【备考期末】宜昌市中考数学二次函数和几何综合专题.doc

【备考期末】宜昌市中考数学二次函数和几何综合专题

一、二次函数压轴题
1．探究：已知二次函数y＝ax2﹣2x+3经过点A(﹣3，0)．
(1)求该函数的表达式；
(2)如图所示，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接AC，PA，PC．
①求△ACP的面积S关于t的函数关系式；
②求△ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
拓展：在平面直角坐标系中，点M的坐标为(﹣1，3)，N的坐标为(3，1)，若抛物线y＝ax2﹣2x+3(a＜0)与线段MN有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．

2．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．

（1）求点、点、点的坐标；
（2）当点在线段上运动时，直线交于点，试探究当为何值时，四边形是平行四边形；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．综合与探究
如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90°得到线段MD，连接CD、BD．设点M运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：

（1）求点A的坐标与直线l的表达式；
（2）①请直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时t的值；
②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值．
4．某数学兴趣小组在探究函数y＝x2﹣2|x|+3的图象和性质时，经历了以下探究过程：
（1）列表（完成下列表格）．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
0

1
2
3
…
y
…
6
3
2

2
3
6
…

（2）描点并在图中画出函数的大致图象；

（3）根据函数图象，完成以下问题：
①观察函数y＝x2﹣2|x|+3的图象，以下说法正确的有　 　（填写正确的序号）
A．对称轴是直线x＝1；
B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2）；
C．当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大；
D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点；
E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到．
②结合图象探究发现，当m满足　 　时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解．
③设函数y＝x2﹣2|x|+3的图象与其对称轴相交于P点，当直线y＝n和函数y＝x2﹣2|x|+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求n的值．
5．已知抛物线有最低点为F．
（1）当抛物线经过点E（-1，3）时，①求抛物线的解析式；②点M是直线下方抛物线上的一动点，过点M作平行于y轴的直线，与直线交于点N，求线段长度的最大值；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线．经过探究发现，随着m的变化，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x之间存在一个函数，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的交点为P，请结合图象求出点P的纵坐标的取值范围．
6．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下：

…
-3

-2
-1
0
1
2

3
…

…
3

-1
0
-1
0

3
…
其中，______．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程有______个实数根；
②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是______．

7．综合与探究．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴分别交于点A和点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点P是线段OA上的一个动点，沿OA以每秒1个单位长度的速度由点O向点A运动，过点P作DP⊥x轴，交抛物线于点D，交直线AC于点E，连接BE．

（1）求直线AC的表达式；
（2）在点P运动过程中，运动时间为何值时，EC＝ED？
（3）在点P运动过程中，△EBP的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．小明结合自己的学习经验，对新函数y＝的解析式、图象、性质及应用进行探究：已知当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝1．
（1）函数解析式探究：根据给定的条件，可以确定由该函数的解析式为：　 　．
（2）函数图象探究：
①根据解析式，补全如表，则m＝　 　，n＝　 　．
②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．
x
……
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
0

1
2
n
4
……
y
……

m

2

1

……
（3）函数性质探究：请你结合函数的解析式及所画图象，写出该函数的一条性质：　 　．
（4）综合应用：已知函数y＝|x﹣|的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|x﹣|≤．

9．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），①试确定抛物线的解析式；②若当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若M点是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM≥3，求M点横坐标的取值范围；
（3）如图2，若点P在第一象限，且PA＝PO，过点P作PD⊥x轴于点D，将抛物线y＝x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点 A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．

10．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+3经过A(1，0) 、B(－3，0)两点，与y轴交于点C．直线BC经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）将△COB沿直线 BC平移，得到△C1O1B1，请探究在平移的过程中是否存在点 O1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O1的坐标，若不存在，说明理由；
（3）如图2，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，连结AC，请探究在抛物线上是否存在一点F，使直线EF∥AC，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．
二、中考几何压轴题
11．如图l，在正方形ABCD中，AB=8，点E在AC上，且，过点作于点，交于点，连接，．

