中考数学压轴题精编--浙江篇(试题及答案).doc

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇
x
y
O
B
C
A
1
1
P
Q
M
1．（浙江省杭州市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y＝x 2＋1，点C的坐标为（－4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点P（t，0）在x轴上．
（1）写出点M的坐标；
（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．
①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
②当梯形CMQP的两底的长度之比为1 : 2时，求t的值．

1．解：
（1）∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB＝OC＝4
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，∴A，B的横坐标分别是2和－2
x
y
O
B
C
A
1
1
P
Q
H
M
代入y＝x 2＋1，得A（2，2），B（－2，2）
∴M（0，2） 2分
（2）①过点Q作QH⊥x轴于H，连接CM
则QH＝y，PH＝x－t
由△PHQ∽△COM，得：＝，即t＝x－2y
∵Q（x，y）在抛物线y＝x 2＋1上
∴t＝－x 2＋x－2 4分
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t＝－4，解得x＝1±
当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x＝±2
∴x的取值范围是x≠1±且x≠±2的所有实数 6分
②分两种情况讨论：
ⅰ）当CM＞PQ时，则点P在线段OC上
∵CM∥PQ，CM＝2PQ，∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍
即2＝2(x 2＋1)，解得x＝0
∴t＝－×02＋0－2＝－2 8分
ⅱ）当CM＜PQ时，则点P在OC的延长线上
∵CM∥PQ，CM＝PQ，∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍
即x 2＋1＝2×2，解得：x＝± 10分
当x＝－时，得t＝－×(－)2－－2＝－8－
当x＝时，得t＝－×()2＋－2＝－8 12分

2．（浙江省台州市）如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝∠E＝30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．
（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF＝0°或60°时，AM＋CK_______MK（填“＞”，“＜”或“＝”）．
②如图4，当∠CDF＝30°时，AM＋CK_______MK（只填“＞”或“＜”）．
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM＋CK_______MK，证明你所得到的结论．
（3）如果MK 2＋CK 2＝AM 2，请直接写出∠CDF的度数和的值．
D
B
C
A
(F,K)
E
M
图2

D
B
C
A
F
E
M
K
图1

D
B
C
A
F
E
M
K
图4
D
B
C
A
F
E
K
图3
(M)

2．解：
（1）①＝ ②＞ 4分
（2）＞ 6分
证明：作点C关于FD的对称点G，连接GK、GM、GD
D
B
C
A
F
E
M
K
G
则GD＝CD，GK＝CK，∠GDK＝∠CDK
∵D是AB的中点，∴AD＝CD＝GD
∵∠A＝30°，∴∠CDA＝120°
∵∠EDF＝60°，∴∠GDM＋∠GDK＝60°
∠ADM＋∠CDK＝60°
∴∠ADM＝∠GDM． 9分
又∵DM＝DM，∴△ADM≌△GDM，∴GM＝AM
∵GM＋GK＞MK，∴AM＋CK＞MK． 10分
（3）∠CDF＝15°，＝． 12分

D
B
C
A
E
Q
H
P
3．（浙江省台州市）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

3．解：
（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴∠HQD＝∠C＝90°，HD＝HA
∴∠HDQ＝∠A． 3分
∴△DHQ∽△ABC． 4分
（2）①如图1，当0＜x ≤2.5时
ED＝10－4x，QH＝AQ·tan∠A＝x
D
B
C
A
E
Q
H
P
（图1）
此时y＝(10－4x)·x＝－x 2＋x 6分
当x ＝时，y最大＝ 7分
②如图2，当2.5＜x ≤5时
ED＝4x－10，QH＝AQ·tan∠A＝x
此时y＝(4x－10)·x＝x 2－x 9分
当x＝5时，y最大＝
D
B
C
A
E
Q
H
P
（图2）
（2.5＜x ≤5）
（0＜x ≤2.5）
∴y与x之间的函数解析式为y＝
y的最大值是． 10分
（3）①如图1，当0＜x ≤2.5时
若DE＝DH，∵DH＝AH＝＝x，DE＝10－4x
∴10－4x＝x，∴x＝
显然ED＝EH，HD＝HE不可能； 11分
②如图2，当2.5＜x ≤5时
若DE＝DH，则4x－10＝x，∴x＝； 12分
若HD＝HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x＝5； 13分
若ED＝EH，则△EDH∽△HDA
∴＝，即＝，∴x＝ 14分
∴当x的值为，，5，时，△HDE是等腰三角形．

