【考试必备】陕西陕西省西安中学中考提前自主招生数学模拟试卷(6套)附解析.docx

中学自主招生数学试卷

一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．估计﹣2的值在（　　）
A．0到l之间 B．1到2之问 C．2到3之间 D．3到4之间
2．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（　　）

A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．3x2﹣2x2＝1 B． +＝ C．x÷y•＝x D．a2•a3＝a5
4．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，则成绩比较稳定的是（　　）
A．甲稳定 B．乙稳定 C．一样稳定 D．无法比较
6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（　　）

A． B．
C． D．
7．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
8．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0
C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
9．如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　）

A． B．
C． D．
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（　　）

A． B．2 C．π D．π

二．填空题（满分18分，每小题3分）
11．因式分解：a3﹣9a＝　 　．
12．方程＝的解是　 　．
13．已知，如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，OA＝2，若以A为圆心，OA长为半径画弧交弧AB于点C，过点C作CD⊥OA，垂足为D，则图中阴影部分的面积为　 　．

14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是　 　．
15．已知点A是双曲线y＝在第一象限的一动点，连接AO，过点O做OA⊥OB，且OB＝2OA，点B在第四象限，随着点A的运动，点B的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为　 　．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD的边BC上，连接CG，则CG的长是　 　．

三．解答题
17．（9分）（x+3）（x﹣1）＝12（用配方法）
18．（9分）如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．
（1）在图1中，作AD的中点P；
（2）在图2中，作AB的中点Q．

19．（10分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4．
20．（10分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

21．（12分）如图，在⊙O中，点A是的中点，连接AO，延长BO交AC于点D．
（1）求证：AO垂直平分BC．
（2）若，求的值．

22．（12分）如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y＝（x＞0）的图象与边BC交于点F
（1）若△OAE的面积为S1，且S1＝1，求k的值；
（2）若OA＝2，OC＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边AB、边BC交于点E和F，当△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上，求k的值．

23．（12分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）

24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣，过点A（﹣3，2）和点B（2，），与y轴交于点C，连接AC交x轴于点D，连接OA，OB
（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣的函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）∠AOB的大小是　 　；
（4）将△OCD绕点O旋转，旋转后点C的对应点是点C′，点D的对应点是点D′，直线AC′与直线BD′交于点M，在△OCD旋转过程中，当点M与点C′重合时，请直接写出点M到AB的距离．

25．（14分）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：AH是⊙O的切线；
（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；
（3）若＝，求证：CD＝DH．

参考答案
1．B．
2．B．
3．D．
4．D．
5．B．
6．A．
7．C．
8．C．
9．A．
10．D．
11．a（a+3）（a﹣3）．
12．x＝﹣4
13．π+．
14．x＝3．
15．y＝﹣．

16．．

17．解：将原方程整理，得
x2+2x＝15（1分）
两边都加上12，得
x2+2x+12＝15+12（2分）
即（x+1）2＝16
开平方，得x+1＝±4，即x+1＝4，或x+1＝﹣4（4分）
∴x1＝3，x2＝﹣5（5分）

18．
解：（1）如图点P即为所求；
（2）如图点Q即为所求；

19．解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
20．解：（1）10÷20%＝50，
所以本次抽样调查共抽取了50名学生；
（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；
补全条形图如图所示：

（3）700×＝56，
所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．
21．（1）证明：延长AO交BC于H．
∵＝，
∴OA⊥BC，
∴BH＝CH，
∴AO垂直平分线段BC．

（2）解：延长BD交⊙O于K，连接CK．
在Rt△ACH中，∵tan∠ACH＝＝，
∴可以假设AH＝4k，CH＝3k，设OA＝r，
在Rt△BOH中，∵OB2＝BH2+OH2，
∴r2＝9k2+（4k﹣r）2，
∴r＝k，
∴OH＝AH＝OA＝k，
∵BK是直径，
∴∠BCK＝90°，
∴CK⊥BC，∵OA⊥BC，
∴OA∥CK，
∵BO＝OK，BH＝HC，
∴CK＝2OH＝k，
∵CK∥OA，
∴△AOD∽△CKD，
∴＝＝＝．

