成都市棕北中学(桐梓林校区)七年级下册数学期末试卷(培优篇)(Word版-含解析).doc
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成都市棕北中学(桐梓林校区)七年级下册数学期末试卷(培优篇)(Word版 含解析) 一、解答题 1.如图,直线HDGE,点A在直线HD上,点C在直线GE上,点B在直线HD、GE之间,∠DAB=120°. (1)如图1,若∠BCG=40°,求∠ABC的度数; (2)如图2,AF平分∠HAB,BC平分∠FCG,∠BCG=20°,比较∠B,∠F的大小; (3)如图3,点P是线段AB上一点,PN平分∠APC,CN平分∠PCE,探究∠HAP和∠N的数量关系,并说明理由. 2.已知:ABCD.点E在CD上,点F,H在AB上,点G在AB,CD之间,连接FG,EH,GE,∠GFB=∠CEH. (1)如图1,求证:GFEH; (2)如图2,若∠GEH=α,FM平分∠AFG,EM平分∠GEC,试问∠M与α之间有怎样的数量关系(用含α的式子表示∠M)?请写出你的猜想,并加以证明. 3.如图1,MN∥PQ,点C、B分别在直线MN、PQ上,点A在直线MN、PQ之间. (1)求证:∠CAB=∠MCA+∠PBA; (2)如图2,CD∥AB,点E在PQ上,∠ECN=∠CAB,求证:∠MCA=∠DCE; (3)如图3,BF平分∠ABP,CG平分∠ACN,AF∥CG.若∠CAB=60°,求∠AFB的度数. 4.如图,已知直线射线,.是射线上一动点,过点作交射线于点,连接.作,交直线于点,平分. (1)若点,,都在点的右侧. ①求的度数; ②若,求的度数.(不能使用“三角形的内角和是”直接解题) (2)在点的运动过程中,是否存在这样的偕形,使?若存在,直接写出的度数;若不存在.请说明理由. 5.已知:AB∥CD,截线MN分别交AB、CD于点M、N. (1)如图①,点B在线段MN上,设∠EBM=α°,∠DNM=β°,且满足+(β﹣60)2=0,求∠BEM的度数; (2)如图②,在(1)的条件下,射线DF平分∠CDE,且交线段BE的延长线于点F;请写出∠DEF与∠CDF之间的数量关系,并说明理由; (3)如图③,当点P在射线NT上运动时,∠DCP与∠BMT的平分线交于点Q,则∠Q与∠CPM的比值为 (直接写出答案). 二、解答题 6.如图1,由线段组成的图形像英文字母,称为“形”. (1)如图1,形中,若,则______; (2)如图2,连接形中两点,若,试探求与的数量关系,并说明理由; (3)如图3,在(2)的条件下,且的延长线与的延长线有交点,当点在线段的延长线上从左向右移动的过程中,直接写出与所有可能的数量关系. 7.如图1所示:点E为BC上一点,∠A=∠D,AB∥CD (1)直接写出∠ACB与∠BED的数量关系; (2)如图2,AB∥CD,BG平分∠ABE,BG的反向延长线与∠EDF的平分线交于H点,若∠DEB比∠GHD大60°,求∠DEB 的度数; (3)保持(2)中所求的∠DEB的度数不变,如图3,BM平分∠EBK,DN平分∠CDE,作BP∥DN,则∠PBM的度数是否改变?若不发生变化,请求它的度数,若发生改变,请说明理由.(本题中的角均为大于0°且小于180°的角). 8.如图,AB⊥AK,点A在直线MN上,AB、AK分别与直线EF交于点B、C,∠MAB+∠KCF=90°. (1)求证:EF∥MN; (2)如图2,∠NAB与∠ECK的角平分线交于点G,求∠G的度数; (3)如图3,在∠MAB内作射线AQ,使∠MAQ=2∠QAB,以点C为端点作射线CP,交直线AQ于点T,当∠CTA=60°时,直接写出∠FCP与∠ACP的关系式. 9.如图,已知是直线间的一点,于点交于点. (1)求的度数; (2)如图2,射线从出发,以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转,当垂直时,立刻按原速返回至后停止运动:射线从出发,以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动,若射线,射线同时开始运动,设运动间为t秒. ①当时,求的度数; ②当时,求t的值. 10.已知AB∥CD,点M在直线AB上,点N、Q在直线CD上,点P在直线AB、CD之间,∠AMP=∠PQN=α,PQ平分∠MPN. (1)如图①,求∠MPQ的度数(用含α的式子表示); (2)如图②,过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E,过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F.请你判断EF与PQ的位置关系,并说明理由; (3)如图③,在(2)的条件下,连接EN,若NE平分∠PNQ,请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系,并说明理由. 