Fuzzifying拓扑中的θ-半分离定理.pdf

Pure Mathematics 理论数学理论数学,2023,13(8),2284-2291 Published Online August 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/pm https:/doi.org/10.12677/pm.2023.138235 文章引用文章引用:贾文英,王瑞英.Fuzzifying 拓扑中的-半分离定理J.理论数学,2023,13(8):2284-2291.DOI:10.12677/pm.2023.138235 Fuzzifying拓扑中的拓扑中的-半分离定理半分离定理 贾文英，王瑞英贾文英，王瑞英 内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古 呼和浩特 收稿日期：2023年6月29日；录用日期：2023年7月31日；发布日期：2023年8月7日 摘摘 要要 本文首先引入不分明化拓扑空间中本文首先引入不分明化拓扑空间中SSSSSSSTTTRNRR012101,分离公理的定义分离公理的定义，再利用再利用Fuzzifying拓拓扑空间理论和连续值逻辑语义方法进行研究，得到不分明化扑空间理论和连续值逻辑语义方法进行研究，得到不分明化-半分离相关定理。半分离相关定理。关键词关键词 半分离公理半分离公理，不分明化半不分明化半R0分离性分离性，不分明化拓扑空间不分明化拓扑空间 -Semiseparation Axioms in Fuzzifying Topology Wenying Jia,Ruiying Wang College of Mathematics Science,Inner Mongolia Normal University,Hohhot Inner Mongolia Received:Jun.29th,2023;accepted:Jul.31st,2023;published:Aug.7th,2023 Abstract We introduce the definitions of SSSSSSSTTTRNRR012101,separation axioms in fuzzifying to-pology space,the fuzzy topological space theory and logical semantics of continuous values are used to prove main results,and fuzzifying -semiseparation axioms are obtained.Keywords Semiseparation Axioms,Fuzzifying Semi R0 Separation Axioms,Fuzzifying Topology 贾文英，王瑞英 DOI:10.12677/pm.2023.138235 2285 理论数学 Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 1968 年C.L.Chang提出不分明拓扑空间的概念，此后不分明拓扑学得到了迅速的发展，而且对问题的分析讨论也在逐步深化，各个不同方向的研究都得出了一些比较深刻的结果。应明生教授1 2 3提出了不分明化拓扑的概念，并从不同的角度发展了不分明集框架下的拓扑学。1982 年，Dorsett C提出一般拓扑空间中的半01201,T T T R R分离定理。1984 年，胡庆平提出一般拓扑空间中34,S S分离定理。此后，张广济和F.H.Khedr提出Fuzzifying拓扑空间中的半01234,T T T T T分离定理和半01,R R分离定理。同时Alkazragy A和Caldas M在一般拓扑中提出0semiT，1semiT，2semiT，semiR，semiN，0semiR，1semiR分离定理，并展开相关研究。于是在前人基础上，如何将一般拓扑空间中-半分离定理推广到不分明化拓扑空间中得到不分明化-半分离定理，这对于丰富不分明化拓扑空间理论是重要的。本文在前人工作的基础上在 Fuzzifying 拓扑空间中引入-半分离定理，得到 Fuzzifying-半分离定理的一些好的性质和结论。2.预备知识预备知识 定理定理 1 4设(),XT是不分明化拓扑空间,()AX P，xxANAN。定义定义 1 5 A 的半闭包A定义为：()()():SxABBABxB=。定定义义 2 5设是 Fuzzifying 拓扑空间类，一元模糊谓词(),0,1,2iSi=F被称为是iS分离的，以下为一些等价定理：()()()()()()()()()()()()()()()()()012B,SSxSXxyxyxyyxSXxxSXxyxyB ByB TTT 定义定义3 6 A的-半闭包定义为对所有满足xX且SUA 的集合，表示为SA，SU为U的半闭包。定义定义 4 7当存在 X 的一个-开集 U 满足()UACl U，则子集 A 称为-半开集。其中()Cl U为 U的闭包。定定义义 5 8设(),XT是一个拓扑空间，xX，MX，则 M 称为 x 的-半邻域当存在一个包含 x的-半开集 A 满足xAM。定义定义 6 9设(),XT是一个 Fuzzifying 拓扑空间，则一元模糊谓词()()SXTF P称为 Fuzzifying 半开集，若()()()()()():SABBBAxxAxB=TT。定义定义 7 9设xX，()()SxNXF P表示 x 的半邻域系，定义为：()()():SxSANBBxBA=T 定理定理 2 10(1)AA；(2)SAAA；(3)()()SSxxABANBN。3.主要结果及其证明主要结果及其证明 首先，为了方便书写，下面给出一些简记记号：Open AccessOpen Access贾文英，王瑞英 DOI:10.12677/pm.2023.138235 2286 理论数学 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(),:SSx yxySSx yxySSx yxySKAANyAANxASHABANyABNxBSMABANBNAB=定义定义 1 设(),XT是一个 Fuzzifying 拓扑空间，则称一元不分明谓词()()SXTF P为 Fuzzifying-半开集，若()()()()()():SABBBAxxAxB=TT。定义定义 2 设xX，()()SxNXF P表示 x 的 Fuzzifying-半邻域系，定义为：()()():SSxxANBBNBA=定理定理 1 对()AX P，()()()SSxAxxAAN T。