（问题发现）
（1）线段与的数量关系是________，直线与所夹锐角的度数是___________；
（拓展探究）
（2）当绕点顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；
（解决问题）
（3）在（2）的条件下，当点到直线的距离为2时，请直接写出的长．
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB边上的动点，DE⊥BC于点E，连接AE，CD，点F，G，H分别是AE，CD，AC的中点．
（1）观察猜想：△FGH的形状是

（2）探究论证：把△BDE绕点B按逆时针方向旋转到如图所示的位置，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

（3）拓展延伸：把△BDE绕点B在平面内自由旋转，若BC=6，BE=2，请直接写出△FGH周长的取值范围．

13．如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点．

（1）观察猜想
图1中，线段的数量关系是____，的大小为_____；
（2）探究证明
把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值．
14．如图1，已知，，点D在上，连接并延长交于点F，
（1）猜想：线段与的数量关系为_____；
（2）探究：若将图1的绕点B顺时针方向旋转，当小于时，得到图2，连接并延长交于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展：图1中，过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，，直接写出的长．

15．已知：，过平面内一点分别向、、画垂线，垂足分别为、、．
（问题引入）
如图①，当点在射线上时，求证：．

（类比探究）
（1）如图②，当点在内部，点在射线上时，求证：．

（2）当点在内部，点在射线的反向延长线上时，在图③中画出示意图，并直接写出线段、、之间的数量关系．
（知识拓展）
如图④，、、是的三条弦，都经过圆内一点，且．判断与的数量关系，并证明你的结论．

16．综合与实践．特例感知．两块三角板△ADB与△EFC全等，∠ADB＝∠EFC＝90°，∠B＝45°，AB＝6．将直角边AD和EF重合摆放．点P、Q分别为BE、AF的中点，连接PQ，如图1．则△APQ的形状为 ．

操作探究
（1）若将△EFC绕点C顺时针旋转45°，点P恰好落在AD上，BE与AC交于点G，连接PF，如图2．
①FG：GA＝ ；
②PF与DC的位置关系为 ；
③求PQ的长；
开放拓展
（2）若△EFC绕点C旋转一周，当AC⊥CF时，∠AEC为 ．
17．（1）（操作）如图，请用尺规作图确定圆的圆心，保留作图痕迹，不要求写作法；

（2）（探究）如图，若（1）中的圆的半径为2，放入平面直角坐标系中，使它与轴，轴分别切于点和，点的坐标为，过点的直线与圆有唯一公共点（与不重合）时，求点的坐标；

（3）（拓展）如图3，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向点运动，同时，点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向上运动，设运动时间为（），过点，，三点的圆，交第一象限角平分线于点，当为何值时，有最小值，求出此时，并探索在变化过程中的值有变化吗？为什么？

18．如图，已知和均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现：
如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则＝　 　°，线段BD、CE之间的数量关系是　 　；
（2）拓展探究：
如图②，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：
如图③，，，AE＝2，连接CE、BD，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出EC的长．

19．综合与实践
动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为．
思考探索
（1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2．
①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上；
②_________；
③为_______三角形，请证明你的结论．
拓展延伸
（2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上．
①面积的最大值为____________；
②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为____________．

20．在中，，点D､E分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，连接．
观察猜想

（1）如图①，当时，填空：
①______________；
②直线所夹锐角为____________；
类比探究
（2）如图②，当时，试判断的值及直线所夹锐角的度数，并说明理由；
拓展应用
（3）在（2）的条件下，若，将绕着点C在平面内旋转，当点D落在射线AC上时，请直接写出的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、二次函数压轴题

1．探究：（1）；（2）①，②的面积的最大值是，此时点的坐标为，拓展：.
【分析】
（1）由待定系数法易求解析式；
（2）过点作于点，交于点.设点的坐标为，由可得关于t的二次函数，进而可求最大值.
（3）根据抛物线与MN的位置关系可知当抛物线经过M点时，a取最大值.
【详解】
探究：（1）∵抛物线经过点，
∴，解得.
∴抛物线的表达式为.
（2）①过点作于点，交于点.

