图形学教案曲线和曲面市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

第四章第四章 曲线和曲面曲线和曲面 第一节第一节 曲线和曲面表示基础知识曲线和曲面表示基础知识第二节第二节 Hermite Hermite多项式多项式 第三节第三节 Coons Coons曲面曲面 第四节第四节 Bezier Bezier曲线和曲面曲线和曲面 第五节第五节 B B样条曲线和曲面样条曲线和曲面 第1页第1页第一节第一节 曲线和曲面表示基础知曲线和曲面表示基础知识识 曲线和曲面参数表示曲线和曲面参数表示（1 1）与坐标轴相关，不便于进行坐标变换；）与坐标轴相关，不便于进行坐标变换；（2 2）会出现斜率为无穷大情况；）会出现斜率为无穷大情况；（3 3）难以灵活地结构复杂曲线、曲面）难以灵活地结构复杂曲线、曲面（4 4）非参数显示方程只能描述平面曲线，空）非参数显示方程只能描述平面曲线，空间曲线必须定义为两张柱面交线。间曲线必须定义为两张柱面交线。（5 5）假如我们使用非参数化函数，在某个）假如我们使用非参数化函数，在某个xoyxoy坐标系里一条曲线，一些坐标系里一条曲线，一些x x值相应多个值相应多个y y值，值，而一些而一些y y值相应多个值相应多个x x值。值。第2页第2页 在在空空间间曲曲线线参参数数表表示示中中，曲曲线线上上每每一一点点坐坐标标均均要要表表示示成成某某个个参参数数t t一一个个函函数数式式，则则曲曲线线上上每每一一点点笛笛卡卡尔尔坐标参数式是：坐标参数式是：，把把三三个个方方程程合合写写到到一一起起，曲曲线线上上一点坐标矢量表示是：一点坐标矢量表示是：第3页第3页关于参数关于参数t t切矢量或导函数是：切矢量或导函数是：曲曲面面写写为为参参数数方方程程形形式式为为:曲线或曲面某一部分，能够简曲线或曲面某一部分，能够简朴地用朴地用a at tb b界定它范围界定它范围 第4页第4页直线段直线段 端点坐标分别是端点坐标分别是 P P1 1 x x1 1,y y1 1,P,P2 2 x x2 2,y y2 2，直线段参数表示式是：直线段参数表示式是：P(P(t t)=)=P P1 1+(+(P P2 2-P P1 1)t t=(1-=(1-t t)P)P1 1+t tP P2 2 0 0t t11；参数表示相应参数表示相应x,yx,y坐标分量是：坐标分量是：x x(t t)=)=x x1 1+(+(x x2 2-x x1 1)t t y y(t t)=)=y y1 1+(+(y y2 2-y y1 1)t t 0 0t t1 1 第5页第5页参数方程含有下列长处。参数方程含有下列长处。(1)(1)对对参参数数表表示示曲曲线线、曲曲面面可可对对其其参参数数方方程程直直接接进行几何变换（如平移、百分比、旋转）。进行几何变换（如平移、百分比、旋转）。(2)(2)便于处理斜率为无限大问题。便于处理斜率为无限大问题。(3)(3)有有更更大大自自由由度度来来控控制制曲曲线线、曲曲面面形形状状。含含有有很强描述能力和丰富表示能力。很强描述能力和丰富表示能力。(4)(4)参参数数方方程程中中，代代数数、几几何何相相关关和和无无关关变变量量是是完完全全分分离离，并并且且对对变变量量个个数数不不限限，从从而而便便于于用用户户把把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。第6页第6页(5)(5)规格化参数变量规格化参数变量t t0,1,0,1,使其相应几何使其相应几何分量是有界，而不必用另外参数去定义其边界。分量是有界，而不必用另外参数去定义其边界。便于曲线和曲面分段、分片描述。易于实现光便于曲线和曲面分段、分片描述。易于实现光顺连接。顺连接。(6)(6)易于用矢量和矩阵表示几何分量，计算处易于用矢量和矩阵表示几何分量，计算处理简便易行。理简便易行。曲线和曲面能够分为两类。一类要求通过事曲线和曲面能够分为两类。一类要求通过事先给定离散点，称为是先给定离散点，称为是插值曲线或曲面插值曲线或曲面。另一。另一类不要求通过事先给定各离散点，而只是用给类不要求通过事先给定各离散点，而只是用给定各离散点形成控制多边形来控制形状，称为定各离散点形成控制多边形来控制形状，称为是是迫近曲线或曲面迫近曲线或曲面。