重庆市一中八年级上册期末数学试卷.doc

重庆市一中八年级上册期末数学试卷
一、选择题
1、下列几何图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2、中国宝武太原钢铁集团生产的手撕钢，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅0.0000015米，是世界上最薄的不锈钢，再次向世界展示了中国的创造能力.数据“0.0000015”用科学记数法表示为（       ）
A． B． C． D．
3、已知，，则代数式值是（       ）
A．3 B．6 C．7 D．8
4、使分式有意义的条件是（　　）
A．x＝±3 B．x≠±3 C．x≠﹣3 D．x≠3
5、下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（       ）
A．4x2﹣4x＝4x（x﹣1） B．a（a＋2）＝a2＋2a
C．m2＋m＋3＝m（m＋1）＋3 D．a2＋6a＋3＝（a＋3）2﹣6
6、下列等式中，从左向右的变形正确的是　　
A． B．
C． D．
7、如图，已知，欲证，需要补充的条件是（       ）

A． B． C． D．
8、若整数k使关于x的一元一次不等式组的解集是，且使关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数k的值之和为（       ）
A． B． C．0 D．2
9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE的度数为（　　）

A．45° B．64° C．71° D．81°
二、填空题
10、如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（       ）

A．180° B．200° C．210° D．240°
11、当x＝_____时，分式的值为零．
12、已知平面直角坐标系内两点关于x轴对称，则_______．
13、已知非零实数x，y满足x﹣y＝2且﹣＝1，则x2y-xy2的值等于 _____．
14、计算的结果是______．
15、如图，在等边中，是的平分线，点是的中点，点是上的一个动点，连接，，当的值最小时，的度数为__________．

16、已知多项式是一个关于x的完全平方式，则实数k=______．
17、已知，____________．
18、如图，AB＝12cm，∠CAB＝∠DBA＝62°，AC＝BD＝9cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设点Q的运动速度为xcm/s．当以B、P、Q为顶点的三角形与△ACP全等时，x的值为 __________________．

三、解答题
19、分解因式：
（1）；
（2）．
20、先化简，再求值：，其中x＝4、
21、如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：∠B＝∠C．

22、如图1，已知∠ACD是ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

(1)尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为ABC的两个外角，则∠DBC＋∠ECB－∠A 180°．（横线上填＜、＝或＞）
(2)初步应用：如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P= ．
(3)解决问题：如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系．
23、阅读下列材料：
关于的方程：
的解是，；
（即）的解是，；
的解是，；
的解是；…
(1)请观察上述方程与解的特征，比较关于的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证；
(2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于的方程：．
24、先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．
十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），如：将式子和分解因式，如图：
；
．

请你仿照以上方法，探索解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
25、若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式，则a＝0，b＝2，c＝-5，d＝4，故A的关联点为（-5，-11）．
(1)若，试求出A的关联点坐标；
(2)若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与的乘积，若整式C的关联点为（6，15），求整式B的表达式．
(3)若整式D＝x-2，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若整式F的关联点为（-32，0），请直接写出整式E的表达式．
一、选择题
1、C
【解析】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误；
B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误；
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2、A
【解析】A
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3、B
【解析】B
【分析】根据可以得到然后再根据即可得到结果．
【详解】解：

两式相减，可得

故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则的运用、代数式求值，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．
4、D
【解析】D
【分析】根据分式有意义的条件：分母≠0，即x－3≠0，进行求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴x－3≠0，
解得x≠2、
故选：D．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0，是解决问题的关键．
5、A
【解析】A
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据因式分解的概念判断即可．
【详解】解：A选项，符合因式分解的概念，符合题意；
B选项，属于整式乘法，不符合题意；
C选项，等号的右边不是几个整式的积的形式，不符合题意；
D选项，等号的右边不是几个整式的积的形式，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
6、C
【解析】C
【分析】根据分式的基本性质和分式变号法则，依次分析各个选项，即可选出正确选项．
【详解】解：A，，选项不正确，不符合题意；
B，，，选项不正确，不符合题意；
C，，选项正确，符合题意；
D，，选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．
7、C
【解析】C
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
A、补充，不能证明，故本选项不符合题意；
B、补充，不能证明，故本选项不符合题意；
C、补充，则，可利用边角边证得，故本选项符合题意；
D、补充，不能证明，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
8、B
【解析】B
【分析】根据不等式组的解集确定k的取值范围，再根据分式方程有非负整数解得出k的所有可能的值，再进行计算即可．
【详解】解：解不等式得：x＞3，
∵整数k使关于x的一元一次不等式组的解集是x＞3，
∴k≤3，
解分式方程得：y＝，
则是非负整数，
∴k＝3或k＝1或k＝−1或k＝−3，
当k＝1时，y＝2是方程的增根，舍去，
∴k＝3或k＝−1或k＝−3，
∴符合条件的所有整数k的值之和为3−1−3＝−1，
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的整数解，解一元一次不等式组，掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，理解分式方程的整数解的意义是正确解答的前提．
9、C
【解析】C
【分析】由折叠的性质可求得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，则可求得答案．
【详解】解：由折叠可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∵∠A=26°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=26°+45°=71°，
∴∠CDE=71°，
故选：C．
【点睛】考查三角形内角和定理以及折叠的性质，掌握三角形的外角定理是解题的关键．
二、填空题
10、A
【解析】A
【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，则可根据“”判断，所以，然后利用得到．
【详解】解：过点作于，如图，