4．（浙江省温州市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．
D
B
H
A
E
G
F
C
B1

（1）当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后
的图形为A′C′．
①当t＞时，连结C′C，设四边形ACC′A′ 的面积为S，
求S关于t的函数关系式；
②当线段A′C′ 与射线BB1有公共点时，求t的取值范围
（写出答案即可）．
4．解：
（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4
∴AB＝＝5 1分
∵AD＝5t，CE＝3t，∴当AD＝AB时，5t＝5
∴t＝1 2分
∴AE＝AC＋CE＝3＋3t＝6 3分
∴DE＝6－5＝1 4分
（2）∵EF＝BC＝4，G是EF中点，∴GE＝2
当AD＜AE（即t＜）时，DE＝AE－AD＝3＋3t－5t＝3－2t
若△DEG与△ACB相似，则＝或＝
∴＝或＝
∴t＝或t＝ 6分
当AD＞AE（即t＞）时，DE＝AD－AE＝5t－(3＋3t)＝2t－3
若△DEG与△ACB相似，则＝或＝
∴＝或＝
∴t＝或t＝ 8分
D
B
H
A
E
G
F
C
B1

C′

O
A′

综上所述，当t＝或或或时，△DEG与△ACB相似
（3）①由轴对称变换得AA′⊥DH，CC′⊥DH
∴AA′∥CC′
易知OC≠AH，故AA′≠CC′
∴四边形ACC′A′ 是梯形 9分
∵∠A＝∠A，∠AHD＝∠ACB＝90°
∴△AHD∽△ACB，＝＝
D
B
H
A
E
G
F
C
B1

(A′)
（图甲）
∴AH＝3t，DH＝4t
∵sin∠ADH＝sin∠CDO，∴＝
即＝，∴CO＝3t－
∴AA′＝2AH＝6t，CC′＝2CO＝6t－ 10分
∵OD＝CD·cos∠CDO＝(5t－3)×＝4t－
∴OH＝DH－OD＝ 11分
∴S＝( AA′＋CC′ )·OH＝(6t＋6t－)×＝t－ 12分
D
B
H
A
E
G
F
C
B1

（图乙）
C′

O
②≤t ≤ 14分
略解：当点A′ 落在射线BB1上时（如图甲），AA′＝AB＝5
∴6t＝5，∴t＝
当点C′ 落在射线BB1上时（如图乙），易得CC′∥AB
故四边形ACC′B是平行四边形
∴6t－＝5，∴t＝
故≤t ≤

5．（浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A，D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．
B
C
A
P
D
E

5．解：
（1）假设存在这样的点Q
B
C
A
P
D
E
Q
∵PE⊥PC，∴∠APE＋∠DPC＝90°
∵∠D＝90°，∴∠DPC＋∠DCP＝90°
∴∠APE＝∠DCP，又∵∠A＝∠D＝90°
∴△APE∽△DCP，∴＝，∴AP·DP＝AE·DC
同理可得AQ·DQ＝AE·DC
∴AQ·DQ＝AP·DP，即AQ·(3－AQ)＝AP·(3－AP)
∴AP 2－AQ 2＝3AP－3AQ，∴(AP＋AQ)(AP－AQ)＝3(AP－AQ)
∵AP≠AQ，∴AP＋AQ＝3 2分
∵AP≠AQ，∴AP≠，即P不能是AD的中点
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在
所以，当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件
此时AP＋AQ＝3 3分
（2）设AP＝x，AE＝y，由AP·DP＝AE·DC可得x(3－x)＝2y
∴y＝x(3－x)＝－x 2＋x＝－(x－)2＋
∴当x＝（在0＜x＜3范围内）时，y最大值＝
∴BE的取值范围为≤BE＜2 5分

