浅谈高等数学在中学数学中的应用大学论文.doc

浅谈高等数学在中学数学中的应用

摘要

　 本文探讨了初等数学和高等数学在知识体系上的差别以及应用上的联系，同时也探讨了他们地位上的差别和各自的重要性。通过讨论可以得知，高等数学在很大程度上是初等数学的扩展。本文第三部分重点介绍了微积分，不等式，行列式，以及高等几何等在初等数学中的应用，探讨了应用高等数学的思想方法解决初等数学的有关问题。另外还探讨了高等数学在高考试题上体现的情况和如何解决相应的问题。
关键词 高等数学 中学数学 微积分 行列式

Abstract

This study of elementary mathematics and higher mathematics in knowledge on the difference between system and application links, also discussed their differences on the status and importance of each. Through discussion can see that higher mathematics is to a large extent is an extension of elementary mathematics. This article focuses on the second part of calculus, inequality, determinants, as well as the application of higher geometry in elementary mathematics, explored the application of higher mathematics thought method to solve problems of elementary mathematics. Discussion also reflected on the college entrance examination in higher mathematics and how to solve the problem
Key words advanced mathematics Mathematics calculus

I

目录

摘要 I
Abstract II
第一章 前言 1
1.1 研究背景 1
1.2 课题研究意义 1
1.3 文献综述 2
1.4 研究方法 2
1.5 创新之处 2
第二章 高等数学与初等数学的地位与联系 3
2.1 初等数学与高等数学的定位 3
2.2 高等数学与中学数学的联系 4
2.2.1 中学数学与大学数学的统一性 4
2.2.2 中学数学与大学数学的连贯性 4
2.3 高等数学对初等数学的拓展 5
2.3.1 代数方面 5
2.3.2 几何方面 6
第三章 高等数学在初等数学中的应用 8
3.1 高等代数在中学数学中的应用 8
3.2.1 行列式的应用 8
3.2.2 柯西—施瓦兹不等式应用 9
3.2 微积分方法在中学数学的应用 9
3.2.1 微积分方法在求函数的极值、最值中的应用 9
3.2.2 用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的 10
3.2.3 积分在空间立体体积与表面积中的应用 12
3.2.4 积分在求曲线弧长中的应用 13
3.3 高等几何在初等几何的应用 14
3.3.1 仿射变换的应用 14
3.3.2 射影几何观点在初等几何中的应用 14
3.3.2.1 仿射变换的应用 15
3.3.2.2 笛沙格定理的应用 16
3.3.2.3 点列中四点的交比 16
3.3.2.4 线束中四条直线的交比的应用 18
第四章 高考试题中的微积分在解题中的应用 20
4.1 拉格朗日中值定理 20
4.2 有关级数的应用 23
总结 26
参考文献 27
致谢 28

第一章 前言
第一章 前言
1.1研究背景
二十一世纪科学技术与社会经济正在快速发展。这就需要初等教育为高等院校输送大批具有综合素质的创新型人才，最终培养成为社会需要的各级各类人才。数学教育从教学思想、教学内容、课程设置、教学方法和教学手段方面都需要进行一系列的改革试验
随着新课程改革的不断进行，高中数学把多科数学内容综合为一门数学教材，注意沟通各科知识之间的内在联系，注意数学知识的实际应用。教学中，要求体现数学的人文价值和科学价值，注重数学应用意识的培养。新课程内容的变化，无论是新增内容，还是要求处理形式、侧重点上有变化的内容都需要教师认真理解，仔细分析。
数学教育现代化要求把中学数学教学建立在现代数学的思想基础上，这使得高等数学与中学数学互相促进，共同发展。有许多中学数学的概念都需要借助高等数学的知识才能解释清楚。
1.2 课题研究意义
随着高等数学的知识在高考所占的比重也越来越大，研究新的课程标准、新的考试大纲，认真研究、分析高中数学中的新知识——高等数学在中学数学中的应用问题变得势在必行。高等数学是在初等数学的基础上发展起来的。与初等数学有着紧密的联系。许多初等数学无法解答的问题，高等数学都给出了解答。因此，帮助学生学会用高等数学的思想、方法为工具，从不同的角度去研究初等数学的问题，而且运用高等数学的知识，从另一更高的角度重新认识初等数学中重要的概念、理论实质及其背景，还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决初等数学中一些或一类问题等等。总之应用高等数学的方法使学生对初等数学的本质，以及与高等数学之间的内在联系，有了深刻的认识。 本论文在借鉴前人所撰文章的精神的基础之上，与中学数学同行们互相交流，对指导教学，指明方向、深度有重大的参考和借鉴价值。本文运用高等数学的先进观点居高临下地分析和处理中学数学内容的问题。主要表现为以下三个方面:一是将高等数学的思想和办法渗透到中学数学中去；二是用具体材料来说明高等数学对中学数学的指导意义：三是指出中学数学某些难以处理的问题的高等数学背景。

