黑龙江省实验中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试题.doc

黑龙江省实验中学2018年下学期高一年级
数学期末考试(理科）
满分：150分 完成时间： 120分钟
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 点关于直线的对称点为　　
A. B. C. D.
2. 已知关于x的不等式的解集是，则的值是　　
A. B. 11 C. D. 1
3. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有　　
，，，  ，
，，         ，
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4. 已知变量x，y满足约束条，则的最大值为　　
A. 2 B. 6 C. 8 D. 11
5. 正项等比数列中，，，则的值是　　
A. 4 B. 8 C. 16 D. 64
6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为　　

A. B. C. D. 1
7. 已知两点，，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是　　
A. B.
C. D.
8. 已知直线：，与：平行，则a的值是　　
A. 0或1 B. 1或 C. 0或 D.
9. x、y满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为　　
A. 或 B. 2或 C. 2或1 D. 2或
10. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(    )
A. B. C. 3 D. 2
11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若  ，则的形状是　　
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
12. 四面体 中，，，，则此四面体外接球的表面积为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.过点且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______．
14.已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是______．
15.已知直三棱柱中，，，，，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为______ ．
16.已知数列满足，，则数列的前n项和 ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.在数列中，，．Ⅰ求证：数列是等差数列；Ⅱ求数列的前n项和．

18.如图，已知四棱锥，底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．Ⅰ证明：平面PAD；Ⅱ若PA与平面ABCD所成的角为，
求四棱锥的体积V．

19.在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足，
Ⅰ求C的大小；Ⅱ若的面积为，求b的值．

20.已知直线l：Ⅰ证明直线l经过定点并求此点的坐标；Ⅱ若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；Ⅲ若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

21.已知，．
若，解不等式；
若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
若，解不等式．

22.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，E是BC的中点．
求证：；
求异面直线AE与所成的角的大小；
若G为中点，求二面角的正切值．

答案和解析
【答案】
1. B 2. C 3. B 4. D 5. C 6. A 7. D
8. C 9. D 10. B 11. C 12. B
13. 或  
14.   
15.   
16.   
17. 解：解法一：Ⅰ的两边同时除以，
得，分
所以数列是首项为4，公差为2的等差数列分
解法二：依题意，可得，分
所以，
即，分
所以数列是首项为4，公差为2的等差数列分Ⅱ由Ⅰ，得，分
所以，故，分
所以

分  
18.本小题满分12分
解：Ⅰ由已知及正弦定理可得，，
，
，
  分Ⅱ 由Ⅰ可得，，
，
又，
，
由题意可知，，
，可得：  分  
19. 解：证明：直线l：，化为：，令，解得，．
直线l经过定点．Ⅱ由直线l不经过第四象限，．
则，Ⅲ直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，
由直线l的方程可得与坐标轴的交点，，，，解得：．
，当且仅当时取等号．
S的最小值为4，及此时直线l的方程为：．  
20. 解：当，不等式即，即，解得，或，
故不等式的解集为，或．
由题意可得恒成立，
当时，显然不满足条件，．
解得，故a的范围为．
若，不等式为，即．
，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式即，它的解集为；
当时，，不等式的解集为．  
21.Ⅰ证明：、N分别是棱PB、PC中点，
，
又 ABCD是正方形，，
．
平面PAD，平面PAD，
平面PAD．Ⅱ平面ABCD，与平面ABCD所成的角为，
．
，
故四棱锥的体积．  
22. 证明：因为面ABC，面ABC，所以-----------------分
由，E为BC的中点得到-----------------分
面----------------分
-----------------分
解：取的中点，连，，
则，
是异面直线AE与所成的角----------------分
设，则由，
可得，，

