七年级初一数学下学期第六章-实数单元-易错题难题同步练习.doc

七年级初一数学下学期第六章 实数单元 易错题难题同步练习

一、选择题
1．设记号*表示求算术平均数的运算，即，那么下列等式中对于任意实数都成立的是（ ）
①；②；③；④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
2．下列命题中，真命题是（　　）
A．实数包括正有理数、0和无理数
B．有理数就是有限小数
C．无限小数就是无理数
D．无论是无理数还是有理数都是实数
3．若|x-2|+=0，则xy的值为（　　）
A．8 B．2 C．-6 D．±2
4．有下列四种说法：
①数轴上有无数多个表示无理数的点；
②带根号的数不一定是无理数；
③平方根等于它本身的数为0和1；
④没有最大的正整数，但有最小的正整数；
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．观察下列各等式：

……
根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ）
A．-130 B．-131 C．-132 D．-133
6．下列命题是假命题的是（　　）
A．0的平方根是0 B．无限小数都是无理数
C．算术平方根最小的数是0 D．最大的负整数是﹣1
7．如图，数轴上两点表示的数分别为，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，数轴上表示实数的点可能是( )

A．点P B．点Q C．点R D．点S
9．借助计算器可求得，，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想等于（ ）
A． B． C． D．
10．有下列说法：
（1）的算术平方根是4；
（2）绝对值等于它本身的数是非负数；
（3）某中学七年级有12个班，这里的12属于标号；
（4）实数和数轴上的点一一对应；
（5）一个有理数与一个无理数之积仍为无理数；
（6）如果≈5.34，那么5.335≤<5.345，
其中说法正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=．
例如：(-3)☆2= = 2．
从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a，b(a≠b)的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是_____．
12．写出一个3到4之间的无理数____．
13．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，输出的值是_______．

14．将按下列方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则（20，9）表示的数的相反数是___

15．对于这样的等式：若（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5的值为_____．
16．对于有理数a，b，规定一种新运算：a※b=ab+b，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a※b=b※a，则a=b；③方程（x﹣4）※3=6的解为x=5；④（a※b）※c=a※（b※c）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）．
17．有若干个数，第1个数记作，第2个数记为，第3个数记为,……，第n个数记为，若=，从第2个数起，每个数都等于1与前面的那个数的差的倒数，则=_____．
18．规定用符号表示一个实数的整数部分，如，按此规定_____．
19．若+|2﹣x|＝x+3，则x的立方根为_____．
20．已知正实数的平方根是和．
（1）当时，的值为_________；
（2）若，则的值为___________
三、解答题
21．（阅读材料）
数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵，，，
∴．
∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵59319的个位数是9，
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（解答问题）
根据上面材料，解答下面的问题
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2）填空：__________．
22．先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足，求ba的值．
解：由题意得，
因为a、b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，
由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=﹣2， 所以．
问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值．
23．操作与推理：我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示，根据下列题意解决问题：
（1）已知x=2，请画出数轴表示出x的点：
（2）在数轴上，我们把表示数2的点定为基准点，记作点O，对于两个不同的点A和B，若点A、 B到点O的距离相等，则称点A与点B互为基准等距变换点．例如图2，点A表示数-1，点B表示数5，它们与基准点O的距离都是3个单位长度，我们称点A与点B互为基准等距变换点．
①记已知点M表示数m，点N表示数n，点M与点N互为基准等距变换点．I．若m=3，则n= ；II．用含m的代数式表示n= ；
②对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以23，再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N，若点M与点N互为基准等距变换点，求点M表示的数；
③点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度，对Q点做如下操作： Q1为Q的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2这样为一次变换： Q3为Q2的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4这样为二次变换： Q5为Q4的基准等距变换点．．．．．．，依此顺序不断地重复变换，得到Q5，Q6，Q7．．．．Qn，若P与Qn．两点间的距离是4，直接写出n的值．

