八年级初二数学平行四边形知识点-+典型题及答案.doc

八年级初二数学平行四边形知识点-+典型题及答案

一、解答题
1．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、

（1）当在中点时，四边形是什么特殊四边形?说明你的理由；
（2）当为中点时，等于 度时，四边形是正方形．
2．综合与实践．
问题情境：
如图①，在纸片中，，，过点作，垂足为点，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．
独立思考：（1）试探究四边形的形状．
深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片中，在．上取一点，使，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，试探究四边形的形状；
拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形的两条对角线长；
（4）若四边形为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．

3．在等边三角形ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的上方作菱形ADEF，且∠DAF=60°，连接CF．
（1）（观察猜想）如图（1），当点D在线段CB上时，
① ；
②之间数量关系为 ．
（2）（数学思考）：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）（拓展应用）：如图（3），当点D在线段BC的延长线上时，若，，请直接写出的长及菱形ADEF的面积．

．
4．如图，在中，，，，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒的速度向点运动，运动时间为秒（），过点作于点．

（1）试用含的式子表示、、的长；
（2）如图①，连接，求证四边形是平行四边形；
（3）如图②，连接，当为何值时，四边形是矩形？并说明理由．
5．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.
（发现与证明）中，，将沿翻折至，连结.
结论1：与重叠部分的图形是等腰三角形；
结论2：.
试证明以上结论.
（应用与探究）
在中，已知，，将沿翻折至，连结.若以、、、为顶点的四边形是正方形，求的长.（要求画出图形）

6．已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转（），得到线段CE，联结BE、CE、DE. 过点B作BF⊥DE交线段DE的延长线于F．
（1）如图，当BE=CE时，求旋转角的度数；
（2）当旋转角的大小发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请用含的代数式表示；如果不变，请求出的度数；
（3）联结AF，求证：．

7．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点C、E、F、G按逆时针排列），连接BF.

（1）如图1,当点E与点D重合时，BF的长为 ；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，若AE=1，求BF的长；（提示：过点F作BC的垂线，交BC的延长线于点M，交AD的延长线于点N.）
（3）当点E在直线AD上时，若AE=4，请直接写出BF的长.
8．如图，在四边形ABCD中，，，连接AC，点P、E分别在AB、CD上，连接PE，PE与AC交于点F，连接PC，，．
（1）判断四边形PBCE的形状，并说明理由；
（2）求证：；
（3）当P为AB的中点时，四边形APCE是什么特殊四边形？请说明理由．

9．点E在正方形ABCD的边BC上，点F在AE上，连接FB，FD，∠ABF=∠AFB．
（1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF；
（2）如图2，过点F作垂线交AB于G，交DC的延长线于H，求证：DH=2 AG；
（3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC的长．

10．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形。
（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连结，①求证：；②求的度数；
（3）若，，，M是的中点，求的长。

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一、解答题

1．（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）
【分析】
（1）先证明，得出四边形是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出，得出四边形是菱形；
（2）先求出，再根据菱形的性质求出，即可证出结论．
【详解】
解：当点是的中点时，四边形是菱形；理由如下：
∵，
，
∵，
，
，
∵，即，
四边形是平行四边形，
；
为中点，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
∵，为中点，
，
四边形是菱形；
（2）当时，四边形是正方形；理由如下：
∵，，
，
∵四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．
2．（1）矩形；（2）菱形；（3）；（4）见解析
【分析】
（1）由平移推出，即可证得四边形是平行四边形，再根据，得到即可得到结论；
（2）由平移推出，证得四边形是平行四边形，根据得到，再根据勾股定理求出AF=5=AD，即可证得四边形是菱形；
（3）先利用勾股定理求出，再根据菱形的面积求出；
（4）在BC边上取点E，连接AE，平移△ABE得到△DCF，可得四边形AEFD是平行四边形.
【详解】
(1)四边形是矩形，
在中，，，
由平移可知：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
(2)四边形是菱形，
在矩形中， ，，
由平移可知：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
在，，
∴，
∴四边形是菱形；
(3)连接,
在中，，
，
∴，
∴；

(4)在BC上取一点E，连接AE，平移△ABE得到△DCF，可得四边形AEFD是平行四边形.

