2021年辽宁省鞍山市中考数学试题（解析）.doc

2021年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的每小题3分，共24分）
1. 下列实数最小的是（ ）
A. －2 B. －3.5 C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据实数大小比较的方法进行求解即可．
【详解】解：因，
所以最小的实数是－3.5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握应用实数大小的比较方法进行求解是解题的关键．
2. 下列四幅图片上呈现是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.据此判断即可．
【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方的性质逐项计算可判断求解．
【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
B．，故B选项不符合题意；
C．，故C选项符合题意；
D．，故D选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握以上知识是解题的关键．
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出不等式的解集，将解集在数轴上表示出来．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∴不等式的解集为：，
表示在数轴上如图：

故选B．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
5. 如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质求解，找出图中，进而求出∠3，再根据平行线性质求出∠2即可．
【详解】解：如图，作，

三角尺是含角的三角尺，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查平行线的性质，利用平行线性质求角，涉及到直角三角形两个余角的关系．
6. 某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
时间/h
6
7
8
9
人数
2
18
14
6
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A. 18，7.5 B. 18，7 C. 7，8 D. 7，7.5
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为7，
因为该班有40名同学，所以中位数为第20和21名同学时间，第20名同学的时间为，第21名同学的时间为，
所以中位数为．
故选：D．
【点睛】考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
7. 如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接AD，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出，从而得到的度数．
【详解】解：连接AD，如图，
AB为的直径，
，
，
．
故选B．

【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
8. 如图，是等边三角形，，点M从点C出发沿CB方向以的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作交AB于点P，连接MN，NP，作关于直线MP对称的，设运动时间为ts，与重叠部分的面积为，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出当点落在AB上时，t的值，分或两种情形，分别求出S的解析式，可得结论．
【详解】解：如图1中，当点落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．

，，，
，
等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，，
，是等边三角形，
，
，
，
，
四边形CMPN是平行四边形，
，
，
，
如图2中，当时，过点M作于K，则，

．
如图3中，当时，，

观察图象可知，选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，进行求解即可出得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|<10 ， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
10. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_________________．

【答案】
【解析】
【分析】求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：由图可知：黑色方砖有8个小三角形，每4个三角形是大正方形面积的
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球最终停留在黑色区域的概率，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够准确找出黑色方砖面积与整个区域面积的关系.
11. 如图，沿BC所在直线向右平移得，已知，，则平移的距离为___．

【答案】3
【解析】
【分析】利用平移的性质解决问题即可；
【详解】由平移的性质可知，BE=CF，
∵BF=8，EC=2，
∴BE+CF=8-2=6，
∴BE=CF=3，
∴平移的距离为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型；
12. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是___________________．
【答案】
【解析】
【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少4套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，
依题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程.
13. 如图，矩形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，，垂足为点H，若，则AD的长为_______________．

【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质得，，求出，利用30°角的直角三角形的性质求出CH的长度，再利用勾股定理求出DH的长度，根据求出，然后由含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：四边形ABCD是矩形，
，，
，
，，
∴
在中，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是矩形的性质以及直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°的性质是解决本题的关键．
14. 如图，，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动（点A，B不与点O重合），C为AB的中点，作关于直线OC对称的，交AB于点D，当是等腰三角形时，的度数为_____________．

【答案】或
【解析】
【分析】结合折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得，设，然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出，，，，从而利用分类讨论思想解题．
【详解】解：，C为AB的中点，
，
，，
又由折叠性质可得，
，
设，则，，，，
①当时，，
，
解得，
；
②当时，，
，方程无解，
此情况不存在；
③当时，，
，
解得：，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，三角形外角和等腰三角形的性质，难度一般．
15. 如图，的顶点B在反比例函数的图象上，顶点C在x轴负半轴上，轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若，，则_____．

【答案】18
【解析】
【分析】过点B作轴于点F，通过设参数表示出△ABC的面积，从而求出参数的值，再利用△ABC与矩形ODBF的关系求出矩形面积，即可求得 k的值．
【详解】解：如图，过点B作轴于点F．

轴，
，
，
，
，
设，，则，，
，，
，
，
，
，
，
又反比例函数图象在第一象限，
，
故答案为18．
【点睛】此题考查反比例函数知识，涉及三角形相似及利用相似求长度，矩形面积公式等，难度一般．
16. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是线段OD上的动点（点F不与点O，D重合），连接CF，过点F作分别交AC，AB于点H，G，连接CG交BD于点M，作交CG于点E，EF交AC于点N．有下列结论：①当时，；②；③当时，；④．其中正确的是_______（填序号即可）．

【答案】①③④
【解析】
【分析】①正确．利用面积法证明即可．
②错误．假设成立，推出，显然不符合条件．
③正确．如图2中，过点M作于P，于Q，连接AF．想办法证明，再利用相似三角形的性质，解决问题即可．
④正确．如图3中，将绕点C顺时针旋转得到，连接FW．则，，，，证明，利用勾股定理，即可解决问题．
【详解】解：如图1中，过点G作于T．
，
，
，，
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，，
，
，
，故①正确，
假设成立，
，
，
，显然这个条件不成立，故②错误，

如图2中，过点M作于P，于Q，连接AF．
，，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，故③正确，

如图3中，将绕点C顺时针旋转得到，连接FW．则，，，，
∵FG=FC，∠GFO=∠FCN，∠FGM=∠CFN=45°，
∴△FGM≌△CFN，
∴FM=CN，
，，，
，
，
，
，
，故④正确，
故答案为：①③④．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
三、解答题（每小题8分，共16分）
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为，再代入求值．
【详解】解：

