Lévy型过程马氏Copula的构造.pdf

第 卷第期 年月太 原 师 范 学 院 学 报(自然科学版)J OUR NA LO FT A I YUANNO RMA LUN I V E R S I T Y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)V o l N o M a r 收稿日期:基金项目:国家自然科学基金();福建省自然科学基金(J )作者简介:杨秋宸(),男,安徽淮南人,在读硕士研究生,主要从事随机分析研究通信作者:梁明杰,副教授,E m a i l:l i a n g m i n g j i e a l i y u n c o mL v y型过程马氏C o p u l a的构造杨秋宸,梁明杰(福建师范大学 数学与统计学院,福建 福州 ;三明学院 信息工程学院,福建 三明 )摘要基于马氏C o p u l a与马氏耦合算子的联系,利用扩散过程的马氏C o p u l a构造纯跳L v y型过程的马氏C o p u l a,同时给出相应例子 关键词马氏C o p u l a;耦合算子;扩散过程;L v y型过程 文章编号 ()中图分类号O 文献标识码A 引言C o p u l a的概念是S k l a r于 年首次在文献 提出,它用于描述变量之间的相关性,因此也被称为“连接函数”C o p u l a函数的理论已在统计学中得到了广泛的应用如文献 使用C o p u l a函数构建了具有厚尾、尖峰、偏斜等特征的模型用于解决非对称相关性的问题;文献 使用混合C o p u l a函数描述金融市场之间的尾部相依性等等近年来,对C o p u l a函数的研究越来越多,这为相依性的研究提供了更可靠的理论依据本文着重考虑马氏C o p u l a及相关问题马氏C o p u l a的定义源于以下问题:对于给定的n个一维马氏过程Xi,i,n,能否构造取值于n的马氏过程Y(Y,Y,Yn),使得第i个分量Yi与Xi,i,n同分布?为简单起见,本文仅考虑n的情况,其出发点源于如下命题命题设L为上马氏过程Y(Y,Y)的无穷小生成元,设Li为上马氏过程Xi的无穷小生成元若对任意fCb(),x:(x,x),Lf(xi)Lif(xi),xi i,()则Y为过程Xi,i,的马氏C o p u l a 上面命题给出了马氏C o p u l a的充分条件,具体证明可以参见文献相关的讨论也可以参见文献,注意到()式左边的函数f(xi)可视为上的函数根据著作,满足()式的算子L称之为L与L的马氏耦合算子因此马氏C o p u l a与马氏耦合算子有着紧密的联系本文的目的即利用命题给出L v y型过程马氏C o p u l a的构造为此,下一节先从扩散过程谈起 扩散过程的马氏C o p u l a本节的内容主要源于文献,这里着重强调与文献 的联系考虑如下取值于的扩散过程:dXi(t)bi(Xi(t)dti(Xi(t)dBi(t),i,其中(Bi(t)t是上的标准布朗运动过程(Xi(t)t所对应的生成元算子为:Lif(x)bi(x)f(x)i(x)f(x),fC()下面构造扩散过程X,X的马氏C o p u l a 定义上如下扩散算子:L f(x)ibi(xi)if(x)i,jai j(x)i jf(x),fC()其中x(x,x),且a(x)a(x)命题如果a(x)(x),a(x)(x),()那么算子L对应的扩散过程是X,X的马氏C o p u l a 证明:若()式成立,则对任意fCb(),L f(x)b(x)f(x)(x)f(x),根据命题即得所要结论根据文献,有如下关于扩散过程马氏C o p u l a的例子例经典C o p u l a:a(x)例齐步走C o p u l a:a(x)(x)(x)例反射C o p u l a:a(x)(x)(Iuu)(x),u(xx)/|xx|例投影C o p u l a:a(x)(x)(Iuu)(x),u(xx)/|xx|纯跳L v y型过程的马氏C o p u l a考虑上两个纯跳L v y型过程(Xi(t)t,i,其对应的无穷小生成元为Lif(x)(f(xz)f(x)f(x)z|z|)i(x,dz),i,其中i(x,dz)满足对任意x,(z)i(x,dz)由于纯跳L v y型过程的概率特征由测度核i(x,dz)确定,故可将无穷小生成元简记为xxz,i(x,dz)对任意可测函数h:,任意()上的非负测度核(x,dz),定义(h)(x,A)(x,h(A),A()且h(x,dz)(x,dz)(h)(x,dz)对任意n和jn,记j:是一个双射,且满足j()设(x,dz)是()上的非负测度核,满足(x,dz)(x,dz)(x,dz),其中x(x,x)对任意n和jn,设j,(x,dz)和j,(x,dz)为()上的非负测度核,满足njj,(x,dz)(x,dz)且njj,(x,dz)(x,dz),其中x(x,x)进一步,对任意x(x,x),定义x,j(dz):j,j(x,dz)j,j(x,dz)j,(x,dz)(j,j)(x,dz)j,(x,dz)(j,j)(x,dz)根据假设条件,易知njx,j(dz)(x,dz)对任意fCb(),考虑如下算子:L f(x)nj(f(xz,xj(z)f(x,x)f(x)z|z|f(x)j(z)|j(z)|)x,j(dz)(f(xz,xz)f(x,x)f(x)z|z|f(x)z|z|)(x,dz)njx,j(dz)(f(xz,x)f(x,x)f(x)z|z|)(x,dz)(x,dz)(f(x,xz)f(x,x)f(x)z|z|)(x,dz)(x,dz)第期杨秋宸,等:L