1.3 文献综述
文献[5]－《例谈导数的应用》是鄢尧发所编写, 这文章是备受广大师生青睐，主要用众多例题介绍导数，通过把导数与实际应用结合起来，以及用了很多方法，去介绍导数的应用。充分展现导数思想在解决问题的重要性，我在这本参考书上，主要是参考了导数在求极值的应用这部分。不过这本书在介绍导数这方面的知识与我所讨论的问题有很大的区别，因此我在自己电脑的网站，找一些相关资料作为补充。
文献[6]－《导数在证明不等式中的应用》，本文章是刘伟的报告，本报告主要就讨论一个任务，导数在不等式中的应用。主要把不等式构造成一个函数，再通过函数求导，找函数的单调性，这样就可以证明不等式的成立。另外还利用导数证明几个特殊的不等式。考虑到微积分正是大学数学知识的基础也是中学数学导数应用的一个延生，借鉴此文章是势在必行的。但由于此文章讲述的比较复杂，我只借鉴构造函数这一部分。
文献[7] - 《数学分析》（第三版）是华东师范大学数学系所编．也是高等教育出版社出版的大学数学专业学生必修的一本教科书，本书分为两本主要详细讲了极限和连续函数，微积分，实数完备性等知识点。就是通过这本书，我才能清楚的认识整个微积分与中学数学之间的紧密联系，也是通过这道本书我才能认识到高等数学的主要思想基础的所在。
1.4 研究方法
到书店、图书馆、上网搜集大量相关的资料，并参考其他研究人员就此问题做过的相关研究资料，再结合自己的见解分析，总结最后撰写论文
1.5 创新之处
1、本论文在更具体的理论结合实际上探讨了高等数学和初等数学的联系
2、本论文更全面的叙述了高等数学在初等数学中的应用
3、这次课标新改后，比较深入的讲述高考数学试题应用高等数学思想方法的论文

1

第二章 高等数学与初等数学的地位与联系
第二章 高等数学与初等数学的地位与联系
大量的事实表明,通过高初结合可以更好地把握数学知识的深度,了解数学问题的背景和实质,能够从更高的角度俯瞰初等数学及其教学,可以提高数学教师的数学素质和数学解题能力,更好地把握初等数学教学。高等数学知识在开阔中学教师的视野、指导中学数学解题等方面都有很大的作用。欲穷千里目,更上一层楼。站在高等数学的角度来看初等数学中的某些问题会更深刻、更全面。
我们知道,初等数学与高等数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别。正是如此,有人认为:学生不需要懂得什么高等数学知识,教师只要照课本讲下去就可以了。其实这是一种误解。诚然,在课堂上不能把高等数学知识传授给学生,但我们仅仅停留在课本上是不够的,有时甚至连自己对一些初等数学的问题也可能感到费解,这是因为:一方面,高等数学是初等数学的继续和提高;另一方面,初等数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能得澄清.因此,高等数学在初等数学中的作用不能掉以轻心,下面谈谈一些初浅的体会。
2.1初等数学与高等数学的定位
一般来说，数学史学家把数学的发展分为四个阶段：萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期（或五个时期，再加上当代时期）。无论何种分发，都把第二发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”，而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”，这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”。理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯（Engles）的经典分发：所谓初等数学是指常量数学，高等数学就是指变量数学，并把笛卡尔（R.Descartes）1637年发表的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志。而教育意义下的初等数学高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育（即中、小教育）阶段的数学主要内容为初等数学，视初等教育阶段的数学主要内容为初等数学，视高等教育的数学主要内容为高等数学。当然，由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别。事实上，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力在于各部分之间的内在联系，这就需要深入研究初等数学，理清其中最基本的思想和方法，努力寻求初等数学和高等数学的结合点