6．（浙江省湖州市）如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．
B
C
A
F
O
D
E
x
y

6．解：
（1）由题意得A（0，2），B（2，2），C（3，0）
设所求抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx＋c
B
C
A
F
O
D
E
x
y
M
G
H
则 解得 3分
∴抛物线的解析式为y＝－x 2＋x＋2 4分
（2）设抛物线的顶点为G，则G（1，），过点G作GH⊥AB于H
则AH＝BH＝1，GH＝－2＝
∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA∥GH
∴GH是△BEA的中位线，∴EA＝2GH＝ 6分
过点B作BM⊥OC于M，则BM＝OA＝AB
∵∠EBF＝∠ABM＝90°，∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF
∴Rt△EBA≌Rt△FBM，∴FM＝EA＝
∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，∴CF＝FM＋CM＝ 8分
（3）设CF＝a，则FM＝a－1或1－a
∴BF 2＝FM 2＋BM 2＝(a－1)2＋2 2＝a 2－2a＋5
∵△EBA≌△FBM，∴BE＝BF
则S△BEF ＝BE·BF＝BF 2＝(a 2－2a＋5) 9分
又∵S△BFC ＝FC·BM＝×a×2＝a 10分
∴S ＝(a 2－2a＋5)－a＝a 2－2a＋
即S ＝(a－2)2＋ 11分
∴当a＝2（在0＜a＜3范围内）时，
S最小值 ＝ 12分

7．（浙江省衢州市、丽水市、舟山市）△ABC中，∠A＝∠B＝30°，AB＝．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
（1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；
（2）如果抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：
①当a＝，b＝－，c＝－时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
B
-1
A
O
x
C
-1
1
1
y
②设b＝－2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

7．解：
（1）∵点O是AB的中点，∴OB＝AB＝ 1分
设点B的横坐标是x（x＞0），则x 2＋()2＝()2 2分
B
-1
A
O
x
C
-1
1
1
y
（甲）
解得x1＝，x2＝－（舍去）
∴点B的横坐标是 4分
（2）①当a＝，b＝－，c＝－时，
得y＝x 2－x－
即y＝( x－)2－ 5分
以下分两种情况讨论
B
-1
A
O
x
C
-1
1
1
y
（乙）
情况1：设点C在第一象限（如图甲），则点C的横坐标为
OC＝OB·tan30°＝×＝1 6分
由此，可求得点C的坐标为（，） 7分
点A的坐标为（－，）
∵A，B两点关于原点对称，∴点B的坐标为（，－)
将x＝－代入y＝x 2－x－，得y＝，即等于点A的纵坐标；
将x＝代入y＝x 2－x－，得y＝－，即等于点B的纵坐标．
∴在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． 9分
情况2：设点C在第四象限（如图乙），则点C的坐标为（，－）
点A的坐标为（，），点B的坐标为（－，－）
∵当x＝时，y＝－；当x＝－时，y＝
∴A，B两点都不在这条抛物线上． 10分
（情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上）
②存在．m的值是1或－1． 12分
（y＝a(x－m)2 －am 2＋c，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以－1≤m≤1．
当m＝±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m＝±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上）

8．（浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．
（1）求∠DCB的度数；
（2）当点F的坐标为（－4，0）时，求点G的坐标；
（3）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF′ ，记直线EF′ 与射线DC的交点为H．
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标．
（备用图）
D
B
O
A
C
x
E
y
（图1）
D
B
O
A
G
F
C
x
l
E
y
（图2）
D
B
O
A
G
F
C
x
l
E
y
H
F′

