【6套合集】湖南长沙市南雅中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析.docx

中学自主招生数学试卷

一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）
1．（3分）﹣3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．＝±6
C．a2b÷2ab＝a2 D．（2ab2）3＝8a3b6
3．（3分）如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝40°，则∠ABC的度数为（　　）

A．20° B．25° C．40° D．50°
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（　　）

A． B．2 C． D．
7．（3分）已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则﹣y2的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．
8．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则函数y＝（kx+b）（mx+n）中，当y＜0时x的取值范围是（　　）

A．x＞2 B．0＜x＜4
C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1 或 x＞4
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
9．（3分）“五一”小长假期间，扬州市区8家主要封闭式景区共接待游客528600人次，同比增长20.56%．用科学记数法表示528600为　 　．
10．（3分）若有意义，则x的取值范围是　 　．
11．（3分）分解因式：mx2﹣4m＝　 　．
12．（3分）若方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，则k＝　 　．
13．（3分）一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为　 　cm2．
14．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是　 　．

15．（3分）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为　 　．

16．（3分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是　 　．

17．（3分）如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝　 　．

18．（3分）如图，⊙O的直径AB＝8，C为弧AB的中点，P为弧BC上一动点，连接AP、CP，过C作CD⊥CP交AP于点D，连接BD，则BD的最小值是　 　．

三、解答题（本大题有10小题，共96分．）
19．（8分）（1）计算：|﹣3|﹣tan30°+20180﹣（）﹣1；
（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．
20．（8分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次共调查了　 　名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为　 　度；
（4）若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．
21．（8分）若关于x的分式方程＝1的解是正数，求m的取值范围．
22．（8分）小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．
（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是　 　．
23．（10分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）

24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且ED⊥DB，FB⊥BD．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF．

25．（10分）观察下表：

我们把某一格中所有字母相加得到的多项式称为特征多项式，例如：第1格的“特征多项式”为x+4y．
回答下列问题：
（1）第4格的“特征多项式”为　 　，第n格的“特征多项式”为　 　；
（2）若第1格的“特征多项式”的值为2，第2格的“特征多项式”的值为﹣6．
①求x，y的值；
②在①的条件下，第n格的“特征多项式的值”随着n的变化而变化，求“特征多项式的值”的最大值及此时n值．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径为3，ED＝4，延长EO交⊙O于F，连接DF，与OA交于点G，求OG的长．

27．（12分）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣8，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．

（1）如图2，若α＝45°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式；
（2）如图3，若α为锐角，且tanα＝，当EA⊥x轴时，正方形对角线EG与OF相交于点M，求线段AM的长；
（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴正半轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，是否存在△OEP的两边之比为：1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
28．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．
（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．

参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）
1．【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
2．【分析】直接利用合并同类项法则以及算术平方根、整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误；
B、＝6，故此选项错误；
C、a2b÷2ab＝a，故此选项错误；
D、（2ab2）3＝8a3b6，正确．
故选：D．
3．【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．
【解答】解：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．
故选：C．
4．【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【解答】解：A、原来数据的平均数是3，添加数字3后平均数仍为3，故A与要求不符；
B、原来数据的众数是3，添加数字3后众数仍为3，故B与要求不符；
C、原来数据的中位数是3，添加数字3后中位数仍为3，故C与要求不符；
D、原来数据的方差＝＝，
添加数字3后的方差＝＝，故方差发生了变化．
故选：D．
5．【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．
【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO＝90°．
又∵∠P＝40°，
∴∠POA＝50°，
∴∠ABC＝∠POA＝25°．
故选：B．