2.2 高等数学与中学数学的联系
中学数学主要是常量数学,同时也包括变量数学的一些初步知识,而现代数学则以变项包括变量为研究对象来反映现实世界的空间形式与数量关系。 数学的发展是一个不断发现、不断统一、不断深化的过程。作为一名即将成为教师的学生应该尽可能地把握数学发展的过程,清楚地认识大学数学的学习对中学数学学习的意义，有意识地把它贯穿到今后的中学数学教学中，做到既知其然，又知其所以然。
2.2.1 中学数学与大学数学的统一性
伽利略曾说过：“大自然是一本书,而这本书的语言是用数学来书写的。”数学作为众多自然学科的基础,博大精深,体系庞大,分支众多拥有着丰富的交叉学科,而如此庞大的学科内部却有着高度的统一性,这种统一性决不是一种偶然的巧合，它反映了数学的本质，数学的统一性在数学各个分支之间比比皆是，它始终贯穿于数学的整个学习过程，表现在一些具体的实例上。中学阶段最能体现数学统一性思想的就是解析几何,笛卡尔坐标系把代数方程与圆锥曲线完美地结合在一起。而高等数学则更是从各方面体现着数学统一性思想。正如M·阿蒂亚所说:“数学最使我着迷之处,是不同的分支之间有着许许多多的相互影响,预想不到的联系,惊人的奇迹。”
2.2.2 中学数学与大学数学的连贯性
初等数学是高等数学基础,二者有着本质的联系。中学数学中遗留下来相当多的问题并不是它本身可以解决的，必须进一步学习了高等数学，掌握了更多的理论工具，对问题的本质有了更深的认识后才能作出一定合理的解释。
例如大家熟知的代数基本定理：具有复系数的一个多项式方程在复数域中至少有一个解。在中学阶段是当作既成事实,但它究竟对不对，如何去证明，用中学阶段的数学知识是无法解释的。自从高斯给这一基本定理作出了证明以后，在高等数学中又给出了多种多样的证法，可以用复变函数、代数拓扑、数理逻辑等不同的知识来加以证明。 但所有这些证明都需要用到函数的连续性,对函数连续性本质的认识属于现代数学的范畴。
数学的研究方法与对象反复经历了由特殊到一般,由直观到抽象的过程.著名数学家M·阿蒂亚说:“没有这些抽象概念,数学恐怕早就被成堆的复杂问题压得喘不过气来,也早就分裂成数不清的,互不关连的个别情况的研究了。 ”。
中学生对运算的认识是从“数”的运算开始,随着学习的逐步深入,知道运算不仅仅局限于“数”,“式”也可以进行运算,这说明运算不仅可以在数之间进行,而且可以在数以外的其他对象之间进行。一般运算的对象可以是抽象的集合。一般运算的概念是指一个或几个集合到一个集合的映射。代数是在几个集合上赋予若干运算所形成的结构。最初的代数就是抽象化的,用符号代表数或其他更复杂的量；而更高层次的抽象是符号之间的运算法则和相互关系。 抽象概念正是对层出不穷的新事物的要求所做出的自然的回答。
2.3 高等数学对初等数学的拓展
2.3.1代数方面
集合：众所周知，集合论是现代数学的基础，集合概念是数学中的一个原始概念。中小学数学中都贯穿了集合的思想，高中开始使用集合语言来研究问题，通过高中的学习，对集合的表示、集合之间的简单运算应该比较熟悉，对集合与集合之间的映射等有所了解。高等数学将在此基础上进一步考虑集合的运算，引入集合的“势”的概念，比较两个无穷集合的大小以及赋予集合某些数学结构（如代数结构、测度结构、拓扑），研究具有不同数学结构集合之间的映射关系。如近世代数主要是研究具有代数结构集合之间的映射，如同态、同构、群、环、域等；而实变函数论主要是研究具有勒贝格测度的集合之间的映射，如可测函数。
函数及其性质：函数是数学上的一个基本而又重要的概念，从中学数学到高等数学，函数概念逐步从直观向抽象发展、变量说、对应说（映射说），关系说是三种主要的定义方式。用“关系”来定义函数，比较抽象，一般不容易理解，在现代数学（如拓扑学、泛函分析等）中使用较多。对应说（映射说）是中学数学及一般高等数学中普遍采用的方式。映射是现代数学中的一个基本概念，它贯穿于现代数学各个分支，函数，变换等都是映射的例子。