22．解：（1）设E（a，b），则OA＝b，AE＝a，k＝ab
∵△AOE的面积为1，
∴k＝1，k＝2；
答：k的值为：2．
（2）过E作ED⊥OC，垂足为D，△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上的B′，
∵OA＝2，OC＝4，点E、F在反比例函数y＝的图象上，
∴E（，2），F（4，），
∴EB＝EB′＝4﹣，BF＝B′F＝2﹣，
∴＝，
由△EB′F∽△B′CF得：，
∵DE＝2，
∴B′C＝1，
在Rt△B′FC中，由勾股定理得：
12+（）2＝（2﹣）2，解得：k＝3，
答：k的值为：3．

23．解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝4×0.8＝3.2（千米），
∵△BCD中，∠CBD＝90°﹣35°＝55°，
∴CD＝BD•tan∠CBD＝4.48（千米），
∴BC＝CD÷sin∠CBD≈6（千米）．
答：B、C两地的距离大约是6千米．

24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣3，2）和点B（2，）
∴ 解得：
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+x﹣

（2）当x＝0时，y＝ax2+bx﹣＝﹣
∴C（0，﹣）
设直线AC解析式为：y＝kx+c
∴ 解得：
∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣
当y＝0时，﹣x﹣＝0，解得：x＝﹣1
∴D（﹣1，0）

（3）如图1，连接AB
∵A（﹣3，2），B（2，）
∴OA2＝32+（2）2＝21，OB2＝22+（）2＝7，AB2＝（2+3）2+（）2＝28
∴OA2+OB2＝AB2
∴∠AOB＝90°
故答案为：90°．

（4）过点M作MH⊥AB于点H，则MH的长为点M到AB的距离．
①如图2，当点M与点C′重合且在y轴右侧时，
∵△OCD绕点O旋转得△OC'D'（即△OMD）
∴OM＝OC＝，OD'＝OD＝1，∠MOD'＝∠COD＝90°
∴MD'＝＝2，∠MD'O＝60°，∠OMD'＝30°
∵∠MOD'＝∠AOB＝90°
∴∠MOD'+∠BOM＝∠AOB+∠BOM
即∠BOD'＝∠AOM
∵OA＝，OB＝
∴
∴△BOD'∽△AOM
∴∠BD'O＝∠AMO＝60°，
∴∠AMD'＝∠AMO+∠OMD'＝60°+30°＝90°，即AM⊥BD'
设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'﹣MD'＝t﹣2
∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2
∴（t）2+（t﹣2）2＝28
解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝3
∴AM＝3，BM＝1
∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH
∴MH＝
②如图3，当点M与点C′重合且在y轴左侧时，
∴∠MOD'﹣∠AOD'＝∠AOB﹣∠AOD'
即∠AOM＝∠BOD'
∴同理可证：△AOM∽△BOD'
∴∠AMO＝∠BD'O＝180°﹣∠MD'O＝120°，
∴∠AMD'＝∠AMO﹣∠OMD'＝120°﹣30°＝90°，即AM⊥BD'
设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'+MD'＝t+2
∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2
∴（t）2+（t+2）2＝28
解得：t1＝2，t2＝﹣3（舍去）
∴AM＝2，BM＝4
∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH
∴MH＝
综上所述，点M到AB的距离为或．