三、解答题 11.如图,在中,是高,是角平分线,,. ()求、和的度数. ()若图形发生了变化,已知的两个角度数改为:当,,则__________. 当,时,则__________. 当,时,则__________. 当,时,则__________. ()若和的度数改为用字母和来表示,你能找到与和之间的关系吗?请直接写出你发现的结论. 12.如图①,将一副直角三角板放在同一条直线AB上,其中∠ONM=30°,∠OCD=45°. (1)将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置,MN与CD相交于点E,求∠CEN的度数; (2)将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转,使∠BON=30°,如图③,MN与CD相交于点E,求∠CEN的度数; (3)将图①中的三角板OMN绕点O按每秒30°的速度按逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,在第____________秒时,直线MN恰好与直线CD垂直.(直接写出结果) 13.模型与应用. (模型) (1)如图①,已知AB∥CD,求证∠1+∠MEN+∠2=360°. (应用) (2)如图②,已知AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 . 如图③,已知AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为 . (3)如图④,已知AB∥CD,∠AM1M2的角平分线M1 O与∠CMnMn-1的角平分线MnO交于点O,若∠M1OMn=m°. 在(2)的基础上,求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n-1的度数.(用含m、n的代数式表示) 14.在中,,,点在直线上运动(不与点、重合),点在射线上运动,且,设. (1)如图①,当点在边上,且时,则__________,__________; (2)如图②,当点运动到点的左侧时,其他条件不变,请猜想和的数量关系,并说明理由; (3)当点运动到点的右侧时,其他条件不变,和还满足(2)中的数量关系吗?请在图③中画出图形,并给予证明.(画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑) 15.如图,△ABC和△ADE有公共顶点A,∠ACB=∠AED=90°,∠BAC=45°,∠DAE=30°. (1)若DE//AB,则∠EAC= ; (2)如图1,过AC上一点O作OG⊥AC,分别交AB、AD、AE于点G、H、F. ①若AO=2,S△AGH=4,S△AHF=1,求线段OF的长; ②如图2,∠AFO的平分线和∠AOF的平分线交于点M,∠FHD的平分线和∠OGB的平分线交于点N,∠N+∠M的度数是否发生变化?若不变,求出其度数;若改变,请说明理由. 【参考答案】 一、解答题 1.(1)∠ABC=100°;(2)∠ABC>∠AFC;(3)∠N=90°﹣∠HAP;理由见解析. 【分析】 (1)过点B作BMHD,则HDGEBM,根据平行线的性质求得∠ABM与∠CBM,便可求得最后 解析:(1)∠ABC=100°;(2)∠ABC>∠AFC;(3)∠N=90°﹣∠HAP;理由见解析. 【分析】 (1)过点B作BMHD,则HDGEBM,根据平行线的性质求得∠ABM与∠CBM,便可求得最后结果; (2)过B作BPHDGE,过F作FQHDGE,由平行线的性质得,∠ABC=∠HAB+∠BCG,∠AFC=∠HAF+∠FCG,由角平分线的性质和已知角的度数分别求得∠HAF,∠FCG,最后便可求得结果; (3)过P作PKHDGE,先由平行线的性质证明∠ABC=∠HAB+∠BCG,∠AFC=∠HAF+∠FCG,再根据角平分线求得∠NPC与∠PCN,由后由三角形内角和定理便可求得结果. 【详解】 解:(1)过点B作BMHD,则HDGEBM,如图1, ∴∠ABM=180°﹣∠DAB,∠CBM=∠BCG, ∵∠DAB=120°,∠BCG=40°, ∴∠ABM=60°,∠CBM=40°, ∴∠ABC=∠ABM+∠CBM=100°; (2)过B作BPHDGE,过F作FQHDGE,如图2, ∴∠ABP=∠HAB,∠CBP=∠BCG,∠AFQ=∠HAF,∠CFQ=∠FCG, ∴∠ABC=∠HAB+∠BCG,∠AFC=∠HAF+∠FCG, ∵∠DAB=120°, ∴∠HAB=180°﹣∠DAB=60°, ∵AF平分∠HAB,BC平分∠FCG,∠BCG=20°, ∴∠HAF=30°,∠FCG=40°, ∴∠ABC=60°+20°=80°,∠AFC=30°+40°=70°, ∴∠ABC>∠AFC; (3)过P作PKHDGE,如图3, ∴∠APK=∠HAP,∠CPK=∠PCG, ∴∠APC=∠HAP+∠PCG, ∵PN平分∠APC, ∴∠NPC=∠HAP+∠PCG, ∵∠PCE=180°﹣∠PCG,CN平分∠PCE, ∴∠PCN=90°﹣∠PCG, ∵∠N+∠NPC+∠PCN=180°, ∴∠N=180°﹣∠HAP﹣∠PCG﹣90°+∠PCG=90°﹣∠HAP, 即:∠N=90°﹣∠HAP. 