24．你能找出规律吗？
（1）计算：＝　 　，＝　 　；＝　 　，＝　 　．
结论：　 　；　 　．（填“＞”，”＝”，“＜”）．
（2）请按找到的规律计算：
①；
②．
（3）已知：a＝，b＝，则＝　 　（可以用含a，b的式子表示）．
25．你会求（a﹣1）（a2012+a2011+a2010+…+a2+a+1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
，
，
，
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a﹣1）（a2014+a2013+a2012+…+a2+a+1）＝　 　
利用上面的结论，求：
（2）22014+22013+22012+…+22+2+1的值是　 　．
（3）求52014+52013+52012+…+52+5+1的值．
26．对非负实数“四舍五入”到各位的值记为.即:当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，．
（1）计算： ； ；
（2）①求满足的实数的取值范围，
②求满足的所有非负实数的值；
（3）若关于的方程有正整数解，求非负实数的取值范围．

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一、选择题

1．B
解析：B
【分析】
根据材料新定义运算的描述，把等式的两边进行变形比较即可．
【详解】
①中，，所以①成立；
②中，，所以②成立；
③中，，，所以③不成立；
④中，，所以④成立．
故选：B．
【点睛】
考核知识点：代数式．理解材料中算术平均数的定义是关键．
2．D
解析：D
【分析】
直接利用实数以及有理数、无理数的定义分析得出答案．
【详解】
A、实数包括有理数和无理数，故此命题是假命题；
B、有理数就是有限小数或无限循环小数，故此命题是假命题；
C、无限不循环小数就是无理数，故此命题是假命题；
D、无论是无理数还是有理数都是实数，是真命题．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．
3．C
解析：C
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
根据题意得：，
解得：，
则xy=-6．
故选：C．
【点睛】
此题考查绝对值和偶次方非负数的性质，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
4．C
解析：C
【分析】
根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，平方根的定义可得答案．
【详解】
①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；
②带根号的数不一定是无理数是正确的，如：；
③平方根等于它本身的数只有0，故本小题是错误的；
④没有最大的正整数，但有最小的正整数，是正确的．
综上，正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．
5．C
解析：C
【分析】
通过观察发现：每一行等式右边的数就是行数的平方，故第n行右边的数就是n的平方，而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．
【详解】
解：第一行：；
第二行：；
第三行：；
第四行：；
……
第n行：；
∴第11行：．
∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．
∴第11行左起第1个数是-122，第11个数是-132．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查探索数与式的规律，正确找出规律是解题关键．
6．B
解析：B
【分析】
分别根据平方根的定义、无理数的定义、算术平方根的定义、负整数逐一判断即可．
【详解】
解：A、0的平方根为0，所以A选项为真命题；
B、无限不循环小数是无理数，所以B选项为假命题；
C、算术平方根最小的数是0，所以C选项为真命题；
D、最大的负整数是﹣1，所以D选项为真命题．
故选：B．
【点睛】
本题考查平方根的定义、无理数的定义、算术平方根和负整数，掌握无理数指的是无限不循环小数是解题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
设点C的坐标是x，根据题意列得，求解即可.
【详解】
解：∵点A是B，C的中点．
∴设点C的坐标是x，
则，
则，
∴点C表示的数是．
故选：D.
【点睛】
此题考查数轴上两点的中点的计算公式：两点的中点所表示的数等于两点所表示的数的平均数，正确掌握计算公式是解题的关键.
8．A
解析：A
【分析】
根据图示，判断出在哪两个整数之间，即可判断出数轴上表示实数的点可能是哪个．
【详解】
∵1＜＜2，
∴数轴上表示实数的点可能是点P．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
9．D
解析：D
【分析】
当根号内的两个平方的底数为1位数时，结果为5，当根号内的两个平方的底数为2位数时，结果为55，当根号内的两个平方的底数为3位数时，结果为555，据此即可找出规律，根据此规律作答即可．
【详解】
解：∵，
，
，
……
∴=．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是由前三个式子找到规律，再根据所找到的规律解答．
10．B
解析：B
【分析】
根据算术平方根的定义、绝对值的性质、数轴的意义实数的运算及近似数的表示方法逐一判断即可得答案．
【详解】
=4，4的算术平方根是2，所以的算术平方根是2，故（1）错误，
绝对值等于它本身的数是非负数；故（2）正确，
某中学七年级共有12个班级，是对于班级数记数的结果，所以这里的12属于记数，故（3）错误，
实数和数轴上的点一一对应；故（4）正确，
0与无理数的乘积为0，0是有理数，故（5）错误，
如果≈5.34，那么5.335≤<5.345，故（6）正确，
综上所述：正确的结论有（2）（4）（6），共3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查算术平方根的定义、实数的运算、绝对值的性质及近似数的表示方法，熟练掌握相关性质及运算法则是解题关键．
二、填空题