25．（1）证明：连接OA，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠ADB，
∵BD是直径，
∴∠DAB＝∠DAE＝90°，
在△DAB和△DAE中，
，
∴△DAB≌△DAE，
∴AB＝AE，又∵OB＝OD，
∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，
∴OA⊥AH，
∴AH是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，
∴∠E＝∠ACD，
∴AE＝AC＝AB＝6．
在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，
∴sin∠ADB＝＝，即sin∠ACB＝；
（3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线，
∴OA∥DE，OA＝DE．
∴△CDF∽△AOF，
∴＝＝，
∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE，
∵AC＝AE，AH⊥CE，
∴CH＝HE＝CE，
∴CD＝CH，
∴CD＝DH．

中学自主招生数学试卷

一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．估计﹣2的值在（　　）
A．0到l之间 B．1到2之问 C．2到3之间 D．3到4之间
2．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（　　）

A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．3x2﹣2x2＝1 B． +＝ C．x÷y•＝x D．a2•a3＝a5
4．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，则成绩比较稳定的是（　　）
A．甲稳定 B．乙稳定 C．一样稳定 D．无法比较
6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（　　）

A． B．
C． D．
7．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
8．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0
C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
9．如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　）

A． B．
C． D．
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（　　）

A． B．2 C．π D．π

二．填空题（满分18分，每小题3分）
11．因式分解：a3﹣9a＝　 　．
12．方程＝的解是　 　．
13．已知，如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，OA＝2，若以A为圆心，OA长为半径画弧交弧AB于点C，过点C作CD⊥OA，垂足为D，则图中阴影部分的面积为　 　．

14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是　 　．
15．已知点A是双曲线y＝在第一象限的一动点，连接AO，过点O做OA⊥OB，且OB＝2OA，点B在第四象限，随着点A的运动，点B的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为　 　．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD的边BC上，连接CG，则CG的长是　 　．

三．解答题
17．（9分）（x+3）（x﹣1）＝12（用配方法）
18．（9分）如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．
（1）在图1中，作AD的中点P；
（2）在图2中，作AB的中点Q．

19．（10分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4．
20．（10分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

21．（12分）如图，在⊙O中，点A是的中点，连接AO，延长BO交AC于点D．
（1）求证：AO垂直平分BC．
（2）若，求的值．

22．（12分）如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y＝（x＞0）的图象与边BC交于点F
（1）若△OAE的面积为S1，且S1＝1，求k的值；
（2）若OA＝2，OC＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边AB、边BC交于点E和F，当△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上，求k的值．

23．（12分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）

24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣，过点A（﹣3，2）和点B（2，），与y轴交于点C，连接AC交x轴于点D，连接OA，OB
（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣的函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）∠AOB的大小是　 　；
（4）将△OCD绕点O旋转，旋转后点C的对应点是点C′，点D的对应点是点D′，直线AC′与直线BD′交于点M，在△OCD旋转过程中，当点M与点C′重合时，请直接写出点M到AB的距离．

25．（14分）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：AH是⊙O的切线；
（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；
（3）若＝，求证：CD＝DH．

参考答案
1．B．
2．B．
3．D．
4．D．
5．B．
6．A．
7．C．
8．C．
9．A．
10．D．
11．a（a+3）（a﹣3）．
12．x＝﹣4
13．π+．
14．x＝3．
15．y＝﹣．

16．．

17．解：将原方程整理，得
x2+2x＝15（1分）
两边都加上12，得
x2+2x+12＝15+12（2分）
即（x+1）2＝16
开平方，得x+1＝±4，即x+1＝4，或x+1＝﹣4（4分）
∴x1＝3，x2＝﹣5（5分）

18．
解：（1）如图点P即为所求；
（2）如图点Q即为所求；

19．解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
20．解：（1）10÷20%＝50，
所以本次抽样调查共抽取了50名学生；
（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；
补全条形图如图所示：

（3）700×＝56，
所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．
21．（1）证明：延长AO交BC于H．
∵＝，
∴OA⊥BC，
∴BH＝CH，
∴AO垂直平分线段BC．