8．解：
（1）在Rt△AOD中，∵tan∠DAO＝＝＝
∴∠DAB＝60° 2分
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠DCB＝∠DAB＝60° 3分
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD∥AB，∴∠DGE＝∠AFE
又∵∠DEG＝∠AEF，DE＝AE
∴△DEG≌△AEF， 4分
∴DG＝AF，∴AF＝OF－OA＝4－2＝2
∴点G的坐标为（2，） 6分
（3）①∵CD∥AB，∴∠DGE＝∠OFE
∵△OEF经轴对称变换后得到△OEF′
∴∠OFE＝∠OF′E，∴∠DGE＝∠OF′E 7分
在Rt△AOD中，∵E是AD的中点，∴OE＝AD＝AE
又∵∠EAO＝60°，∴∠EOA＝∠AEO＝60°
而∠EOF′＝∠EOA＝60°，∴∠EOF′＝∠AEO
∴AD∥OF′ 8分
∴∠OF′E＝∠DEH，∴∠DEH＝∠DGE
又∵∠HDE＝∠EDG
∴△DEG∽△DHE 9分
②点F的坐标为F1（－＋1，0），F2（－－5，0） 12分
解答如下（原题不作要求，仅供参考）：
过点E作EM⊥直线CD于M，∵CD∥AB，∴∠EDM＝∠DAB＝60°
D
B
O
A
G
F
C
x
l
E
y
H
F′

M
∴EM＝DE·sin60°＝2×＝
∵S△EHG ＝GH·EM＝GH·＝
∴GH＝6
∵△DEG∽△DHE，∴＝
∴DE 2＝DG·DH
当点H在点G的右侧时，设DG＝x，则DH＝x＋6
∴4＝x(x＋6)，解得x1＝－3＋，x2＝－3－（舍去）
∵△DEG≌△AEF，∴OF＝AO＋AF＝－3＋＋2＝－1
∴F1（－＋1，0）
当点H在点G的左侧时，设DG＝x，则DH＝x－6
∴4＝x(x－6)，解得x1＝3＋，x2＝3－（舍去）
∵△DEG≌△AEF，∴AF＝DG＝3＋
∴OF＝AO＋AF＝3＋＋2＝＋5
∴F2（－－5，0）
综上所述，点F的坐标有两个，分别是F1（－＋1，0），F2（－－5，0）

9．（浙江省金华市）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y＝－的图像上．小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M1在第二象限．
-3
-2
-1
M
O
P
Q
N
y
1
2
3
1
2
3
-1
-2
-3
x
（1）如图所示，若反比例函数解析式为y＝－，P点坐标为（1，0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点M1的坐标；
M1的坐标是____________

（2）请你通过改变P点坐标，对直线M1M的解析式y＝kx＋b进行探究可得k＝________，若点P的坐标为（m，0）时，则b＝________；
（3）依据（2）的规律，如果点P的坐标为（6，0），请你求出点M1和点M的坐标．

-3
-2
-1
M
O
P
Q
N
y
1
2
3
1
2
3
-1
-2
-3
x
Q1
M1
N1
9．解：
（1）如图；M1的坐标为（－1，2） 2分
（2）k＝－1，b＝m 6分（各2分）
（3）由（2）知，直线M1M的解析式为y＝－x＋6
则M（x，y）满足x(－x＋6)＝－2
解得x1＝3＋，x2＝3－
∴y1＝3－，y2＝3＋
∴M1，M的坐标分别为：
（3－，3＋），（3＋，3－）
10分

10．（浙江省金华市）如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（3，0）和（0，）．动点P从A点开始沿折线AO－OB－BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速
度分别为1，，2（长度单位/秒）．一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点．设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO－OB－BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）过A，B两点的直线解析式是___________________；
（2）当t＝4时，点P的坐标为____________；当t＝________，点P与点E重合；
（3）①作点P关于直线EF的对称点P′，在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？
B
O
A
P
x
l
E
y
F
②当t＝2时，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