6．【分析】求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，
∴AB＝AH+BH＝3，
∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝．
故选：A．
7．【分析】根据x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，可以得到x与y的关系和y2﹣的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，
∴x＝y+3，y2+﹣＝0，
∴y2﹣＝﹣
∴﹣y2
＝
＝1+
＝1﹣（﹣）
＝1+
＝，
故选：D．
8．【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：∵y3＝（kx+b）（mx+n），y＜0，
∴（kx+b）（mx+n）＜0，
∵y1＝kx+b，y2＝mx+n，即y1•y2＜0，有以下两种情况：（1）当y1＞0，y2＜0时，此时，x＜﹣1；
（2）当y1＜0，y2＞0时，此时，x＞4，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：528600＝5.286×105，
故答案为：5.286×105
10．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案是：x≠2．
11．【分析】首先提取公因式m，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：mx2﹣4m＝m（x2﹣4）
＝m（x+2）（x﹣2）．
故答案为：m（x+2）（x﹣2）．
12．【分析】根据根判别式△＝b2﹣4ac的意义得到△＝0，即k2﹣4×1×9＝0，然后解方程即可．
【解答】解：∵方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即k2﹣4•1•9＝0，解得k＝±6．
故答案为±6．
13．【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，
∴圆锥的底面圆的周长＝2π•5＝10π，
∴圆锥的侧面积＝•10π•2＝10π（cm2）．
故答案为：10π．
14．【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝4，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故答案为：﹣8．

15．【分析】根据平行线的性质可得出∠3＝∠4+∠5，结合对顶角相等可得出∠3＝∠1+∠2，代入∠1＝30°、∠3＝45°，即可求出∠2的度数．
【解答】解：给各角标上序号，如图所示．
∵∠3＝∠4+∠5，∠1＝∠4，∠2＝∠5，
∴∠3＝∠1+∠2．
又∵∠1＝30°，∠3＝45°，
∴∠2＝15°．
故答案为：15°．

16．【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：如图，
∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，
∴使图中黑色部诶的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：．
故答案为：．
17．【分析】依据题意可得，A，C之间的水平距离为6，点Q与点P的水平距离为7，A，B之间的水平距离为2，双曲线解析式为y＝，依据点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，点Q“、点Q'离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n＝4，即可得到mn的值．
【解答】解：由图可得，A，C之间的水平距离为6，
2018÷6＝336…2，
由抛物线y＝﹣x2+4x+2可得，顶点B（2，6），即A，B之间的水平距离为2，
∴点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，
由抛物线解析式可得AO＝2，即点C的纵坐标为2，
∴C（6，2），
∴k＝2×6＝12，
∴双曲线解析式为y＝，
2025﹣2018＝7，故点Q与点P的水平距离为7，
∵点P'、Q“之间的水平距离＝（2+7）﹣（2+6）＝1，
∴点Q“的横坐标＝2+1＝3，
∴在y＝中，令x＝3，则y＝4，
∴点Q“、点Q'离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n＝4，
∴mn＝6×4＝24，
故答案为：24．

18．【分析】以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，依据∠ADC＝135°，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的 ，依据△ACQ中，AQ＝4，
【解答】解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ．

∵⊙O的直径为AB，C为的中点，
∴∠APC＝45°，
又∵CD⊥CP，
∴∠DCP＝90°，
∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，
又∵AB＝8，C为的中点，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝4，
∴△ACQ中，AQ＝4，
∴BQ＝＝4，
∵BD≥BQ﹣DQ，
∴BD的最小值为4﹣4．
故答案为：4﹣4．
三、解答题（本大题有10小题，共96分．）
19．【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；
（2）根据整式的混合计算解答即可．
【解答】解：（1）原式＝＝﹣1．
（2）原式＝1﹣a2+a2﹣2a
＝1﹣2a
20．【分析】（1）根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数；
（2）根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数；
（3）根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数；
（4）利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比，从而求出喜欢社科类书籍的学生人数；
【解答】解：（1）∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，
∴此次调查的总人数为：76÷38%＝200人，
故答案为：200；

（2）∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，
∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%＝30人，
∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30＝70人，
如图所示：

（3）∵喜欢社科类书籍的人数为：24人，
∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：×100%＝12%，
∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%﹣15%﹣38%﹣12%＝35%，
∴小说类所在圆心角为：360°×35%＝126°；

（4）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，
∴该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2000×12%＝240人．
21．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：1+m＝x﹣2，
解得：x＝m+3，
由分式方程的解为正数，得到m+3＞0，且m+3≠2，
解得：m＞﹣3且m≠﹣1．
22．【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．
（2）根据在第1个路口没有遇到红灯的概率为，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为＝（）2可得答案．
【解答】解：（1）画树状图如下：

