2009年全国高考理科数学试题及答案-全国1卷1.doc

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2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）
一、选择题
(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合（AB）中的元素共有
（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个
（2）已知=2+I,则复数z=
（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i
(3) 不等式＜1的解集为
（A）｛x (B)
（C） (D)
(4)设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于
（A） （B）2 （C） （D）
(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种
（6）设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为
（A）（B） （C） (D)
（7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为
（A）（B） （C） (D)
（8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为
（A） （B） （C） (D)
(9) 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为
(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
（10）已知二面角α-l-β为600 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为
(A) (B)2 (C) (D)4
（11）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则
(A) 是偶函数 (B) 是奇函数
(C) (D) 是奇函数
（12）已知椭圆C: 的又焦点为F，右准线为L，点,线段AF 交C与点B。若,则=
(A) (B)2 (C) (D)3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
（注意：在试题卷上作答无效）
(13) 的展开式中，的系数与的系数之和等于 .
(14)设等差数列的前n项和为.若=72,则= .
(15)直三棱柱-各顶点都在同一球面上.若∠=，则此球的表面积等于 .
(16)若,则函数的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c ，已知，且，求b.

18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2.点M在侧棱SC上，∠ABM=60.(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S—AM—B的大小。

(19)(本小题满分12分)
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。
（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（2）设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望。

（20）（本小题满分12分）
在数列中， .
设，求数列的通项公式；
求数列的前项和.

21．（本小题满分12分）
如图，已知抛物线与圆相交于四个点。
（I）求的取值范围：
(II)当四边形的面积最大时，求对角线
的交点的坐标。

22．（本小题满分12分）
设函数有两个极值点
（Ⅰ）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）和区域；
(Ⅱ)证明：

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案
一、选择题
(1)解：，故选A。
（2）解： 故选B。
(3) 解：验x=-1即可。
(4) 解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又
解得: .
(5) 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法
(2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D
（6）解: 是单位向量
故选D.
（7）解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D
（8）解: 函数的图像关于点中心对称
由此易得.故选A
(9) 解:设切点，则,又
.故答案选B
（10）解:如图分别作
，连
，
又
当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。
（11）解: 与都是奇函数，，
函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D
12.解:过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A
二、填空题：
13.解:
14.解: 是等差数列,由,得
.
15.解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.
16.解:令,

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17（本小题满分10分）
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
解法二:
由余弦定理得:
.
又 ,。
所以 …………………………………①
又 ，

，
即
由正弦定理得，
故 ………………………②
由①，②解得。
18． 解法一：
（I）作∥交于点E，则∥，平面SAD，连接AE，则四边形ABME为直角梯形
作，垂足为F，则AFME为矩形
设，则，

由
解得，即，从而，所以为侧棱的中点
（Ⅱ），又,所以为等边三角形，
又由（Ⅰ）知M为SC中点
，故
取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则,由此知为二面角的平面角
连接，在中，

所以
二面角的大小为
解法二:
以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz
设，则
（Ⅰ）设,则

又
故
即
解得，即
所以M为侧棱SC的中点
（II）由，得AM的中点
又

所以
因此等于二面角的平面角

所以二面角的大小为
19．解：记表示事件：第i局甲获胜，i=3,4,5
表示事件：第j局乙获胜，j=3,4
（Ⅰ）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

由于各局比赛结果相互独立，故

=
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6
=0.648
（II）的可能取值为2，3
由于各局比赛结果相互独立，所以

=
=
=0.6×0.6+0.4×0.4
=0.52
=1.0.52=0.48
的分布列为

2
3
P
0.52
0.48

=2×0.52+3×0.48
=2.48
20． 解：（I）由已知得，且
即
从而

……

于是
=
又
故所求的通项公式
（II）由（I）知,
=
而,又是一个典型的错位相减法模型，
易得 =
21．（I）将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得

我爱爸爸，也爱妈妈。．．．．．．．．．．．．．（＊）

一本书 一顿饭 一片田 一块田 一口牙抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.

高兴 高高兴兴 许多 许许多多由此得
解得
又 所以
考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．
（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点。
设与的四个交点的坐标分别为：
、、、。
则直线的方程分别为

解得点P的坐标为
设，由及（I）知

一（ 间）书房 一（群）羊 一（个）人 一（头 ）牛由于四边形为等腰梯形，因而其面积

（北京）是我国的（首都）。 （五星红旗）是我国的（国旗）。
则
将代入上式，并令，得

原和园 园和圆 进和近 话和画 阳和洋 称和秤求导数
令，解得（舍去）
当时，；时，；时，
故当且仅当时，有最大值，即四边形的面积最大，故所求的点P的坐标为
22.解（I）

例一、寸 过 （过去 ）；巴 口 吧 （ 来吧 ）。依题意知，方程有两个根，等价于

尖尖的铅笔 闪闪的星星 蓝蓝的天空

zh?ng( 长高 ) lè （快乐） zhī（一只） kòng（有空）由此得b、c满足的约束条件为

八、“从”在句子中的使用满足这些条件的点的区域为图中阴影部分，
(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。
解：由题设知，故
于是
由于，而由（Ⅰ）知，故

又由（Ⅰ）知
所以
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