v y型过程马氏C o p u l a的构造为下文论述方便,将上述算子简记如下:(x,x)(xz,xj(z),x,j(dz),jn;(xz,xz),(x,dz)njx,j(dz);(xz,x),(x,dz)(x,dz);(x,xz),(x,dz)(x,dz)()命题假设对任意x(x,x),njx,jnjx,j()那么算子L对应的过程为纯跳L v y型过程X,X的马氏C o p u l a 证明:对任意x,A()和in,有(x,j j)(A)x,j(A)根据命题即得所要结论例齐步走C o p u l a:当(x,dz)(x,dz)(x,dz)且j,(x,dz)j,(x,dz),下列系统(x,x)(xz,xz),(x,dz)(x,dz);(xz,x),(x,dz)(x,dz)(x,dz);(x,xz),(x,dz)(x,dz)(x,dz)对应于纯跳L v y型过程的齐步走C o p u l a 为描述纯跳L v y型过程的反射C o p u l a,下面以s t a b l e型算子为例例考虑纯跳L v y型过程,其对应的L v y测度核为i(xi,dz)n(xi,z)|z|i(x)dz,其中n(xi,z)且i(x)(,)设n(x,x,z)n(x,z)n(x,z)n(x,z)n(x,z)对任意fCb(),定义如下算子:L f(x)|z|(f(xz,xz)f(x,x)f(x)zf(x)z)n(x,x,z)|z|(x)(x)dz|z|(f(xz,xz)f(x,x)f(x)zf(x)z)n(x,x,z)|z|(x)(x)dz|z|(f(xz,xz)f(x,x)n(x,x,z)|z|(x)(x)dz|z|(f(xz,xz)f(x,x)n(x,x,z)|z|(x)(x)dz(f(xz,x)f(x,x)f(x)z|z|)(x,dz)(x,dz)(f(x,xz)f(x,x)f(x)z|z|)(x,dz)(x,dz)其中(x,dz)n(x,x,z)(|z|(x)(x)|z|z|(x)(x)|z|)dz则算子L对应于s t a b l e型过程的反射C o p u l a 事实上,令j,(z)z且,i(xi,dz)n(xi,z)|z|(x)(x)|z|z|(x)(x)|z|dzi,从而根据()式即可验证其满足条件()特别的,有太 原 师 范 学 院 学 报(自然科学版)第 卷x,(dz):,(x,dz)(,)(x,dz),(x,dz)(,)(x,dz)(x,dz)即可简写上述算子L为(x,x)(xz,xz),(x,dz);(xz,xz),(x,dz);(xz,x),(x,dz)(x,dz);(x,xz),(x,dz)(x,dz)例中构造的思想源于文献,类似的,利用文献,的方法也可以构造纯跳L v y型过程修正基本C o p u l a 参考文献:S K L A RA F o n c t i o n sd er p a r t i t i o nnd i m e n s i o n se t l e u r sm a r g e sJ P u b l i c a t i o n sd e lI n s t i t u tS t a t i s t i q u ed e lU n i v e r s i t d eP a r i s,:J ON D E AU E,R O C K I N G E R M G r a m C h a r l i e rd e n s i t i e sJ J o u r n a lo fE c o n o m i cD y n a m i c sa n dC o n t r o l,():I GNAT I E VAK,P L A T E NE M o d e l l i n g c o m o v e m e n t s a n d t a i l d e p e n d e n c y i n t h e i n t e r n a t i o n a l s t o c km a r k e t v i a c o p u l a eJA s i a P a c i f i cF i n a n c i a lM a r k e t s,():B I E L E C K ITR,V I D O Z Z IA,V I D O Z Z IL A M a r k o vc o p u l a e a p p r o a c h t op r i c i n ga n dh e d g i n go f c r e d i t i n d e xd e r i v a t i v e s a n dr a t i n g s t r i g g e r e ds t e p u pb o n d sJ J o u r n a l o fC r e d i tR i s k,():B I E L E C K IT R,J AKU B OWS K IJ,N I EW G OWS K IM S t u d yo fd e p e n d e n c ef o rs o m es t o c h a s t i cp r o c e s s e s:s y m b o l i cM a r k o vc o p u l a eJ S t o c