圆锥曲线题型总结汇编.doc

直线和圆锥曲线常考ian锥曲线经题型
运用的知识：
1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。
2、弦长公式：若点在直线上，
则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

或者
。
3、两条直线垂直：则
两条直线垂直，则直线所在的向量
4、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。
常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围

解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：

题型二：弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线，，，。
由消y整理，得 ①
由直线和抛物线交于两点，得
即 ②
由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。
线段的垂直平分线方程为：
令y=0,得，则
为正三角形，到直线AB的距离d为。

解得满足②式此时。
题型三：动弦过定点的问题
例题3、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为
（II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，，即点M的坐标为，
同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为
，直线MN的方程为：，
令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：
又，椭圆的焦点为，即
故当时，MN过椭圆的焦点。

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。

解：(I) ，且BC过椭圆的中心O
又点C的坐标为。
A是椭圆的右顶点，，则椭圆方程为：
将点C代入方程，得，椭圆E的方程为
(II) 直线PC与直线QC关于直线对称，
设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：
，即，由消y，整理得：
是方程的一个根，
即同理可得：
＝＝
＝
则直线PQ的斜率为定值。
题型五：共线向量问题
例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M：于P、Q两点，且,求实数的取值范围。

解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即
判别式法、韦达定理法、配凑法
设直线PQ的方程为：，
由消y整理后，得

P、Q是曲线M上的两点
＝
即 ①
由韦达定理得：

即 ②
由①得，代入②，整理得
，
解之得
当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或。
总之实数的取值范围是。
题型六：面积问题
例题6、已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。
（Ⅱ）设，。（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，
设直线的方程为。由已知，得。
把代入椭圆方程，整理得，
，。
。
当且仅当，即时等号成立。当时，，
综上所述。
当最大时，面积取最大值。
题型七：弦或弦长为定值问题
例题7、在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。

（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是
＝＝

.
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则＝.
=
＝

=
令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线.

解法2：
（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

＝
又由点到直线的距离公式得.
从而，

（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为
将直线方程y=a代入得

设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有

令为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为.
即抛物线的通径所在的直线。

题型八：角度问题
　例题8、（如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若,求点P的坐标.

解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.
因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴
b=所以椭圆的方程为
(Ⅱ)由得 ①
因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，
②
将①代入②，得
故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.
由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以
由方程组 解得
即P点坐标为

问题九：四点共线问题
例题9、设椭圆过点，且着焦点为
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上

解 (1)由题意：
，解得，所求椭圆方程为
(2)方法一
设点Q、A、B的坐标分别为。
由题设知均不为零，记,则且
又A，P，B，Q四点共线，从而
于是 ，
，
从而
，（1） ，（2）
又点A、B在椭圆C上，即

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得
即点总在定直线上
方法二
设点，由题设，均不为零。
且
又 四点共线，可设,于是
（1）
（2）
由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得
（3）
(4)
(4)－(3) 　　　得

即点总在定直线上

问题十：范围问题（本质是函数问题）
设、分别是椭圆的左、右焦点。
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。

解：（Ⅰ）解法一：易知
所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
解法二：易知，所以，设，则

（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又
∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或

问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）
设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

图1-3 大学生偏爱的手工艺品种类分布

尽管售价不菲，但仍没挡住喜欢它的人来来往往。这里有营业员们向顾客们示范着制作各种风格迥异的饰品，许多顾客也是学得不亦乐乎。在现场，有上班族在里面精挑细选成品，有细心的小女孩在仔细盘算着用料和价钱，准备自己制作的原料。可以想见，用本来稀奇的原料，加上别具匠心的制作，每一款成品都必是独一无二的。而这也许正是自己制造所能带来最大的快乐吧。

在大学生对DIY手工艺品价位调查中，发现有46% 的女生认为在十元以下的价位是可以接受；48% 的认为在10-15元；6% 的则认为50-100元能接受。如图1-2所示

大学生购买力有限，即决定了要求商品能价廉物美，但更注重的还是在购买过程中对精神文化爱好的追求，满足心理需求。

（3） 年龄优势解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,

2、消费者分析所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即

成功秘诀：好市口＋个性经营,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
因为,
所以,

附件（一）：,

体现市民生活质量状况的指标---恩格尔系数，上海也从1995年的53.4%下降到了2003年的37.2%，虽然与恩格尔系数多在20%以下的发达国家相比仍有差距，但按照联合国粮农组织的划分，表明上海消费已开始进入富裕状态（联合国粮农组织曾依据恩格尔系数，将恩格尔系数在40%-50%定为小康水平的消费，20%-40%定为富裕状态的消费）。①当时
因为所以,
所以,
所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
②
③ 我们长期呆在校园里，对社会缺乏了解，在与生意合作伙伴应酬方面往往会遇上困难，更不用说商业上所需经历的一系列繁琐手续。他们我们可能会在工商局、税务局等部门的手续中迷失方向。对具体的市场开拓缺乏经验与相关的知识，缺乏从职业角度整合资源、实行管理的能力；当时,.
④ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,
综上, |AB |的取值范围为即: