带有非强制项的非线性抛物问题的重整化解.pdf
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1、引用格式:李姝静,许少鹏带有非强制项的非线性抛物问题的重整化解J.海南大学学报(自然科学版),2023,41(2):121-132.Citation:Li Shujing,Xu Shaopeng.Renormalized solutions for the nonlinear parabolic problem with lower ordertermsJ.Natural Science Journal of Hainan University,2023,41(2):121-132.Jun.20232023年6 月Vol.41 No.2第41卷第2 期海南大学学报自然科学版NATURAL SC
2、IENCE JOURNALOFHAINANUNIVERSITYDOl:10.15886/ki.hdxbzkb.2023.0014带有非强制项的非线性抛物问题的重整化解李姝静,许少鹏(海南大学理学院,海南海口5 7 0 2 2 8)摘要:通过逼近问题和截断函数,构造一个逼近序列,使其极限为问题的重整化解,即证明带有非强制性低阶项的非线性抛物问题的重整化解存在性,其右端项以及初始值均具有可积数据,这一问题区别于其他一般问题在于:方程左端项带有一个低阶项,其在Sobolev空间中没有强制性.关键词:重整化解;存在性;非强制项;可积数据中图分类号:0 17 5.2 9文献标志码:A文章编号:10 0
3、4-17 2 9(2 0 2 3)0 2-0 12 1-12在本文中主要研究如下带有非强制项的非线性抛物型方程udiv(Vup-2Vu+(x,t,u)=f(x,t)e Qat(Vup-2Vu+d(x,t,u)n=0(x,t)E Q,(1)u(x,t)=0(x,t)EQdu(x,0)=uo(x)xEQ其中,fL(Q),uoL(Q),Q是R中的一个有界开集并且具有Lipschitz条件aQ,N2,Q=(0,T)(T0),Q,=,(0,T),Qa=Ta(0,T),T,和T满足以下条件:F,U,=2,I,a=并且o(Ta)0(是边界aQ上的N-1维Lebesgue测度),向量n是边界aQ的外法向量.:
4、QRR是一个Carathodory函数并且满足:对于任意的s,有|(x,t,s)c(x,t)s,其中c和是满足依赖于p和N的条件(见下面条件(6)(8).研究问题(1)的动机是在特定情况下的均匀化,其中Q是一个穿孔域,在有孔的边界上有Neumann条件,在其他的边界上有Dirichlet条件.重整化解由DipernaandLions在2 0 世纪8 0 年代后期引人,其目的是解决Boltzmann方程Cauchy问题整体解的存在性1-2。此方法在流体力学极限中、非线性椭圆方程及抛物方程中都有十分重要的应用如今,非线性科学、物理学、流体力学、弹性力学和图像处理等学科大量出现的数学模型以及来自于工
5、业问题的数学模型通常归结为一些非线性抛物或椭圆等偏微分方程,其重整化解的存在性、唯一性以及解的结构与性质等方面的研究在理论及实际应用中都具有十分重要的意义.笔者主要证明问题(1)重整化解的存在性,此问题区别于其他一般具有可积数据的问题在于-divd(x,t,u)没有强制性.当(x,t,u)=0时,1Boccardo等证明了Dirichlet边界的抛物问题弱解的存在性3,在L数据或者p2-的有界测度下也N+1得到类似结果(在上述文献中,弱解属于 L(.,T),W(2)mPP(N+1)-N因此在本文中,12-众所周知弱解在一般情况下不一定具有存在唯一性5-6.为了消除pN+1N+1上的限制条件以及
6、保证稳定性,在文中使用了重整化解的框架.重整化解的概念是19 8 9 年由Diperna等首先针对一阶方程引人的1-2,在针对具有L数据7 的抛物问题和一般具有有界测度数据8 的椭圆问题中得到了发展,并且发展了适用于L数据的抛物型方程9-10.19 9 5 年,Bnilan等 提出了熵解的概念,也可用于该类型的抛物方程12.2 0 0 1年,Blanchard等证明了下列具有非强制性低阶项div(d(u)的非线性抛物问题的重整化解的存在性10),其中(u)具有连续性.b(t)div ADu+divd(u)=f(x,t)e x(0,T)atu=0(x,t)e 0Q(0,T).(2)b(u)(t=
