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人教版八年级数学上册期末综合检测试题带答案
一、选择题
1、下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（       ）

A．赵爽弦图 B．科克曲线 C．笛卡尔心形线 D．斐波拉切螺旋线
2、科技不断发展，晶体管长度越造越短，长度只有0.000000006米的晶体管已经诞生，该数用科学记数法表示为（       ）米．
A． B． C． D．
3、下列计算中一定正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（ab）2＝ab2 D．（﹣a2）3＝﹣a6
4、函数中自变量x的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
5、下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（       ）
A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） B．a（m＋n）＝am＋an
C．（a＋b）2＝a2＋b2 D．x2﹣16＋6x＝（x＋4）（x﹣4）＋6x
6、下列代数式变形正确的是（       ）
A． B．
C． D．
7、如图，A、B、C、D在同一直线上，，AE=DF,添加一个条件，不能判定△AEC≌△DFB的是（     ）

A． B．EC=BF C．AB=CD D．∠E=∠F
8、若关于x的分式方程的根是正数，则实数m的取值范围是（       ）
A．，且 B．且，
C．，且 D．且，
9、如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠AFD的度数为（       ）

A．65° B．15° C．115° D．75°
二、填空题
10、如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案，已知其中小方形的面积为4，每个小长方形的面积为15，若用x，y分别表示小长方形的长与宽（其中xy），现给出以下关系式：①x﹣y＝3；②x＋y＝8；③x2﹣y2＝16；④x2＋y2＝34，其中正确的个数是（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11、若分式的值为0，则x的值为_________．
12、已知点和点关于x轴对称，则______．
13、若，则____．
14、已知，则＝_____．
15、AD为等腰△ABC底边BC上的高，且AD＝8，腰AB的垂直平分线EF交AC于F，M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 _____．

16、如果是完全平方式，则m的值是________．
17、已知x、y均为实数，且，，则______．
18、已知正△ABC的边长为1，点P，点Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位速度沿边AB向点B运动，点Q以每秒4个单位速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，当点Q停止运动时，点P也同时停止运动．在整个运动过程中，若以点A，B，C中的两点和点Q为顶点构成的三角形与△PAC全等，运动时间为t秒，则t的值为__．

三、解答题
19、（1）计算：（x+2y﹣2）（x﹣2y+2）；
（2）因式分解：﹣3x2+6xy﹣3y1、
20、解分式方程：.
21、如图，AE∥DF，AE=DF，其中点A、B、C、D在一条直线上．
（1）请给题目添上一组条件：__________________________，使得△ACE≌△DBF，并完成其证明过程；
（2）在（1）的条件下，若AD=14，BC=6，求线段BD的长．

22、问题引入：

(1)如图1，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝ （用表示）；如图2，∠COB＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝ （用表示）；
拓展研究：
(2)如图3，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝，求∠BOC的度数（用表示），并说明理由；
(3)BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝，∠BCO＝∠ECB，∠A＝，请猜想∠BOC＝ （直接写出答案）．
23、我们小学学分数时学过真分数和假分数，初中我们又学习了分式，现在我们来了解一下什么是“真分式”和“假分式”，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，称为“真分式”，如，；当分子的次数大于或等于分母的次数时，称为“假分式”，如：，．假分式也可以化为带分式的形式，即为整式与“真分式”的和的形式，如：，．
(1)分式是分式 　 　（填“真”或“假”）．
(2)请将分式化为带分式的形式，问当的值为整数时，求整数x的所有可能值．
24、阅读材料：1261 年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”．

这个三角形给出了（n 为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数 1、2、1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数 1、3、3、1，恰好对应展开式中各项的系数等．
从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数．

（1）根据材料规律，请直接写出的展开式；
（2）根据材料规律，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若，求的值；
（3）已知实数a、b、c，满足，且，求的值．
25、如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A（a，0）、B(0，b)两点．

