医科高等数学知识点.doc

1.极限存在条件

2. 法则1(夹逼法则) 若在同一极限过程中,三个函数、及 有如下关系:
且 则
3. 法则2(单调有界法则) 单调有界数列一定有极限
4.无穷小定理 以~-A为无穷小，则以A为极限。
性质1 有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小
性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.
性质3 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
5.高阶同低阶无穷小，假设

C=1时，为等价无穷小。

6.

推论

例题
7.

8.例题
=1
9.两个重要的极限
=1
例题

例题
例题2

解法2
10.函数在一点连续的充分必要条件是

11.
12. 满足下列三个条件之一的点为函数的间断点.

跳跃间断点

可去间断点

跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点为 左右极限都存在
第二类间断点 左右极限至少有一个是不存在的
第二类间断点中包括 无穷间断点（有一段的极限为正或负无穷）
震荡间断点（）
13.例题 =1
14.（最值定理）若函数 闭区间上连续，则在闭区间 上必有最大值和最小值．
（有界性定理） 若函数闭区间上连续，则其在闭区间上必有界
（介值定理） 若函数闭区间上连续，则对介于和之间的任何数C，至少存在一个，使得 根的存在定理 两侧异号 至少有一根。
15.函数在一点可导的充分必要条件为：
16.可导的函数一定是连续的 连续不一定可导
17.导数

反函数的导数等于直接函数导数的倒数

因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则)

隐函数求导法则 两边对X求导 例题 已知函数y是由椭圆方程所确定的 求
方程两边分别关于x求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有 解得 例题2
对数求导法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.
例题
高阶导数
18.
即
19. 基本初等函数的微分公式

20. 函数和、差、积、商的微分法则

例题

微分形式不变性 微分形式始终为
21. Lagrange中值定理 如果函数在闭区间上连续,在开区间上可导,则在内至少存在一点 ,使下面等式成立
推论

例题 证明

22.
如果函数与满足下列三个条件 0／0 ∞／∞，导数都存在且，
存在或者无穷大
则当或则有

例题

洛必达法则不是万能的 洛必达不能求解
(两边同乘以)
23.可导函数的的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点.（驻点为可导但是导数值为0的点） 函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
判断是否为极值点要计算驻点两侧倒数的符号是否不同
求驻点处的二阶导数 若二阶导数为正值 则为极小值 负值 则为极大值 为零则不能判断
24.二阶导数为正值则为凹的 负值则为凸的 分界点为拐点 在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在
函数作图 求定义域 函数的奇偶性和周期性 求一阶和二阶导数 讨论极值点和拐点 渐近线 列表
25.
基本积分公式
3
4

26.第一类换元法(凑微分法) 则有

凑微分的集中常见形式

、

27.第二类换元积分法（根式代换）
例题 求 令

三角代换的形式
倒数代换也为常用的形式
28.分部积分法
使用时应注意的问题
例题 令

例题2

29.有理函数的积分 待定系数法
分母中若有因式，则分解后为 待定的常数
分母中有分解后为
其中 待定的常数
例题 分母实数范围内不能因式分解 则用凑分法

30.定积分
相关性质 k为常数
.
上
设M及m分别是函数在区间上的最大值及最小值,则

定积分中值定理
积分上限函数 有

例题 求导数 先化为积分上限函数
视为的复合函数

例题2

微积分基本定理
定积分的换元法
例题 设
所以有
不换新变量 就不要改变积分上下限

例题2 设

定积分的分部积分法
例题

31.用定积分求面积 和 旋转体的体积
旋转体的体积（绕x轴形成的）
(绕y轴形成的)
例题 绕y轴形成的体积
用公式
32.无穷区间的广义积分
极限存在 则为广义积分存在或收敛 极限不存在 则为广义积分不存在或发散
相应的有形式
牛顿公式

例题 （原函数为正切函数）
无界函数的广义积分

若只有当上式右端两个极限都存在时 则称收敛 否则为发散。
例题 求 是无穷间断点

计算？
33.平面的一般方程 圆柱面
椭圆抛物面 双曲抛物面
圆锥面（二元函数的图像通常为一张曲面）
34.二元函数的相关定义及性质同一元函数相近
35.偏导数同全微分

二阶偏导数
（混合偏导数）
混合偏导数并不都是都相等的.
定理 如果得两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那么有该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
全微分
如果函数在点处可微分，则该函数在该点处的偏导数必存在。且函数在该点处的全微分为
一元函数在某点的导数存=微分存在 多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在
有偏导数存在且连续，全微分才存在
偏导数在某点连续 则在该点处可微(可微的充分条件)
若函数在某点可微分 则在该点偏导数必定存在(可微的必要条件)
例题的全微分
36. 点偏导数存在，在对应点可微，则复合函数在存在对x y的偏导数。
例题 求

中间变量既有一元函数又有二元函数的情形
即则有
例题求

中间变量均为一元函数
设可微且有 有为x的一元函数
有 例题 求
有
37.隐函数微分法
一元隐函数求导 设确定的一元隐函数为则有
则有 若则有
例题所确定的函数的导数
则有
所以有
二元隐函数的求导方法
所确定的函数为（二元隐函数）
两侧分别求导 若 则有

例题所确定的函数的偏导数
所以有
38.设函数在点处取得极值且在改点处两个一阶偏导数都存在 则必有
（极值点也可能不是驻点.）
设函数在点的某临域内连续且有一阶及二阶连续偏导数。又有 令
当时 该点为极值点（A<0则为极大值点 A>0则为极小值点）
时 不为极值点 时 不能确定
39.条件极值
求在约束条件下的极值
构造辅助函数(lagrange函数) （为常数）
求 解方程组 若为一解 则是可能的条件极值点（用题中所给条件判定）
40.二重积分

二重积分的相关性质

（区域可加性）
(为D的面积)
若D上有则有
（Mm分别为最大值和最小值，为D的面积)
（至少存在一点满足此式）
二重积分可化为二次定积分计算
(x-型先y后x，y-型先x后y)
例题 为区域 求面积
（求两曲线的交点）
X-型

积分区域是圆域或圆域的一部分时 通常用极坐标积分

例题 区域D
有，所以有

41.微分方程 例题 一曲线经过，该曲线上任意一点的切线的斜率为，求该曲线方程。 设曲线为 （根据导数的几何意义）即
两边积分 得（C为任意常数）根据点有
一阶微分方程或高阶微分方程
微分方程的实质 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.
42.可分离变量的微分方程（等式右端的函数可分解成x的函数与y的函数相乘的形式.）
一阶线性微分方程 为其次的。不衡为零时，为非其次的。
（线性指为微分方程仅有y得一阶导数，且y和y’都是一次幂
的通解为
的通解为

例题 求微分方程的通解

可降解的二阶微分方程
连续两次积分 例题 积分一次
积分两次
则原方程为 一阶微分方程求解
例题求通解 原方程化为
分离变量 两边积分
所以原方程的通解为

分离变量并积分，便得原方程的通解为
例题 代入原方程
上式化为 得
分离变量并积分即
所以解为
43.二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程
定理 若函数是方程的两个解 则有也为一解（为任意常数）
若是方程的两个线性无关的特解为通解（为任意常数）线性无关指常数
的解法 代入原方程
所以有（特征方程）特征根
讨论有两个相异的特征根（前者为﹣后者为﹢）
所以通解为
方程有两个相等的实根 特征根为
通解为
方程有一对共轭复根 特征根为
通解为
例题 求满足初始条件的特解
特征方程为 两个实数根 通解为
求导 根据条件有 所以特解为