定义定义3 设是Fuzzifying拓扑空间类，分别称一元模糊谓词(),0,1,2SiTi=F为是Fuzzifying SiT分离的，定义为：()()()()()()()()()()()()()()()0,1,2,:,Sx ySx ySx yTXxyxySKTXxyxySHTXxyxySM=TTT 定义定义 4 AX，Fuzzifying 半-闭包定义为：()()()()():SSxxClABBNAB=定理定理 2()()()()()()()0,SSSTXxyxyxClyyClx T 证明证明 ()()()()()()()()()()()()()()()()()0inf max sup,supinf max,inf max1,1,SSSxyx yy Ax ASSxyx ySSx ySSTXNANANXyNYxClyxClxyxyxyxClyyClx=T 定理定理 3()SxAxClA 证明证明 ()()()()()()()()()inf min 1,1supinf min 1,1supSxBXy ASxSBXy AA xNBB yNBB yClAx=+=PP 定理定理 4()()00,STXSXTT 证明证明 ()()()()()()0inf max1,1,SSSx yTXClyxClxy=T 贾文英，王瑞英 DOI:10.12677/pm.2023.138235 2287 理论数学 ()()()()()()0inf max1,1x ySXyxxy=T，则()()00,STXSXTT 定理定理 5()()()1,SSTXxx T 证明证明 对任意12xx，()()()()()()()121222infinfinfinfsupSSSyx Xx X y XxSSyxx XxSxxAxxXxNXxNXxNXxNA=T 同理()()()()2211supSSSxxxBxxNXxNB=则()()()()()()()1212211inf min sup,supinf min sup,su,pSSSxxxxxAxBSSSxyx yy Ax BxxNANBNANBTX=T 反过来()()()()()()()()()()()1212211212111221122121222inf min sup,supinf min,infinfinfin,fSSSxxxxxAxBSSxxxxSSxxxxxx xXxSxXTXNANBNXxNXxNXxNXxXx=TT 所以，()()()1,SSTXxx T。定义定义 5 设是一类不分明化拓扑空间，一元模糊谓词()()()SSXTF P称为 Fuzzifying-半闭集，定义为：():SSAAClA=，即()()()()()inf1SSXx XAAClAxA=P。定理定理 6 SAA。证明证明 由定义 5 和定理 3 易证。定理定理 7()()11,STXSXTT 证明证明 ()()()()11inf,infSSSxxTXxxSX=TT。定理定理 8(1)()()10,SSTXTXTT；(2)()()21,SSTXTXTT 证明证明 (1)(2)由定义显然得证。定义定义 6 设是不分明化拓扑空间类，一元模糊谓词()SRF称为 Fuzzifying 半R分离的，定义为：()()()()()()()()()()():,SSSxSRXxDDxDAANClAD=T 定理定理 9()()()()()()()()()(),SSSxSRXxAAxABBNClBA TT 证明证明 贾文英，王瑞英 DOI:10.12677/pm.2023.138235 2288 理论数学 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()inf min 1,1sup min,infinf min 1,1sup min,inf,cSScSSxyx Dy DBXSScSxyx Ay ABXSSxSRXDNBNBANBNBxAAxABBNClBA=+=+=PPTTT 定理定理 10()()()12,SSSRXTXTXTTT 证明证明 ()()()()()()()()()()()()()()()()()1,inf min 1,1sup min,infinfinfinf min 1,1sup min,inf 1,1,sup mininfccSSccSScSxySz Xx Ay ABXccSScSxySx X y x y XBXSScxyy xyBXRXTXANBNBzyNBNByNBNB+=+,PPPTTTTTT()()()()2sup min,11,SSxyxB CSNBNCTX+=+T 所以，()()()21,1,SSSTXRXTX+TTT。定义定义7 设是不分明化拓扑空间类，那么称一元模糊谓词()SRF为Fuzzifying半N分离的，定义为：()()()()()()()()()()()()():,SSSSSNXABABABGGAGClGB=TT 定理定理 11 设(),XT是 Fuzzifying 空间，则()()()()()()()()()()()()(),SSSSSNXABABABGGAGClGB TTT 证明证明 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()infmin 1,1supmin,infinf min 1,1supmin,infinf min 1,1supmin,inf 1ccScScSSSxA Bx BA GScSSSxA Bx BA GSSSSA Bx BA GSSNXABGNGABGNGABGClGxABAB=+=+=+=TTTTTTT()()()()()()()()SSABGGAGClGB T 定理定理 12()()()1,SSSNXTXRXTTT 证明证明 贾文英，王瑞英 DOI:10.12677/pm.2023.138235 2289 理论数学 ()()()()()()()()()()()()()()()1inf min 11supmininfinfinf min 11minsup,mininfinfcSScccScSSSySy Dz XADA GcccScSSSySx By Dz Xx GNXTXADGNGzxDGNGz+=+,TTTTTTTTTT ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()inf min 11max 1supmininf1supmininfinfinf max min 11supmininfinfmin 11su,pm,in,in,fcScSSyx By DxGccScSSySy Dz Xx GccScSSySx By Dz XxGcSSyx GxGNGDGNGzxGNGzDG=+,TTTTTTTTTT()()()infcScySDz XNGz+T()()()()()()()()()()()()()()()()(),inf max 1supmin,inf,min 11supmininfinfinf max 1supmin,inf,min 11supmi,ninf1inf min 11cSccScSySSySx By Dy Dz XxGx GSccScSySSyx By Dy DxGx GSx BGNGDGNGzGNGDGNGD+,TTTTTTTT()()()()()()()()()()()supmininf1inf min 11supminin,1,f1,cScSyy Dx GScSSySx By Dx GGNGDGNGRX+=+TTT 定义定义 8 设是不分明化拓扑空间类，那么称一元模糊谓词()0SRF为 Fuzzifying 0R分离的，定义为：()()()()()()0,:,Sx yx yRXxyxySKSH=T。