中学数学中所讲的函数主要是六种基本初等函数：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，研究它们的结构与形态。高等数学在此基础上定义了复合函数，初等函数等概念，使函数的量进一步扩展，进一步研究一般函数的奇偶性，单调性（用导数方法判断可导函数的单调性）、周期性（给出周期函数的一般定义以求周期的方法）、有界性、极值性（用导数方法求极值）、连续性、可导性、可积性、以及多项式函数的理论。由于现实中应用的许多函数都是初等函数，而初等函数又具有较好的分析性质，因而常成为研究抽象函数的例子、模型。微积分中函数的主体是初等函数，由基本初等函数到初等函数，衔接是比较紧密的。
数列、极限与级数：中学数学中讲到数列的定义，等差、等比数列以及它们的前n项的和与数列极限，这是数学分析中级数论的基础。极限法是数学分析的一个主要方法，贯穿于数学分析的始终。中学数学中再给极限精确的定量定义。级数论中将研究无穷数列与函数列的和（级数）的收敛与发散，部分数列和的求法，以及函数级数的和函数的分析性质，把函数展成级数等。
复数与复变函数论:中学数学中讲了复数的概念、表示法（代数形式、向量形式、三角形式）、运算。复数的引进，完满的证明了高等代数的基本定理及多元二次型的分解等。另外，复变函数论研究的一类重要函数----解析函数（包括初等函数），只有在复数域中来讨论才能彻底弄清楚。因此，中学数学中的复数是复变函数论的一个重要基础，它们之间最好是按“螺旋式”上升方式来衔接。
排列、组合、二项式定理与概率论：中学数学中排列、组合、二项式定理及概率是高等数学中概率论与数理统计的基础。由于这部分内容与其它内容联系较少，学生普遍感到难学，有的教师也可能降低要求。但大部分概率与统计的教材，都是在中学的基础上来编写的，它们是对随机现象演绎的研究与对随机现象统计规律归纳研究。因此，中学排列、组合、二项式定理的内容一点都不能削弱。
方程与方程组：中学数学中重要讲了一元一次、二元、三次方程及简单高次方程的解的情况，并没有对一般高次方程作深入讨论，方程组也大多是二元线性或三元线性方程组.高等数学中将对中学数学中的方程与方程组作推广，高等代数对高次方程的解（根）的情况将作全面讨论，明确五次（含五次）以上的方程无公式解，复系数一元二次方程必有2个根。用行列式和矩阵理论来讨论一元线性方程的解（存在性、解法、结构），用微积分研究微分方程与方程组的解等。
2.3.2几何方面
立体几何与空间解析几何：中学平面几何主要包括相交线、平行线、三角形、四边形、面积、相似形和圆的一些概念及性质、点的轨迹的概念等内容。立体几何主要包括直线和平面的位置关系及其性质，多面体和旋转体的一些概念、性质、画法及表面积和体积的公式等内容。主要使学生会综合性处理几何的方法。而空间解析几何是在具有空间结构观念的基础上,用向量、变量与空间直线、柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面及其一般理论，使学生学会解析地处理几何的方法。
平面解析几何与空间解析几何：中学平面解析几何主要讲平面上直线方程、圆锥曲线（二次曲线的几种简单形式）方程及形态、参数方程与极坐标等内容。空间解析几何将进一步研究二次曲线的一般理论（二次曲线与直线的相关位置、二次曲线的渐进方向、中心、渐进线、切线、直径以及二次曲线的化简与分类等）和二次曲面的一般理论（二次曲面与直线的相关位置、二次曲面的渐进方向与中心、切线与切平面、径面与奇向、主径面与主方向、特征方程与特征根以及二次曲面的化简与分类等）。空间解析几何是平面解析几何的自然延伸
高等几何是对初等几何的教学与研究有着重要的指导作用。高等几何的主要内容包括仿射几何、射影几何和几何基础，近几年来，关于高等几何对初等几何的指导作用的研究一直是几何学教学研究方面的一个热点，并且已经取得了不少成果。本文后部分从仿射几何和射影几何的一些理论与方法出发，探讨它们在初等几何中的应用。
仿射几何是高等几何的重要组成部分，是联结射影几何与欧氏几何的纽带，是应用高等几何知识解决初等几何问题的一条重要通道。在初等几何里，有大量的命题是研究图形的仿射性质的，即并不涉及到距离、角度、面积的具体度量，而仅涉及到点线结合关系、直线的平行性、共线与平行线段之比、封闭图形面积之比以及线段中点等概念。对于这类命题，我们可以充分地运用仿射几何的有关理论，由特殊到一般、化繁为简地加以解决，从而达到事半功倍的效果。这方面问题的解决，常常可以借助于仿射变换与仿射坐标系来实现。