(1)若＋b2－10b＋25＝0，判断△AOB的形状，并说明理由；
(2)如图②，在（1）的条件下，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，MN=7，求BN的长；
(3)如图③，若即点A不变，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请求其取值范围．
一、选择题
1、A
【解析】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.
2、D
【解析】D
【分析】根据科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定a、n的值即可．
【详解】解：由题意知：0.000000006=，
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．
3、D
【解析】D
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方和幂的乘方运算法则，合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】解：A．a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B．a2•a3＝a5，故此选项计算错误，不符合题意；
C．（ab）2＝ab2，故此选项计算错误，不符合题意；
D．（﹣a2）3＝﹣a6，计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方运算，合并同类项等，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
4、C
【解析】C
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．
【详解】解：根据题意得x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握函数解析式的特点是关键．
5、A
【解析】A
【分析】利用因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、等号左右两边式子不相等，故本选项不符合题意；
D、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
6、C
【解析】C
【分析】根据分式的基本性质，结合分式加法和分式除法的运算法则进行分析计算，从而作出判断．
【详解】解：A、原式=，故此选项不符合题意；
B、原式=，故此选项不符合题意；
C、原式=，故此选项符合题意；
D、原式=，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
7、B
【解析】B
【分析】根据题目条件可得AE＝DF，∠A＝∠D，再根据四个选项结合全等三角形的判定定理即可作出判断．
【详解】解：
A．∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵EC∥BF，
∴∠ACE＝∠DBF，
∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFB（AAS），
故此选项不合题意；
B．添加条件EC＝BF，不能证明△AEC≌△DFB，故此选项符合题意；
C．∵AB＝CD，
∴AC＝BD，
∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
故此选项不合题意；
D．∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AE＝DF，∠E＝∠F，
∴△AEC≌△DFB（ASA），
故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．
8、D
【解析】D
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：方程两边同乘2（x﹣2）得：
m=2（x-1）﹣4（x-2），
解得：x=．
∵≠2，
∴m≠2，
由题意得：＞0，
解得：m＜6，
∴实数m的取值范围是：m＜6且m≠1、
故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的解、一元一次不等式的解法，解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法．
9、A
【解析】A
【分析】将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，得∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，
【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，
∴∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，
∴∠AFD =∠ACD+∠D=35°+30°=65°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
二、填空题
10、C
【解析】C
【分析】根据几何意义可得，（x﹣y）2＝4，xy＝15，再根据整式间关系可判断每个结论的正误．
【详解】解：由题意得，（x﹣y）2＝4，xy＝15，
∴x﹣y＝＝2，故①不正确；
x+y＝＝＝＝8，故②正确；
x2﹣y2＝（x+y）•（x﹣y）＝2×8＝16，故③正确；
x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝4+2×15＝4+30＝34，故④正确；
故②③④正确，共3个
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，掌握完全平方公式是解题的关键．
11、-5
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【详解】解：分式的值为0，
∴
解得：x=-4、
故妫：-4、
【点睛】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．
12、A
【解析】1
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y），进而得出a，b的值即可．
【详解】解：∵点A（a，3）与点B（4，b）关于x轴对称，
∴a=4，b=-3，
则a+b=4-3=1．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆关于坐标轴对称的坐标性质是解题关键．
13、3
【分析】由a+b-3ab=0得a+b.
【详解】解：由a+b-3ab=0得a+b=3ab，
=3，
故答案为2、
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的混合运算法则是解题的关键.
14、
【分析】先根据幂的乘方求出，再根据同底数幂的除法的逆运算法则求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂除法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
15、8
【分析】根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对
【解析】8
【分析】根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴BM+DM最小值为8，
故答案为：7、
【点睛】本题考查最短路径问题，解题的关键是熟知线段垂直平分线的性质．
16、±12
【分析】利用完全平方公式化简即可求出m的值．
【详解】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴m=±2×2×3=±12，
故答案为：±12
【点睛】本题考查完全平方式，解题的关键是熟练运用完
【解析】±12
【分析】利用完全平方公式化简即可求出m的值．
【详解】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴m=±2×2×3=±12，
故答案为：±12
【点睛】本题考查完全平方式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
17、7
【分析】根据可得出，再展开，将代入，即可求出的值．
【详解】解：∵
∴，
∴，
将代入上式，得：
∴．
故答案为：6、
【点睛】本题考查完全平方公式和代数式求值．利用整体代入的思想是解题的关键．
【解析】7
【分析】根据可得出，再展开，将代入，即可求出的值．
【详解】解：∵
∴，
∴，
将代入上式，得：
∴．
故答案为：6、
【点睛】本题考查完全平方公式和代数式求值．利用整体代入的思想是解题的关键．
18、或或或或
【分析】分三种情形：当点Q在AC上时，当点Q在BC上时，有两种情形，CQ＝AP或BQ＝PA满足条件，当点Q在BA上时，Q与P重合或AP＝QB满足条件，分别构建方程求解即可．
【详解】解：当
【解析】或或或或
【分析】分三种情形：当点Q在AC上时，当点Q在BC上时，有两种情形，CQ＝AP或BQ＝PA满足条件，当点Q在BA上时，Q与P重合或AP＝QB满足条件，分别构建方程求解即可．
【详解】解：当点Q在AC上时，CQ＝PA时，△BCQ≌△CAP，AP=t，AQ=4t，CQ=1-4t；
此时t＝1﹣4t，解得t＝．
当点Q在BC上时，有两种情形，CQ＝AP时，△ACQ≌△CAP，AP=t， CQ=4t -1， BQ=2-4t；
∴4t﹣1＝t，解得 t＝；
BQ＝PA时，△ABQ≌△CAP，
∴2﹣4t＝t，
解得t＝，
当点Q在BA上时，有两种情形，Q与P重合，△ACQ≌△ACP，AP=t，AQ=3-4t，BQ=4t -2；
∴t＝3-4t，解得t＝；
AP＝QB时，△ACP≌△BCQ，
t＝4t﹣2，
解得t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或或或或，
故答案为：或或或或．