定义定义 9 设是不分明化拓扑空间类，一元模糊谓词()1SRF称为 Fuzzifying 半1R分离的，定义为：()()()()()1,:,Sx yx yRXxyxySKSM=T。定理定理 13()()10,SSRXRXTT 证明证明 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0inf min 1,1max1,1infinf min 1,1max1,1inf min sup,supinf 1,1max1,1inf sup min,SSSSx yxSSSSxyx yx yy Ax BSSSSxxx yx yA BRXClyxClxyxClyxClxyNANBClyxClxyNANB=+=,T()1,SRXT 定理定理 14()()10,SSTXRXTT 证明证明 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()01inf min 1,1max1,1infinf min 1,1max1,1inf min sup,s,upinf min sup,supSSSSx ySSSSxyx yx yy Ax BSSSxyx yy Ax BRXClyxClxyxClyxClxyNANBNANBTX=+=TT 贾文英，王瑞英 DOI:10.12677/pm.2023.138235 2290 理论数学 定理定理 15()()()001,SSSRXTXTXTTT 证明证明 ()()()()()()()()()()()()()()()()()001inf min 1,1max1,1infinf max1,1inf min 1,11,infSSSSSx ySSSx yx ySRXTXClyxClxyxClyxClxyxTX+=+TTT 所以，()()()001,SSSRXTXTXTTT 定理定理 16()()()()001,SSSTXRXTXTTT 证明证明 ()()()()()()()()()()()()()()001001001,min 1,1min 1,1,min 1,1,11SSSSSSSSSTXRXTXTXRXTXTXRXTX=+=+=TTTTTTTTT 定理定理 17()()()()001,SSSRXTXTXTTT 证明证明 证明类似于定理 16。定理定理 18()()21,SSTXRXTT 证明证明 ()()()()()()()()()()()()()1212inf 1,1max1,1inf sup min,inf sup min,SSSSSxxx yx yA BSSSxxx yA BRXClyxClxyNANBNANBTX=+=TT 定理定理 19()()()102,SSSRXTXTXTTT 证明证明 证明类似于定理 15。定理定理 20()()()()012,SSSTXRXTXTTT 证明证明 证明类似于定理 16。定理定理 21()()()()102,SSSRXTXTXTTT 证明证明 证明类似于定理 16。参考文献参考文献 1 Ying,M.S.(1991)A New Approach for Fuzzy Topology(I).Fuzzy Sets and Systems,39,303-321.https:/doi.org/10.1016/0165-0114(91)90100-5 2 Ying,M.S.(1992)A New Approach for Fuzzy Topology(II).Fuzzy Sets and Systems,47,221-232.https:/doi.org/10.1016/0165-0114(92)90181-3 3 Ying,M.S.(1993)A New Approach for Fuzzy Topology(III).Fuzzy Sets and Systems,55,193-207.https:/doi.org/10.1016/0165-0114(93)90132-2 4 马瑞华,王瑞英.不分明化拓扑中的-分离性J.内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版),2018,47(5):369-372.5 张广济.不分明化拓扑中的 S-分离公理J.辽宁师范大学学报(自然科学版),2000(1):29-31.6 Alkazragy,A.,Mayah,F.and Al-Hachami,A.K.H.(2021)On Semi-Axioms.Journal of Physics:Conference Series,1999,Article ID:012096.https:/doi.org/10.1088/1742-6596/1999/1/012096 贾文英，王瑞英 DOI:10.12677/pm.2023.138235 2291 理论数学 7 Caldas,M.,Ganster,M.,Georgiou,D.N.,et al.(2008)On-Semiopen Sets and Separation Axioms in Topological Spaces.Carpathian Journal of Mathematics,24,13-22.8 Abdul-Jabbar,A.M.(2012)Topological Property of-Semi-Open Sets.International Journal of Pure and Applied Sciences and Technology,13,7.9 张广济.不分明化拓扑中的半开集和半连续函数J.大连大学学报,1997(2):152-157.10 Khedr,F.H.(1999)Fuzzy Semi-Continuity and Fuzzy Csemi-Continuity in Fuzzifying Topology.The Journal of Fuzzy Mathematics,7,105-124.