27

第三章 高等数学在初等数学中的应用
第三章 高等数学在初等数学中的应用
3.1 高等代数在中学数学中的应用
高等代数不仅是中学数学的延拓,也是现代数学的基础。作为中学数学教师总感觉到大学中学的高等代数在中学教学中用不上,其理由是从初等数学到高等数学,在研究问题和处理问题的方式上存在着较大的区别；其实这是一种误解,正因为有这样的区别,它能使我们从中学的解题思维定势中走出来,用一种更深远的眼光来看中学数学问题。下面从几个方面谈谈这个问题。
3.2.1行列式的应用
因式分解是中学数学的一个重要内容，虽然在中学数学中有很多方法可以解决因式分解问题,但对于某些因式分解问题如果构造与之对应的行列式，然后使用行列式的性质去解决，会起到事半功倍的效果。
例1：
解：

所以=
例2：
证明：

又由已知可得：,所以
所以,即.
3.2.2柯西—施瓦兹不等式应用
柯西—施瓦兹不等式是高等代数的一个重要不等式，它在中学数学中有广泛的应用。
例1：设欧式空间,令,
则有（当且仅当,线性相关时等号成立）,在标准内积下,有：

若,则得：

例2：设a,b,c,都是正数,且,求证：
证明：在中使用标准内积.设,
则有：

由柯西不等式得：成立
从上例可知,使用柯西—施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧氏空间,特别是构造内积运算,并找到两个适当的向量。
由上两个例子我们不难看出高等代数的很多知识完全可以作为一种工具来解决中学数学问题,而这中间构造法起了很重要的作用。高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解,而是一种知识的融会贯通。高等代数方法在中学数学中的应用还有很多,方法也独特且灵活多变。如果应用恰当,可以化难为易,收到事半功倍之效。
3.2 微积分方法在中学数学的应用
如果将整个数学比作棵大树,那么初等数学是树的根,名目繁多的数学分支是树枝,而树干的主要部分就是微积分不论是高等数学还是初等数学,其基本方法都是相通的,那么,高等数学微积分方法在中学数学中有着怎样的应用？下面我来举例进行说明。
3.2.1 微积分方法在求函数的极值、最值中的应用
利用导数求函数的极大(小)值,求函数在连续区间［a,b］上的最大最小值,或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸,这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化,因而已逐渐成为新高考的又一热点。
例：已知,在时取得极值,且
（1)试求常数a、b、c 的值；
(2)试判断x=±1 是函数的极小值还是极大值,并说明理由。
解： （1）
是函数的极值点
是方程即的根
即
即
又,
将上面三式联立
得：
（2）

时, 当 时,
∴ 函数f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数,在(－1,1)上是减函数。
