标准算子代数上的中心化子.pdf
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1、数理科学与信息科学研究标准算子代数上的中心化子马飞,任刚练(咸阳师范学院 数学与统计学院,陕西 咸阳 712000)摘要:设A是 Banach 空间X上含单位元的标准算子代数,:AB(X)是一可加映射,若存在正整数m,n1,使得对任意的aA,有(m+n)(aba)-(m(a)ba+nab(a)FI成立,则存在F,使得对任意的aA,有(a)=a。关键词:可加映射;中心化子;标准算子代数中图分类号:O177.2文献标识码:A文章编号:1672-2914(2023)04-0001-03Centralizers on Standard OperatorAlgebrasMA Fei,REN Gangli
2、an(School of Mathematics and Statistics,Xianyang Normal University,Xianyang 712000,Shaanxi,China)Abstract:LetAbe a standard operator algebra on Banach spaceXwith unitI,and:AB(X)is an additive mapping.In this paper,we prove that if there are some positive integer numbersCentralizers on Standard Opera
3、tor Algebrasm,nsatisfies(m+n)(aba)-(m(a)ba+nab(a)FI,for all a,bA,then there exists F,such that (a)=a for all aA.Key words:additive map;centralizers;standard operator algebra收稿日期:2023-04-04基金项目:陕西省自然科学基础研究计划项目(2023JCYB082);咸阳师范学院科研基金项目(XSYK22031);咸阳师范学院“青蓝人才”计划项目(XSYQL201801);陕西省教育学会教育教学改革研究项目(2021Y0
4、08)。作者简介:马 飞(1981),男,宁夏同心人,咸阳师范学院数学与统计学院副教授,博士,研究方向为算子代数与自由概率。E-mail:。2023年7月咸阳师范学院学报Jul.2023第38卷 第4期Journal of Xianyang Normal UniversityVol.38 No.4中心化子和中心化映射的研究一直是算子代数方面的重要研究内容。1991年,Beidar 证明了半素环R上既是左 Jordan 中心化子,又是右 Jordan 中心化子的映射是中心化子1;Vukman 等研究了 2-非扰自由半素环A上的中心化子,证明了如果对于任意的 aA有2(a2)=(a)a+a(a),
5、那么是中心化子2;Zalar 在文献 3 中推广了 Beidar 的结论,并得到了2-非挠半素环上 左(右)Jordan 中心化子是左(右)中心化子的结论;Benkovic等研究了2-非挠素环上可加映射,如果满足对于任意的aR,都有(an)=(a)an-1(n2),那么是左中心化子4;Vuk-man 讨论了在标准算子代数A上,若可加映射满足(am+n+1)=am(a)an(其中m,n为正整数),则存在数域F中的常数,使得对任意的aA,有(a)=a5。Qi等将其条件推广到(am+n+1)-am(a)anFI(其中I 为单位算子,F为实或复数域)6。马飞等得到了标准算子代数上满足(m+n)()ar
6、+1-(m()a ar+nar()a)FI的可加映射是中心化子的结论7。最近,Jabeen8和Liu9等分别研究了广义矩阵代数上的(非线性)Lie 中心化子。类似结果可见文献 10-12。本文从保持映射的角度出发,采用代数分解的方法对标准算子代数上的中心化映射进行研究,试图得到标准算子代数上的满足某种性质的映射是中心化子的结论。1 预备知识设A是一个环或代数,称A是素的,如果对任意的a,bA,由aAb=0可得a=0或b=0,称A是半素的,如果对任意的aA,由aAa=0可得a=0。设 是A上的一个可加映射,如果对于任意的a,bA,有()ab=()a b,()()ab=a()b那么称是一个左(右)
7、中心化子;是中心化子,是2咸阳师范学院学报第38卷指既是左中心化子,又是右中心化子;如果对于任意的aA有()a2=()a a()a2=a()a),则称是左(右)Jordan 中心化子。如果对于任意的aA,有()a a-a()a Z()A其中Z()A为A的中心,那么称映射是中心化映射;如果对于任意的aA,有()a a=a()a,那么称映射是可交换的。在本文中,设X表示作用在数域F上的Ban-ach 空间,其中F是实数域或复数域,B(X)表示X上的所有有界线性算子全体。F(X)表示B(X)中的所有有限秩算子构成的子空间。标准算子代数A是X上的包含单位算子I和F(X)的B(X)的闭子代数。受中心化子
8、和中心化映射及上述结论的启发,我们自然想到如何刻画代数A上满足(m+n)(aba)-(m(a)ba+nab(a)FI(其中m,n为正整数,I为单位算子,F为实或复数域)的可加映射。引理12设R是一个素环,是R上的中心化可加映射。如果R的特征不为 2 或者是交换的,那么存在cC(R的扩展中心)和可加映射:RF,使得对任意的aR,有(a)=ca+(a)。2主要结果及证明定理1 设A是 Banach 空间X上的标准算子代数,:AB(X)是一可加映射,若存在正整数m,n1,使得对任意的a A,有(m+n)(aba)-(m(a)ba+nab(a)FI(1)成立,则存在F,使得对任意的aA,有(a)=a。
9、证明定理1需要下面几个引理。引理2 设是满足式(1)的可加映射,则存在F,使得对任意的幂等元pA,有(p)=p。证明:在式(1)中,取a,b为p,则存在PF,即(m+n)(p)-(m(p)p+np(p)=pI。(2)对式(2)左右两边分别乘以p,我们有m(p(p)-p(p)p)=Pp,n(p)p-p(p)p)=Pp。对式(2)左右两边同乘以p,可知Pp=0。因此,(p)p=p(p),(p)p=p(p)p,且P=0,即(p)=(p)p=p(p)=p(p)p(3)又因为p也是A的幂等元,同理可得(p)=(p)p=p(p)=p(p)p(4)因而,由式(3)(4)可得。(I)p=(p),p(I)=(p
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