0F=0iN,Ch为油滴做圆周运动的圆心。加V 22 J 遥E%=+，2=（干+，3）由P点到N点的时间 3 SB例34.如图3-7-8所示，在xOy平面内，有场强E=12N/C,方向沿x 轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B=2T方向垂直xOy平面指向 纸里的匀强磁场.一个质量m=4X10-5kg,电量q=2.5X10-5C带正电的 微粒，在xOy平面内做匀速直线运动，运动到原点。时，撤去磁场，经一 段时间后，带电微粒运动到了 x轴上的P点.求：（1）P点到原点。的 距离；（2）带电微粒由原点0运动到P点的时间.问题：1.微粒运动到。点之前都受到哪些力的作用？在这段时间内微粒为什么能做匀速直 线运动？2.微粒运动到。点之后都受到哪些力的作用？在这段时间内微粒做什么运动？说明原 因.分析：（1）微粒运动到0点之前要受到重力、电场力和洛仑兹力作用，如图3-7-9所 示.在这段时间内微粒做匀速直线运动，说明三力合力为零.由此可得出微粒运动到。点时 速度的大小和方向.（2）微粒运动到。点之后，撤去磁场，微粒只受到重力、电场力作用，其合力为一恒力，与初速度有一夹角，因此微粒将做匀变速曲线运动，如图3-7-9所示.可 利用运动合成和分解的方法去求解.解：因为侬=4X10-4N,F=Eq=3 X 10-4N（Bqv）之=（Eq）（mg）之所以 v=10m/s又tane=&=2 所以。=37。因为重力和电场力的合力是恒力，且方向与微粒 mg 4在0点的速度方向垂直，所以微粒在后一段时间内的运动为类平抛运动.可沿初速度方向和 合力方向进行分解.设沿初速度方向的位移为si,沿合力方向的位移为s2,则.“J(Eq)2+(mg)2)2、a 2 m t vt因为sl=vt OP=c cos37tan37=si所以P点到原点0的距离为15m；0点到P点运动时间为1.2s.例35.（16分）如图所示，水平地面上有一辆固定有竖直光滑绝缘管的小车，管的底部有一质 量厅0.2g、电荷量=8X10飞的小球，小球的直径比管的内径略小.在管口所在水平面皿 的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度笈二15T的匀强磁场，腑面的上方还存在着竖直向 上、场强尺25V/m的匀强电场和垂直纸面向外、磁感应强度民工5T的匀强磁场.现让小车始 终保持片2m/s的速度匀速向右运动，以带电小球刚经过场的边界尸0为计时的起点，测得小 球对管侧壁的弹力A随高度力变化的关系如图所示.g取10m/s2,不计空气阻力.求：（1）小球刚进入磁场合时的加速度大小a；（2）绝缘管的长度；（3）小球离开管后再次经过水平面腑时距管口的距离工pE：1：FN/X IO3N2.4解：（方向彳MB2.N xxxxxxxxx Bi亲为研究对象，:竖直方向小球受重力和他罡的洛修阕，海尔球在曾争竖直加速直线运动，加震度设为，网上&=无丝=丝”二丝二12mzs广力 新=i2m/s2Qxxxxxxxxx xxxxxxxxxmm（2）在小球运动到管口时，氏=2.4*10一%,设历为小球竖直分速度，由FN=,则匕=与二2m/sqB12由 v；=2aL 得 =L=1m2a（3）小球离开管口进入复合场，其中=2义10一%,侬=2X1。-%.（3分）（3分）（1分）故电场力与重力平衡，小球在复合场中做匀速圆周运动，合速度M与腑成45。角，轨道半径为尼A=届1 qB?（i分）小球离开管口开始计时，到再次经过府所通过的水平距离x1=yf2R=2m（1分）对应时*/个(1分)小车运动距离为如三gm（1分）复合场内的复杂运动例36.如图3-7-10所示，一对竖直放置的平行金属板长为L,板间距离为d,接在电压为U的电源上，板间有一与电场方向垂直的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感强度为B,有一质量为n带电量为+q的油滴，从离平行板上端h高处由静 止开始自由下落，由两板正中央P点处进入电场和磁场空间，油滴在P点所受电 场力和磁场力恰好平衡，最后油滴从一块极板的边缘D处离开电场和磁场空 间.求：（1）h=?（2）油滴在D点时的速度大小？问题：油滴的运动可分为几个阶 段？每个阶段油滴做什么运动？每个阶段应该用什么方法来求解？分析：油滴的运动可分为两个阶段：从静止始至P点，油滴做自由落体运动；油滴进入P点以后，要受到重力、电场力和洛仑兹力作用，且合力不为零，由前 面的小结知，油滴将做复杂曲线运动并从D点离开.第一个阶段的运动，可以用牛顿运动定 律和运动学公式求解，也可以用能量关系求解.第二个阶段的运动只能依据能量关系求解,即重力、电场力做功之和等于油滴动能变化.或油滴具有的重力势能、电势能、动能总和不 变.当然这一能量关系对整个运动过程也适用.图 3-7-10解：（1）对第一个运动过程，依据动能定理和在P点的受力情况可知:1 amgh=mv p U Bqvp=q所外=马（2）对整个运动过程，依据动能定理可知:/、U 1 2mg(h+L)-qy=-mvD-0I 所以叼=+qUm小结：说明：（1）处理带电质点在三场中运动的问题，首先应该对质点进行受力分析，依据 力和运动的关系确定运动的形式。若质点做匀变速运动，往往既可以用牛顿运动定律和运动 学公式求解，也可以用能量关系求解。若质点做非匀变速运动，往往需要用能量关系求解。应用能量关系求解时，要特别注意各力做功的特点以及重力、电场力做功分别与重力势能和 电势能变化的关系。（2）上面（1）中已说明，首先对质点进行受力分析，然后确定其运动形式。在确定其 运动形式时，可以先分析每一种力使质点如何运动，即先分析分运动。一般是先分析在重力 作用下如何运动，再分析电场力作用下如何