GV-Noether环及其弱GV-内射模.pdf

第49 卷第4期2023年8 月文章编号：16 7 3-519 6（2 0 2 3)0 4-0 146-0 5摘要：给出了GV-Noether环的Cartan-Eilenberg-Bass定理.引进了弱GV-内射模并刻画了DW-环和VN正则环.特别地，证明了环R是VN正则环当且仅当任意弱GV-内射R-模是绝对纯R-模，当且仅当任意弱GV-内射R-模是余平坦R-模.给出了GV-Noether环的Megibben定理.通过提供一些例子区别Noether环，GV-Noether环和w-Noether环.关键词：GV-Noether环；弱GV-内射模；GV-内射模；DW-环；VN正则环中图分类号：0 154.2GV-Noetherian rings and their weak GV-injective modules(School of Mathematics and Statistics,Shandong University of Technology,Zibo 255000,China)Abstract:The Cartan-Eilenberg-Bass Theorem for GV-Noetherian rings is given.The class of weak GV-injective modules is introduced to characterize DW-rings and von Neumann regular rings.In particular,itis proved that the ring is von Neumann regular if and only if any weak GV-injective module is an absolutelypure module,and if and only if any weak GV-injective module is coflat.Finally,the Megibben Theoremfor GV-Noetherian rings is obtained.Meanwhile,some examples are provided to distinguish Noetherianrings,GV-Noetherian rings,and w-Noetherian rings.Key words:GV-Noetherian ring;weak GV-injective module;GV-injective module;DW-ring;von Neu-mann regular ring在本文中,所有的环指的是有单位元的交换环，所有的模是酉模.设R是环和M是R-模.记T(R）为R的全商环,E(M)是M的内射包.设I是环R的理想，若存在有限生成子理想I。二I满足Annr（I。）=O,则称I是R的半正则理想.星型算子理论（例如-算子和t-算子)在推广经典的整环上起着关键的作用.例如Krull整环可以看作t-Dedekind整环；又如Mori整环既可以看作u-Noether整环，又可以看作t-Noether整环.为了研究强Mori整环，Wang等1在19 9 7 年引进了整环上W-算子.而GV-理想在-算子的定义中起着关键的作用.根据文献1中定义1,整环R上一个有限生成理想J被称为GV-理想,若J-1：=(E收稿日期：2 0 2 2-0 5-0 4基金项目：国家自然科学基金（12 0 6 10 0 1，12 2 0 136 1)通讯作者：张晓磊（19 8 6-），男，山东青岛人，博士，讲师.Email:兰州理工大学学报Journal of Lanzhou University of TechnologyGV-Noether环及其弱 GV-内射模张晓磊*，齐薇（山东理工大学数学与统计学院，山东淄博2 550 0 0）文献标志码：AZHANG Xiao-lei,QI WeiVol.49No.4Aug.2023T(R)IJCR)=R.为了将 GV-理想推广到一般交换环上，回忆有限分式环：Q。(R)：=(u EE(R)|存在有限生成半正则理想I使得Iu二R).由此可以将整环中理想的逆推广一般交换环上.设J是环R的理想，定义J-1=(EQ(R)I JCR)根据文献2 中命题6.6.8,若J是有限生成半正则理想,则有J-1=Homr（J,R).据此，Yin 等3于2010年将GV-理想定义为乘法同态Homr(J,R)R是同构的有限生成理想J.Yin等3利用GV-理想定义了一般交换上的W-算子，引人并研究了-Noether环.自此之后，交换环上GV-理想和w-算子变成了研究交换环论的一种重要途径.本文引入并研究了 GV-Noether环.给出了 GV-Noether 环的Cartan-Eilenberg-Bass定理（见定理1)；引进了弱GV-内射模，刻画了DW-环和VN正则环(见命题3第4期和定理2)；给出了GV-Noether环的Megibben定理(见定理3).