设直线的解析式为，
将、代入，
，解得：，
∴直线的解析式为.
∵点在抛物线上，点在直线上，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴ ，
∴ .
②∵，
∴当时，，
当时，.
∴的面积的最大值是，此时点的坐标为.
[拓展]：抛物线y=ax2−2x+3(a<0),当x=1时，y=a-2+3=a+1＜3，故抛物线右边一定与MN有交点，
当x=-1，y=a+2+3=a+5，在M点或下方时，抛物线左边边一定与MN有交点，
即a+5≤3；
∴；
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算，极值的确定，关键是确定出抛物线解析式，难点是数形结合确定a点的求值范围．
2．C
解析：（1）
（2）当，四边形是平行四边形
（3）存在，点的坐标为， ，
【分析】
（1）根据函数解析式列方程即可；
（2）根据平行四边形的判定，用含未知数的值表示QM的长度，从而可求解;
（3）设Q点的坐标为,分两种情况讨论：当时，由勾股定理可得：，当时，由勾股定理可得：，可解出的值.
【详解】
（1）令，则，C点的坐标为（0,2）；
令，则 解得，点A为（-1,0）；点B为（4,0）
∴
（2）如图1所示：

点C与点D关于轴对称，点,设直线BD的解析式为，将代入得： 解得
∴直线BD的解析式为：
∵
∴当时，四边形是平行四边形
设Q点的坐标为 ，则
∴
解得 （不合题意，舍去）
∴当，四边形是平行四边形
（3）存在，设Q点的坐标为
∵是以BD为直角边的直角三角形
∴当时，由勾股定理可得：
即
解得 （不合题意，舍去）
∴Q点的坐标为
当时，由勾股定理可得：
即
解得
Q点的坐标为
综上所述：点的坐标为， ，.
【点睛】
本题考查了一次函数和抛物线的综合问题，解题的关键在于拿出函数解析式，会用含未知数的代数式表示出关键的点的坐标和线段的长度.
3．A
解析：（1）A（﹣3，0），y＝﹣x+；（2）①点D落在直线l上时，t＝6﹣2；②CD的最小值为．
【分析】
（1）解方程求出点A、点B的坐标，根据二次函数的性质求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线l的表达式；
（2）①分点M在AO上运动、点M在OB上运动两种情况，DN⊥x轴于N，证明△MCO≌△DMN，根据全等三角形的性质得到MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，得到点D的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征求出t；
②根据等腰直角三角形的性质、垂线段最短解答．
【详解】
（1）当y＝0时，﹣x2﹣x+=0，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
当x＝0时，y＝，即C（0，），
设直线l的表达式为y＝kx+b，
将B，C两点坐标代入得，，
解得，，
则直线l的表达式为y＝﹣x+；
（2）①如图1，当点M在AO上运动时，过点D作DN⊥x轴于N，

由题意可知，AM＝t，OM＝3﹣t，MC⊥MD，
则∠DMN+∠CMO＝90°，∠CMO+∠MCO＝90°，
∴∠MCO＝∠DMN，
在△MCO与△DMN中，
，
∴△MCO≌△DMN（AAS），
∴MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，
∴D（t﹣3+，t﹣3）；
同理，如图2，当点M在OB上运动时，
点D的坐标为：D（﹣3+t+，t﹣3）
将D点坐标代入直线BC的解析式y＝﹣x+得，t﹣3＝﹣×（﹣3+t+）+，
t＝6﹣2，即点D落在直线l上时，t＝6﹣2；
②∵△COD是等腰直角三角形，
∴CM＝MD，
∴线段CM最小时，线段CD长度的最小，
∵M在AB上运动，
∴当CM⊥AB时，CM最短，CD最短，即CM＝CO＝，
根据勾股定理得，CD的最小值为．

【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、等腰三角形的性质特点.
4．B
解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①B、D、E；②2＜m＜3；③n＝2或6．
【分析】
（1）把x＝﹣，0，分别代入函数表达式即可求解；（2）描点确定函数图象；（3）①结合图象，根据二次函数的性质依次判断各项即可求解；②根据二次函数的图象即可解答；③如图，当直线y＝n处于直线m或m′的位置时，由此即可求解．
【详解】
（1）把x＝﹣，0，分别代入函数表达式得：y＝，3，；
故答案为，3，；
（2）描点确定函数图象如下：

