天津市第一中学八年级上册期末数学试卷.doc

天津市第一中学八年级上册期末数学试卷
一、选择题
1、下列医疗或救援的标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2、斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子约为0.00000052克，将0.00000052这个数用科学记数法表示为（        ）
A．5.2×107 B．0.52×10-8 C．5.2×10-6 D．5.2×10-7
3、下列计算正确的是（       ）
A． B． C． D．
4、要使分式有意义，则x的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
5、下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（       ）
A． B．
C． D．
6、下列各式从左到右的变形正确的是（       ）
A． B． C． D．
7、如图，，下列条件不能判定△ACD与△BCD全等的是（       ）

A． B．
C． D．点O是AB的中点
8、若关于的方程的解是，则关于的方程的解是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
9、如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形纸条的两条对边上，若，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
二、填空题
10、如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角MNK，等腰直角ACB做了一个探究活动：将MNK的直角顶点M放在ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（       ）

A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
11、若分式的值为0，则x的值为____________．
12、已知点P（a-1，2a-4）关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是_______．
13、已知，，______．
14、已知a2m﹣n＝2，am＝3，则an的值是 _____．
15、如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝12，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝14，则AC的长为 _____．

16、若9x2＋kx＋是一个完全平方式．则k＝_____．
17、已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为______．
18、如图，正方形ABCD的边长为2，延长BC到点E，使，连接DE．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿向终点D运动，设点P的运动时间为t秒，当与全等时，t的值为______秒．

三、解答题
19、因式分解：
（1）6m（m+n）﹣4n（m+n）；
（2）x4﹣x1、
20、先化简再求值：，其中．
21、如图，已知点B、E在线段CF上，，，，求证：．

22、概念认识：如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．

(1)问题解决：如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则的度数为 　　；
(2)如图③，在中，，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；
(3)延伸推广：在中，是的外角，的邻三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
23、现有A、B两种商品，已知买一件A商品要比买一件B商品少30元，用160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同．
(1)求A、B两种商品每件各是多少元？
(2)如果小亮准备购买A、B两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
24、完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．

例如：若，求的值．
解：因为
所以
所以
得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）①若,则 ；
②若则 ；
（3）如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
25、如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称.
(1)求△ABC的面积；
(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；
(3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.

一、选择题
1、C
【解析】C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2、D
【解析】D
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：0．00000052用科学记数法表示为5.2×；
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，解题的关键是确定a和n的值。
3、D
【解析】D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方运算法则分别求出每个式子的值，再判断即可．
【详解】解：A、x与x2不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方运算等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
4、B
【解析】B
【分析】根据分式有意义的条件，可得：x-1≠0，据此求出x的取值范围即可．
【详解】解：要使分式有意义，
则x-1≠0，
解得：x≠1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零．
5、D
【解析】D
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．原式是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项符合题意；
B．原式不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C．原式不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
6、D
【解析】D
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行逐项判断．
【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意；
B、原计算错误，该选项不符合题意；
C、原计算错误，该选项不符合题意；
D、正确，该选项符合题意；
故选；D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练理解分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．
7、C
【解析】C
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，CD=CD，
∴A、可以利用边边边判定△ACD与△BCD全等，故本选项不符合题意；
B、可以利用边角边判定△ACD与△BCD全等，故本选项不符合题意；
C、不能判定△ACD与△BCD全等，故本选项符合题意；
D、因为点O是AB的中点，所以，可以利用边角边判定△ACD与△BCD全等，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
8、B
【解析】B
【分析】设，则关于y的方程可化为，从而可得，然后解方程，再一步计算解答即可．
【详解】设，则关于y的方程可化为
方程的解是，
，
检验：当时，
是原方程的根，

，
故选：B．
【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，熟练掌握换元法是解决本题的关键．
9、D
【解析】D
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠3＝∠2＝50°，再根据三角形外角性质，可得∠3＝∠1＋30°，进而得出∠1＝50°−30°＝20°．
【详解】解：如图，∵长方形纸条的对边平行，∠2＝50°，
∴∠2＝∠3＝50°，
根据三角形外角性质，可得∠3＝∠1＋30°，
∴∠1＝50°−30°＝20°，
故选：D．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
二、填空题
10、C
【解析】C
【分析】利用等腰直角三角形的性质证得MC=MB，∠ACM =∠B，∠CMF=∠BME，从而证明△CMF≌△BME，根据四边形CEMF的面积求出答案．
【详解】解：连接MC，
∵△ACB是等腰直角三角形，M是AB的中点，
∴MC⊥AB，∠ACM=∠BCM=∠B=45°，
∴MC=MB，∠BMC=90°，
∵∠EMF=90°=∠BMC，
∴∠EMF-∠CME=∠BMC-∠CME，即∠CMF=∠BME，
在△CMF和△BME中，
,
∴△CMF≌△BME，
∴，
∴四边形CEMF的面积 =，
故选：C．