【点睛】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题
19、（1）；（2）
【分析】（1）根据整体思想把（2y-2）看作整体，然后再利用乘法公式进行求解；
（2）先提取公因式-3，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：（1）原式=
=
=；
【解析】（1）；（2）
【分析】（1）根据整体思想把（2y-2）看作整体，然后再利用乘法公式进行求解；
（2）先提取公因式-3，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：（1）原式=
=
=；
（2）原式=．
【点睛】本题主要考查乘法公式及因式分解，熟练掌握乘法公式及因式分解是解题的关键．
20、原方程无解.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可得到分式方程的解．
【详解】将分式两边同时乘以可得：，
可化为： ，即
经检验使公分母，
是原分式方程的增根
【解析】原方程无解.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可得到分式方程的解．
【详解】将分式两边同时乘以可得：，
可化为： ，即
经检验使公分母，
是原分式方程的增根舍去，
原方程无解.
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21、（1）∠E=∠F，证明见解析；（2）10
【分析】（1）添加∠E=∠F，根据“角边角”即可证明△ACE≌△DBF；
（2）根据全等三角形的性质可得，即可得出，求解即可．
【详解】解：（1）添加∠E=
【解析】（1）∠E=∠F，证明见解析；（2）10
【分析】（1）添加∠E=∠F，根据“角边角”即可证明△ACE≌△DBF；
（2）根据全等三角形的性质可得，即可得出，求解即可．
【详解】解：（1）添加∠E=∠F；
证明：∵AE∥DF ，
∴∠A=∠D，
在△ACE和△DBF中，
∴△ACE≌△DBF（ASA）
（2）∵△ACE≌△DBF
∴AC=DB，
∴AC-BC=DB-BC，即 AB=DC=（AD-BC）=（14-6）=4，
∴BD=BC+CD=6+4=9、
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
22、(1)，
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）如图1，根据角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得
【解析】(1)，
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）如图1，根据角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=90°+α；如图2，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°+α；
（2）如图3，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°﹣α；
（3）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=．
(1)
如图1，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=90°+α；
如图2，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=120°+∠A=120°+α；
(2)
如图3，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠DBC+∠ECB）=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+ABC）=180°﹣（∠A+180°）=120°﹣α；
(3)
在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠DBC+∠ECB）=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°﹣（∠A+180°）
=．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，解题关键在于掌握内角和定理，以及几何图形中角度的计算．
23、(1)假
(2)2x+1-，1，0
【分析】（1）根据真分式和假分式的定义判断即可．
（2）先化为带分式，再求值．
（1）
∵分子次数高于分母次数，
∴该分式是“假分式”．
故答案为：假．
（2）
【解析】(1)假
(2)2x+1-，1，0
【分析】（1）根据真分式和假分式的定义判断即可．
（2）先化为带分式，再求值．
（1）
∵分子次数高于分母次数，
∴该分式是“假分式”．
故答案为：假．
（2）
原式＝＝2x+1-．
∵原分式的值是整数，
∴2x-1是2因数，
∴2x-1＝±1，±2，
∵x是整数，
∴x＝1，0．
【点睛】本题考查用新定义解题，理解新定义是求解本题的关键．
24、（1）；
（2），=1或9；
（3）或
【分析】（1）依据规律进行计算即可；
（2）分子分母同时除以可化为，得出，从而求得，即可求得，代入即可求解；
（3）将式子通过完全平方式变形为，设，，，通过与
【解析】（1）；
（2），=1或9；
（3）或
【分析】（1）依据规律进行计算即可；
（2）分子分母同时除以可化为，得出，从而求得，即可求得，代入即可求解；
（3）将式子通过完全平方式变形为，设，，，通过与的关系联立阅读材料可求得的值．
【详解】解：（1）；
（2）