7、0)=b(u)XEQ等考虑了下列问题的有界解和无界解13,其中u。E2003年,BoccardoG等考虑了下列问题的有界解u,-div(a(x,t,u)Vu)=-div(uE)(x,t)e Q2(0,T)=Qu(x,t)=0(x,t)e 0Q x(0,T)(3)u(x,0)=uo(x)XEQ在更一般的情况,如f和u。是有界测度,在c(x,t)=0的情况下14,证明了问题的重整化解的存在性。2006年,Ben Cheikh Ali等考虑了下列带有非强制项的非线性椭圆问题在可积数据下的重整化解的存在唯一性15 a(x,u)-div(a(x,Vu)+(x,u)=f x E Q(a(x,Vu)+(x,
8、u).n=0(4)u=0其中,fL(2),u(),和满足以下条件:,Ua=,a=并且()0(是边界上的N-1维Lebesgue测度),向量n是边界aQ的外法向量.2010年,DiNardo考虑了下列方程重整化解的存在性16,其中feL(Q),u。EL(2),u-A,u+div(c(x,t)ul-lu)=f(x,t)e Q2 x(0,T)=Qat(5)u(x,t)=0(x,t)e Q(0,T).u(x,O)=u(x)xEQN(p+1)+p2011年,Di Nardo等在问题(5)的基础上加了一项具有非强制性低阶项b/Vul,其中=N+2b E LN+2.1(),证明了重整化解的存在性17,近几年
9、来,随着研究的深人重整化解有了新的发展,比如Bourahma等18、Gwiazda等119、Li等2 0 在Orlicz空间或Musielak-Orlicz空间中讨论椭圆问题的重整化解和熵解的存在唯一性方面有新的进展;同样的在Orlicz空间中对抛物问题重整化解和解的研究也有了一定的发展2 1-2;Benboubker等考虑带有Neu-mann条件边界的问题,得到了重整化解的存在性2 3;Grossekemper等得到了具有双重非线性分数阶La-place方程的熵解2 4;Teng等将带有p-Laplace算子的方程改为带有分数阶p-Laplace的演化方程,讨论了其重整化解和熵解的性质2 5
10、;Zhang等不仅得到了解和重整化解的存在唯一性,还讨论了解和重整化解的等价性2 6。在本文中,边界并不是纯Dirichlet问题,而是同时具有Dirichlet条件和Neumann条件的混合边界问题.笔者证明了问题(1)的重整化解的存在性.证明步骤如下:首先,引人一个逼近问题,然后根据文献2 6-2 9 中包含的思想推导出其解的梯度的先验估计,其中关键性技巧是本文中的引理1;其次验证满足重整化解的条件(15);最后运用泛函分析或者实变函数等方法得到逼近解收敛性,从而得到重整化解的存在性.面等(14)123李姝静等:带有非强制项的非线性抛物问题的重整化解第2 期1假设和定义qE1,0,W(2)
11、表示属于W19(2)的在Ta上有零边值的函数空间.2 是R中具有Lipschitz边界的有界连通开子集,并且o(F)0,空间W(2)的范数如下表示:l w(o=Vv 30L9()假设(x,t,s)是QRNR上的一个Carathodory函数,并且满足下列条件:且d(x,t,s)c(x,t)/s 1a.e.(x,t)e Q,(6)N+Pc(x,t)e L(2),m=(7)p-1,(N+2)=N+P(p-1)(8)fe L(O),(9)EL1(Q)(10)在上述假设下,因为(x,t,u)&(LP(Q),上述问题(1)一般不存在弱解,故再考虑重整化解.定义高度为k的截断函数为(krkT,(r)=mi
12、n(k,max(r,-k)=r|r|k,(11)(-k r-kIrl0,有T,(u)=LP(0,T;W)P(2),那么存在唯一的可测函数V:OR满足VT,(u)=VXlul0成立,其中,Xe是可测集合E的特征函数,定义v为一个广义梯度并记作v=Vu.若uL(0,T;W (2),那么v与u的弱导数相同.利用非常弱梯度的概念可以给出问题(1)的重整化解的定义。定义2u是定义在Q(0,T)上的一个可测函数,是问题(1)的重整化解,如果满足u E L(O,T;L(2),(13)T,(u)ELP(0,T;WP(2),对任意的k0,WP(2),对任意的k0,limIVuldxdt=0,(15)n-00对任
13、意的C(),且(x,T)=0,以及对任意的逐点C且S具有紧支集的函数SeW2(R),u使得下式成立0(x,0)S(u.)dx-S(u)dxdt+S(u)/Vulp-2Vu.Vodxdt+atQS(u)olVuldxdt+S(u)d(x,t,u).Vpdxdt+S2S(u)pd(x,t,u).Vudxdt:fs(u)odxdt.(16)注特别地,存在M0,使得supp Se-M,M且由25U儿2分别推(Q)和nN+-N12420233年海南大学学报自然科学版d(x,t,u)S(u)Vudxdt=d(x,t,T(u)S(u)VTm(u)dxdt.2为了得到问题(1)逼近问题解的先验估计,需要一个技