【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是证明△CMF≌△BME．
11、4
【分析】根据分式的值为0的条件直接进行求解即可．
【详解】解：由分式的值为0，则有：
，
∴，
故答案为：3、
【点睛】本题主要考查分式的值为0，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键．
12、##2＜a
【分析】根据关于y轴的对称点在第二象限可得点P在第一象限，再根据第一象限内点的坐标符号可得，再解不等式组即可．
【详解】解：∵点P（a-1，2a-4）关于y轴的对称点在第二象限，
∴点P在第一象限，
∴，
解得：a＞2，
故答案为：a＞1、
【点睛】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，以及一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13、
【分析】原式整理成，再整体代入即可求解．
【详解】∵，，
∴

．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则和完全平方公式．
14、
【分析】根据同底数幂的运算法则及幂的乘方即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查同底数幂的除法及幂的乘方，熟练掌握运算法则，学会变形是解题关键．
15、20
【分析】如图，作点E关于CD的对称点G，过点G作GF⊥AB于点F，GF交CD于点P，此时EP+PF的值最小，CE=CG，根据等边三角形的性质可得AC=BC，∠B=60°，再由直角三角形的性质可
【解析】20
【分析】如图，作点E关于CD的对称点G，过点G作GF⊥AB于点F，GF交CD于点P，此时EP+PF的值最小，CE=CG，根据等边三角形的性质可得AC=BC，∠B=60°，再由直角三角形的性质可得BG=2BF=28，从而得到CE=CG=8，即可求解．
【详解】解：如图，作点E关于CD的对称点G，过点G作GF⊥AB于点F，GF交CD于点P，此时EP+PF的值最小，CE=CG，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠B=60°，
∵GF⊥AB，
∴∠G=30°，
∴BG=2BF=28，
∵BE＝12，
∴EG=16，
∴CE=CG=8，
∴AC=BC=BE+CE=19、
故答案为：20
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质——最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键．
16、±3
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】解：有题意知9x2＋kx＋＝（3x＝9x2
故k＝
故答案为±2、
【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题
【解析】±3
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】解：有题意知9x2＋kx＋＝（3x＝9x2
故k＝
故答案为±2、
【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17、【分析】利用完全平方公式：，进行转化，即可求出结果．
【详解】解：∵．
故答案为：4、
【点睛】本题主要考查的是整式乘除中完全平方公式的运用，掌握其变形形式是解题的关键．
【解析】
【分析】利用完全平方公式：，进行转化，即可求出结果．
【详解】解：∵．
故答案为：4、
【点睛】本题主要考查的是整式乘除中完全平方公式的运用，掌握其变形形式是解题的关键．
18、1或5##5或1
【分析】分三种情况进行讨论，当P在AB边上时，当P在CD边上时，当P在BC边上时，求解即可．
【详解】解：当P在AB边上时，
在△DAP与△DCE中，△DAP≌△DCE，
∴AP=
【解析】1或5##5或1
【分析】分三种情况进行讨论，当P在AB边上时，当P在CD边上时，当P在BC边上时，求解即可．
【详解】解：当P在AB边上时，
在△DAP与△DCE中，△DAP≌△DCE，
∴AP=CE，
由题意得：AP=t=1，
所以t=1，

当P在CD边上时，
在△ABP与△DCE中，△ADP≌△DCE，
∴DP=CE，
由题意得：DP=2×3-t-=1，
解得t=4、
当P在BC边上时，不满足条件．
所以，当t的值为1或5秒时．△ADP和△DCE全等．
故答案为：1或4、

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，关键是根据三角形全等的判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL解答．
三、解答题
19、（1）2（m+n）（3m﹣2n）；（2）x2（x+1）（x﹣1）
【分析】（1）原式提取公因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：（1）6m（m+n）﹣4n（m+n
【解析】（1）2（m+n）（3m﹣2n）；（2）x2（x+1）（x﹣1）
【分析】（1）原式提取公因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：（1）6m（m+n）﹣4n（m+n）
=2（m+n）（3m﹣2n）；
（2）x4﹣x2
=x2（x2﹣1）
=x2（x+1）（x﹣1）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20、，
【分析】先根据分式的混合运算进行化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则．
【解析】，
【分析】先根据分式的混合运算进行化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式