∴ 当x=－1 时,函数取得极大值f(－1)=1。
当x=1时,函数取得极小值f(1)=－1。
这样,我们就很容易地解决了这个一元三次函数的极值问题.总之,微积分它作为是一种数学思想,用它解决中学数学问题有很多便捷之处。
3.2.2 用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的
在初等数学中有些不能或不易解决的问题，运用高等数学的理论方法可以得到圆满的解决。例如：中学数学中证明某些恒等式时的恒等变形过程相当繁杂，稍不小心就会出错。如果题目再复杂一些，就更困难。使用微积分的知识，可以避免繁杂的工作。
例（ 方程根的讨论）
求证有两个相异实根，并且一个根大于，令一个根小于。
证法一 （采用初等方法证明）
证明：将方程整理得

所以方程有两个相异的实根

因为 所以
因此
证法二 （采用微积分方法证明）
证明：设
则
因为，所以在区间和内分别存在和，使
由连续函数的介值性定理，在区间和内分别存在和，使
这表明和是方程的两个相异实根，
不仅如此，根据这一证法，我们还可以深化和拓广对这一方程的研究，获得新的结论。因为 所以同样介于方程的两根之间，我们还可以看到，方程的右端对于本题的结论来说并非是至关重要的，关键是方程的右端必须是一个正数。于是综合以上两点可以得到更为一般的结论：设，则方程必有两个相异实根，且均介于方程的两根之间。
注：本题用初等数学的方法证明必须分为两步：先利用判别式证明方程有两个相异实根，再利用求根公式求出方程的两个根，并与比较其大小，这样做具有一定的计算量，显得麻烦。而采用微积分的方法，可将两步并为一步，显得简捷，而且还可以得到更为深层的结论。
例（不等式的证明）
若，求证：
证明：设则在上满足拉格朗日中值定理，故存在使
即

即
注 不等式的证明方法多种多样，没有统一的模式，初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有较高的技巧。利用微积分的方法证明不等式，常利用函数的增减性、微分中值定理等有关知识，它可使不等式证明的过程大大简化，技巧性降低，但也没有固定模式
例 （代数式的化简）
化简
解：把看作变量，与看作常量．令

对求导得

上式两端取不定积分得

令得
故原式
注：对于代数式的化简，初等数学常采用的方法是把各项展开然后合并同类项，计算量比较大，比较繁琐。利用微积分方法可使解题过程简化。
3.2.3积分在空间立体体积与表面积中的应用
例：证明：底面半径为r，高为h的圆锥体的体积为。
证明 ：取圆锥体顶点o为坐标原点，过顶点垂直于底面的直线为x轴，过坐标原点o且垂直于x轴的直线为y轴（如图），则圆锥体可以看作是由直线PO于x=h及x轴围成的直角三角形绕x轴旋转一周得到的旋转体直线OP的方程为则所求圆锥体的体积为
。
例：证明：半径为R的圆面积为
证明：（一）已知圆心在坐标原点，半径为R圆的方程是显然，它关于坐标原点对称，故圆的面积为圆的第一象限内的面积的4倍。故所求图形面积为