【点睛】 本题考查了角平分线的定义,平行线性质和判定:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用,理清各角度之间的关系是解题的关键,也是本题的难点. 2.(1)见解析;(2),证明见解析. 【分析】 (1)由平行线的性质得到,等量代换得出,即可根据“同位角相等,两直线平行”得解; (2)过点作,过点作,根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可. 【详 解析:(1)见解析;(2),证明见解析. 【分析】 (1)由平行线的性质得到,等量代换得出,即可根据“同位角相等,两直线平行”得解; (2)过点作,过点作,根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可. 【详解】 (1)证明:, , , , ; (2)解:,理由如下: 如图2,过点作,过点作, , , ,, , 同理,, 平分,平分, ,, , 由(1)知,, , , , , . 【点睛】 此题考查了平行线的判定与性质,熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键. 3.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)120°. 【分析】 (1)过点A作AD∥MN,根据两直线平行,内错角相等得到∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB,根据角的和差等量代换即可得解; (2) 解析:(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)120°. 【分析】 (1)过点A作AD∥MN,根据两直线平行,内错角相等得到∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB,根据角的和差等量代换即可得解; (2)由两直线平行,同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD=180°,由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN=180°,再等量代换即可得解; (3)由平行线的性质得到,∠FAB=120°﹣∠GCA,再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF=60°,最后根据三角形的内角和是180°即可求解. 【详解】 解:(1)证明:如图1,过点A作AD∥MN, ∵MN∥PQ,AD∥MN, ∴AD∥MN∥PQ, ∴∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB, ∴∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+∠PBA, 即:∠CAB=∠MCA+∠PBA; (2)如图2,∵CD∥AB, ∴∠CAB+∠ACD=180°, ∵∠ECM+∠ECN=180°, ∵∠ECN=∠CAB ∴∠ECM=∠ACD, 即∠MCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE, ∴∠MCA=∠DCE; (3)∵AF∥CG, ∴∠GCA+∠FAC=180°, ∵∠CAB=60° 即∠GCA+∠CAB+∠FAB=180°, ∴∠FAB=180°﹣60°﹣∠GCA=120°﹣∠GCA, 由(1)可知,∠CAB=∠MCA+∠ABP, ∵BF平分∠ABP,CG平分∠ACN, ∴∠ACN=2∠GCA,∠ABP=2∠ABF, 又∵∠MCA=180°﹣∠ACN, ∴∠CAB=180°﹣2∠GCA+2∠ABF=60°, ∴∠GCA﹣∠ABF=60°, ∵∠AFB+∠ABF+∠FAB=180°, ∴∠AFB=180°﹣∠FAB﹣∠FBA =180°﹣(120°﹣∠GCA)﹣∠ABF =180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF =120°. 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质,线段、角、相交线与平行线,准确的推导是解决本题的关键. 4.