当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则．
21、见解析
【分析】根据平行线的性质得出∠C＝∠F，∠ABE＝∠DEB，求出∠ABC＝∠DEF，根据CE＝FB求出CB＝FE，根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DEF即可．
【详解】证明：∵CE＝
【解析】见解析
【分析】根据平行线的性质得出∠C＝∠F，∠ABE＝∠DEB，求出∠ABC＝∠DEF，根据CE＝FB求出CB＝FE，根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DEF即可．
【详解】证明：∵CE＝FB，
∴CE−BE＝FB−BE，
∴CB＝FE，
∵，
∴∠C＝∠F，
∵，
∴∠ABE＝∠DEB，
∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∠DEF＋∠DEB＝180°，
∴∠ABC＝∠DEF，
∵在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质定理和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：①全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等；②全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
22、(1)85°
(2)45°
(3)或
【分析】（1）根据题意可是“邻三分线”可求得的度数，再利用三角形外角的性质可求解；
（2）结合（1）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且，即可求的度数；
（3）分
【解析】(1)85°
(2)45°
(3)或
【分析】（1）根据题意可是“邻三分线”可求得的度数，再利用三角形外角的性质可求解；
（2）结合（1）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且，即可求的度数；
（3）分2种情况进行画图计算：情况一：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得，可求解；情况二：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得可求解．
(1)
解：的邻三分线交于点，，
，
，
，
故答案为：；
(2)
解：在中，，
，
又、分别是邻三分线和邻三分线，
，，
，
，
在中，
；
(3)
解：如图3-1所示，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，

，，，
，
即，
，，
；
如图3-2所示，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，

，，，
，
即，
，，
．
综上所述：的度数为：或．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角三等分线的定义，正确理解题意是解题的关键．
23、(1)A商品每件20元，则B商品每件50元
(2)见解析
【分析】（1）设A商品每件x元，则B商品每件（30+x）元，根据“160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同”列方程求
【解析】(1)A商品每件20元，则B商品每件50元
(2)见解析
【分析】（1）设A商品每件x元，则B商品每件（30+x）元，根据“160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同”列方程求解可得；
（2）设购买A商品a件，则购买B商品共（10-a）件，列不等式组：300≤20•a+50•（10-a）≤380，解之求出a的整数解，从而得出答案．
（1）
设A商品每件x元，则B商品每件（30+x）元，
根据题意，得：
经检验：x=20是原方程的解，
所以A商品每件20元，则B商品每件50元．
（2）
设购买A商品a件，则购买B商品共（10-a）件，
列不等式组：300≤20•a+50•（10-a）≤380，
解得：4≤a≤6.7，
a取整数：4，5，5、
有三种方案：
①A商品4件，则购买B商品6件；费用：4×20+6×50=380，
②A商品5件，则购买B商品5件；费用：5×20+5×50=350，
③A商品6件，则购买B商品4件；费用：6×20+4×50=320，
所以方案③费用最低．
【点睛】本题主要考查分式方程与不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系与不等关系，并据此列出方程和不等式组．
24、（1）12；（2）①6；②17；（3）
【分析】（1）根据完全平方公式的变形应用，解决问题；
（2）①两边平方，再将代入计算；
②两边平方，再将代入计算；
（3）由题意可得：，，两边平方从而得到，即
【解析】（1）12；（2）①6；②17；（3）
【分析】（1）根据完全平方公式的变形应用，解决问题；
（2）①两边平方，再将代入计算；
②两边平方，再将代入计算；
（3）由题意可得：，，两边平方从而得到，即可算出结果．
【详解】解：（1）；
；
；
又；
，
，
∴．
（2）①，

；
又，
．
②由，
；
又，
．
（3）由题意可得，，；
，；
，
；
图中阴影部分面积为直角三角形面积，
，
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的适当变形灵活应用，（1）可直接应用公式变形解决问题．（2）①②小题都需要根据题意得出两个因式和或者差的结果，合并同类项得①，②是解决本题的关键，再根据完全平方公式变形应用得出答案．（3）根据几何图形可知选段，再根据两个正方形面积和为18，利用完全平方公式变形应用得到，再根据直角三角形面积公式得出答案．
25、（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.
【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；
(2) 过E作EF⊥x轴于点F，
【解析】（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.
【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；
(2) 过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H，证△DEF≌△BDO，得出EF＝OD＝AF，有，得出∠BAE＝90°.
(3)由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离.再由，在直角三角形中,
即可得解.
【详解】解：（1）由已知条件得：
            AC=12，OB=6
       ∴
（2）过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H,

∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=DB, ∠BDE=90°,
∴
∵
∴
∴
∵EF轴，
∴
∴DF=BO=AO,EF=OD
∴AF=EF
∴
∴∠BAE＝90°
（3）由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长，

∵，OA=6，
∴OM+ON=3
【点睛】本题考查的知识点主要是直角三角形的性质及应用，轴对称在最短路径问题中的应用，弄懂题意，作出合理的辅助线是解题的关键.