10．解：
（1）y＝－x＋； 4分
（2）（0，），t＝； 8分（各2分）
O
A
P
x
y
G
P′

E
B
F
（图1）
（3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1）
∵OE＝FG，EP＝FP，∠EOP＝∠FGP＝90°
∴△EOP≌△FGP，∴OP＝PG
又∵OE＝FG＝t，∠A＝60°，∴AG＝＝t
而AP＝t，∴OP＝3－t，PG＝AP－AG＝t
由3－t＝t得 t＝ 9分
当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
当点P在线段BA上时，过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2）
O
A
P
x
y
P′

E
B
F
（图2）
H
∵OE＝t，∴BE＝－t，∴EF＝＝3－t
∴MP＝EH＝EF＝，又BP＝2(t－6)
在Rt△BMP中，BP·cos60°＝MP
即2(t－6)·＝，解得t＝ 10分
②存在．理由如下：
∵t＝2，∴OE＝，AP＝2，OP＝1
将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B′EC（如图3）
A
O
x
y
（图3）
P
E
F
Q′
Q
C1
D1
C
B′
B
∵OB⊥EF，∴点B′ 在直线EF上，
C点坐标为（，－1）
过F作FQ∥B′C，交EC于点Q，则△FEQ∽△B′EC
由＝＝＝，可得Q点坐标为（－，）
11分
根据对称性可得，Q点关于直线EF的对称点Q′（－，）也符合条件．
12分

11．（浙江省绍兴市）如图，设抛物线C1：y＝a(x＋1)2－5，C2：y＝－a(x－1)2＋5，C1与C2的交点为A，B，点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是－2．
（1）求a的值及点B的坐标；
（2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．记过C2顶点M的直线为l，且l与x轴交于点N．
①若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为（1，2），求点N的横坐标；
②若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围．
B
A
O
x
y
C1
C2
备用图2
B
A
O
x
y
C1
C2
备用图1
B
A
O
x
y
C1
C2

11．解：
（1）∵点A（2，4）在抛物线C1上，
∴把点A坐标代入y＝a(x＋1)2－5得a＝1
∴抛物线C1的解析式为y＝x 2＋2x－4 1分
设B（－2，b），则b＝－4
∴B（－2，－4） 2分

B
A
O
x
y
C1
C2
图1
G
E
M
D
H
N
l
（2）①如图1
∵M（1，5），D（1，2），且DH⊥x轴
∴点M在DH上，MH＝5
过点G作GE⊥DH，垂足为E
由△DHG是正三角形得EG＝，EH＝1
∴ME＝4
设N（x，0），则NH＝x－1
由△MEG∽△MHN，得＝
∴＝，∴x＝＋1
∴点N的横坐标为＋1 7分

②当点D移到与点A重合时，如图2
直线l与DG交于点G，此时点N的横坐标最大． 8分
过点G，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F，设N（x，0）
∵ A（2，4），∴G（2＋，2）
∴NQ＝x－2－，NF＝x－1，GQ＝2，MF＝5
∵△NGQ∽△NMF，∴＝
∴＝，∴x＝ 10分
当点D移到与点B重合时，如图3
直线l与DG交于点D，即点B，此时点N的横坐标最小． 11分
∵B（－2，－4），∴H（－2，0），D（－2，－4），设N（x，0）
∵△BHN∽△MFN，∴＝
∴＝，∴x＝－ 12分
又∵当点D与原点O重合时，△DHG不存在
B
A
O
x
y
C1
C2
图2
G
M
H
N
l
F
Q
(D)
B
A
O
x
y
C1
C2
图3
G
M
D
H
N
l
(D)
F
∴点N横坐标的取值范围为：－≤x ≤且x≠0． 14分

12．（浙江省嘉兴市）如图，已知抛物线y＝－x 2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．
（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
B
A
O
x
y
（备用）
B
A
O
x
y
P
F
Q
E
（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．