设J是交换环R的有限生成理想，若自然同态:RJ*=Homr（J,R)是同构,则称J为 Glaz-Vasconcelos理想，简称为GV-理想，并且记JEGV(R).若I包含R 的一个GV-子理想,则称理想I是弱GV-理想.若任意弱GV-理想都是GV-理想，则称环R是GV-Noether环.根据文献2,设M是R-模,定义Torcv(M)=(EMI存在JEGV(R),使得J=0)则有Torcv（M）是M的子模.设 M是R-模，若Torcv(M)=M,则称 M 为 GV-挠模;若 Torcv(M)=O,则称M为GV-无挠模显然，GV-挠模关于子模，商模，扩张和直和封闭；GV-无挠模关于子模，扩张和直积封闭.设M是GV-无挠模，若对任何JEGV(R),Ext(R/I,M)=O,则M称为w-模.若所有的R-模都是-模,则称R是DW-环.特别地，半单环，遗传环,Krull维数为O的环以及Krull 维数为1的整环都是DW-环.GV-无挠模M的w-包络定义为M=(EE(M)|存在JEGV(R),使得JCM)Mw是包含M的最小的-模.因此,GV-无挠模M是w-模当且仅当Mw=M.极大w-理想是R的关于包含关系极大的-理想.所有极大W-理想构成的集合记为w-Max(R).根据文献2 中定理6.2.14,集合w-Max(R)非空且所有的极大w-理想都是素理想.设 ABC 是一个序列.若对R 的任何极大-理想m,AmBmCm是Rm-正合列,则称序列ABC为w-正合的.设M是R-模,若存在有限生成自由模F和一个-正合列FM0，则称M为有限型的.1GV-Noether环及其性质众所周知,环R是Noether环,若任意理想都是有限生成理想.若理想I包含R的一个GV-子理想,则称I是弱GV-理想.通过弱GV-理想给出GV-Noether环的概念,并研究了其基本性质.定义1设R是环.若任意弱GV-理想都是GV-理想.则称环R是GV-Noether环.根据文献2 中命题6.1.9（2），环R是GV-Noether环当且仅当任意弱GV-理想都是有限生成的.从而，任意 Noether 环和 DW-环都是 GV-Noether 环.张晓磊等：GV-Noether环及其弱GV-内射模T有极大元素.3)1）设I是R的弱GV-理想.则存在GV-理想J二I.构造T=(KEGV(R)IJCKCI)由于JE,T非空.因此存在极大元A.若AI.则存在EI一A.根据文献2 中命题6.1.9（2)可得J:=A十RET,与A的极大性相矛盾.故A=I.即I是GV-理想.从而,R是GV-Noether环.命题1设R是环.若R是GV-Noether环,则R也是GV-Noether环.证明用反证法.假设R不是GV-Noether环，则存在弱GV-理想I不是有限生成的.设J是包含于I的GV-理想.则根据文献2 中命题6.6.11,可得J是R的GV-理想.然而I是严格包含J的非有限生成R-理想，矛盾.从而,R是GV-Noether环.本文在此提出如下问题：若R是GV-Noether环,R是否也是GV-Noether环？根据文献4中练习7.53,若R是w-Noether整环,则R1，2，也是w-Noether整环.然而R是GV-Noether整环,Ri，2，不一定是GV-Noether整环.例如R=k 为域,则有是弱 GV-理想但不是GV-理想.从而,Ri,2，不是GV-Noether的.若任意 GV-理想都是有限表现的,则称环R为GV-凝聚环.众所周知,任意 Noether环都是凝聚环.命题2 设R是GV-Noether环.若任意GV-理想都包含一个有限表现GV-理想，则R是GV-凝聚环.证明设J是GV-理想.则存在有限表现GV-理想J满足J二J.设J是由1个元素生成以及J=.将对n进行归纳证明J是有限147.引理1设R是环.则以下各条等价.1)R 是 GV-Noether 环.2）G V-理想满足升链条件.3）任意非空GV-理想集合都有极大元素.证明1)2)设Ji二J2二J,二是R的GV-理想升链.令J=UJ;.则J是R的弱GV-理想,从而是有限生成的.故存在kEZ使得J二Jk.即，GV-理想满足升链条件.2)3）设T是R 的一些GV-理想构成的集合.假设F中无极大元.任取JiEI,则因T中无极大元，存在JE使得J1车J2.依次下去，存在GV-理想严格升链J车J2车车J车,矛盾.故.148表现理想.若n0.则显然J=J是有限表现理想.记J=.若n=k时,结论成立.即，0兰州理工大学学报J是有限表现的.当n=k十1时，考虑如下正合列交换图1.0第49 卷00KRi+kJ00Kk+1Ri+1J+Rak+100(JrRak+1)R(J+Rak+1)/Jk00因为GV-理想J二（J：R R a k+1），所以(JkrRak+1）是弱GV-理想又因为R是GV-Noether环,所以（J：r R a k+1)是有限生成理想.由归纳，（J，：r R a k+1）是有限生成R-模.从而,Kk+1是有限生成R-模.