基本概念基本概念第7页第7页插值插值 要求结构一条曲线顺序通过型值点，称要求结构一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插值（为对这些型值点进行插值（interpolationinterpolation）。）。迫近迫近 结构一条曲线，使它在某种意义上最佳结构一条曲线，使它在某种意义上最佳迫近这些型值点，称之为对这些型值点进行迫迫近这些型值点，称之为对这些型值点进行迫近（近（approximationapproximation）。）。第8页第8页参数连续性 一函数在某一点x0处含有相等直到k阶左右导数，称它在x0处是k次连续可微，或称它在x0处是k阶连续，记作Ck。几何上C0、C1、C2依次表示该函数图形、切线方向、曲率是连续。几何连续性 两曲线段对应弧长参数化在公共连接点处含有Ck连续性，则称它们在该点处含有k阶几何连续性，记作Gk。零阶几何连续G0与零阶参数连续C0是一致。一阶几何连续G1指一阶导数在两个相邻曲线段交点处成百分比，即方向相同，大小不同。二阶几何连续G2指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成百分比。第9页第9页光顺光顺 光顺（光顺（smoothnesssmoothness）是指曲线拐点不能太多，）是指曲线拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺条件应当要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺条件应当是：（是：（1 1）含有二阶几何连续（）含有二阶几何连续（G G2 2）；（）；（2 2）不）不存在多出拐点和奇异点；（存在多出拐点和奇异点；（3 3）曲率改变较小。）曲率改变较小。第10页第10页第11页第11页第12页第12页拉格朗日n阶多项式：令P0(x0,y0),Pn(xn,yn)表示n+1个数据点，t0,t1,t2为任意数字，其拉格朗日n阶多项式下列：对任意j i,有Li(xi)=1且Lj(xj)=0第13页第13页拉格朗日插值：令P0(x0,y0),Pn(xn,yn)表示n+1个数据点，希望找出通过这些点曲线。这里：Li(xi)是拉格朗日多项式，L(x)是插值各数据点第n阶拉格朗日多项式第14页第14页第二节第二节 Hermite Hermite多项式多项式 已知函数已知函数f f(t t)在在k k+1+1个点个点 t ti i 处函数值和导处函数值和导数值数值 f f(j j)(t ti i)，i i=0,1,=0,1,k k，j j=0,1,=0,1,m mi i-1-1，要求拟定一个，要求拟定一个N=N=m m0 0+m m1 1+m mk k-1-1次次多项式多项式P(P(t t)，满足下面插值条件：，满足下面插值条件：第15页第15页 考察考察k=k=1 1，m m0 0=m m1 1=2=2情形。情形。已已知知表表示示一一条条曲曲线线某某个个函函数数f f(t t)在在两两点点t t0 0，t t1 1函函数数值值f f(t t0 0),),f f(t t1 1)和和一一阶阶导导数数值值ff(t t0 0),),ff(t t1 1)，求求三三次次多多项项式式P(P(t t):):第16页第16页第17页第17页第18页第18页第19页第19页把把a a0 0，a a1 1，a a2 2和和a a3 3代入则有：代入则有：第20页第20页 经经整整理理，所所求求多多项项式式P P 0 0(t t)能够写出下列：能够写出下列：式中选取两个式中选取两个端点端点及其及其及其及其切切向量向量作为曲线结构条件作为曲线结构条件 混合函数混合函数下列：下列：第21页第21页第22页第22页 设表示一条曲线某个函数设表示一条曲线某个函数f f(t t)在在四点四点t t0 0，t t1 1，t t2 2，t t3 3函数值函数值f f(t t0 0),),f f(t t1 1),),f f(t t2 2),),f f(t t3 3)，依据，依据LagrangeLagrange插值法，插值法，则三次多项式则三次多项式P(P(t t)可表示为：可表示为：选择四个不同点作为结构曲线条件 第23页第23页混合函数混合函数下列：下列：第24页第24页经验证可知：经验证可知：第25页第25页 为为了了使使P P0 0(t t)定定义义区区间间t t0 0t tt t1 1变变为为区间区间00u u11，能够做下列变换，能够做下列变换解出解出 ，代入混合函数，代入混合函数式中，得：式中，得：第26页第26页第27页第27页第28页第28页 将关于将关于u u混合函数代入，所求三次混合函数代入，所求三次多项式成为：多项式成为：第29页第29页令令第30页第30页得得第31页第31页第32页第32页 对对普普通通HermiteHermite插插值值问问题题，普普通通来来说说得得到到插插值值多多项项式式次次数数较较高高，应应用用起起来来不不以以便便。