B
A
O
x
y
P
F
Q
E
D
C
（图1）
12．解：
（1）令y＝0，得－x 2＋x＋4＝0，即x 2－2x－8＝0
解得x1＝－2，x2＝4，∴A（4，0）
令x＝0，得y＝4，∴B（0，4）
设直线AB的解析式为y＝kx＋b
则 解得
∴直线AB的解析式为y＝－x＋4
5分
（2）当点P（x，x）在直线AB上时，x＝－x＋4，解得x＝2
当点Q（，）在直线AB上时，＝－＋4，解得x＝4
所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则2≤x≤4 9分
（3）当点E（x，）在直线AB上时，点F也在直线AB上
＝－x＋4，解得x＝
①当2≤x＜时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D，如图1
此时PC＝x－(－x＋4)＝2x－4
又PD＝PC，∴S△PCD ＝PC 2＝2(x－2)2
∴S ＝x 2－2(x－2)2＝－x 2＋8x－8＝－(x－)2＋
即S ＝－(x－)2＋ 10分
∵2＜＜，∴当x＝时，S最大＝ 11分
②当≤x≤4时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N，如图2
B
A
O
x
y
P
F
Q
E
N
M
（图2）
此时QN＝(－＋4)－＝－x＋4，又QM＝QN
∴S△QMN ＝QN 2＝(x－4)2
即S＝(x－4)2 12分
当x＝时，S最大＝ 13分
综合①②得：当x＝时，S最大＝
14分

13．（浙江省义乌市）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S＝36时点A1的坐标；
O
M
A
x
y
B
C
D
图1
O
M
x
y
D
图2
A1
O1
C1
B1
（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

13．解：
（1）对称轴：直线x＝1 1分
解析式：y＝x 2－x或y＝(x－1)2－ 2分
顶点坐标：M（1，－） 3分
（2）由题意得y2－y1＝3
即x 22－x2－x 12＋x1＝3 4分
整理得：(x2－x 1)[(x2＋x 1)－]＝3 ① 5分
∵S＝[2(x 1－1＋x 2－1)]·3＝3(x1＋x 2)－6
∴x1＋x 2＝＋2 ② 6分
把②代入①并整理得：x2－x 1＝（S＞0）（事实上，更确切为S＞）
7分
当S＝36时， 解得： （注：S＞0或S＞不写不扣分）
把x 1＝6代入抛物线解析式得y1＝3 ∴点A1（6，3） 8分
（3）存在 9分
解法一：易知直线AB的解析式为y＝x－
可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为（1，－）
O
M
A
x
y
B
C
D
E
G
Q
P
F
∴BD＝5，DE＝，DP＝5－t，DQ＝t
当PQ∥AB时，＝
∴＝，得t＝ 10分
下面分两种情况讨论：设直线PQ与直线AB、x轴
的交点分别为点F、G
①当0＜t＜时
∵△FQE∽△FAG，∴∠FGA＝∠FEQ
∴∠DPQ＝∠DEB，∴△DPQ∽△DEB，∴＝
∴＝，得t＝＞，∴t＝舍去 11分
②当＜t＜时
∵△FQE∽△FAG，∴∠FAG＝∠FQE
∵∠DQP＝∠FQE，∠FAG＝∠DBE
∴∠DQP＝∠DBE，∴△DPQ∽△DEB，∴＝
∴＝，得t＝
故当t＝秒时，使直线、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似 12分
（注：未求出t＝能得到正确答案不扣分）
解法二：可将y＝x 2－x向左平移一个单位得到y＝x 2－，再用解法一类似的方法可求得x2′－x 1′＝，点A1′（5，3），t＝
∴x2－x 1＝，点A1（6，3），t＝

14．（浙江省舟山市）（本题满分12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠BAD＝60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒．
（1）当点P在线段AO上运动时．
①请用含x的代数式表示OP的长度；
②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）显然，当x＝0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由．
O
E
A
C
Q
D
B
P