14、术结果.其在Lorentz空间LN(p-1)P(N+I)-NL(N+IXp-1)(O)中分别给出了u以及其梯度的估计.通过Lebesgue空间中经典的Lorentz空间嵌人3 1,导出u以及|Vul|在Lebesgue空间L(Q)和L()的估计,其中m0T,(u)e LP(0,T;WIP(2)n L(0,T;L?(2),supT;(u)VT;(u)Mk,(17)tE(O,T)J2这里的M是一个正常数,则其中,C是仅依赖于N和p的常数.2主要结论及其证明(p-IXN+p)1NPN+I-NCMP(N+)-NPN+p(18)N(P-I)(Q)(N+2)(p-1)CM P(N+I-N(19)PN+D-
15、N,L(N+IXP-I)(Q)定理1若假设式(6)(10)成立,则问题(1)至少存在一个重整化解.证明第一步:逼近问题,首先,处理下面关于问题(1)的逼近方程Ou-div(Vup-2u+,(x,t,u)=f(x,t)e Qat(Vusp-2Vu+,(x,t,u).n=0(x,t)=Qn,(20)u(x,t)=0(x,t)=Qdu(x,O)=uo(x)XEQ其中,f LP(Q),且f在L(Q)中强收敛到f,(21)u%L(Q),且u在L(2)中强收敛到uo,(22),(x,u)=d(x,t,T,(u),(23),(x,t,s)/c(x,t)s1(24)d,(x,t,s)()由Lions的结论3
16、2 以及引理2.5 2 6 可知,式(2 0)至少存在一个弱解uLP(0,T;WE LP(0,T;WFlP(2),以及任意的 E LP(0,T;WP(2),满足odxVu.Vodxdt+d,(x,t,u)Vpdxdt=fodxdt.ot2第二步:逼近问题解的先验估计.对任意k0,选取T,(u)作测试函数作用于式(2 0),可得ou(udt-Vu.VT,(u)dxdt+,(x,t,u).VT,(u)dxdt=fT,(u)dxdt.(tOu(u)dt:O,(u(x,T)dx-/(uo)dx,(26)at/E W2,(R),有(36)其中,C,=C,(N,P,0,c(x,t)ullo)(35)uT,
17、(u)dx-k|uldx.(28)at2将式(2 4)和(2 8)代人式(2 5),有/VT;(u)dxdtkC,+J c(x,)/,(u)VT,()dxdt,中,C,=Jldxdt+uo/dx.对式(2 9)右端第二项用Holder不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式以及Young不等式/VT;(u)dxdtN(p-1)(P(N+2)(N+p)p|T;(u)/VT;(u)dxdt)NN+1/VT,(u)dxdt)N+PsuptE(O.T)QN+1C,k+/VT,(u)dxdt,(30)N+pvo:通过引理1,可得u和Vu在Q上的估计0通过式(2 9)(3 4),有由式(3 1
18、)可知下证对任意的逐点C且S具有紧支集的函数T,(u)在LP(0,T;W);P(2)中有界,对Ve0.ou在L(Q)+L(0,T;W-1,P(2)上有界,(37)在时通过式(3 6)和(3 7)以及Aubintype引理3 3)蕴含着,u存在一个子列,仍记为u使得L(Q)+LP(O,T;W-1P(2)上有界,且与无关在 L(O)+LP(0,T;W-1,P(2)中有界ou由此可知在tk38)1262023年海南大学报自然科学版事实上,通过S(u)乘式(2 0),得到S(u)-div(/Vu-2u.S(u)+S(u)/Vu.-div(x,t,u)s(u)+S(u)(x,t,u)Vu=fS(u).考
19、虑式(3 8)中的每一项,首先由p-Laplace性质以及式(3 6)可知div(/VupVu/VuP+fS(u)在L(Q)+LP(0,T;W-1.P(2)中有界,且与无关.由S具有紧支集包含在-k,k中,通过式(2 4)知:对0.(x,t,u)s(u)/dxdt0,有VT,(u)-VT,(u),在(LP(Q)中,(43)VT2x(u-T,(u)VT2x(u-T,(u),在(LP(Q)中.(44)为了处理截断函数的时间导数,使用正则化方法3 4),序列(T,(u),逼近T,(u).对0,定义函数T,(u)间上的正则化(T,(u),(x,t):=Jexp(u(s-t)T,(u(x,s)ds,(4