进而，J+1=J：+R a k+1是有限表现理想.从而R是GV-凝聚环.注意到若R不是DW-环，则不存在“极小”的GV-理想.因为若是非R的GV-理想，则J是GV-理想且满足J=J.事实上，若J=J,则J由幂等元生成，故是投射理想.从而J=R，矛盾.为此，本文提出如下两个问题：1）命题2 中条件“任意GV-理想都包含一个有限表现GV-理想”是否可以去掉.2）更进一步，是否对任意交换环都有“任意GV-理想都包含一个有限表现GV-理想”.若任意GV-挠模 T都有 Ext（T,E)=O,则称R-模E是GV-内射模.记全体GV-内射模构成的模类为Icv.下面用GV-内射模刻画GV-Noether环.定理 1（GV-Noether 环的 Cartan-Eilenberg-Bass定理）设R是环.则以下各条等价.1)R 是 GV-Noether 环.2）G V-内射R-模的任意直和是GV-内射R-模.3）G V-内射R-模的任意正向并是GV-内射R-模.证明1)3)设(E;,fi,)i2）显然成立.2)1）用反证法.假设R不是 GV-Noether环.则存在弱GV-理想I不是GV-理想.故存在GV-理想J严格包含于I.设OiEI-J,则GV-理想aR十JI.取a2EI一（aR+J),则GV-理想aiR十2R十JI.重复上述过程，可以得到GV-理想的严格升链：aR+J$a2R+J$aR+.+a,R+J$.记A;=J+a,R.根据文献4中推论10.5,j=1对任意A；，存在A，的极大理想C,满足：Ci车A,CC,车A,.CC,+A.记E(A,/C.）为A,/C；的内射包记E=E(A:/C,).则E为GV-内射模.记A=UA.则A为弱GV-理想.设元i：A；A;/C；是自然满同态.p:A/C;E(A;/C,）是自然嵌人同态.则存在同态fi:A;E(A;/C）是p;元的扩张.设aEA，令f:AE满足f(a)=(fi(a),f2(a),f（a),).由于E是GV-内射模,所以f可扩张为g:RE,且有g(r)=g(1)r.设g(1)=(c1,C2,Cn,0,.).取aE A,使得E A,+1-Cn+1.则有n+1元n+(a）0,故fn+1(a）0.然而,f(a）=g(a)=g(1)a=(cia,C2a,.,Cna,0,.),矛盾.故R是 GV-Noether环.通过例子区别Noether环，GV-Noether环和w-Noether环.许多非整环的例子是通过理想化R(+)M构造的,其中M是R-模6 .令R(+)M作为R-模同构于RM,定义0第4期1)(r,m)+(s,n)=(r+s,m+n);2)(r,m)(s,n)=(rs,sm+rn).在此定义下,R（十)M成为有单位元（1,0)的交换环.下面例子说明存在GV-Noether环既不是Noether环又不是DW-环.例1设D是Noether的非DW-整环（例如D=k,为域k上的二元多项环),K 是D的商域.令R=D（十)K为D关于K的理想化构造.则GV(R)=(J(+)KIJEGV(D)(见文献7 J中命题2.6（1).设L是R的弱GV-理想，则根据文献8 中推论3.4可得存在非零D-理想I满足L=I（十)K.再由文献7 中命题2.6（4)可得L是有限生成理想，故R是GV-Noether环.由于o（十)K不是有限生成R-理想,所以R不是Noether环.回顾环R是-Noether环,指的是任意理想都是有限型的.下面例子说明存在GV-Noether环不是 w-Noether 环.例2 设R是非Noether的DW-环（例如R是非半单的VN正则环）.显然，R是GV-Noether环但不是w-Noether环.同样，存在w-Noether环但不是GV-Noether环的例子。例3设R=k1,是为域k上的可数无穷多元多项环.则R是唯一分解整环，从而R是w-Noether环.令I=1,n，.),则GV-理想J=I.故无限生成理想I是弱GV-理想但不是GV-理想.从而,R不是GV-Noether环.2弱GV-内射模及其应用回顾R-模E是w-模当且仅当对任意GV-理想J,都有 Homr(R/J,E)=Ext(R/I,E)=0.为了刻画GV-Noether环，本文引人弱GV-内射模如下：定义2 设R是环,E是R-模.若任意GV-理想J,都有Ext（R/I,E）=0,则称E为弱GV-内射模.所有的弱GV-内射模记为IwGV.显然任意W-模都是弱GV-内射模.另一方面，有如下结论。命题3设R是环.则下面各条等价.1)R 是 DW-环.2）任意弱GV-内射模都是w-模.3）任意R-模都是弱GV-内射模.4）弱GV-内射R-模的商模是弱GV-内射模.5）内射R-模的商模是弱GV-内射模.证明 1)2),1)3)4)5):显然.2)1）设J是GV-理想,E是R/J的内射包，张晓磊等：GV-Noether环及其弱GV-内射模即,R是DW环.3)1）设J是GV-理想.若任意R-模都是弱GV-内射模,则R/J是投射模.从而J=R.即,R是DW环.5)1）设J是R的GV-理想及M是任意R-模.