(1)①35°;(2)55°;(2)存在,或 【分析】 (1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠PCG的度数; ②依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠ECG=∠GCF=20° 解析:(1)①35°;(2)55°;(2)存在,或 【分析】 (1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠PCG的度数; ②依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠ECG=∠GCF=20°,再根据PQ∥CE,即可得出∠CPQ=∠ECP=60°; (2)设∠EGC=3x,∠EFC=2x,则∠GCF=3x-2x=x,分两种情况讨论:①当点G、F在点E的右侧时,②当点G、F在点E的左侧时,依据等量关系列方程求解即可. 【详解】 解:(1)①∵AB∥CD, ∴∠CEB+∠ECQ=180°, ∵∠CEB=110°, ∴∠ECQ=70°, ∵∠PCF=∠PCQ,CG平分∠ECF, ∴∠PCG=∠PCF+∠FCG=∠QCF+∠FCE=∠ECQ=35°; ②∵AB∥CD, ∴∠QCG=∠EGC, ∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=70°, ∴∠EGC+∠ECG=70°, 又∵∠EGC-∠ECG=30°, ∴∠EGC=50°,∠ECG=20°, ∴∠ECG=∠GCF=20°,∠PCF=∠PCQ=(70°−40°)=15°, ∵PQ∥CE, ∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=70°-15°=55°. (2)52.5°或7.5°, 设∠EGC=3x°,∠EFC=2x°, ①当点G、F在点E的右侧时, ∵AB∥CD, ∴∠QCG=∠EGC=3x°,∠QCF=∠EFC=2x°, 则∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°, ∴∠PCF=∠PCQ=∠FCQ=∠EFC=x°, 则∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°, ∵∠ECD=70°, ∴4x=70°,解得x=17.5°, ∴∠CPQ=3x=52.5°; ②当点G、F在点E的左侧时,反向延长CD到H, ∵∠EGC=3x°,∠EFC=2x°, ∴∠GCH=∠EGC=3x°,∠FCH=∠EFC=2x°, ∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°, ∵∠CGF=180°-3x°,∠GCQ=70°+x°, ∴180-3x=70+x, 解得x=27.5, ∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=27.5°×2+70°=125°, ∴∠PCQ=∠FCQ=62.5°, ∴∠CPQ=∠ECP=62.5°-55°=7.5°, 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质,掌握两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等是解题的关键. 5.(1)30°;(2)∠DEF+2∠CDF=150°,理由见解析;(3) 【分析】 (1)由非负性可求α,β的值,由平行线的性质和外角性质可求解; (2)过点E作直线EH∥AB,由角平分线的性质和平行 解析:(1)30°;(2)∠DEF+2∠CDF=150°,理由见解析;(3) 【分析】 (1)由非负性可求α,β的值,由平行线的性质和外角性质可求解; (2)过点E作直线EH∥AB,由角平分线的性质和平行线的性质可求∠DEF=180°﹣30°﹣2x°=150°﹣2x°,由角的数量可求解; (3)由平行线的性质和外角性质可求∠PMB=2∠Q+∠PCD,∠CPM=2∠Q,即可求解. 【详解】 解:(1)∵+(β﹣60)2=0, ∴α=30,β=60, ∵AB∥CD, ∴∠AMN=∠MND=60°, ∵∠AMN=∠B+∠BEM=60°, ∴∠BEM=60°﹣30°=30°; (2)∠DEF+2∠CDF=150°. 理由如下:过点E作直线EH∥AB, ∵DF平分∠CDE, ∴设∠CDF=∠EDF=x°; ∵EH∥AB, ∴∠DEH=∠EDC=2x°, ∴∠DEF=180°﹣30°﹣2x°=150°﹣2x°; ∴∠DEF=150°﹣2∠CDF, 即∠DEF+2∠CDF=150°; (3)如图3,设MQ与CD交于点E, ∵MQ平分∠BMT,QC平分∠DCP, ∴∠BMT=2∠PMQ,∠DCP=2∠DCQ, ∵AB∥CD, ∴∠BME=∠MEC,∠BMP=∠PND, ∵∠MEC=∠Q+∠DCQ, ∴2∠MEC=2∠Q+2∠DCQ, ∴∠PMB=2∠Q+∠PCD, ∵∠PND=∠PCD+∠CPM=∠PMB, ∴∠CPM=2∠Q, ∴∠Q与∠CPM的比值为, 故答案为:. 