【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的判定及性质，平移的性质的应用，勾股定理.
3．（1）①120°；② BC＝CD+CF；（2）不成立，见解析；（3）8，
【分析】
（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACF≌△ABD，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD，再根据BD+CD=BC，即可得出CF+CD=BC；
（2）依据△ABD≌△ACF，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到AB∥CF；依据△ABD≌△ACF可得BD=CF，依据CD-BD=BC，即可得出CD-CF=BC；
（3）依据，即可得到，利用是等边三角形，，可得，即可得出HD的长度，利用勾股定理即可求出AD的长度，即可得出结论．
【详解】
解：（1）在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°
∴∠BAD+∠DAC=60°
在菱形ADEF中
AD=AF
∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=60°
∴∠CAF=∠DAB
又∵AC=AB，AF=AD
∴△ACF≌△ABD
∴∠ACF=∠ABD=60°，CF=BD
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=120°
故答案为：120°
②∵BC=BD+CD，BD=CF
∴BD=CF+CD
故答案为：BC=CD+CF
（2）不成立
理由：∵是等边三角形
∴，
又∵
∴
∴
∵四边形ADEF是菱形
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
（3），菱形ADEF的面积是
∵
∴
又∵，
∴
∴
∴如图，

过点A作于点H，连接FD
∵是等边三角形，
∴
∴
∵
∴
∴.
【点睛】
此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定△DAB≌△FAC是解本题的关键．
4．（1）；；；（2）证明见解析；（3）；理由见解析．
【分析】
（1）根据题意用含t的式子表示AE、CD，结合图形表示出AD，根据直角三角形的性质表示出DF；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）由题意得，，，
则，
∵，，∴
（2）∵，，∴，
∵，，∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）当时，四边形是矩形，
理由如下：∵，，
∴，
∵，
∴时，四边形是平行四边形，
即，解得，，
∵，∴四边形是矩形，
∴时，四边形是矩形．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握平行四边形、矩形的判定定理是解题的关键．
5．【发现与证明】结论1：见解析，结论2：见解析；【应用与探究】AC的长为或2.
【分析】
【发现与证明】由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB′，证出∠EAC=∠ACB′，得出AE=CE；得出DE=B′E，证出∠CB′D=∠B′DA= （180°-∠B′ED），由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；
【应用与探究】：分两种情况：①由正方形的性质得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函数即可求出AC；②由正方形的性质和已知条件得出AC=BC=2．
【详解】
【发现与证明】:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵△ABC≌△AB′C，
∴∠ACB=∠ACB′,BC=B′C，
∴∠EAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
即△ACE是等腰三角形；
∴DE=B′E，
∴∠CB′D=∠B′DA=12(180°−∠B′ED)，
∵∠AEC=∠B′ED，
∴∠ACB′=∠CB′D，
∴B′D∥AC；
【应用与探究】:分两种情况：①如图1所示：

∵四边形ACDB′是正方形，
∴∠CAB′=90°，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=45°，
∴AC=；
②如图2所示：AC=BC=2；