由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数为2，
所以到第二个路口时第一次遇到红灯的概率为；

（2）∵在第1个路口没有遇到红灯的概率为，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为＝（）2，
∴到第n个路口都没有遇到红灯的概率为（）n，
故答案为：（）n．
23．【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD＝CH+HD＝CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
【解答】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，
∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，
∴CH＝AH•tan∠CAH，
∴CH＝AH•tan∠CAH＝6tan30°＝6×＝2（米），
∵DH＝1.5，
∴CD＝2 +1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED＝60°，sin∠CED＝，
∴CE＝＝（4+）（米），
答：拉线CE的长约为（4+）米．

24．【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；
（2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD＝2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB＝2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB＝DF，等量代换即可得证．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥CB，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵ED⊥DB，FB⊥BD，
∴∠EDB＝∠FBD＝90°，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（ASA）；
（2）作DH⊥AB，垂足为H，
在Rt△ADH中，∠A＝30°，
∴AD＝2DH，
在Rt△DEB中，∠DEB＝45°，
∴EB＝2DH，
∵ED⊥DB，FB⊥BD．
∴DE∥BF，∵AB∥CD，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴FD＝EB，
∴DA＝DF．

25．【分析】（1）利用已知表格中x，y个数变化规律得出第2格的“特征多项式”以及第n格的“特征多项式”；
（2）①利用（1）中所求得出关于x，y的等式组成方程组求出答案；
②利用二次函数最值求法得出答案．
【解答】解：（1）由表格中数据可得：第4格的“特征多项式”为：16x+25y，
第n格的“特征多项式”为：n2x+（n+1）2y （n为正整数）；
故答案为：16x+25y，n2x+（n+1）2y （n为正整数）；

（2）①由题意可得：，
解得：
答：x的值为﹣6，y的值为2．

②设W＝n2x+（n+1）2y
当x＝﹣6，y＝2时：W＝﹣6n2+2（n+1）2＝，
此函数开口向下，对称轴为，
∴当时，W随n的增大而减小，
又∵n为正整数
∴当n＝1时，W有最大值，
W最大＝﹣4×（1﹣）2+3＝2，
即：第1格的特征多项式的值有最大值，最大值为2．
26．【分析】（1）首先连接OD，由BE＝EC，CO＝OA，得出OE∥AB，根据平行线与等腰三角形的性质，易证得△COE≌△DOE，即可得∠ODE＝∠OCE＝90°，则可证得ED为⊙O的切线；
（2）只要证明OE∥AB，推出，由此构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）证明：连接OD，
∵E为BC的中点，AC为直径，
∴BE＝EC，CO＝OA，
∴OE∥AB，
∴∠COE＝∠CAD，∠EOD＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠COE＝∠DOE，
在△COE和△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE＝∠OCE＝90°，
∴ED⊥OD，
∴ED是圆O的切线；
（2）连接CD；
由题意EC、ED是⊙O的切线，
∴EC＝ED，∵OC＝OD，
∴OE⊥CD，
∵AC是直径，
∴∠CDA＝90°，
∴CD⊥AB，
∴OE∥AB，
∴，
在Rt△ECO中，EO＝＝5，
∵∠EOC＝∠CAD，
∴cos∠CAD＝cos∠EOC＝，
∴AD＝，设OG＝x，
则有，
∴x＝，
∴OG＝．
27．【分析】（1）求出E、F两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延长线于K．只要证明四边形AOMK是正方形，证明AE+OA＝2AH即可解决问题；
（3）如图2中，设F（0，2a），则E（﹣a，a）．构建一次函数利用方程组求出交点P坐标，分三种情形讨论求解即可；
【解答】解：（1）∵OE＝OA＝8，α＝45°，
∴E（﹣4，4），F（0，8），
设直线EF的解析式为y＝kx+b，则有，
解得
∴直线EF的解析式为y＝x+8．