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质,准确计算是解题的关键. 二、解答题 6.(1)50°;(2)∠A+∠C=30°+α,理由见解析;(3)∠A-∠DCM=30°+α或30°-α 【分析】 (1)过M作MN∥AB,由平行线的性质即可求得∠M的值. (2)延长BA,DC交于E, 解析:(1)50°;(2)∠A+∠C=30°+α,理由见解析;(3)∠A-∠DCM=30°+α或30°-α 【分析】 (1)过M作MN∥AB,由平行线的性质即可求得∠M的值. (2)延长BA,DC交于E,应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题. (3)分两种情形分别求解即可; 【详解】 解:(1)过M作MN∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥MN∥CD, ∴∠1=∠A,∠2=∠C, ∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°; 故答案为:50°; (2)∠A+∠C=30°+α, 延长BA,DC交于E, ∵∠B+∠D=150°, ∴∠E=30°, ∵∠BAM+∠DCM=360°-(∠EAM+∠ECM)=360°-(360°-∠E-∠M)=30°+α; 即∠A+∠C=30°+α; (3)①如下图所示: 延长BA、DC使之相交于点E,延长MC与BA的延长线相交于点F, ∵∠B+∠D=150°,∠AMC=α,∴∠E=30° 由三角形的内外角之间的关系得: ∠1=30°+∠2 ∠2=∠3+α ∴∠1=30°+∠3+α ∴∠1-∠3=30°+α 即:∠A-∠C=30°+α. ②如图所示,210-∠A=(180°-∠DCM)+α,即∠A-∠DCM=30°-α. 综上所述,∠A-∠DCM=30°+α或30°-α. 【点睛】 本题考查了平行线的性质.解答该题时,通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB,利用平行线的性质(两直线平行内错角相等)将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来,从而求得∠M的度数. 7.(1) ;(2) ;(3)不发生变化,理由见解析 【分析】 (1)如图1,延长DE交AB于点F,根据平行线的性质推出; (2)如图2,过点E作ES∥AB,过点H作HT∥AB,根据AB∥CD,AB∥E 解析:(1) ;(2) ;(3)不发生变化,理由见解析 【分析】 (1)如图1,延长DE交AB于点F,根据平行线的性质推出; (2)如图2,过点E作ES∥AB,过点H作HT∥AB,根据AB∥CD,AB∥ES推出,再根据AB∥TH,AB∥CD推出,最后根据比大得出的度数; (3)如图3,过点E作EQ∥DN,根据得出的度数,根据条件再逐步求出的度数. 【详解】 (1)如答图1所示,延长DE交AB于点F. AB∥CD,所以, 又因为,所以,所以AC∥DF,所以. 因为,所以. (2)如答图2所示,过点E作ES∥AB,过点H作HT∥AB. 设,, 因为AB∥CD,AB∥ES,所以,, 所以, 因为AB∥TH,AB∥CD,所以,,所以, 因为比大,所以,所以,所以,所以 (3)不发生变化 如答图3所示,过点E作EQ∥DN. 设,, 由(2)易知,所以,所以, 所以, 所以. 【点睛】 本题考查了平行线的性质,求角的度数,正确作出相关的辅助线,根据条件逐步求出角度的度数是解题的关键. 8.(1)见解析;(2)∠CGA=45°;(3)∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°. 【分析】 (1)有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°,然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠K 解析:(1)见解析;(2)∠CGA=45°;(3)∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°. 【分析】 (1)有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°,然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠KCF,从而判断两直线平行; (2)设∠KAN=∠KCF=α,过点G作GH∥EF,结合角平分线的定义和平行线的判定及性质求解; (3)分CP交射线AQ及射线AQ的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解. 