14．解：
（1）①由题意得∠BAO＝30°，AC⊥BD
∵AB＝2，∴OB＝OD＝1，OA＝OC＝
∴OP＝－x 2分
②如图1，过点E作EH⊥BD于H，则EH为△COD的中位线
∴EH＝OC＝，∵DQ＝x，∴BQ＝2－x
O
E
A
C
Q
D
B
H
图1
P
∴y＝S△BPQ ＋ S△BEQ ＝(2－x)(－x＋)
＝x 2－x＋ 5分
（2）能成为梯形，分三种情况：
ⅰ）如图2，当PQ∥BE时，∠PQO＝∠DBE＝30°
图2
O
E
A
C
Q
D
B
H
P
∴＝tan30°＝
即＝，∴x＝
此时PB不平行QE，∴x＝时，四边形PBEQ为梯形
7分
ⅱ）如图3，当PE∥BQ时，P为OC中点
∴AP＝，即x＝，x＝
此时，BQ＝2－x＝≠PE，∴x＝时，四边形PEQB为梯形 9分
ⅲ）如图4，当QE∥BP时，△QEH∽△BPO
∴＝，∴＝，∴x＝1（x＝0舍去）
此时，BQ不平行于PE，∴x＝1时，四边形PEQB为梯形 11分
综上所述，当x＝或或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形
12分
图4
O
E
A
C
Q
D
B
H
P
图3
O
E
A
C
Q
D
B
H
P

O
M
A
C
H
D
B
P
x
y
R
N
15．（浙江省东阳市）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，交DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t．
（1）C的坐标为________________；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）求△HCR的面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及相应的S的值．

15．解：
（1）C（4，1） 2分
O
M
A
C
H
D
B
P
x
y
N
(R1)
图1
R2
（2）∵P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），C（4，1）
∴P（2，2），D（3，4）
∵P为正方形ABCD的对称中心，∴∠AON＝45°
∵AB∥DC，∴∠ANO＝∠RMD
∴当∠RDM＝∠AON＝45°时，△ANO∽△RMD
此时点R与点P重合（如图1），∴R1（2，2），∴OR1＝
∴t1＝÷＝2（秒） 4分
当∠DRM＝∠AON＝45°时，△ANO∽△DMR
O
M
A
C
D
B
P
x
y
N
图2
H2
R2
R1
H1
此时DR∥AO，∴R2（3，3），∴OR2＝
∴t2＝÷＝3（秒）
故当t＝2秒或3秒时，△ANO与△DMR相似 6分
（3）∵OR＝t，OH＝t，∠ROH＝45°，∴RH＝t
∴S＝t·(4－t)＝－t 2＋2t（0＜t≤4） 7分
S＝t·(t－4)＝t 2－2t（t＞4） 8分
直线OM的解析式为y＝x ①
由 C（4，1），D（3，4）可得直线OM的解析式为y＝－3x＋13 ②
联立①②解得x＝，∴M（，）
同理可求得N（，），直线OM与直线AD的交点坐标为（，）
当CR∥AB时，t＝÷1＝（秒）
S＝－×()2＋2×＝ 9分
当AR∥BC时，t＝÷1＝（秒）
S＝×()2－2×＝ 10分
O
M
A
C
D
B
P
x
y
N
图3
R2
R3
(R1)
当BR∥AC时，△BNR∽△ANP
如图3，过N作NE⊥OB于E，则△NHB∽△AOB
∴＝，即＝，∴NB＝
∴AN＝，∴NB＝AN
∵P（2，2），N（，），∴PN＝
由△BNR∽△ANP得＝＝，∴RN＝PN＝
∴OR＝ON－RN＝－＝
∴t＝÷＝（秒） 11分
S＝－×()2＋2×＝ 12分

16．（浙江省东阳市调研测试卷）已知抛物线y＝－x 2＋bx＋c经过点A（0，4），且抛物线的对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线的顶点为B，在抛物线上是否存在点C，使得A、B、O、C四点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）试问在抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与对称轴相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出对称轴被⊙P所截得的弦EF的长度；若不存在，请说明理由．
A
B
y
x
O
备用图
A
B
y
x