通通常常处处理理办办法法是是将将前前面面给给出出参参数数三三次次多多项项式式逐逐段段光光滑滑地地连连接接，如此来拟定普通情况下插值多项式。如此来拟定普通情况下插值多项式。将将前前面面t t0 0和和t t1 1视视为为t ti i和和t ti i+1+1，设设给给定定f f(t ti i)，f f(t ti i+1+1)，ff(t ti i)，ff(t ti i+1+1)，则则在在区区间间 t ti i，t ti i+1+1HermiteHermite三次插值多项式三次插值多项式P Pi i(t t)是：是：第33页第33页第34页第34页第35页第35页 为了完整地写出这个插值多项式，能够在为了完整地写出这个插值多项式，能够在区间区间 t ti i，t ti i+1+1 中引入下列一些基本函数：中引入下列一些基本函数：第36页第36页第37页第37页第38页第38页完整插值多项式可写为完整插值多项式可写为：上式区间上式区间t0，tn中有定义，且为分段中有定义，且为分段定义。在每个区间定义。在每个区间 ti，ti+1上，都恰有上，都恰有四项。满足插值条件四项。满足插值条件 第39页第39页 每段曲线段曲线P Pi i(t t)只在只在 t ti i，t ti i+1+1 中有定义：中有定义：第40页第40页自变量线性变换自变量线性变换 用逆变换用逆变换 代入，将所代入，将所得关于得关于u u多项式记为多项式记为 ，得，得 第41页第41页其中其中 =第42页第42页 设在平面上有两点设在平面上有两点P P0 0，P Pl l，它们位置向量分，它们位置向量分别为别为(1(1，1)1)，(4(4，2)2)，在，在P P0 0导数值即在该点切线导数值即在该点切线向量向量P P0 0=(1=(1，1)1)，在，在P Pl l处处PP1 1=(1=(1，-1)-1)第43页第43页第44页第44页第三节第三节 Coons Coons曲面曲面 第45页第45页第46页第46页uwuw表示了曲面片方程表示了曲面片方程0 0w w，1 1w w，u u0 0，u u1 1表示四条边界曲线表示四条边界曲线u u0 0u u表示在边界线表示在边界线u u0 0上点沿上点沿u u向一阶偏导向一阶偏导数向量，称边界线数向量，称边界线切向量切向量u u0 0w w表示边界线表示边界线u u0 0上点沿上点沿w w向一阶偏导数向一阶偏导数向量，称边界线向量，称边界线跨界切向量跨界切向量。uwuwuuuu ，uwuwuwuw，uwuwwwww分别表示曲面片分别表示曲面片uwuw关于关于u u和和w w二阶偏导数向量，于是二阶偏导数向量，于是u u0 0uuuu表示边表示边界线界线u u0 0上上二阶切向量二阶切向量，u u0 0wwww表示边界线表示边界线u u0 0上二阶上二阶跨界切向量跨界切向量。第47页第47页 uwuwuwuw为曲面片为曲面片P P在点在点(u u,w w)处处扭曲扭曲向量向量。尤其，用。尤其，用0000，0101，1010，1111分分别表示曲面片四个角点时，别表示曲面片四个角点时，0000uwuw，0101uwuw，1010uwuw，1111uwuw就分别表示在四个就分别表示在四个角点扭曲向量。角点扭曲向量。第48页第48页第49页第49页 结构含有指定边界曲线曲面片结构含有指定边界曲线曲面片 CoonsCoons给给出出一一个个解解法法是是：寻寻找找两两个个混混合合函函数数f f0 0(t t)和和f f1 1(t t)，它它们们是是连连续续，并并且且满满足足f f0 0(0)=1(0)=1，f f0 0(1)=0(1)=0，f f1 1(0)=0(0)=0，f f1 1(1)=1(1)=1，且且f f0 0(t t)+)+f f1 1(t t)=1)=1，00t t11。