【详解】 解:(1)∵AB⊥AK ∴∠BAC=90° ∴∠MAB+∠KAN=90° ∵∠MAB+∠KCF=90° ∴∠KAN=∠KCF ∴EF∥MN (2)设∠KAN=∠KCF=α 则∠BAN=∠BAC+∠KAN=90°+α ∠KCB=180°-∠KCF=180°-α ∵AG平分∠NAB,CG平分∠ECK ∴∠GAN=∠BAN=45°+α,∠KCG=∠KCB=90°-α ∴∠FCG=∠KCG+∠KCF=90°+α 过点G作GH∥EF ∴∠HGC=∠FCG=90°+α 又∵MN∥EF ∴MN∥GH ∴∠HGA=∠GAN=45°+α ∴∠CGA=∠HGC-∠HGA=(90°+α)-(45°+α)=45° (3)①当CP交射线AQ于点T ∵ ∴ 又∵ ∴ 由(1)可得:EF∥MN ∴ ∵ ∴ ∵, ∴ ∴ 即∠FCP+2∠ACP=180° ②当CP交射线AQ的反向延长线于点T,延长BA交CP于点G ,由EF∥MN得 ∴ 又∵,, ∴ ∵, ∴ ∴ ∴ 由①可得 ∴ ∴ 综上,∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°. 【点睛】 本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系,准确理解题意,正确推理计算是解题关键. 9.(1);(2)①或;②秒或或秒 【分析】 (1)通过延长作辅助线,根据平行线的性质,得到,再根据外角的性质可计算得到结果; (2)①当时,分两种情况,Ⅰ当在和之间,Ⅱ当在和之间,由,计算出的运动时间 解析:(1);(2)①或;②秒或或秒 【分析】 (1)通过延长作辅助线,根据平行线的性质,得到,再根据外角的性质可计算得到结果; (2)①当时,分两种情况,Ⅰ当在和之间,Ⅱ当在和之间,由,计算出的运动时间,根据运动时间可计算出,由已知可计算出的度数; ②根据题意可知,当时,分三种情况, Ⅰ射线由逆时针转动,,根据题意可知,,再平行线的性质可得,再根据三角形外角和定理可列等量关系,求解即可得出结论; Ⅱ射线垂直时,再顺时针向运动时,,根据题意可知,,,,可计算射线的转动度数,再根据转动可列等量关系,即可求出答案; Ⅲ射线垂直时,再顺时针向运动时,,根据题意可知,,,根据(1)中结论,,,可计算出与代数式,再根据平行线的性质,可列等量关系,求解可得出结论. 【详解】 解:(1)延长与相交于点, 如图1, , , , ; (2)①Ⅰ如图2, ,, , 射线运动的时间(秒, 射线旋转的角度, 又, ; Ⅱ如图3所示, ,, , 射线运动的时间(秒, 射线旋转的角度, 又, ; 的度数为或; ②Ⅰ当由运动如图4时, 与相交于点, 根据题意可知,经过秒, ,, , , 又, , 解得(秒; Ⅱ当运动到,再由运动到如图5时, 与相交于点, 根据题意可知,经过秒, , , ,, 运动的度数可得,, 解得; Ⅲ当由运动如图6时,, 根据题意可知,经过秒, ,, ,, ,, 又, , , 解得(秒), 当的值为秒或或秒时,. 【点睛】 本题主要考查平行线性质,合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键. 10.(1)2α;(2)EF⊥PQ,见解析;(3)∠NEF=∠AMP,见解析 【分析】 1)如图①,过点P作PR∥AB,可得AB∥CD∥PR,进而可得结论; (2)根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF= 解析:(1)2α;(2)EF⊥PQ,见解析;(3)∠NEF=∠AMP,见解析 【分析】 1)如图①,过点P作PR∥AB,可得AB∥CD∥PR,进而可得结论; (2)根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF=180°,进而可得EF与PQ的位置关系; (3)结合(2)和已知条件可得∠QNE=∠QEN,根据三角形内角和定理可得∠QNE=(180°﹣∠NQE)=(180°﹣3α),可得∠NEF=180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE,进而可得结论. 