（2）如图3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延长线于K．

在Rt△AEO中，tan∠AOE＝＝，OA＝8，
∴AE＝4，
∵四边形EOGF是正方形，
∴∠EMO＝90°，
∵∠EAO＝∠EMO＝90°，
∴E、A、O、M四点共圆，
∴∠EAM＝∠EOM＝45°，
∴∠MAK＝∠MAH＝45°，∵MK⊥AE，MH⊥OA，
∴MK＝MH，四边形KAOM是正方形，
∵EM＝OM，
∴△MKE≌△MHO，
∴EK＝OH，
∴AK+AH＝2AH＝AE+EK+OA﹣OH＝12，
∴AH＝6，
∴AM＝AH＝6．

（3）如图2中，设F（0，2a），则E（﹣a，a）．

∵A（﹣8，0），E（﹣a，a），
∴直线AP的解析式为y＝x+，直线FG的解析式为y＝﹣x+2a，
由，解得，
∴P（，）．
①当PO＝OE时，∴PO2＝2OE2，
则有：+＝4a2，
解得a＝4或﹣4（舍弃）或0（舍弃），
此时P（0，8）．
②当PO＝PE时，则有：+＝2[（+a）2+（﹣a）2]，
解得：a＝4或12，
此时P（0，8）或（﹣24，48），
③当PE＝EO时，[（+a）2+（﹣a）2]＝4a2，
解得a＝8或0（舍弃），
∴P（﹣8，24）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，8），（﹣8，24），（﹣24，48）．
28．【分析】（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a＝3，故此可求得a的值，然后令y＝0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO＝60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO＝30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD＝1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD＝PA、AD＝DP、AP＝DP三种情况列方程求解即可；
（3）设直线MN的解析式为y＝kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．
【解答】解：（1）∵C（0，3）．
∴﹣9a＝3，解得：a＝﹣．
令y＝0得：ax2﹣2 ax﹣9a＝0，
∵a≠0，
∴x2﹣2 x﹣9＝0，解得：x＝﹣或x＝3．
∴点A的坐标为（﹣，0），B（3，0）．
∴抛物线的对称轴为x＝．
（2）∵OA＝，OC＝3，
∴tan∠CAO＝，
∴∠CAO＝60°．
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAO＝30°．
∴DO＝AO＝1．
∴点D的坐标为（0，1）
设点P的坐标为（，a）．
依据两点间的距离公式可知：AD2＝4，AP2＝12+a2，DP2＝3+（a﹣1）2．
当AD＝PA时，4＝12+a2，方程无解．
当AD＝DP时，4＝3+（a﹣1）2，解得a＝0或a＝2（舍去），
∴点P的坐标为（，0）．
当AP＝DP时，12+a2＝3+（a﹣1）2，解得a＝﹣4．
∴点P的坐标为（，﹣4）．
综上所述，点P的坐标为（，0）或（，﹣4）．
（3）设直线AC的解析式为y＝mx+3，将点A的坐标代入得：﹣m+3＝0，解得：m＝，
∴直线AC的解析式为y＝x+3．
设直线MN的解析式为y＝kx+1．
把y＝0代入y＝kx+1得：kx+1＝0，解得：x＝﹣，
∴点N的坐标为（﹣，0）．
∴AN＝﹣+＝．
将y＝x+3与y＝kx+1联立解得：x＝．
∴点M的横坐标为．
过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG＝+．

∵∠MAG＝60°，∠AGM＝90°，
∴AM＝2AG＝+2＝．
∴+＝+＝+＝＝＝．

中学自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A． B．0 C． D．以上答案都不对

2．我们把形如的数叫做复数，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部，则复数的虚部是（ ）
A． B．-1 C．1 D．

3．已知非零实数满足 ，则等于（ ）．
A.－1 B.0 C.1 D.2

4．如图，菱形ABCD的边长为，点O是对角线AC上的一点，且OA＝，OB＝OC＝OD＝1，则等于（ ）．

A． B. C.1 D.2

5. 跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星.若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36），则在图③中应沿什么角度剪？即∠ABC的度数为（ ）

A．126 B.108 C.90 D.72
6．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）
其中正确的结论有：（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7.关于的方程的整数解（）的组数为（ ）．
A.2组 B.3组 C.4组 D.无穷多组
8．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组 只有正数解的概率为（ ）．
A. B. C. D.
9．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C． cos45°·(－)－2－(2－)0＋｜－｜＋
D．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案直接填在题目中的横线上.）
10．对于实数u，v，定义一种运算“*”为： * =．若关于x的方程*( *) = 有
两个相同的实数根，则实数的值是 .