(二)圆的面积也可以看作是由上半圆与下半圆所围成图形的面积，于是有

(三)圆的参数方程为
，于是有，

例：证明：椭圆的面积为。
证明：（一）由于椭圆关于两个坐标轴对称，故椭圆面积为椭圆在第一象限内面积的4倍。
由椭圆方程得，第一象限函数表达式为。于是有
。
（二）椭圆的面积也可以看作是由上半椭圆与下半椭圆
所围成图形的面积，由预备知识中公式（3）得

（三）椭圆参数方程为 。
于是有

3.2.4积分在求曲线弧长中的应用
例：证明：半径为R的圆的周长为。
证明：（一）已知圆心在坐标原点半径为R的方程为

由于圆关于两个坐标轴对称，所以只须求出第一象限内的弧长，然后4倍，即得出圆的周长S。
已知圆在第一象限的方程是且

于是，圆的周长为

(二)半径为R的圆的参数方程为
且于是，圆的周长为

（三）半径为R的圆的极坐标方程为

所以圆的周长为

以上所写的是几类初等数学问题用高等数学的处理，可以看出初等数学作为高等数学的基础，高等数学在初等数学中的应用是相当广泛的，同时，扎实的初等数学基础对学好高等数学也是非常重要的。通过这样的应用，既可以开拓解题思路，又可以培养观察问题分析问题的能力以及综合运用知识的能力。
3.3 高等几何在初等几何的应用
3.3.1仿射变换的应用
在仿射几何里，几何图形在任意仿射变换下都具有保持同素性、结合性和二直线的平行性及共线三点的单比、共线或平行二线段长度之比、二封闭图形面积之比不变的仿射不变性质和仿射不变量。因而，当我们要研究初等几何中图形的仿射性质时，可以在已知条件下作出它的一个较易研究的仿射对应图形，由研究图形的相关性质转而得出图形的性质
3.3.2射影几何观点在初等几何中的应用
射影几何在初等几何中的应用是十分广泛的。射影几何是研究射影性质和射影不变量的几何。如同素性，结合性，交比等。本文就简单介绍了仿射变换、笛沙格定理、点列中四点的交比、线束中四条直线的交比在初等几何中的应用。
3.3.2.1 仿射变换的应用
在初等几何中有大量的命题是离不开图形仿射性质的，即只涉及图形的仿射性质，并不涉及距离、角度等概念。对于这类命题，我们可以充分运用仿射变换的性质化繁为简，转难为易，达到事半功倍的效果。
如果我们把要研究某个图形的仿射性质，常根据已知条件或条件的一部分作出图形的比较特殊、性质显而易见的仿射等价图形，转而研究上的对应性质，然后根据命题的条件变换为所要研究的图形的性质。也就是往往先在特殊的仿射等价图形中进行研究，然后再推广到一般图形。如圆和椭圆仿射等价，若要研究椭圆的某个性质，可先研究所具有的某个性质（仿射性质），然后再推广到椭圆上去
在初等几何中应用仿射变换，是由特殊到一般的研究方法的一个范例。
例：平行于平行四边形的对角线作一直线与相交于。
求证：。
证明：如图1所示，设正方形经过一个仿射变换得到,即
正方形

图1
由于保持平行性，结合性，所以

且
//
而在正方形中

所以有

因为两三角形的面积之比是仿射不变量，则有

所以
3.3.2.2 笛沙格定理的应用
笛沙格定理是射影几何的理论基础，它的应用很广，许多定理以它为依据。
定义1 平面内不共线的三点与每两点的连线所组成的图形叫做三点形。平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性。
笛沙格定理 如果两个三点形对应顶点连线交于一点，则对应边的交点在同一直线上。
笛沙格定理的逆定理 如果两个三点形对应边的交点在同一直线上，则对应顶点的连线交于一点。
定义2 若两个三点形的对应顶点的连线共点，且对应边的交点共线，则两三点形构成透视关系。对应顶点连线的交点叫做透视中心，对应边交点所在的直线叫做透视轴。
例：如图2所示，过三角形的三个顶点，任作三条直线，分别与对边交于且共点.求证：若, , ,则三点共线。
证明 ：在三点形和中，因为对应顶点的连线共点。有笛沙格定理知，其对应边的交点共线，即有共线。