【详解】 解:(1)如图①,过点P作PR∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥CD∥PR, ∴∠AMP=∠MPR=α,∠PQN=∠RPQ=α, ∴∠MPQ=∠MPR+∠RPQ=2α; (2)如图②,EF⊥PQ,理由如下: ∵PQ平分∠MPN. ∴∠MPQ=∠NPQ=2α, ∵QE∥PN, ∴∠EQP=∠NPQ=2α, ∴∠EPQ=∠EQP=2α, ∵EF平分∠PEQ, ∴∠PEQ=2∠PEF=2∠QEF, ∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ=180°, ∴2∠EPQ+2∠PEF=180°, ∴∠EPQ+∠PEF=90°, ∴∠PFE=180°﹣90°=90°, ∴EF⊥PQ; (3)如图③,∠NEF=∠AMP,理由如下: 由(2)可知:∠EQP=2α,∠EFQ=90°, ∴∠QEF=90°﹣2α, ∵∠PQN=α, ∴∠NQE=∠PQN+∠EQP=3α, ∵NE平分∠PNQ, ∴∠PNE=∠QNE, ∵QE∥PN, ∴∠QEN=∠PNE, ∴∠QNE=∠QEN, ∵∠NQE=3α, ∴∠QNE=(180°﹣∠NQE)=(180°﹣3α), ∴∠NEF=180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE =180°﹣(90°﹣2α)﹣3α﹣(180°﹣3α) =180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+α =α =∠AMP. ∴∠NEF=∠AMP. 【点睛】 本题考查了平行线的性质,角平分线的性质,熟悉相关性质是解题的关键. 三、解答题 11.(1)30°,70°,20°;(2)15°,5°,0°,5°;(3)当时,;当时,. 【分析】 (1)先利用三角形内角和定理求出的度数,再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数,进而可求和的度数; 解析:(1)30°,70°,20°;(2)15°,5°,0°,5°;(3)当时,;当时,. 【分析】 (1)先利用三角形内角和定理求出的度数,再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数,进而可求和的度数; (2)先利用三角形内角和定理求出的度数,再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数,则前三问利用即可得出答案,第4问利用即可得出答案; (3)按照(2)的方法,将相应的数换成字母即可得出答案. 【详解】 (1)∵,, ∴ . ∵平分, ∴. ∵是高, , , , . (2)当,时, ∵,, ∴. ∵平分, ∴. ∵是高, , , ; 当,时, ∵,, ∴ . ∵平分, ∴. ∵是高, , , ; 当,时, ∵,, ∴. ∵平分, ∴. ∵是高, , , ; 当,时, ∵,, ∴. ∵平分, ∴. ∵是高, , , . (3)当 时,即时, ∵,, ∴ . ∵平分, ∴. ∵是高, , , ; 当 时,即时, ∵,, ∴ . ∵平分, ∴. ∵是高, , , ; 综上所述,当时,;当时,. 【点睛】 本题主要考查三角形内角和定理和三角形的角平分线,高,掌握三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余是解题的关键. 12.(1)105°;(2)135°;(3)5.5或11.5. 【分析】 (1)在△CEN中,用三角形内角和定理即可求出; (2)由∠BON=30°,∠N=30°可得MN∥CB,再根据两直线平行,同旁内角 解析:(1)105°;(2)135°;(3)5.5或11.5. 【分析】 (1)在△CEN中,用三角形内角和定理即可求出; (2)由∠BON=30°,∠N=30°可得MN∥CB,再根据两直线平行,同旁内角互补即可求出∠CEN的度数. (3)画出图形,求出在MN⊥CD时的旋转角,再除以30°即得结果. 【详解】 解:(1)在△CEN中,∠CEN=180°-∠ECN-∠CNE=180°-45°-30°=105°; (2)∵∠BON=30°,∠N=30°, ∴∠BON=∠N, ∴MN∥CB. ∴∠OCD+∠CEN=180°, ∵∠OCD=45° ∴∠CEN=180°-45°=135°; (3)如图,MN⊥CD时,旋转角为360°-90°-45°-60°=165°,或360°-(60°-45°)=345°,所以在第165°÷30°=5.5或345°÷30°=11.5秒时,直线MN恰好与直线CD垂直. 【点睛】 本题以学生熟悉的三角板为载体,考查了三角形的内角和、平行线的判定和性质、垂直的定义和旋转的性质,前两小题难度不大,难点是第(3)小题,解题的关键是画出适合题意的几何图形,弄清求旋转角的思路和方法,本题的第一种情况是将旋转角∠DOM放在四边形DOMF中,用四边形内角和求解,第二种情况是用周角减去∠DOM的度数. 13.