在中，------------------分
所以异面直线AE与所成的角为------------------分
连接AG，设P是AC的中点，过点P作于Q，连EP，EQ，则----分
又平面平面  
平面-------------分
而．
是二面角的平面角-------------分
由，，，得
所以二面角的平面角正切值是-----------分  
【解析】
1. 解：对于，，，，，错误，当时，与可能相交；
对于，，，正确，原因是：，则n垂直内的两条相交直线，又，则m也垂直内的这两条相交直线，则；
对于，，，，错误，m与n可能异面；
对于，，，错误，也可能是．
正确命题的个数是1个．
故选：B．
由空间中的线面关系逐一核对四个命题得答案．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
2. 解：若关于x的不等式的解集是，
则2，3是方程的根，
故，
故，
故选：C．
根据不等式的解集求出a，b的值，作和即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，考查不等式和二次函数的关系，是一道基础题．
3. 解：设对称点坐标，
则：中点坐标为
中点坐标在直线上，即：
直线与直线垂直，
则有：
由解得：，
所以对称点坐标，
故选：B．
设对称点坐标，利用点到直线的距离公式或者斜率成乘为和中点坐标公式即可求出m，n的值．
本题考查了点关于直线对称的问题利用点到直线的距离公式或者斜率成乘为和中点坐标公式建立关系即可求解属于基础题．
4. 解：作出变量x，y满足约束条的可行域如图，
由知，，
所以动直线的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．
由得，
结合可行域可知当动直线经过点时，
目标函数取得最大值．
故选：D．
先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线的最大值即可．
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
5. 【分析】
本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力设正项等比数列n的公比为q，由a3，a46，利用通项公式解得q2，再利用通项公式即可得出．
【解答】
解：设正项等比数列的公比为q，
，，
，，
解得，
．
故选C．
6. 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
棱锥的底面面积，
高为1，
故棱锥的体积，
故选：A
由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．
本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
7. 解：点，，过点的直线L与线段AB有公共点，
直线l的斜率或，
的斜率为，PB的斜率为，
直线l的斜率或，
故选：D
根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．
本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．
8. 解：当时，两直线的斜率都不存在，
它们的方程分别是，，显然两直线是平行的．
当时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，
由，解得：．
综上，或，
故选：C．
先检验当时，是否满足两直线平行，当时，两直线的斜率都存在，由，解得a的值．
本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．
9. 解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．
由得，即直线的截距最大，z也最大．
若，此时，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若，目标函数的斜率，要使取得最大值的最优解不唯一，
则直线与直线平行，此时，
若，目标函数的斜率，要使取得最大值的最优解不唯一，
则直线与直线，平行，此时，
综上或，
故选：D
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线斜率的变化，从而求出a的取值．
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．
10. 解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为2，
直观图以及侧面展开图如图：

圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：．
故选：B．
判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．
本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力．
11. 【分析】
本题考查了正弦定理、余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】
解：在，，，
，．
，
，
代入，，解得．
的形状是等边三角形．
故选C．
12. A
13 ，或．
14. ．
15. ．
16.．．
17. 解法一：的两边同时除以，，即可证明
解法二：依题意，可得，可得，即可证明．Ⅱ由Ⅰ，得，可得，利用裂项求和方法即可得出．
本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.Ⅰ由已知及正弦定理可得，，进而利用同角三角函数基本关系式可求，即可得解C的值．Ⅱ 由Ⅰ利用余弦定理可求，又，可得，利用三角形面积公式即可解得b的值．
本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
19. 直线l：，化为：，令，解出即可得出．Ⅱ由直线l不经过第四象限，即可得出．Ⅲ直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，由直线l的方程可得与坐标轴的交点，，，，解得：故，利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了直线系的方程、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20. 当，不等式即，解此一元二次不等式求得它的解集．
由题意可得恒成立，当时，显然不满足条件，故有，由此求得a的范围．
若，不等式为，即再根据1和的大小关系，求得此不等式的解集．
本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
21. 由中位线定理得出，由，故，得出平面PAD；
由得出，于是棱锥体积．
本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．
22. 由面ABC及线面垂直的性质可得，由，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得，结合线面垂直的判定定理可证得面，进而由线面垂直的性质得到；
取的中点，连，，根据异面直线夹角定义可得，是异面直线A与所成的角，设，解三角形可得答案．
连接AG，设P是AC的中点，过点P作于Q，连EP，EQ，则，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得平面，进而由二面角的定义可得是二面角的平面角．
本题是与二面角有关的立体几何综合题，主要考查了异面直线的夹角，线线垂直的判定，二面角等知识点，难度中档，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键．
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