图2
3.3.2.3 点列中四点的交比
定义1 共线四点的交比定义为两个单比与的比，记为

其中A，B两点称为基点，C，D两点称为分点。
根据交比的定义有
不相同的共线四点的交比与点的排列顺序有密切的关系。
定理1 两基点与分点交换，交比的值不变。即

定理2 只有两基点交换或只有两分点交换，交比的值与原来的交比值互为倒数。即

定理3 交换中间两字母顺序或交换两端字母顺序所得的交比值与原来交比值和为常数1，即

定理 4 一直线上的无穷远点分其上的任何亮点的单比等于1.
定理 5 已知两个不同的普通点为直线上一点，且，则

推论 1 若共线四点为，则

其中

推论 2 若共线四点的坐标分别为，
则

其中互不相等。
在共线四点的交比中，交比值为-1的情况十分重要，若，则称调和分离，或称与调和共轭。交比值-1叫做调和比。
例：设为共线三点，且,求点C的坐标。
解：设
代入坐标可得

由得

所以,即点坐标为
3.3.2.4线束中四条直线的交比的应用
定义 1 若为线束中的四条直线，则

叫做的交比，其中叫基线，叫做分线。
定理1 若线束中的四条直线被任意一直线截于四点，则

与点列交比像是，可以得到线束交比的性质，共点四直线的交比也有24个交比值，分为六类，每类中四个交比值相等。
定理2 若为四条不同的普通共点直线的齐次坐标，则

定理3 交比经中心射影后不变，即交比为射影性质。
例：中的内、外角分线交于。求证：.。
证明：如图3，记直线，分别为则

由定理1得

所以

即

得证
通过仿射变换、笛沙格定理、点列中四点的交比和线束中四条直线的交比在初等几何中的应用，可以看出，射影几何观点在初等几何中的应用是十分广泛的。

第四章 高考试题中的微积分在解题中的应用
第四章 高考试题中的微积分在解题中的应用
近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答.本文主要先归类总结，再通过一些具体的高考试题，利用拉格朗日中值定理解答，并与参考答案的解法作比较，体现高观点解题的好处。
4.1 拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理：
若函数满足如下条件：
（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导；
则在内至少存在一点，使得 .
1.形如：证明或成立（其中）
例：（2007年高考全国卷I第20题）设函数.
（Ⅱ）证明：若对所有，都有 ，则的取值范围是.
证明：（Ⅱ）（i）当时，对任意的，都有
(ii)当时，问题即转化为对所有恒成立.
令，由拉格朗日中值定理知内至少存在一点（从而），使得，即，由于，故在上是增函数，让 得，所以的取值范围是.
评注：第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法。即令，再分和 两种情况讨论。其中，又要去解方程。但这有两个缺点：首先，为什么的取值范围要以为分界展开。其次，方程求解较为麻烦。但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦。
2.形如：证明成立
例： (2OO6年四川卷理第22题)已知函数的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：（１）当时，；（２）当时，。
证明：（１）不妨设，即证。由拉格朗日中值定理知，存在，则且
，又， .当时，.所以是一个单调递减函数，故从而成立，因此命题获证。
（２）由得，，令则由拉格朗日中值定理得：
下面只要证明：当时，任意,都有，则有，即证时，恒成立.这等价于证明的最小值大于。
由于，当且仅当时取到最小值，又，故时，恒成立。
所以由拉格朗日定理得：.
评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强。因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到。相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅。体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性。
3.形如：证明或成立
例：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数。
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围。
证明：（Ⅱ）当时，显然对任何，都有；当时，
由拉格朗日中值定理，知存在，使得。可知