．
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
18. 如图，在中，G为BC边上一点，，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先证四边形AEDF是平行四边形，再证，则，即可得出结论．
【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
四边形AEDF是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形AEDF是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，菱形的判定定理，熟练掌握以上几何性质是解题的关键．
四、解答题（每小题10分，共20分）
19. 为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 　　．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）每套海报四张
小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，
小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的概率为．
【点睛】本题考查了概率的计算，用列表法或画树状图法求概率，掌握概率的计算方法是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 为庆祝建党100周年，某校开展“学党史•颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据以上信息解答下列问题：
（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．
【答案】（1）120；（2）图形见解析；（3）360件
【解析】
【分析】（1）根据剪纸的人数除以所占百分比，得到抽取作品的总件数；
（2）由总件数减去其他作品数，求出绘画作品的件数，补全条形统计图即可；
（3）求出样本中绘画作品的百分比，乘以1200即可得到结果．
【详解】解：（1）根据题意得：（件），
所抽取的学生作品的样本容量是120；
（2）绘画作品为（件），
补全统计图，如图所示：

（3）根据题意得：（件），
则绘画作品约有360件．
答：本次活动共征集作品1200件时，绘画作品约有360件．
【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
五、解答题（每小题10分，共20分）
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限交于C，两点，交x轴于点E，若．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形OCDE的面积．

【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用的面积减去的面积求解．
【详解】解：（1）将代入中，
，
反比例函数的解析式为；
过点D作轴，过点C作轴，

，
，
，
，
将代入中，
，
解得：，
C点坐标为，
将，代入中，
可得，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）设直线OC的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
直线OC的解析式为，
由，设直线DE的解析式为，
将代入可得：，
解得：，
直线DE的解析式为，
当时，，
解得：，
E点坐标为，
，
在中，当时，，
解得：，
A点坐标为，
，
，

．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
22. 小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走到达C处，再沿北偏东方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，）

【答案】
【解析】
【分析】作于E，于F，易得四边形BCFE是矩形，则，，设，则，在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，在中，，根据题意得到，求得x的值，然后根据勾股定理求得AE和BE，进而求得AB．
【详解】解：如图，作于E，于F，

，
四边形BCFE是矩形，
，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
，
答：公园北门A与南门B之间的距离约为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确构建直角三角形是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
23. 如图，AB为的直径，C为上一点，D为AB上一点，，过点A作交CD的延长线于点E，CE交于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使．
（1）求证：CF是的切线；
（2）若，，求的半径．

【答案】（1）见解析；（2）5
【解析】
【分析】（1）根据题意判定，然后结合相似三角形的性质求得，从而可得，然后结合等腰三角形的性质求得，从而判定CF是的切线；
（2）由切线长定理可得，从而可得，得到，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
AB是的直径，
，
又，
，
，
，
即CF是的切线；
（2）CF是的切线，，
，
，
，
又，
在中，，
设的半径为x，则，，
在中，，
解得：，
的半径为5．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握相关定理与性质是解决本题的关键．
24. 2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）；（2）当销售单价为56元时，每天所获得的利润最大，最大利润为1152元
【解析】
【分析】（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式；
（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：（1）由题意可得：，
整理，得：，
每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为；
（2）设销售所得利润为w，由题意可得：
，
整理，得：，
，
当时，w取最大值1152，
当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
【点睛】此题考查二次函数的应用——销售问题，涉及运算能力及一次函数应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
七、解答题（本题满分12分）
25. 如图，在中，，，过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转得到AN，过点C作交直线AN于点F，在AM上取点E，使．
（1）当AM与线段BC相交时，
①如图1，当时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 　　．
②如图2，当时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．
（2）当，时，若是直角三角形，直接写出AF的长．

【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）或
【解析】
【分析】（1）①结论：．如图1中，作交AM于T．想办法证明，，可得结论．
②结论：．过点C作于Q．想办法证明，，可得结论．
（2）分两种情形：如图3－1中，当时，过点B作于J，过点F作于K．利用勾股定理以及面积法求出CD，再证明，可得结论．如图3－2中，当时，，解直角三角形求出AK，可得结论．
【详解】解：（1）①结论：．
理由：如图1中，作交AM于T．

，，
是等边三角形，
，，
，，
四边形AFCT是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．
②如图2中，结论：．
理由：过点C作于Q．

，
，
，
，
，
四边形AFCQ是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图3－1中，当时，过点B作于J，过点F作于K．

在中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形CDKF是平行四边形，
，
四边形CDKF是矩形，
，
，
，
，
．
如图3－2中，当时，同理可得：
，

，
，
在中，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的AF的值为或．
【点睛】此题是几何变换综合题．考查了等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，此题是一道几何综合题，掌握各知识点并掌握推理能力是解题的关键．
八、解答题（本题满分14分）
26. 如图，抛物线交x轴于点，，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求得答案；
（2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标，由得，再根据与的面积相等，可得，故点F分别是AP、ED的中点，设，，结合中点坐标公式建立方程求解即可；
（3）根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角，以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点，过点作轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1）抛物线交x轴于点，，
将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）如图，

D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：，
，
交直线l：于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，
，设，，
又的面积为，的面积为，，
，
，，即点F分别是AP、ED的中点，
又，，，，
由中点坐标公式得：，
解得：（与“”不符，应舍去），，
，
，；
（3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，

以OB为斜边在第一象限内作等腰直角，
则，，
以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点，
过点作轴于点H，则，，，
，
，
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，

连接BC，以O为圆心，OB为半径作交抛物线对称轴于点M，
，
经过点C，
连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，
则，，
，
，
，
综上所述，．
【点睛】此题属于二次函数综合题，考查代数计算问题，涉及勾股定理，三角形全等，二元一次方程和一元二次方程的解及圆的相关知识，属于压轴题类型．