利利用用这这样样混混合合函函数数，通通过过四四条条边边界界结结构构曲曲面面片片，并并通通过过叠叠加加修修正正曲曲面片，产生满足用户需要曲面。面片，产生满足用户需要曲面。第50页第50页 若给定四条边界曲线若给定四条边界曲线u u0 0，u u1 1，0 0w w，1 1w w，且，且00u u11，00w w11 在在u u向进行线性插值，得到直纹面为：向进行线性插值，得到直纹面为：第51页第51页 在在w w向进行线性插值，得到向进行线性插值，得到直纹面为：直纹面为：若把这两张直纹面叠加可得若把这两张直纹面叠加可得到一张新曲面到一张新曲面P Ps s(u u,w w)：第52页第52页P Ps s(u u,w w)上任意一点，其位移矢量包括两个上任意一点，其位移矢量包括两个部分，一部分是由于部分，一部分是由于线性插值线性插值而产生位移，而产生位移，另一部分是由于另一部分是由于边界曲线边界曲线而产生位移。而产生位移。第53页第53页 为消除为消除P Ps s(u u,w w)中由于线性插值而产生中由于线性插值而产生位移，需要结构一个新曲面位移，需要结构一个新曲面P P3 3(u u,w w)第54页第54页 结构曲面结构曲面P P3 3(u u,w w)后，从后，从P Ps s(u u,w w)中清除中清除P P3 3(u u,w w)，即清除线性插值成，即清除线性插值成份，则得到份，则得到CoonsCoons结构曲面结构曲面 P(P(u u,w w)=)=P Ps s(u u,w w)-P)-P3 3(u u,w w)=P =P1 1(u u,w w)+)+P P2 2(u u,w w)-P)-P3 3(u u,w w)可写成下列形式：可写成下列形式：第55页第55页第56页第56页其中矩阵其中矩阵M M是：是：矩矩阵阵中中四四个个元元素素是是四四个个角角点点位位置置向向量量，可用已知四条边界曲线计算求出。可用已知四条边界曲线计算求出。u u0 0，u u1 1能够是关于能够是关于u u三次多项式，三次多项式，0 0w w，1 1w w能够是关于能够是关于w w三次多项式，混合函数也是不三次多项式，混合函数也是不超出三次关于超出三次关于u u或或w w三次多项式，这时公式三次多项式，这时公式关于关于u u看，或关于看，或关于w w看，都是三次多项式，看，都是三次多项式，是关于是关于u u或或w w双三次多项式双三次多项式第57页第57页第58页第58页 不难验证它们符合所提问题要不难验证它们符合所提问题要求，比如我们来验证求，比如我们来验证0 0w w是它一条是它一条边界线，这只要把边界线，这只要把u u=0=0代入公式代入公式右端，得右端，得 第59页第59页 曲面片以指定曲线为其边界曲面片以指定曲线为其边界曲线，且有指定跨界切向量曲线，且有指定跨界切向量。利用本章第二节定义四个混利用本章第二节定义四个混合函数合函数q q0000(t t),),q q0101(t t),),q q1010(t t),),q q1111(t t)。这四个函数均是三次多。这四个函数均是三次多项式项式，连续可微，并且还满足连续可微，并且还满足下面条件：下面条件：第60页第60页第61页第61页 设已经给定四条边界曲线设已经给定四条边界曲线u u0 0，u u1 1，0 0w w，1 1w w及沿这四条边界曲线跨及沿这四条边界曲线跨界切向量界切向量u u0 0w w，u u1 1w w，0 0w wu u，1 1w wu u。这时能够计算求得四个角点位这时能够计算求得四个角点位置向量置向量0000，0101，1010，1111，切向量，切向量0000w w，0101w w，1010w w，1111w w，0000u u，0101u u，1010u u，1111u u，以及扭曲向量，以及扭曲向量0000uwuw，0101uwuw，1010uwuw，1111uwuw，能够写出符合要求曲，能够写出符合要求曲面片数学表示式下列：面片数学表示式下列：第62页第62页第63页第63页 容易地验证所写出公式满足要求，容易地验证所写出公式满足要求，比如以比如以u u=0=0代入该式右端，得：代入该式右端，得：第64页第64页第65页第65页 曲面片沿边界线取给定各跨曲面片沿边界线取给定各跨界切向量，可先对该式关于某一界切向量，可先对该式关于某一变量求导，比如对变量求导，比如对u u求导，然后求导，然后再代入再代入u u=0=0，这时有，这时有 第66页第66页第67页第67页 指定指定四个角点四个角点以及在这些以及在这些点上点上切向量和扭曲向量切向量和扭曲向量后，求后，求解曲面表示式解曲面表示式。