（2）解：延长BD交⊙O于K，连接CK．
在Rt△ACH中，∵tan∠ACH＝＝，
∴可以假设AH＝4k，CH＝3k，设OA＝r，
在Rt△BOH中，∵OB2＝BH2+OH2，
∴r2＝9k2+（4k﹣r）2，
∴r＝k，
∴OH＝AH＝OA＝k，
∵BK是直径，
∴∠BCK＝90°，
∴CK⊥BC，∵OA⊥BC，
∴OA∥CK，
∵BO＝OK，BH＝HC，
∴CK＝2OH＝k，
∵CK∥OA，
∴△AOD∽△CKD，
∴＝＝＝．

22．解：（1）设E（a，b），则OA＝b，AE＝a，k＝ab
∵△AOE的面积为1，
∴k＝1，k＝2；
答：k的值为：2．
（2）过E作ED⊥OC，垂足为D，△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上的B′，
∵OA＝2，OC＝4，点E、F在反比例函数y＝的图象上，
∴E（，2），F（4，），
∴EB＝EB′＝4﹣，BF＝B′F＝2﹣，
∴＝，
由△EB′F∽△B′CF得：，
∵DE＝2，
∴B′C＝1，
在Rt△B′FC中，由勾股定理得：
12+（）2＝（2﹣）2，解得：k＝3，
答：k的值为：3．

23．解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝4×0.8＝3.2（千米），
∵△BCD中，∠CBD＝90°﹣35°＝55°，
∴CD＝BD•tan∠CBD＝4.48（千米），
∴BC＝CD÷sin∠CBD≈6（千米）．
答：B、C两地的距离大约是6千米．

24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣3，2）和点B（2，）
∴ 解得：
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+x﹣

（2）当x＝0时，y＝ax2+bx﹣＝﹣
∴C（0，﹣）
设直线AC解析式为：y＝kx+c
∴ 解得：
∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣
当y＝0时，﹣x﹣＝0，解得：x＝﹣1
∴D（﹣1，0）

（3）如图1，连接AB
∵A（﹣3，2），B（2，）
∴OA2＝32+（2）2＝21，OB2＝22+（）2＝7，AB2＝（2+3）2+（）2＝28
∴OA2+OB2＝AB2
∴∠AOB＝90°
故答案为：90°．

（4）过点M作MH⊥AB于点H，则MH的长为点M到AB的距离．
①如图2，当点M与点C′重合且在y轴右侧时，
∵△OCD绕点O旋转得△OC'D'（即△OMD）
∴OM＝OC＝，OD'＝OD＝1，∠MOD'＝∠COD＝90°
∴MD'＝＝2，∠MD'O＝60°，∠OMD'＝30°
∵∠MOD'＝∠AOB＝90°
∴∠MOD'+∠BOM＝∠AOB+∠BOM
即∠BOD'＝∠AOM
∵OA＝，OB＝
∴
∴△BOD'∽△AOM
∴∠BD'O＝∠AMO＝60°，
∴∠AMD'＝∠AMO+∠OMD'＝60°+30°＝90°，即AM⊥BD'
设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'﹣MD'＝t﹣2
∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2
∴（t）2+（t﹣2）2＝28
解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝3
∴AM＝3，BM＝1
∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH
∴MH＝
②如图3，当点M与点C′重合且在y轴左侧时，
∴∠MOD'﹣∠AOD'＝∠AOB﹣∠AOD'
即∠AOM＝∠BOD'
∴同理可证：△AOM∽△BOD'
∴∠AMO＝∠BD'O＝180°﹣∠MD'O＝120°，
∴∠AMD'＝∠AMO﹣∠OMD'＝120°﹣30°＝90°，即AM⊥BD'
设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'+MD'＝t+2
∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2
∴（t）2+（t+2）2＝28
解得：t1＝2，t2＝﹣3（舍去）
∴AM＝2，BM＝4
∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH
∴MH＝
综上所述，点M到AB的距离为或．