h a s t i cP r o c e s s e sa n dt h e i rA p p l i c a t i o n s,():B I E L E C K ITR,J AKU B OWS K I J,V I D O Z Z IA,e ta l S t u d yo fd e p e n d e n c ef o rs o m es t o c h a s t i cp r o c e s s e sJ S t o c h a s t i cA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o n s,():C HE N MF E i g e n v a l u e s,i n e q u a l i t i e s,a n de r g o d i c t h e o r yM L o n d o n:S p r i n g e r,C HE N MF,L ISF C o u p l i n gm e t h o d s f o rm u l t i d i m e n s i o n a l d i f f u s i o np r o c e s s e sJ T h eA n n a l so fP r o b a b i l i t y,():WAN GJ Lp W a s s e r s t e i nd i s t a n c e f o r s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sd r i v e nb yL v yp r o c e s s e sJ B e r n o u l l i,():L UODJ,WAN GJ C o u p l i n gb yr e f l e c t i o na n dH l d e r r e g u l a r i t yf o rn o n l o c a lo p e r a t o r so fv a r i a b l eo r d e rJ T r a n s a c t i o n so f t h eAm e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,:L UODJ,WANGJ R e f i n e db a s i c c o u p l i n g s a n dW a s s e r s t e i n t y p ed i s t a n c e s f o rS D E sw i t h L v yn o i s e sJ S t o c h a s t i cP r o c e s s e sa n dT h e i rA p p l i c a t i o n s,():L I AN G MJ,S C H I L L I N GRL,WAN GJ Au n i f i e da p p r o a c ht oc o u p l i n gS D E sd r i v e nb y L v yn o i s ea n ds o m ea p p l i c a t i o n sJ B e r n o u l l i,():C o n s t r u c t i o no fM a r k o vC o p u l af o rL v y t y p eP r o c e s s e sY A N GQ i u c h e n,L I A N G M i n g j i e(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,F u j i a nN o r m a lU n i v e r s i t y,F u z h o u ,C h i n a;C o l l e g eo f I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g,S a n m i n gU n i v e r s i t y,S a n m i n g ,C h i n a)A b s t r a c tB a s e do nt h er e l a t i o nb e t w e e nt h eM a r k o vC o p u l aa n dt h eM a r k o vc o u p l i n go p e r a t o r,t h eM a r k o vC o p u l a f o rp r u e j u m pL v yt y p ep r o c e s s e s i s c o n s t r u c t e db yu s i n gt h eM a r k o vC o p u l ao fd i f f u s i o np r o c e s s e s,a n dt h ec o r r e s p o n d i n ge x a m p l e i sg i v e n K e yw o r d sM a r k o vC o p u l a;c o u p l i n go p e r a t o r;d i f f u s i o np r o c e s s;L v y t y p ep r o c e s s第期杨秋宸,等:L v y型过程马氏C o p u l a的构造