已知角点位置向量已知角点位置向量0000，1010以及在这两点关于以及在这两点关于u u切向量切向量0000u u和和0101u u，能够用，能够用HermiteHermite插值公插值公式来指定一条式来指定一条u u边界线：边界线：第68页第68页第69页第69页第70页第70页第71页第71页第72页第72页将上两式代入前式，就能够得到：将上两式代入前式，就能够得到：第73页第73页第74页第74页 给出四个角点以及在该角点上切向量和扭曲给出四个角点以及在该角点上切向量和扭曲向量来结构向量来结构CoonsCoons曲面表示式。设在平面上有四曲面表示式。设在平面上有四点点P P0 0，P Pl l，P P2 2，P P3 3，它们位置向量分别为，它们位置向量分别为(0(0，0 0，0)0)，(0(0，0.750.75，0)0)，(0.75(0.75，0 0，0)0)，(0.75(0.75，0.750.75，0)0)。该四点切向量、跨界切向量和扭曲。该四点切向量、跨界切向量和扭曲向量，定义在关于角点信息矩阵向量，定义在关于角点信息矩阵M M中：中：第75页第75页第76页第76页第77页第77页第78页第78页第四节第四节 Bezier Bezier曲线和曲面曲线和曲面Bezier曲线曲线 给出型值点给出型值点P0，P1，Pn，它们所拟，它们所拟定定n次次Bezier曲线是：曲线是：第79页第79页涉及到涉及到0!0!及及0 00 0，按商定均为，按商定均为1 1。在在n=1n=1时时,公式成为：公式成为：第80页第80页在在n=2n=2时，公式成为：时，公式成为：第81页第81页在在n=3n=3时，公式成为：时，公式成为：第82页第82页BezierBezier曲线一些主要性质曲线一些主要性质 P(0)=P0，P(1)=P1，曲线通过所给出型值点列起点和终点。第83页第83页BezierBezier曲线对称性曲线对称性 第84页第84页曲线凸包性曲线凸包性 对给定型值点对给定型值点P P0 0，P P1 1，P Pn n点集点集 第85页第85页分段三次分段三次BezierBezier曲线光滑连接曲线光滑连接 设给出两个设给出两个BezierBezier多边形多边形P P0 0P P1 1P P2 2P P3 3和和Q Q0 0Q Ql lQ Q2 2Q Q3 3，显然，使所决定两条，显然，使所决定两条BezierBezier曲曲线在连接点处连续条件是线在连接点处连续条件是P P3 3=Q=Q0 0。BezierBezier曲线在连接点处曲线在连接点处G G1 1连续，即一阶导连续，即一阶导数数几何几何连续，就要求连续，就要求QQ0 0=a aPP3 3，这里，这里a a应当是一个正数。由前面公式，知应当是一个正数。由前面公式，知QQ0 0=3=3(Q(Q1 1QQ0 0)，PP3 3=3(P=3(P3 3PP2 2)，因此可知使在，因此可知使在连接点处连接点处G G1 1连续条件是：连续条件是：第86页第86页由此得由此得 连接点处达到连接点处达到C C2 2连续，即二阶导数连续，即二阶导数参数参数连续连续条件条件 对前面公式求两次导数，可得，对前面公式求两次导数，可得，第87页第87页于是知，于是知，要要求求，即即 ，注意到Q Q0=P P3，由此得：第88页第88页 绘制绘制BezierBezier曲线时，能够利用其定义曲线时，能够利用其定义式，对参数式，对参数t t选取足够多值，计算曲线上选取足够多值，计算曲线上一些点，然后用折线连接来近似画出实际一些点，然后用折线连接来近似画出实际曲线。伴随选取点增多，折线和曲线能够曲线。伴随选取点增多，折线和曲线能够任意靠近。任意靠近。