是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键．
11、-3
【分析】当x+3=0，且2x-5≠0时，分式的值为零．
【详解】∵分式的值为零，
∴x+3=0，且2x-5≠0，
∴x= -3，
故答案为：-2、
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，熟记分子等于零，且分母不等于零是解题的关键．
12、
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），据此列方程组可得答案．
【详解】解：平面直角坐标系内两点关于x轴对称，

解得：

故答案为：
【点睛】本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，关键是把握关于x轴对称的点的坐标变化规律．
13、-4
【分析】根据已知条件式变形，求得，代入代数式求值即可求解．
【详解】解：∵x﹣y＝2且﹣＝1
∴，则
∴x2y-xy2 =xy（x-y）=-2×2=-3、
故答案为：-3、
【点睛】本题考查因式分解的应用，分式的性质，解题的关键是熟练运用因式分解，整体思想．
14、
【分析】先将（-0.25）2021化成（-0.25）×（-0.25）2020再逆用积的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：原式=（-0.25）×（-0.25）2020×42020
=（-0.25）×(-0.25×4)2020
=（-0.25）×12020
=(-0.25）×1
=-0.24、
故答案为：-0.24、
【点睛】本题考查积的乘方运算的应用，逆用积的乘方运算法则是解题的关键．
15、60°##60度
【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA＝PC，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值，然后根据等边三角形的性质求出∠EP
【解析】60°##60度
【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA＝PC，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值，然后根据等边三角形的性质求出∠EPB＝60°，再通过△BPE≌△CPE得出∠EPC＝∠EPB＝60°．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，BD是∠ABC的平分线，
∴点D为AC的中点，BD⊥AC，
∴点A、点C关于BD对称，
如图，连接AE，交BD于P，线段AE的长即为PE+PC最小值，

∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠PBE＝30°，
∴∠BPE＝60°，
∵在△BPE和△CPE中，
，
∴△BPE≌△CPE（SAS），
∴∠EPC＝∠BPE＝60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．
16、【分析】根据完全平方式可知：，从而可求出k的值．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴
∴k=±1、
故答案是：±1、
【点睛】本题考查完全平方式，解题的关键是根据展开后求出k的值．
【解析】
【分析】根据完全平方式可知：，从而可求出k的值．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴
∴k=±1、
故答案是：±1、
【点睛】本题考查完全平方式，解题的关键是根据展开后求出k的值．
17、47
【分析】利用完全平方公式计算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：47
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【解析】47
【分析】利用完全平方公式计算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：47
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
18、3或
【分析】△ACP与△BPQ全等，则分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
【详解】解： ∠CAB＝∠DBA＝62°，
为对应顶点，
①若△AC
【解析】3或
【分析】△ACP与△BPQ全等，则分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
【详解】解： ∠CAB＝∠DBA＝62°，
为对应顶点，
①若△ACP≌△BPQ， 则AC=BP，AP=BQ，

解得：；
②若△ACP≌△BQP， 则AC=BQ，AP=BP，
，
解得：；
综上所述，当x=3或 时，△ACP与△BPQ全等．
故答案为3或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分类讨论思想的渗透．
三、解答题
19、（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用平方差进行分解即可；
（2）首先提取公因式2（x-y），进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：（1）
（2）原式．
【点睛】本题考查了提取公因式法
【解析】（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用平方差进行分解即可；
（2）首先提取公因式2（x-y），进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：（1）
（2）原式．
【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．
20、﹣6﹣2x，﹣15、
【分析】括号内通分并结合平方差公式化简，再进行乘法计算约分即可．
【详解】解：
当x＝5时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值．掌握分式的混合运算法则是解题关键
【解析】﹣6﹣2x，﹣15、
【分析】括号内通分并结合平方差公式化简，再进行乘法计算约分即可．
【详解】解：