综上所述：AC的长为或2.
【点睛】
本题考查平行四边形的性质, 正方形的性质, 翻折变换（折叠问题）.【发现与证明】对于结论1，要证明三角形是等腰三角形，只需要证明它的两条边相等，而在同一个三角形内要证明两条线段相等只需要证明它们所对应的角相等（即用等角对等边证明）.结论2：要证明两条线段平行，本题用到了内错角相等，两直线平行.所以解决【发现与证明】的关键是根据已知条件找到对应角之间的关系. 【应用与探究】折叠时，因为正方形的四个角都是直角，所以对应线段之间存在共线情况，所以分BA和AB’共线和BC和B’C两种情况讨论，能根据题意画出两种情况对应的图形，是解题关键.
6．（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析
【分析】
（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC是等边三角形，从而求得=∠DCE=30°．
（2）因为△CED是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF=.
（3）过A点与C点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH是平行四边形，求得△ABG≌△ADH.从而求得矩形AGFH是正方形，根据正方形的性质证得△AHD≌△DIC，从而得出结论．
【详解】
（1）证明：在正方形ABCD中, BC=CD.由旋转知，CE=CD,
又∵BE=CE,
∴BE=CE=BC,
∴△BEC是等边三角形，
∴∠BCE=60°.
又∵∠BCD=90°,
∴=∠DCE=30°.
（2）∠BEF的度数不发生变化.
在△CED中，CE=CD,
∴∠CED=∠CDE=，
在△CEB中,CE=CB,∠BCE=,
∴∠CEB=∠CBE=,
∴∠BEF=.
（3）过点A作AG∥DF与BF的延长线交于点G，过点A作AH∥GF与DF交于点H，过点C作CI⊥DF于点I
易知四边形AGFH是平行四边形，
又∵BF⊥DF，
∴平行四边形AGFH是矩形.
∵∠BAD=∠BGF=90°，
∠BPF=∠APD ，
∴∠ABG=∠ADH.
又∵∠AGB=∠AHD=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADH.
∴AG=AH ，
∴矩形AGFH是正方形.
∴∠AFH=∠FAH=45°，
∴AH=AF
∵∠DAH+∠ADH=∠CDI+∠ADH=90°
∴∠DAH=∠CDI
又∵∠AHD=∠DIC=90°，AD=DC，
∴△AHD≌△DIC
∴AH=DI，
∵DE=2DI，
∴DE=2AH=AF

【点晴】
本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）利用勾股定理即可求出.
（2）过点F作FH⊥AD交AD于的延长线于点H，作FM⊥AB于点M，证出，进而求得MF，BM的长，再利用勾股定理，即可求得.
（3）分两种情况讨论，同（2）证得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.
【详解】
（1）由勾股定理得：
（2）过点F作FH⊥AD交AD于的延长线于点H，作FM⊥AB于点M，如图2所示：

则FM=AH，AM=FH
∵四边形CEFG是正方形 ∴EC=EF,∠FEC=90° ∴∠DEC+∠FEH=90°，
又∵四边形是正方形 ∴∠ADC=90° ∴∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠FEH
又∵∠EDC=∠FHE=90°，∴ ∴FH=ED EH=CD=3
∵AD=3,AE=1,ED=AD-AE=3-1=2,∴FH=ED=2
∴MF=AH=1+3=4，MB=FH+CD=2+3=5
在Rt△BFM中，BF=
（3）分两种情况：
①当点E在边AD的左侧时，过点F作FM⊥BC交BC的反向延长线于点M，交DE于点N.如图3所示：

同（2）得：
∴EN=CD=3，FN=ED=7
∵AE=4∴AN=AE-EN=4-3=1
∴MB=AN=1 FM=FN+NM=7+3=10
在中
由勾股定理得：
②当点E在边AD的右侧时，过点F作FN⊥AD交AD的延长线于点N，交BC延长线于M，如图4所示：