假设给定四个型值点是假设给定四个型值点是P P0 0=(1=(1，1)1)，P Pl l=(2(2，3)3)，P P2 2=(4=(4，3)3)，P P3 3=(3=(3，1)1)，则计，则计算结果见表算结果见表 第89页第89页t(1-t)33t(1-t)23t2(1-t)t3P(t)01000(1,1)0.150.6140.3250.05740.0034(1.5058,1.765)0.350.2750.4440.2390.043(2.248,2.376)0.50.1250.3750.3750.125(2.75,2.5)0.650.0430.2390.4440.275(3.122,2.36)0.850.00340.05740.3250.614(3.248,1.75)10001(3,1)第90页第90页第91页第91页绘制绘制BezierBezier曲线办法曲线办法几何作图法几何作图法分裂法分裂法记点记点P Pk k，P Pk+lk+l，P Pl l能够生成能够生成BezierBezier曲线为曲线为P Pk k,l l(t t)，00t t11，则，则成立下面递推关系：成立下面递推关系：第92页第92页证实上式，要用到组合等式：证实上式，要用到组合等式：第93页第93页第94页第94页第95页第95页void bez_to_points(int n,int npoints,double P,double points)/P为为控控制制点点坐坐标标 points为为采采用用几何作图算法生成几何作图算法生成Bezier曲线上离散点序列曲线上离散点序列离散点序列离散点序列points个数为个数为npoints 控制点控制点P个数为个数为n+1 double t,delt;delt=1.0/(double)npoints;/将参数将参数t npoints等分等分t=0.0;for(int i=0;i=npoints;i+)pointsi=decas(n,P,t);/分分 别别 求求 出出npoints+1个离散点个离散点points坐标坐标t+=delt;第96页第96页double decas(int n,double P,double t)int m,i;double*R,*Q,P0;R=new doublen+1;Q=new doublen+1;for(i=0;i0;m-)第97页第97页/n次次Bezier曲曲线线在在点点t值值，可可由由两两条条n-1次次Bezier曲线曲线/在点在点t值通过线性组合而求得。值通过线性组合而求得。Qi=R i+t*(R i+1-R i);for(i=0;i=m-1;i+)Ri=Q i;P0=R0;delete R;delete Q;return(P0);第98页第98页 设给出四点坐标是设给出四点坐标是(1，1)，(2，3)，(4，3)，(3，1)，求所拟定三次，求所拟定三次Bezier曲线在曲线在t=1/3时值时值P(1/3)，算法计算过程，算法计算过程 Bezier几何作图算法计算过程几何作图算法计算过程 第99页第99页 设控制点序列设控制点序列P P0 0，P P1 1，P Pn n拟定拟定n n次次BezierBezier曲线是曲线是P(P(t t)，用下列递归方，用下列递归方式计算另一组点集：式计算另一组点集：假如令假如令P Pa a(s s)和和P Pb b(s s)分别是以控分别是以控制点序列制点序列 和和 拟拟定定BezierBezier曲线，其中曲线，其中00s s11，那么，那么就有：就有：第100页第100页第101页第101页己知四点己知四点P P0 0，P P1 1，P P2 2，P P3 3，拟定了一，拟定了一条三次条三次BezierBezier曲线曲线P(P(t t)，可写出下式，可写出下式，第102页第102页 分裂法中递归计算分裂法中递归计算 第103页第103页分裂法示意图分裂法示意图 第104页第104页 可通过计算验证可通过计算验证BezierBezier曲线由前曲线由前后两段构成。现以后两段构成。现以P0系数为例，验系数为例，验证两端它系数是相等。证两端它系数是相等。左端显然就是左端显然就是 。先。先看右端。若看右端。若0t ，这时就用前半，这时就用前半段表示式，观测分裂计算图注意到段表示式，观测分裂计算图注意到 中有中有1份份P0，中有中有 份，份，中是中是 份，份，中是中是 份，因此份，因此所有所有P0系数是：系数是：第105页第105页 右端对右端对 t1，注意到仅，注意到仅 中有中有 份份P0，知，知P0系数是：系数是：第106页第106页 设设己己知知三三次次BezierBezier曲曲线线P(P(t t)控控制制顶顶点点是是P P0 0，P P1 1，P P2 2，P P3 3，在在P(P()处处将将曲曲线线分分为为两两段段，求求出出前前半半段段控控制制顶顶点点Q Q0 0，Q Ql l，Q Q2 2，Q Q3 3和和后后半半段段控控制制顶顶点点R R0 0，R R1 1，R R2 2，R R3 3，。