11．8
【解析】
解：当a＞b时，a☆b= =a，a最大为8；
当a＜b时，a☆b==b，b最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
解析：8
【解析】
解：当a＞b时，a☆b= =a，a最大为8；
当a＜b时，a☆b==b，b最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．π（答案不唯一）．
【解析】
考点：估算无理数的大小．
分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解．
解：3到4之间的无理数π．
答案不唯一．
解析：π（答案不唯一）．
【解析】
考点：估算无理数的大小．
分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解．
解：3到4之间的无理数π．
答案不唯一．
13．【分析】
根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．
【详解】
解：＝8，＝2，2的算术平方根是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握
解析：
【分析】
根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．
【详解】
解：＝8，＝2，2的算术平方根是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．
14．【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列
解析：
【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【详解】
（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数，
∵，即1，，，中第三个数 ：，
∴的相反数为
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．
15．-1．
【分析】
根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．
【详解】
解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，
∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+
解析：-1．
【分析】
根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．
【详解】
解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，
∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，
∴a0＝1，a1＝5，a2＝10，a3＝10，a4＝5，a5＝1，
把a0＝1，a1＝5，a2＝10，a3＝10，a4＝5，a5＝1代入﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5中，
可得：﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5＝﹣32+80﹣80+40﹣10+1＝﹣1，
故答案为：﹣1
【点睛】
本题考查了代数式求值，解题的关键是根据题意求得a0，a1，a2，a3，a4，a5的值.
16．①③
【解析】
【分析】
题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；
a※b=ab+b，b※a=ab+a，若 a=b ，两式
解析：①③
【解析】
【分析】
题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；
a※b=ab+b，b※a=ab+a，若 a=b ，两式相等，若 a≠b ，则两式不相等，所以②错误；
方程(x−4) )※3=6化为3(x−4)+3=6，解得x=5，所以③正确；
左边=(a※b) ※c=(a×b+b) )※c=(a×b+b)·c+c=abc+bc+c
右边=a※（b※c）=a※(b×c+c)=a(b×c+c) +(b×c+c)=abc+ac+bc+c2
两式不相等，所以④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故答案为①③.
【点睛】
有理数的混合运算, 解一元一次方程，属于定义新运算专题，解决本题的关键突破口是准确理解新定义．本题主要考查学生综合分析能力、运算能力．
17．-2
【分析】
根据1与它前面的那个数的差的倒数，即，即可求得、、……，然后根据得到结果出现的规律，即可确定．
【详解】
解：=

……
所以数列以，，三个数循环，

所以==
故答案为：．
【
解析：-2
【分析】
根据1与它前面的那个数的差的倒数，即，即可求得、、……，然后根据得到结果出现的规律，即可确定．
【详解】
解：=

……
所以数列以，，三个数循环，

所以==
故答案为：．
【点睛】
通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
18．-3
【分析】
先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．
【详解】
解：∵3＜＜4
∴-3＜＜-2
∴-3
故答案为-3．
【点睛】
本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本
解析：-3
【分析】
先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．
【详解】
解：∵3＜＜4
∴-3＜＜-2
∴-3
故答案为-3．
【点睛】
本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本题的关键．
19．3
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围进而得出x的值，求出答案．
【详解】
解：∵有意义，
∴x﹣2≥0，
解得：x≥2，
∴+x﹣2＝x+3，
则＝5，
故x﹣2＝25，
解得
解析：3
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围进而得出x的值，求出答案．
【详解】
解：∵有意义，
∴x﹣2≥0，
解得：x≥2，
∴+x﹣2＝x+3，
则＝5，
故x﹣2＝25，
解得：x＝27，
故x的立方根为：3．
故答案为：3．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
20．-4
【分析】
（1）根据正实数平方根互为相反数即可求出m的值；
（2）根据题意可知，再代入求解即可．
【详解】
解：（1）∵正实数的平方根是和，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵正
解析：-4
【分析】
（1）根据正实数平方根互为相反数即可求出m的值；
（2）根据题意可知，再代入求解即可．
【详解】
解：（1）∵正实数的平方根是和，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵正实数的平方根是和，
∴，
∴，
∴，
∵x是正实数，
∴．
故答案为：-4；．
【点睛】
本题考查的知识点是平方根，掌握正实数平方根的性质是解此题的关键．
三、解答题