同理得：
∴NF=DE=1，EN=CD=3
∴FM=3-1=2，CM=DN=DE+EN=1+3=4
∴BM=CB+CM=3+4=7
在中
由勾股定理得：
故BF的长为
【点睛】
本题为考查三角形全等和勾股定理的综合题，难点在于根据E点位置的变化，画出图形，注意（3）分情况讨论，难度较大，属压轴题，熟练掌握三角形全等的性质和判定以及勾股定理的运用是解题关键.
8．（1）四边形PBCE为平行四边形，证明过程见解析；（2）见解析；（3）四边形APCE为矩形，证明过程见解析.
【分析】
（1）证明四边形ABCD为平行四边形，从而得BP//CE，根据内错角相等证明AD//PE,从而可证PE//BC，得四边形PBCE为平行四边形；（2）证明△CBP≌△ACE即可证明CP=AE；（3）证明四边形APCE为平行四边形，然后根据三线合一证明∠APC=90°，可证四边形APCE为矩形.
【详解】
解：（1）四边形PBCE为平行四边形.
证明：∵，，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴PB//EC,
∵,
∴AD//PE,
∴PE//BC,
∴四边形PBCE为平行四边形.
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，AB//CD,
∴
又∵，
∴∠B=，
∴BC=AC，
∵四边形PBCE为平行四边形，
∴PB=CE，
在△CBP和△ACE中

∴△CBP≌△ACE.
∴.
（3）四边形APCE为矩形，
证明：∵P为AB的中点
∴BP=AP,
∵四边形PBCE为平行四边形，
∴BP=CE,
∴AP=CE,
又∵AB//CD
∴四边形APCE为平行四边形，
∵CB=CA，AP=BP，
∴CP⊥AB，
∴∠APC=90°，
∴为矩形.
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形“三线合一”.熟记平行四边形的判定和矩形的判定定理，能根据题意分析得出线段与线段、角与角之间的关系，选择合适的定理是解决本题的关键.
9．（1）见解析；（2）见解析；（3）7
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质结合正方形的性质得出AF=AD，则∠AFD=∠ADF；
（2）首先得出四边形AGHN为平行四边形，可得FM=MD，进而NF=NH，ND=NH，即可得出答案；
（3）首先得出△ADN≌△DCP（ASA），得到PC=DN，再利用在Rt△ABE中，BE2+AB2=AE2，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∴AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF；
（2）证明：如图1所示：过点A作DF的垂线分别交DF，DH于M，N两点，
∵GF⊥DF，
∴∠GFD=∠AMD=90°，
∴AN∥GH，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AG∥NH，
∴四边形AGHN为平行四边形，
∴AG=NH，
∵AF=AD，AM⊥FD，
∴FM=MD，
连接NF，则NF=ND，
∴∠NFD=∠NDF，
∵∠NFD+∠NFH=∠NDF+∠H，
∴∠NFH=∠H，
∴NF=NH，
∴ND=NH，
∴DH=2NH=2AG；
（3）解：延长DF交BC于点P，如图2所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠FPE，
∴∠PFE=∠AFD=∠ADF=∠FPE，
∴EF=EP=2，
∵∠DAM+∠ADM=∠ADM+∠PDC，
∴∠DAM=∠PDC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADN=∠DCP，
在△ADN和△DCP中
，
∴△ADN≌△DCP（ASA），
∴PC=DN，
设EC=x，则PC=DN=x+2，DH=2x+4，
∵CH=3，
∴DC=AB=BC=AF=2x+1
∴AE=2x+3，BE=x+1，
在Rt△ABE中，BE2+AB2=AE2，
∴（x+1）2+（2x+1）=（2x+3）2．
整理得：x2﹣6x+7=0，
解得：x1=7，x2=﹣1（不合题意，舍去）
∴EC=7．

【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行四边形的性质等知识，解题关键是正确把握正方形的性质．
10．（1）见解析；（2）①见解析；②∠BDG=60°；（3）
【分析】
（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质和角平分线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再根据四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；
（2）①根据已知和菱形的性质得出∠BEG=120°=∠DCG，再判断出AB=BE，进而得出BE=CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS）
②先得出∠CGE=60°再由①得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可DM=BM,∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM是等腰直角三角形,等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE=GE，∠BCG=∠BCF=60°，
∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
②∵△BEG≌△DCG
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∴∠BGD=∠CGE，
∵CG=GE=CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG=60°；
（3）连接BM，MC，

∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME和△DMC中，

∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB=MD，
∠DMC=∠BME．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB=8，AD=14，
∴BD=2，

【点睛】
此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．