有算法下列，。有算法下列void split_Bezier(Point P)Point R4,Q4;int i,j;for(i=0;i=3;i+)Ri=Pi;第107页第107页 for(i=0;i=2;i+)Qi=R0;for(j=0;j0，能够取，能够取max(d(P1，P0P3)，d(P2，P0P3)为为分裂停止条件。分裂停止条件。void new_split_Bezier(Point P)Point R4,Q4;int i,j;const double epsilon=0.01;if(maxdistance(P)epsilon)/*maxdistance(P)为求为求max(d(P1,P0P3)，d(P2,P0P3)函数函数*/第111页第111页 MoveTo(P0.x,P0.y);LineTo(P3.x,P3.y);elsefor(i=0;i=3;i+)Ri=Pi;for(i=0;i=2;i+)Qi=R0;for(j=0;j22时时N Ni i,1,1(0.5)=0(0.5)=0，因因此此知知N N2,22,2(0.5)=(0.5)=N N3,23,2(0.5)=0(0.5)=0。这这样样代代入入公公式计算式计算P(0.5)P(0.5)，有：，有：第130页第130页 再取再取u u其它一些值进行计算，结果如表所表其它一些值进行计算，结果如表所表示。示。u00.511.522.53N0,2(u)10.500000N1,2(u)00.510.5000N2,2(u)0000.510.50N3,2(u)000000.51P(u)P00.5(P0+P1)P10.5(P1+P2)P20.5(P2+P3)P3第131页第131页 选取选取n n=3=3，k k=4=4，平面上四个控制顶点，平面上四个控制顶点P P0 0，P P1 1，P P2 2，P P3 3坐标依次是坐标依次是(1(1，1)1)，(2(2，3),(43),(4，3)3)，(3(3，1)1)，这时应取参数节点，这时应取参数节点n n+k k+1=8+1=8个，设选取节点个，设选取节点向量为向量为(0(0，0 0，0 0，0 0，1 1，1 1，1 1，1)1)，画出所拟定，画出所拟定4 4阶阶B B样条曲线。样条曲线。计算计算N N1,41,4(0.5)(0.5)，其中，其中0.50.500，1=1=u u3 3，u u4 4 第132页第132页N N3,13,1(0.5)=1(0.5)=1，而对，而对i i33，N Ni i,1,1(0.5)=0(0.5)=0。第133页第133页用类似过程可计算求出：用类似过程可计算求出：曲线上相应参数曲线上相应参数u u=0.5=0.5点是：点是：第134页第134页 能够证实更普通结论，即，能够证实更普通结论，即，n n+1+1个控制点个控制点P P0 0，P P1 1，P Pn n所拟定最高阶所拟定最高阶B B样条曲线是样条曲线是k k=n n+1+1阶，这时由阶，这时由节点向量节点向量(0(0，0 0，0 0，1 1，1 1，1)1)所拟定所拟定B B样条曲线，与该样条曲线，与该n n+1+1个控个控制点所拟定制点所拟定BezierBezier曲线相同。曲线相同。在参数节点众多选取办法中，最多使用在参数节点众多选取办法中，最多使用是选择参数是选择参数u u每一每一区间为等长区间为等长情况，这时所得情况，这时所得到到B B样条函数称为是等距，或样条函数称为是等距，或均匀均匀。下列我们。下列我们转入讨论等距转入讨论等距B B样条曲线。考虑使用较多情况，样条曲线。考虑使用较多情况，可假定可假定u ui i=i i,i i=0=0，1 1，n n+k k，再引入再引入t tj j=u u-u ui i+j j，由于这能够使得，由于这能够使得 u ui i+j ju uu ui i+j j+1+1与与00t tj j11是一致。是一致。