11．有10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．

12．如图，在△ABC中，CD是高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．

13.以下叙述中，其中正确的有 （请写出所有正确叙述的序号）
（1）若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为

（2）“赵爽弦图”是由于四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是

（3）已知关于的方程的解是正数，则；

（4）已知正比例函数反比例函数由构造一个新函数其图象如图所示．（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．则它有下列一些性质： ①该函数的图象是中心对称图形；②当时，该函数在时取得最大值-2；③的值不可能为1；

三、解答题（本大题共5个小题，共40分）
14.（本小题8分，第（1）小问3分，第（2）小问5分）
（1）（本小问3分）化简：

（2）（本小问5分）阅读下列材料，按要求解答问题：
阅读理解：若为整数，且三次方程有整数解c，则将c代入方程得：,移项得：，即有：，由于都是整数，所以c是m的因数．
上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数．
例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解．
解决问题：
①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？
②方程是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.

15．（本小题8分）如图,已知等腰，其中，，、为斜边上的两个动点（比更靠近A），满足。
（1）求证：
（2）求的值.
（3）作于，于，求的值 .
（4）求线段长的最小值.(提示：必要时可以参考以下公式：当，时，或).

16. （本小题8分）将背面完全相同，正面上分别写有数字1，2，3，4的四张卡片混合后，嘉辉从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数。将形状、大小完全相同，分别标有数字1，2，3的三个小球混合后，向东从中随机地抽取一个，把小球上的数字作为减数，然后计算出这两数的差。
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数的差为0的概率；
（2）嘉辉与向东做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则嘉辉赢；否则，向东赢。你认为该游戏公平吗？请说明理由。如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平。

17. （本小题8分）我市某镇组织20辆汽车装运完三种品牌脐橙共100吨参加上海世博会，按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运用一种脐橙，且必须装满。根据下表提供的信息，解答以下问题：
从A，B两地运往甲，乙两地的费用如下表：
脐橙品种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨脐橙获利（百元）
12
16
10
（1）设装运种脐橙的车辆数为，装运种脐橙的车辆数为，求与之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案？
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？请求出最大利润的值

18．（本小题8分）已知双曲线与直线相交于两点。第一象限内的点（在点左侧）是双曲线上的动点。过点作∥轴交轴于点。过作∥轴交双曲线于点
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一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A． B．0 C． D．以上答案都不对

2．我们把形如的数叫做复数，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部，则复数的虚部是（ ）
A． B．-1 C．1 D．

3．已知非零实数满足 ，则等于（ ）．
A.－1 B.0 C.1 D.2

4．如图，菱形ABCD的边长为，点O是对角线AC上的一点，且OA＝，OB＝OC＝OD＝1，则等于（ ）．

A． B. C.1 D.2

5. 跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星.若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36），则在图③中应沿什么角度剪？即∠ABC的度数为（ ）

A．126 B.108 C.90 D.72
6．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）
其中正确的结论有：（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7.关于的方程的整数解（）的组数为（ ）．
A.2组 B.3组 C.4组 D.无穷多组
8．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组 只有正数解的概率为（ ）．
A. B. C. D.
9．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C． cos45°·(－)－2－(2－)0＋｜－｜＋
D．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案直接填在题目中的横线上.）
10．对于实数u，v，定义一种运算“*”为： * =．若关于x的方程*( *) = 有
两个相同的实数根，则实数的值是 .

11．有10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．

12．如图，在△ABC中，CD是高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．

13.以下叙述中，其中正确的有 （请写出所有正确叙述的序号）
（1）若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为

（2）“赵爽弦图”是由于四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是

（3）已知关于的方程的解是正数，则；

（4）已知正比例函数反比例函数由