（3）①A．对称轴是直线x＝0，故错误；
B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2），故正确；
C．当﹣1＜x＜1时，函数在y轴右侧，y随x的增大而增大，故错误；
D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点，正确；
E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到，正确；
故答案为：B、D、E；
②从图象看，2＜m＜3时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解；
③如图，当直线y＝n处于直线m或m′的位置时，

点P和图象上的点构成等腰直角三角形，
即n＝2或6．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象，利用数形结合思想是解决问题的关键．
5．E
解析：（1）①；②2；（2）；（3）
【分析】
（1）①把点E（-1，3）代入求出m的值即可；②先求出直线EF的解析式，设出点M的坐标，得到MN的二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
（2）写出抛物线的顶点式，根据平移规律即可得到的顶点式，进而得到的顶点坐标，即，消去，得到与的函数关系式，再由即可求得的取值范围；
（3）求出抛物线怛过点A（2，-3），函数H的图象恒过点B（2，-4），从图象可知两函数图象的交点P应在A，B之间，即点P的纵坐标在A，B点的纵坐标之间，从而可得结论．
【详解】
解：（1）①∵抛物线经过点E（-1，3）
∴
∴
∴抛物线的解析式为：
②如图，

∵点F为抛物线的最低点，
∴
∴
设直线EF的解析式为：
把E（-1，3），F（1，-5）代入得，

解得，
∴直线EF的解析式为：
设，则
∴
∵
∴当时，MN有最大值，最大值为2；
（2）∵抛物线
∴平移后的抛物线
∴抛物线的顶点坐标为
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴与的函数关系式为：
（3）如图，函数的图象为射线，

时，；
时，
∴函数H的图象恒过点（2，-4）
∵抛物线，
当时，；
当时，；
∴抛物线G恒过点A（2，-3）
由图象可知，若抛物线G与函数H的图象有交点P，则有
∴点P纵坐标的取值范围为：
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求解析式、二次函数的性质和数形结合思想等知识，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．
6．（1）0；（2）图见解析；（3）①3；②
【分析】
（1）那x=-2代入解析式，即可求得m的值；
（2）利用描点法画函数图象即可；
（3）①观察图象找出图象与x轴的交点个数即可求解；②观察图象，找出图象与平行于x轴直线的交点个数为4个时对应y的取值范围即可．
【详解】
（1）x=-2时，m=（-2）2- =0；
故答案为：0；
（）如图所示

（）①观察图象，可知与x轴有三个交点，
所以有三个根，分别是、、；
即答案为3；
②∵关于的方程有四个根，
∴函数的图象与y=a有四个交点，
由函数图象知：的取值范围是．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，其中观察函数图像的能力是解答本题的关键．
7．A
解析：（1）直线AC的表达式为y＝x+4；（2）运动时间为0或（4﹣）秒时，EC＝ED；（3）
【分析】
（1）由抛物线的解析式中x，y分别为0，求出A，C的坐标，再利用待定系数法确定直线AC的解析式；
（2）设出运动时间为t秒，然后用t表示线段OP，CE，AP，DE的长度，利用已知列出方程即可求解；
（3）利用等量代换求出△EBP的周长为AB+BE，由于AB为定值，BE最小时，△EBP的周长最小，根据垂线段最短，确定点E的位置，解直角三角形求出OP，点P坐标可求．
【详解】
解：（1）∵ 抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴分别交于A，B，交y轴于点C，
∴ 当x＝0时，y＝4．
∴ C（0，4）．
当y＝0时，﹣x2﹣3x+4＝0，
∴ x1＝﹣4，x2＝1，
∴ A（﹣4，0），B（1，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴
解得：
∴ 直线AC的表达式为y＝x+4．
（2）设点P的运动时间为t秒，
∵点P以每秒1个单位长度的速度由点O向点A运动，
∴ OP＝t．
∴ P（﹣t，0）．
∵ A（﹣4，0），C（0，4），
∴ OA＝OC＝4．
∴ Rt△AOC为等腰直角三角形．
∴ ∠CAO＝∠ACO＝45°，AC＝OA＝4．
∵ DP⊥x轴，
在Rt△APE中，∠CAP＝45°，
∴ AP＝PE＝4﹣t，AE＝AP＝（4﹣t）．
∴ EC＝AC﹣AE＝t．
∵ E，P的横坐标相同，
∴ E（﹣t，﹣t+4），D（﹣t，﹣t2+3t+4）．
∴ DE＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t．
∵ EC＝DE，
∴﹣t2+4t＝t．
解得：t＝0或t＝4﹣．
∴ 当运动时间为0或（4﹣）秒时，EC＝ED．
（3）存在．P的坐标为（﹣，0）．
在Rt△AEP中，∠OAC＝45°，
∴ AP＝EP．
∴ △AEB的周长为EP+BP+BE＝AP+BP+BE＝AB+BE．
∵ AB＝5，
∴ 当BE最小时，△AEB的周长最小．
当BE⊥AC时，BE最小．
在Rt△AEB中，
∵∠AEB＝90°，∠BAC＝45°，AB＝5，BE⊥AC，
∴ PB＝AB＝．
∴ OP＝PB﹣OB＝．
∴ P（﹣，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数，一次函数的图象和性质，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．
8．(1) y=;(2)m=1,n=3;(3) 函数存在最大值,当x=0是,y取得最大值2.(4)-1≤x≤2
【分析】
(1)待定系数法求解函数解析式
(2)分别将m,n代入函数解析式,求出对应的横纵坐标即可求解
(3)观察图像即可,答案不唯一
(4)观察图像选择曲线在上方的区域即可.
【详解】
解(1)将(0,2),(1,1)代入解析式得
解得:
∴函数的解析式为y=
(2) ①令x=-1,
则y=1,
∴m=1
令y=,则x=±3,
∵2＜n＜4,
∴n=3
②
(3)函数存在最大值,当x=0是,y取得最大值2.
(4)直接观察图象可知,