∵
∴，即，可得，
∵，可得
当时，=
当时，=
（3）∵
整理得到
∵
设，，，
则 ，解得
∴

∴
∴当时，；
当时，；
∴或
【点睛】本题考查了乘法公式的运用；解题的关键是根据题目式子的形式进行恰当变形，从而求解，注意平方根的个数．
25、(1)△AOB为等腰直角三角形；理由见解析
(2)BN=3
(3)PB的长为定值；
【分析】（1）根据题意求出a、b的值，即可得出A与B坐标，根据OA＝OB，即可确定△AOB的形状；
（2）由OA＝
【解析】(1)△AOB为等腰直角三角形；理由见解析
(2)BN=3
(3)PB的长为定值；
【分析】（1）根据题意求出a、b的值，即可得出A与B坐标，根据OA＝OB，即可确定△AOB的形状；
（2）由OA＝OB，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用对应线段相等求长度；
（3）如图，作EK⊥y轴于K点，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形对应边相等得到OA＝BK，EK＝OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长．
(1)
解：结论：△OAB是等腰直角三角形；理由如下：
∵＋b2－10b＋25＝0，即，
∴，解得：，
∴A（−5，0），B（0，5），
∴OA＝OB＝5，
∴△AOB是等腰直角三角形．
(2)
解：∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴，
，
∴，
∴，
∵在△AMO与△ONB中，
∴△AMO≌△ONB（AAS），
∴AM＝ON＝4，BN＝OM，
∵MN＝7，
∴OM＝3，
∴BN＝OM＝2、
(3)
解：结论：PB的长为定值．理由如下，
作EK⊥y轴于K点，如图所示：

∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠EBK＋∠ABO＝90°，
∵∠EBK＋∠BEK＝90°，
∴∠ABO＝∠BEK，
∵在△AOB和△BKE中，
∴△AOB≌△BKE（AAS），
∴OA＝BK，EK＝OB，
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴OB＝BF，
∴EK＝BF，
∵在△EKP和△FBP中，
∴△PBF≌△PKE（AAS），
∴PK＝PB，
∴PB＝BK＝OA＝．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查非负数的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．