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理论力学模拟试题

一. 一组合梁ABC的支承及载荷如图示。已知F＝1KN，M＝0.5KNm，求固定端A的约束反力。
（解）：组合梁及BC杆，受力分析如图所示。
DE、DF、DG 杆均为二力杆。

节点D为对象： 受力如图示

整体为对象：

得
得

得

二. 杆AB长2m，设A端沿地面作匀速运动，，B端沿斜面运动，求当
θ=30º时B点的速度与杆的角速度，B点的加速度和杆的角加速度。

(解) 参考基和杆AB的连体基如图
在惯性基上考察点：
点速度和加速度沿斜面 、；
在杆AB的连体基上考察点：
点为动基上给定点，

其中：

在动参考基上投影

，

其中： ，

在动参考基上投影：

三. 边长b =100mm的
正方形均质板重400N，由三根绳拉住，如图所示。求：1、当FG绳被剪断的瞬时，AD和BE两绳的张力；2、当AD和BE两绳运动到铅垂位置时，两绳的张力。
（解）（1）绳FG被剪断的瞬时
受力分析如图
由于开始静止，板初线速度和初角速度均为零。
因此，板作瞬时平动，方向与绳AD和BE垂直。
设板的加速度为，惯性力为。

由于初角速度均为零，惯性力矩也为零。
利用动静法：
（1）
（2）

（3）
由（1）式，可得：
由（2）式，可得： ，代入（3）
可得：

（2）当AD和BE两绳运动到铅垂位置时
受力分析与运动分析如图，
此时由于该板仅受铅垂力，质心只有法向加速度。
利用动能定理求此时的切向速度：
由初始位置到板的最低位置，势能改变为

于是有：
可求得：
进一步可求得法向加速度为： （1）
利用动静法： （2）
将（1）代入（2），由对称性，可得：

四． 质圆轮的质量为m，半径为r，可在固定水平面上无滑动地滚动。匀质杆AB的质量也为m，长度为3r，其A端与轮心用光滑铰链连接，如图所示。试建立系统的第二类拉格朗日动力学方程。

（解）如图建立惯性基与均质杆AB的连体基。
系统有两个自由度，取圆柱的质心在x轴上坐标x
和连体基的姿态角为广义坐标

系统动能为：

系统的拉格朗日函数为：

代入拉氏方程得
（1）
（2）

五． 质量为m长为r的匀质杆AB放在光滑的半径为r的圆弧槽内。试建立该杆带拉格朗日乘子的动力学方程。方程的模型为：

（解）：在O点建立惯性基，在质心C建立杆的
连体基。该杆关于质心C的转动惯量为：

根据已知条件杆AB在运动过程中位形坐标之间有如下二个独立的约束方程：

约束方程的雅可比阵与加速度约束方程的右项分别为：
，
引入两个拉格朗日乘子，系统受到的主动力为重力，主动力阵，动力学方程为：