21．（1）48；（2）28
【分析】
（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
【详解】
解：（1）第一步：，，，
，
能确定110592的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是2，，
能确定110592的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
而，则，可得，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）第一步：，，，
，
能确定21952的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是2，，
能确定21952的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，
而，则，可得，
由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．
即，
故答案为：28．
【点睛】
本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．
22．7或-1.
【分析】
根据题目中给出的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，进而可求x+y的值.
【详解】
解：∵，
∴，
∴=0，=0
∴x=±4，y=3
当x=4时，x+y=4+3=7
当x=-4时，x+y=-4+3=-1
∴x+y的值是7或-1.
【点睛】
本题考查实数的运算，解题的关键是弄清题中给出的解答方法，然后运用类比的思想进行解答.
23．（1）见解析；（2）①I，1；II 4-m ②；③2或6．
【分析】
（1）在数轴上描点；
（2）由基准点的定义可知，；
（3）（3）设P点表示的数是m，则Q点表示的数是m+8，由题可知Q1与Q是基准点，Q2与Q1关于原点对称，Q3与Q2是基准点，Q4与Q3关于原点对称，…
由此规律可得到当n为偶数，Qn表示的数是m+8-2n，P与Qn两点间的距离是4，则有|m-m-8+2n|=4即可求n；
【详解】
解：（1）如图所示，

（2）①Ⅰ．∵2是基准点，m=3，3到2的距离是1，所以到2的距离是1的另外一个点是1，
∴n=1；
故答案为1；
Ⅱ．有定义可知：m+n=4，
∴n=4-m；
故答案为：4-m
②设点M表示的数是m，
先乘以23，得到23m，
再沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N为23m+2，
∵点M与点N互为基准等距变换点，
∴23m+2+m=4，
∴m=；
③设P点表示的数是m，则Q点表示的数是m+8，如图，

由题可知Q1表示的数是4-(m+8)，Q2表示的数是-4+(m+8)，Q3表示的数是8-(m+8)，Q4表示的数是-8+(m+8)，Q5表示的数是12-(m+8)，Q6表示的数是-12+(m+8)…
∴当n为偶数，Qn表示的数是-2n+（m+8），
∵若P与Qn两点间的距离是4，
∴|m-[-2n+(m+8)]|=4，
∴n=2或n=6．
【点睛】
本题考查新定义，数轴上数的特点；能够理解基准点的定义是解决问题的基础，从定义中探究出基准点的两个点是关于2对称的；（3）中找到Q的变换规律是解题的关键．
24．（1）6，6，20，20，＝，＝；（2）①10，②4；（3）
【分析】
（1）首先求出每个算式的值是多少，然后总结出规律：，据此判断即可．
（2）根据，可得，，据此解答即可．
（3）根据，，可得，据此解答即可．
【详解】
解：（1）∵，；
，．
∴；；
故答案为：6，6，20，20，＝，＝；
（2）①；
②；
（3）∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查算数平方根，掌握求一个数算术平方根的方法为解题关键．
25．（1）a2015﹣1；（2）22015﹣1；（3）．
【分析】
（1）根据已知算式得出规律，即可得出答案．
（2）先变形，再根据规律得出答案即可．
（3）先变形，再根据规律得出答案即可．
【详解】
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，（a﹣1）（a2012+a2011+a2010+…+a2+a+1）＝a2015﹣1，
故答案为：a2015﹣1；
（2）22014+22013+22012+…+22+2+1
＝（2﹣1）×（22014+22013+22012+…+22+2+1）
＝22015﹣1，
故答案为：22015﹣1；
（3）52014+52013+52012+…+52+5+1
＝×（5﹣1）×（52014+52013+52012+…+52+5+1）
＝．
【点睛】
本题考查了实数运算的规律题，掌握算式的规律是解题的关键．
26．（1）2，3 （2）①② （3）
【分析】
（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；
（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数的取值范围；②根据新定义的运算规则和为整数，即可求出所有非负实数的值；
（3）先解方程求得，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数的取值范围．
【详解】
（1）2；3；
（2）①∵
∴
解得；
②∵
∴
解得
∵为整数
∴
故所有非负实数的值有；
（3）

∵方程的解为正整数
∴或2
①当时，是方程的增根，舍去
②当时，．
【点睛】
本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．