当x＝5时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值．掌握分式的混合运算法则是解题关键．
21、证明见解析．
【分析】由，得，即可用HL证明，即可得证．
【详解】∵，
∴，即，
在和中，
，
∴（HL），
∴∠B＝∠C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判
【解析】证明见解析．
【分析】由，得，即可用HL证明，即可得证．
【详解】∵，
∴，即，
在和中，
，
∴（HL），
∴∠B＝∠C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
22、(1)＝
(2)∠P＝90°－∠A
(3)∠P＝180°－∠BAD－∠CDA，探究见解析
【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两式相加可得结论；
【解析】(1)＝
(2)∠P＝90°－∠A
(3)∠P＝180°－∠BAD－∠CDA，探究见解析
【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两式相加可得结论；
（2）根据角平分线的定义得：∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90°−∠A；
（3）根据平角的定义得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分线得：∠3=∠EBC=90°−∠1，∠4=∠FCB=90°−∠2，相加可得：∠3+∠4=180°−（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．
(1)
∠DBC+∠ECB-∠A=180°，
理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A，
∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°，
故答案为：=；
(2)
∠P=90°-∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，
∵△BPC中，∠P=180°-∠CBP-∠BCP=180°-（∠DBC+∠ECB），
∵∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
∴∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A．
故答案为：∠P=90°-∠A，
(3)
∠P=180°-∠BAD-∠CDA，
理由是：如图，

∵∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3=∠EBC=90°-∠1，∠4=∠FCB=90°-∠2，
∴∠3+∠4=180°-（∠1+∠2），
∵四边形ABCD中，∠1+∠2=360°-（∠BAD+∠CDA），
又∵△PBC中，∠P=180°-（∠3+∠4）=（∠1+∠2），
∴∠P=×[360°-（∠BAD+∠CDA）]=180°-（∠BAD+∠CDA）=180°-∠BAD-∠CDA．
【点睛】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是关键．
23、(1)的解是，，验证见解析
(2)，
【分析】（1）认真审题，找到规律：的解为，，分别代入验证即可；
（2）据规律解题即可．
（1）
解：猜想 (m≠0)的解是，．
验证：当x=c时，方程左边=c+
【解析】(1)的解是，，验证见解析
(2)，
【分析】（1）认真审题，找到规律：的解为，，分别代入验证即可；
（2）据规律解题即可．
（1）
解：猜想 (m≠0)的解是，．
验证：当x=c时，方程左边=c+，方程右边=c+，
∴方程成立；
当x=时，方程左边=+c，方程右边=c+，
∴方程成立；
∴ (m≠0)的解是，；
（2）
解：由得，
∴x-1=a-1，，
∴，．
经检验：它们都是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律： (m≠0)的解是，．
24、（1）（x﹣3）（x﹣4）；（2）（x﹣1）（3x+1）．
【分析】（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案；
（2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由
【解析】（1）（x﹣3）（x﹣4）；（2）（x﹣1）（3x+1）．
【分析】（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案；
（2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的结果.
【详解】（1）y2﹣7y+12=（x﹣3）（x﹣4）；
（2）3x2﹣2x﹣1=（x﹣1）（3x+1）.
【点睛】此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.
25、(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据整式得出，，，，根据关联点的定义得出，，即可得出的关联点坐标；
（2）根据题意得出中的次数为次，设   ，计算出，进而表达出，，，的值，再根据的关联点为，
【解析】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据整式得出，，，，根据关联点的定义得出，，即可得出的关联点坐标；
（2）根据题意得出中的次数为次，设   ，计算出，进而表达出，，，的值，再根据的关联点为，列出关于 ， 的等式，解出、的值即可；
（3）设，根据题意求出，进而表达出，，，的值，再根据的关联点为，列出关于，的等式，解出、的值即可．
(1)
解：（1），
，，，，
，，
的关联点坐标为：，
故笞案为：；
(2)
整式是只含有字母的整式，整式是与的乘积，
是二次多项式，且的次数不能超过次，
中的次数为次，
设 ，
，
，，，，
整式的关联点为，
，，
解得：，，
；
(3)
根据题意：设，

，
，，，，
整式 的关联点为，
，，
，，
，
把代入得： ，
解得： ，
或，
或．
【点睛】本题主要考查整式的乘法，掌握整式的乘法是解决问题的关键．