25．（1）证明：连接OA，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠ADB，
∵BD是直径，
∴∠DAB＝∠DAE＝90°，
在△DAB和△DAE中，
，
∴△DAB≌△DAE，
∴AB＝AE，又∵OB＝OD，
∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，
∴OA⊥AH，
∴AH是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，
∴∠E＝∠ACD，
∴AE＝AC＝AB＝6．
在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，
∴sin∠ADB＝＝，即sin∠ACB＝；
（3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线，
∴OA∥DE，OA＝DE．
∴△CDF∽△AOF，
∴＝＝，
∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE，
∵AC＝AE，AH⊥CE，
∴CH＝HE＝CE，
∴CD＝CH，
∴CD＝DH．

中学自主招生数学试卷

一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．估计﹣2的值在（　　）
A．0到l之间 B．1到2之问 C．2到3之间 D．3到4之间
2．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（　　）

A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．3x2﹣2x2＝1 B． +＝ C．x÷y•＝x D．a2•a3＝a5
4．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，则成绩比较稳定的是（　　）
A．甲稳定 B．乙稳定 C．一样稳定 D．无法比较
6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（　　）

A． B．
C． D．
7．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
8．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0
C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
9．如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　）

A． B．
C． D．
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（　　）

A． B．2 C．π D．π

二．填空题（满分18分，每小题3分）
11．因式分解：a3﹣9a＝　 　．
12．方程＝的解是　 　．
13．已知，如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，OA＝2，若以A为圆心，OA长为半径画弧交弧AB于点C，过点C作CD⊥OA，垂足为D，则图中阴影部分的面积为　 　．

14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是　 　．
15．已知点A是双曲线y＝在第一象限的一动点，连接AO，过点O做OA⊥OB，且OB＝2OA，点B在第四象限，随着点A的运动，点B的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为　 　．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD的边BC上，连接CG，则CG的长是　 　．

三．解答题
17．（9分）（x+3）（x﹣1）＝12（用配方法）
18．（9分）如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．
（1）在图1中，作AD的中点P；
（2）在图2中，作AB的中点Q．

19．（10分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4．
20．（10分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

21．（12分）如图，在⊙O中，点A是的中点，连接AO，延长BO交AC于点D．
（1）求证：AO垂直平分BC．
（2）若，求的值．

22．（12分）如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y＝（x＞0）的图象与边BC交于点F
（1）若△OAE的面积为S1，且S1＝1，求k的值；
（2）若OA＝2，OC＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边AB、边BC交于点E和F，当△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上，求k的值．

23．（12分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）

24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣，过点A（﹣3，2）和点B（2，），与y轴交于点C，连接AC交x轴于点D，连接OA，OB
（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣的函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）∠AOB的大小是　 　；
（4）将△OCD绕点O旋转，旋转后点C的对应点是点C′，点D的对应点是点D′，直线AC′与直线BD′交于点M，在△OCD旋转过程中，当点M与点C′重合时，请直接写出点M到AB的距离．

25．（14分）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：AH是⊙O的切线；
（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；
（3）若＝，求证：CD＝DH．

参考答案
1．B．
2．B．
3．D．
4．D．
5．B．
6．A．
7．C．
8．C．
9．A．
10．D．
11．a（a+3）（a﹣3）．
12．x＝﹣4
13．π+．
14．x＝3．
15．y＝﹣．

16．．

17．解：将原方程整理，得
x2+2x＝15（1分）
两边都加上12，得
x2+2x+12＝15+12（2分）
即（x+1）2＝16
开平方，得x+1＝±4，即x+1＝4，或x+1＝﹣4（4分）
∴x1＝3，x2＝﹣5（5分）

18．
解：（1）如图点P即为所求；
（2）如图点Q即为所求；

19．解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
20．解：（1）10÷20%＝50，
所以本次抽样调查共抽取了50名学生；
（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；
补全条形图如图所示：