当|x﹣|≤时,-1≤x≤2
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数的解析式,函数的图象和性质,根据函数图象求解不等式等问题,综合性强,熟悉函数的图象和性质是解题关键.
9．A
解析：（1）①，②；（2）；（3）四边形OABC是矩形，证明见详解．
【分析】
（1）利用顶点P的横坐标求出b=-2,然后把b=-2和B点的坐标代入求出抛物线的解析式；
（2）先求出A点坐标，然后得出直线AB的解析式，设M点坐标为（x，x2-2x+3），根据S△ABM=3列出方程，并解方程，从而得出M点坐标，再根据S△ABM≥3求出M横坐标的范围即可；
（3）根据抛物线的图象可求出A、P、D的坐标，利用抛物线与直线相交求出B点坐标，然后求出平移后抛物线的解析式，然后求出C点坐标，然后求出BC的长度，从而得出四边形OABC是平行四边形，再根据∠AOC=90°得出四边形OABC是矩形.
【详解】
解：（1）①依题意, , 解得b=-2，
将b=-2及点B(3, 6)的坐标代入抛物线解析式，
得 ，
解c=3，
所以抛物线的解析式为，
②当，
解得，
当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，
∴；
（2）∵抛物线 与y轴交于点A，
∴ A(0, 3)，
∵ B(3, 6)，
可得直线AB的解析式为，
设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N, 则N(x, x+3). (如图)，

∴ ，
∴，
解得 ，
∴点M的坐标为(1, 2) 或 (2, 3)，
∵S△ABM≥3，
；
（3）结论是：四边形OABC是矩形，理由如下：
如图，由 PA=PO, OA=c, 可得，

∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴ ，
∴，
∴ 抛物线，
A（0，），P（，）, D（，0），
∴直线OP的解析式为，
∵ 点B是抛物线与直线的图象的交点，
令 ，
解得，
可得点B的坐标为（-b，），
由平移后的抛物线经过点A, 可设平移后的抛物线解析式为，
将点D(，0)的坐标代入，得，
∴ 平移后的抛物线解析式为，
令y=0, 即，
解得，
依题意, 点C的坐标为（-b，0），
∴ BC=，
∴ BC= OA，
又BC∥OA，
∴ 四边形OABC是平行四边形，
∵ ∠AOC=90°，
∴ 四边形OABC是矩形．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质，并与几何图形相结合的综合题，难度较高，解题的关键在于灵活运用二次函数的性质及待定系数法，并注重点的坐标与线段长的互相转化．
10．F
解析：（1），；（2）O1(,)或（，）；（3）满足条件的点F的坐标为F1(-2，3)，F2(3，-12)．
【分析】
（1）把A（1，0），B（-3，0）代入y=ax2+bx+3即可求解；
（2）先求出直线OO1的解析式为，再根据，求解即可或是根据得出x的值，再根据直线OO1的解析式为求解；
（3）先求出直线EF解析式为 ，再根据求解即可．
【详解】
解：（1）将点A（1, 0），B（-3, 0）代入抛物线解析式y=x2+bx+3
得：
解得：
∴抛物线解析式为
∴ ∴
（2）∵点C为与轴的交点∴C（0，3）
∵B(－3，0)∴OB＝OC ∴ ∠CBO=45°
∵将△COB沿直线 BC平移，得到△C1O1B1
∴直线OO1∥BC ∴ ∠O1OA=45°
∴直线OO1的解析式为
根据题意 得
整理得
解得
∴O1(, )或)（，）
解法2 ∵点C为与轴的交点∴C（0，3）∴OC=3
∵将△COB沿直线 BC平移，得到△C1O1B1 01C1=3
∴
整理得
解得
∵B(－3，0)∴OB＝OC ∴ ∠CBO=45°
∵将△COB沿直线 BC平移，得到△C1O1B1
∴直线OO1∥BC ∴ ∠O1OA=45°
∴直线OO1的解析式为y=x
∴O1(, )或（，）

(3)∵抛物线对称轴与x轴交于点E,则点E的坐标为E(-1,0),过点C作CF∥x轴
根据抛物线的对称性得F的坐标为F(-2,3)
∴AE=CF=2 ∵CF∥AE ∴四边形CFEA为平行四边形
∴EF∥CA
设直线EF的解析式为
得： 解得：
∴直线EF解析式为
根据题意 得
解得
满足条件的点F的坐标为F1(-2，3)，F2(3，-12)．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用转化的思想思考问题．
二、中考几何压轴题

11．（1），；（2）结论仍然成立，证明详见解析；（3）的长为或．
【分析】
（1）延长DE交CF的延长线于点N，由正方形的性质可得和均为等腰直角三角形，因此，易证，由相似三角形的性质即可得到，由三角形的
解析：（1），；（2）结论仍然成立，证明详见解析；（3）的长为或．
【分析】
（1）延长DE交CF的延长线于点N，由正方形的性质可得和均为等腰直角三角形，因此，易证，由相似三角形的性质即可得到，由三角形的内角和即可得到；
（2）延长交于点，由旋转的性质可知和均为等腰直角三角形，因此，易证，同（1）易证结论仍成立；
（3）由点E到直线AD的距离为2，，可知点F在直线AD或AB上，分两种情况讨论：（i）当点F在DA的延长线或BA延长线上时，由勾股定理可得的长，（ii）当点F在AD或AB上时，过点E作的高，由勾股定理可得的长．
【详解】
解：（1）如图①，延长DE交CF的延长线于点N，

∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴，
∵是直角三角形，
∴和均为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴；
又∵，，，
∴
故答案为：，
（2）结论仍然成立．
理由如下：如图②，延长交于点．

∵是正方形的对角线，且是由原题中图1的位置旋转得来，
∴，即和均为等腰直角三角形．
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴，．
∴．
又∵，，，
∴．
∴结论成立．
（3）的长为或．
理由如下：
∵点E到直线AD的距离为2，，
∴点F在直线AD或AB上
分两种情况讨论：
（i）如图③，当点F在DA的延长线上时，过点E作EG⊥AD交延长线于点G,