(1)证明见解析;(2)900° ,180°(n-1);(3)(180n-180-2m)° 【详解】 【模型】 (1)证明:过点E作EF∥CD, ∵AB∥CD, ∴EF∥AB, ∴∠1+∠MEF 解析:(1)证明见解析;(2)900° ,180°(n-1);(3)(180n-180-2m)° 【详解】 【模型】 (1)证明:过点E作EF∥CD, ∵AB∥CD, ∴EF∥AB, ∴∠1+∠MEF=180°, 同理∠2+∠NEF=180° ∴∠1+∠2+∠MEN=360° 【应用】 (2)分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB,利用(1)的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°; 由上面的解题方法可得:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n=180°(n-1), 故答案是:900° , 180°(n-1); (3)过点O作SR∥AB, ∵AB∥CD, ∴SR∥CD, ∴∠AM1O=∠M1OR 同理∠C MnO=∠MnOR ∴∠A M1O+∠CMnO=∠M1OR+∠MnOR, ∴∠A M1O+∠CMnO=∠M1OMn=m°, ∵M1O平分∠AM1M2, ∴∠AM1M2=2∠A M1O, 同理∠CMnMn-1=2∠CMnO, ∴∠AM1M2+∠CMnMn-1=2∠AM1O+2∠CMnO=2∠M1OMn=2m°, 又∵∠A M1M2+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n-1+∠CMnMn-1=180°(n-1), ∴∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n-1=(180n-180-2m)° 点睛:本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,解决此类题目,过拐点作平行线是解题的关键,准确识图理清图中各角度之间的关系也很重要. 14.(1)60,30;(2)∠BAD=2∠CDE,证明见解析;(3)成立,∠BAD=2∠CDE,证明见解析 【分析】 (1)如图①,将∠BAC=100°,∠DAC=40°代入∠BAD=∠BAC-∠DAC 解析:(1)60,30;(2)∠BAD=2∠CDE,证明见解析;(3)成立,∠BAD=2∠CDE,证明见解析 【分析】 (1)如图①,将∠BAC=100°,∠DAC=40°代入∠BAD=∠BAC-∠DAC,求出∠BAD.在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°,根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠ABC+∠BAD=100°,在△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ADE=∠AED=70°,那么∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°; (2)如图②,在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°,∠ADE=∠AED=.根据三角形外角的性质得出∠CDE=∠ACB-∠AED=,再由∠BAD=∠DAC-∠BAC得到∠BAD=n-100°,从而得出结论∠BAD=2∠CDE; (3)如图③,在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°,∠ADE=∠AED=.根据三角形外角的性质得出∠CDE=∠ACD-∠AED=,再由∠BAD=∠BAC+∠DAC得到∠BAD=100°+n,从而得出结论∠BAD=2∠CDE. 【详解】 解:(1)∠BAD=∠BAC-∠DAC=100°-40°=60°. ∵在△ABC中,∠BAC=100°,∠ABC=∠ACB, ∴∠ABC=∠ACB=40°, ∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=40°+60°=100°. ∵∠DAC=40°,∠ADE=∠AED, ∴∠ADE=∠AED=70°, ∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=100°-70°=30°. 故答案为60,30. (2)∠BAD=2∠CDE,理由如下: 如图②,在△ABC中,∠BAC=100°, ∴∠ABC=∠ACB=40°. 在△ADE中,∠DAC=n, ∴∠ADE=∠AED=, ∵∠ACB=∠CDE+∠AED, ∴∠CDE=∠ACB-∠AED=40°-=, ∵∠BAC=100°,∠DAC=n, ∴∠BAD=n-100°, ∴∠BAD=2∠CDE. (3)成立,∠BAD=2∠CDE,理由如下: 如图③,在△ABC中,∠BAC=100°, ∴∠ABC=∠ACB=40°, ∴∠ACD=140°. 在△ADE中,∠DAC=n, ∴∠ADE=∠AED=, ∵∠ACD=∠CDE+∠AED, ∴∠CDE=∠ACD-∠AED=140°-=, ∵∠BAC=100°,∠DAC=n,- 配套讲稿:
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