第135页第135页递归式，通过计算，能够写出：递归式，通过计算，能够写出：第136页第136页第137页第137页第138页第138页第139页第139页第140页第140页第141页第141页假如固定在假如固定在u ui i+3+3u uu ui i+4+4区间，能够写出：区间，能够写出：第142页第142页 上述结果对任意上述结果对任意i i成立，令成立，令i i=0=0，可写出，可写出四个四个B B样条函数：样条函数：第143页第143页 由节点向量由节点向量(0,1,2,3,4)(0,1,2,3,4)所拟所拟定均匀定均匀B B样条基函数样条基函数N Ni i,4,4(u u)曲线曲线（i i=0,1,2,3=0,1,2,3）。图所表示）。图所表示B B样条基样条基函数函数N Ni i,4,4(u u)由四条三次多项式曲线由四条三次多项式曲线片拼接而成。当节点在区间片拼接而成。当节点在区间 u ui i,u ui i+k k 上上B B样条曲线基函数样条曲线基函数N Ni i,k k(u u)不小于不小于0 0，而在其它区间上则为，而在其它区间上则为0 0，并且并且N Ni i,k k(u u)在节点（在节点（u ui i,u ui i+1+1,u ui i+k k）处是连续）处是连续 第144页第144页第145页第145页 设设给给出出n n+1+1个个控控制制点点P P0 0，P P1 1，P Pn n，则则所所拟拟定定4 4阶阶3 3次次等等距距B B样样条条曲线是：曲线是：第146页第146页第147页第147页曲线性质曲线性质 第148页第148页第149页第149页第150页第150页第151页第151页 P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3拟定一段曲线起点拟定一段曲线起点位置向量、切线向量及二阶导向量，事实上位置向量、切线向量及二阶导向量，事实上都都只与只与PPi iP Pi i+1+1P Pi i+2+2相关相关，而终点处各量只与，而终点处各量只与PPi i+1+1P Pi i+2+2P Pi i+3+3，相关。假如考虑接下去一段，相关。假如考虑接下去一段曲线，即曲线，即P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3，P Pi i+4+4拟定一段，在拟定一段，在其起点，上述各量就只与其起点，上述各量就只与P Pi i+1+1P Pi i+2+2P Pi i+3+3相关，相关，并正好是前一段曲线终点处上述各量，自然并正好是前一段曲线终点处上述各量，自然是相应相等。这就证实了是相应相等。这就证实了曲线在拚接处是连曲线在拚接处是连续，一阶和二阶导数也是连续续，一阶和二阶导数也是连续。因此知道。因此知道4 4阶阶3 3次等距次等距B B样条曲线：即使样条曲线：即使分段拟定，但各分段拟定，但各段拚接处有直到二阶导数连续性，整条曲线段拚接处有直到二阶导数连续性，整条曲线是光滑。是光滑。第152页第152页 4 4阶阶3 3次等距次等距B B样条曲线含有凸包性，这通过样条曲线含有凸包性，这通过验证验证00N Nj j,4,4(u u)1)1，00j j33及及 第153页第153页 用用B B样条曲线可结构样条曲线可结构直线段直线段、尖尖点、切线点、切线等特殊情况。对于等特殊情况。对于4 4阶阶3 3次次B B样条曲线样条曲线P(P(u u)若要在其中得到一条若要在其中得到一条直线段，只要直线段，只要控制点控制点P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3四点位于一条直线上四点位于一条直线上，此时，此时P(P(u u)相应相应u ui i+3+3u uu ui i+4+4曲线即为一段曲线即为一段直线，且和直线，且和P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3所在所在直线重叠。为了使直线重叠。为了使P(P(u u)能过能过P Pi i点，点，只要只要P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2三点重叠三点重叠，此时，此时P(P(u u)过过P Pi i点（尖点）。点（尖点）。第154页第154页第155页第155页B B样条曲面样条曲面 0 0u u11，00w w11，00k kKK，00l lLL每每一个曲面片一个曲面片Q Qklkl(u u，w w)由由1616个控制点拟定。个控制点拟定。第156页第156页第157页第157页第158页第158页思思 考考 题题P99页页1、15题题第159页第159页