∵,
∴,
∴，
在中，由勾股定理得；
如图④，当点F在BA延长线上时，过点E作EK⊥AD交DA的延长线于点K，在等腰中，过点E作EH⊥AF于点H,

∵AH=EK=2=AF，
∴BF=AB+AF=12，
∴；
（ii）如图⑤，当点F在AD上时，过点E作EI⊥AD于点I，

∵AF=4，AD=8，
∴，
在中，由勾股定理得；
如图⑥，当点F在AB上时，过点E作EM⊥AD交AD于点M，在等腰中，过点E作EN⊥AF于点N，

∵AN=EM=2=AF，
∴，
∴，
综上所述，CF的长为或．
【点睛】
本题考查相似三角形和图形旋转的性质，属于综合题，需要分类讨论，熟练掌握等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识是解题关键．
12．（1）等腰直角三角形；（2）成立，见解析；（3）大于等于，小于等于．
【分析】
（1）先作出辅助线构造全等，进而证明FG与DE、AC均平行，再利用平行线间存在的角度关系推导出∠GFH为90°、∠FH
解析：（1）等腰直角三角形；（2）成立，见解析；（3）大于等于，小于等于．
【分析】
（1）先作出辅助线构造全等，进而证明FG与DE、AC均平行，再利用平行线间存在的角度关系推导出∠GFH为90°、∠FHG为45°，从而证明△GFH为等腰直角三角形；
（2）先作出辅助线构造相似，从而证明FH与GH之间的比例关系，再利用角度之间的关系即可证明；
（3）通过前两问证明得到△GFH的周长与CE长之间的关系，再通过观察E点运动轨迹，分别找到CE取得最大值和最小值的位置，解出CE长，进而即可求得△GFH周长的取值范围．
【详解】
解：（1）等腰直角三角形．

连接EG并延长交AC于K．
∵DE⊥BC，∠ACB=90°
∴DEAC
∴∠EDG=∠KCG
又∵G为CD中点
∴DG=CG

∴△DGE≌△CGK（ASA）
∴EG=GK
又∵F为AE中点，EF=AF
∴FGACDE
∴∠EFG=∠DEF
又∵F、H分别为AE、AC中点
∴FHEC
∴∠AFH=∠AEC，∠AHF=∠ACE=90°
而∠GFH=180°-（∠EFG+∠AFH）
∠EFG+∠AFH =∠DEF+∠AEC=90°
∴∠GFH=180°-90°=90°
又∵G、H分别为CD、AC中点
∴GHAD
∴∠GHC=∠DAC=45°
而∠FHG=180°-∠GHC-∠AHF=180°-45°-90°=45°
∴△FGH为等腰直角三角形．
（2）仍然成立，理由如下．
连接CE并延长交AB于点P，交AD的延长线于点O．

由图①可知，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴，
∵
∴
∵点F，G，H分别为AE，CD，AC的中点
∴，；，
∴，，
∴为等腰直角三角形．
（3）当△BDE绕点B在平面内自由旋转时，作出E点轨迹如图所示，为一个以B为圆心，BE长为半径的圆．

∵△GFH的周长为GF、FH和GH的和
且由（2）知△GFH恒为等腰直角三角形
∴
又∵F、H分别为AE、AC中点
∴FH=CE
当E在圆B上运动时
，
而CB=6，CE=2
∴，
∴，
∴周长的最大值为，最小值为
∴周长的取值范围是大于等于，小于等于．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形、三角形的中位线等相关知识点，题目综合性较强，难度较大，难点在于根据已知构造恰当的辅助线．
13．（1）相等，；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为.
【分析】
（1）根据＂点分别为的中点＂，可得MNBD，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出．
（2）先求出，得出，根据
解析：（1）相等，；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为.
【分析】
（1）根据＂点分别为的中点＂，可得MNBD，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出．
（2）先求出，得出，根据MNBD，NPCE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代换求出，即可求解．
（3）根据，可知BD最大值，继而求出面积的最大值．
【详解】
由题意知：AB=AC，AD=AE，且点分别为的中点，
∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC
∴MN=NP
又∵MNBD，NPCE，∠A=，AB=AC，
∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=
根据三角形外角和定理，
得∠ENP=∠NBP+∠NPB
∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB，
∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE，
∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C
=∠ABC+∠C =．
是等边三角形．
理由如下：
如图，由旋转可得
在ABD和ACE中

．
点分别为的中点，
是的中位线，
且
同理可证且

．
在中
∵∠MNP=，MN=PN
是等边三角形．
根据题意得:
即，从而
的面积．
∴面积的最大值为．
【点睛】
本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识