考虑如下两个短正合列:0 JRR/J0和0ME(M)E(M)/M-0 其中 E(M)是 M 的内射包.因为E(M)/M是弱GV-内射模,则有Ext(J,M)=Ext(R/I,E(M)/M)=0从而，J是投射模.故J=J=R（见文献2 中命题6.1.13(3),练习 6.10).引理2 设R是环和C是R-模.若对任意-模W都有 Exts（C,M)=O,则存在 GV-挠模 T和投射R-模P满足C=TP.证明设C是GV-无挠模.考虑短正合列：0K-FC0,其中 F 是自由R-模.根据文献2 中定理6.1.17,得K是-模.故Ext（C,K）=0.从而可裂.故C是投射模.现设C是任意R-模.令 T=TorGv(C).考虑短正合列:0TCC/T0.设W是w-模.则有长正合列：0=Homr(T,W)-Ext(C/T,W)Extr(C,W)-Extk(T,W)=0从而，Ext（C/T，W）=0.故由上可得GV-无挠模P:=C/T是投射R-模.则可裂.从而C=TP.众所周知，若任意R-模都是平坦模,则称环R是VN正则环.根据文献9,称R-模M为绝对纯模，指对任意有限表现模F，都有Ext（F,M)=0.1979年,Damiano10引人了余平坦模的概念.称R-模M为余平坦模，若对任意有限生成理想I,都有Exts（R/I,M)=0.显然，绝对纯模都是余平坦模.更进一步，若环R是凝聚环，则余平坦模也是绝对纯模（见文献10 中定理1.15）.平凡地，任意余平坦模都是弱GV-内射模.另一方面,有如下结论.定理2 设R是环.则下面各条等价.1)R是VN正则环.2）每个弱GV-内射R-模都是余平坦R-模.3）对任意有限生成R-理想I,存在弱GV-理想J和投射理想K使得J=IK.4）对任意有限生成R-理想I，存在幂等元素e使得I=2）设R是VN正则环，则任意R-模都是余平坦模（见文献10 中命题1.11.从而，任意弱GV-内射模都是余平坦模.2)3）设每个弱GV-内射R-模都是余平坦R-模.则每个W-模都是余平坦R-模.设I是R的有限生成理想.则对任意-模都有Ext（R/I,W）=0.根据引理2 可得，存在GV-挠模T和投射模K满足R/I=KT.考虑可裂正合列 0 KR/ITO.则T是循环GV-挠模.故存在弱GV-理想JI满足T二R/J,且满足K二J/I.考虑可裂短正合列0IJK0.从而,K 可以看作R-理想,且满足J=IK.3)4）设I是有限生成R-理想.根据3),有R=J=IK.令e=（1,0).则e是幂等元且Iw=e).4)6)令K=及J=IK 即可.6)2）设M是弱GV-内射R-模及I是R的有限生成理想.则存在GV-理想J满足J=IK，其中K是R的投射理想.有如下短正合列：0=Extk(K,M)Extr(R/I,M)-Ext(R/J,M)=0故Ext(R/I,M)=0.从而M是余平坦模.4)1)设m是R的极大-理想.设K=Im是R的有限生成理想,其中I是有限生成R-理想.根据4),存在幂等元素e使得=e).故K=5）设R是VN正则环,则任意R-模都是绝对纯模（见文献9 中定理5).从而5)成立.5)2）显然成立，引理3设R是环，(M;iEA)是一族R-模.则每个M;是弱GV-内射模当且仅当IIM;是弱GV-内射模，当且仅当?M；是弱GV-内射模.证明设J是GV-理想，(M;liE)是一族R-模.显然，Ext(R/I,IIM,)=IIExt(R/J,M,)=0iEA又因为R/J是有限表现模，则有Ext(R/I,M,)=IIExt(R/J,M,)=0iEA兰州理工大学学报从而结论成立。根据文献9 中定理3,环R是Noether环当且仅当任意绝对纯模都是内射模.因为任意GV-理想都是弱GV-理想,所以任意弱GV-内射模是GV-内射模.容易证明若R-模M是GV-无挠模，则M是弱GV-内射模当且仅当M是GV-内射模.然而，对于一般情形有如下 GV-Noether 环的 Megibben 定理。定理3（GV-Noether环的 Megibben定理）设R是环.则下面各条等价.1)R 是 GV-Noether环.2）任意弱GV-内射R-模都是GV-内射模.证明1)2）设R是GV-Noether环,则任意弱GV-理想都是GV-理想.从而，任意弱GV-内射R-模都是GV-内射模.2)1）若任意弱GV-内射R-模都是GV-内射模,则弱GV-内射模类恰好等于GV-内射模类.根据引理3可得GV-内射模的任意直和是GV-内射模.故根据定理1可得R是GV-Noether环.参考文献：1WANG F G,MCCASLAND R L.On w-modules over strongmori domains J.Commun Algebra,1997,25(4):1285-1306.2WANG F G,KIM H.Foundations of commutative rings andtheir modules 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