20、5)当s0时,将T,(u)扩展为0,显然(T,(u),=LP(0,T;W(2)L()以及V(T(u),(LP(),那么对于t E(0.T),有a.e.t e(o,T),有通过计算可以得到(T,(),(x,)k(l-exp(-t)0,令hk,对于式(2 0)将w=Tz(u-T,(u)+T,(u)-n(u)作为测试函数,首先在椭圆的情况下3 6 引入w作为测试函数来证明截断函数的强收敛性,其次Porretta用we作为测试函数来证明在抛物问题中截断函数的强收敛性3 5.假设M=4k+h,可知当|u|n时,有w=0.因此,有oudt-Vu.Vwdxdt+,(x,t,u)Vwdxdt=fwdxdt,a
21、tWew(e,u,j,h)满足lim lim lim lim w(e,u,j,h)=0(49)首先对于第一项dt,由nu,(u)k,w可以表示为引理2.13 5 可以得到w=T (u-nm(u)-T-s(u-T,(u),OuWdt w(c,u,j,h).(50)at0因此VTM(u)VTm(u).Vwdxdtrwdxdt-D,(x,t,u)Vwdxdt+w(c,j,h),(2由T(u)的定义,上式左端可以化简为VTM(u)p-VTm(u).VT2x(u-T,(u)+T,(u)-nu,(u)dxdt 通过上述2 个不等式,得到故J/VT,(u)-2VT,(u).V(T,(u)-n(u)dxdt-
22、Tm(u)P-vT(u)Vn,(u)dxd.T,(u)p-2vT,(u).V(T,(u)-nm,(u)dxdtVTm(u)Vnus(u)dxdt+fwedxdt+,(x,t,u)Vwdxdt,H人J(VT:(u)p-2VT,(u)-/VT,(u)P-2VT,(u)V(T,(u)-nm)dxdtT(ur)-Tm(u)/nm()dxdt+fTz(u-T,(u)+T,(u)-nu,(u)dxdt+2(x,t,u)VT2x(u-T,(u)+T(u)-n;(u)dxdt+2/VT,(u)P-vT,(u)-(T,(u.)-n)dxdt+w(e,uj.h)-J,+J,+J,+J4+w(c,j,h).(51)
23、下证当0 以及j,h时,Ji,J2,J,J的极限为0.对于J,由|Tm(u)-2VTm(u)在L()中有界,利用收敛控制定理,可知dt,(61)(60)ELP(O,T;W P(Q)作测试函数,得到(56)12820233年海南大学报自然科学版lim limTm(u)vTm(u)/nu,()dd=0.(52)M880对于J,注意到-f|T2k(u-T,(u)+T(u)-nu,(u)dxdt+fT2k(u-T,(u)+T,(u)-nu,(u)dxdt2kf-fdxdt+fT2k(u-T,(u)+T,(u)-nu,(u)|dxd,由式(2 1)和(41)以及nu,(u)的定义和Lebesgue控制收
24、敛定理,得到lim lim lim|J,|lim limfT2x(u-T,(u)+T,(u)-nu,(u)dxdt=0.(53)h-oou-对于J,由式(2 4)以及Lebesgue控制收敛定理,有lim lim lim(x,t,u)VT2x(u-T,(u)+T,(u)nu(u)dxdh-0u-00-02lim lim limc(x,t)|T,(u)|vTz(u-T,(u)+T,(u)-nu(u)dxdt=0.(54)h-0000对于J4,由式(43)可知limVT,(u)VT,(u).V(T(u)-nuj)dxdt=O,(55)因此,由式(49)、(5 2)、(5 3)、(5 4)以及式(5
25、 5),可得lim lim lim lim A=0其中,A=(/VT,(u)P-VT,(u)-/VT,(u)VT,(u)V(T,(u)-nuj)dxdt.由下列不等式,对任意的2 个实向量a,beR,21-P(a|ap-2-b|b-2)(a-b)C(p)|a-bl,p2,C(p)=p-1,P-232-pa-b/PC(p)t p(aap-2=b|b p-2)(a-b)+t|bl,1 p0,有VT,(u)VT,(u),在(L()中,(58)IVT,(u)P-vT;(u)/VT,(u)-VT,(u),在(L()中.(59)第四步:主要证明如下引理,引理2lim lim sup=I Vudxdt=0.
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