（3）700×＝56，
所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．
21．（1）证明：延长AO交BC于H．
∵＝，
∴OA⊥BC，
∴BH＝CH，
∴AO垂直平分线段BC．

（2）解：延长BD交⊙O于K，连接CK．
在Rt△ACH中，∵tan∠ACH＝＝，
∴可以假设AH＝4k，CH＝3k，设OA＝r，
在Rt△BOH中，∵OB2＝BH2+OH2，
∴r2＝9k2+（4k﹣r）2，
∴r＝k，
∴OH＝AH＝OA＝k，
∵BK是直径，
∴∠BCK＝90°，
∴CK⊥BC，∵OA⊥BC，
∴OA∥CK，
∵BO＝OK，BH＝HC，
∴CK＝2OH＝k，
∵CK∥OA，
∴△AOD∽△CKD，
∴＝＝＝．

22．解：（1）设E（a，b），则OA＝b，AE＝a，k＝ab
∵△AOE的面积为1，
∴k＝1，k＝2；
答：k的值为：2．
（2）过E作ED⊥OC，垂足为D，△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上的B′，
∵OA＝2，OC＝4，点E、F在反比例函数y＝的图象上，
∴E（，2），F（4，），
∴EB＝EB′＝4﹣，BF＝B′F＝2﹣，
∴＝，
由△EB′F∽△B′CF得：，
∵DE＝2，
∴B′C＝1，
在Rt△B′FC中，由勾股定理得：
12+（）2＝（2﹣）2，解得：k＝3，
答：k的值为：3．

23．解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝4×0.8＝3.2（千米），
∵△BCD中，∠CBD＝90°﹣35°＝55°，
∴CD＝BD•tan∠CBD＝4.48（千米），
∴BC＝CD÷sin∠CBD≈6（千米）．
答：B、C两地的距离大约是6千米．

24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣3，2）和点B（2，）
∴ 解得：
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+x﹣

（2）当x＝0时，y＝ax2+bx﹣＝﹣
∴C（0，﹣）
设直线AC解析式为：y＝kx+c
∴ 解得：
∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣
当y＝0时，﹣x﹣＝0，解得：x＝﹣1
∴D（﹣1，0）

（3）如图1，连接AB
∵A（﹣3，2），B（2，）
∴OA2＝32+（2）2＝21，OB2＝22+（）2＝7，AB2＝（2+3）2+（）2＝28
∴OA2+OB2＝AB2
∴∠AOB＝90°
故答案为：90°．

（4）过点M作MH⊥AB于点H，则MH的长为点M到AB的距离．
①如图2，当点M与点C′重合且在y轴右侧时，
∵△OCD绕点O旋转得△OC'D'（即△OMD）
∴OM＝OC＝，OD'＝OD＝1，∠MOD'＝∠COD＝90°
∴MD'＝＝2，∠MD'O＝60°，∠OMD'＝30°
∵∠MOD'＝∠AOB＝90°
∴∠MOD'+∠BOM＝∠AOB+∠BOM
即∠BOD'＝∠AOM
∵OA＝，OB＝
∴
∴△BOD'∽△AOM
∴∠BD'O＝∠AMO＝60°，
∴∠AMD'＝∠AMO+∠OMD'＝60°+30°＝90°，即AM⊥BD'
设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'﹣MD'＝t﹣2
∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2
∴（t）2+（t﹣2）2＝28
解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝3
∴AM＝3，BM＝1
∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH
∴MH＝
②如图3，当点M与点C′重合且在y轴左侧时，
∴∠MOD'﹣∠AOD'＝∠AOB﹣∠AOD'
即∠AOM＝∠BOD'
∴同理可证：△AOM∽△BOD'
∴∠AMO＝∠BD'O＝180°﹣∠MD'O＝120°，
∴∠AMD'＝∠AMO﹣∠OMD'＝120°﹣30°＝90°，即AM⊥BD'
设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'+MD'＝t+2
∵在Rt△A