2022年湖南省岳阳市中考数学试卷及答案解析.docx

2022年湖南省岳阳市中考数学试卷

题号
一
二
三
总分
得分

一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1. 8的相反数是(    )
A. 18 B. 8 C. −18 D. −8
2. 某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是(    )
A. 圆柱
B. 圆锥
C. 三棱柱
D. 四棱柱
3. 下列运算结果正确的是(    )
A. a+2a=3a B. a5÷a=a5 C. a2⋅a3=a6 D. (a4)3=a7
4. 某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续7天的销量(单位：袋)分别为：105，103，105，110，108，105，108，这组数据的众数和中位数分别是(    )
A. 105，108 B. 105，105 C. 108，105 D. 108，108
5. 如图，已知l//AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°，则∠1的度数是(    )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
6. 下列命题是真命题的是(    )
A. 对顶角相等
B. 平行四边形的对角线互相垂直
C. 三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D. 三角分别相等的两个三角形是全等三角形
7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为(    )
A. 25 B. 75 C. 81 D. 90
8. 已知二次函数y=mx2−4m2x−3(m为常数，m≠0)，点P(xp,yp)是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤−3，则m的取值范围是(    )
A. m≥1或m<0 B. m≥1
C. m≤−1或m>0 D. m≤−1

二、填空题（本大题共8小题，共32分）
9. 要使x−1有意义，则x的取值范围是______．
10. 2022年5月14日，编号为B−001J的C919大飞机首飞成功．数据显示，C919大飞机的单价约为653000000元，数据653000000用科学记数法表示为______．
11. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若BC=6，则CD=______．

12. 分式方程3xx+1=2的解为x=______．
13. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______．
14. 聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：A(节日文化篇)，B(安全防疫篇)，C(劳动实践篇)，D(冬奥运动篇).下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则B类作业有______份．

15. 喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB=200米，则点P到赛道AB的距离约为______米(结果保留整数，参考数据：3≈1.732)．

16. 如图，在⊙O中，AB为直径，AB=8，BD为弦，过点A的切线与BD的延长线交于点C，E为线段BD上一点(不与点B重合)，且OE=DE．
(1)若∠B=35°，则AD的长为______(结果保留π)；
(2)若AC=6，则DEBE=______．

三、解答题（本大题共8小题，共64分）
17. 计算：|−3|−2tan45°+(−1)2022−(3−π)0．
18. 已知a2−2a+1=0，求代数式a(a−4)+(a+1)(a−1)+1的值．
19. 如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF.请从以下三个条件：①∠1=∠2；②DE=DF；③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形．
(1)你添加的条件是______(填序号)；
(2)添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形．

20. 守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉祥三宝”的新名片．某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．
(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为______；
(2)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率．

21. 如图，反比例函数y=kx(k≠0)与正比例函数y=mx(m≠0)的图象交于点A(−1,2)和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接AC，BC．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式kx<mx的解集．

22. 为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．
(1)求A，B两种跳绳的单价各是多少元？
(2)若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？
23. 如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠BDE=30°，BC=3，BE=2．
(1)特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：ADCE=______，直线AD与直线CE的位置关系是______；
(2)探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α(19°<α<60°)，连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF=BE时，求tan(60°−α)的值．

24. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A(−3,0)和点B(1,0)．
(1)求抛物线F1的解析式；
(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；
(3)如图3，将(2)中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点(点C在点D的左侧)．
①求点C和点D的坐标；
②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点(点M，N与点C，D不重合)，试求四边形CMDN面积的最大值．
答案和解析

1.【答案】D
【解析】解：8的相反数是−8，
故选：D．
根据相反数的意义求解即可．
本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．

2.【答案】C
【解析】解：A选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；
B选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；
C选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；
D选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意；
故选：C．
根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答案．
本题考查了几何体的展开图，掌握n棱柱的底面是n边形是解题的关键．

3.【答案】A
【解析】解：A选项，原式=3a，故该选项符合题意；
B选项，原式=a4，故该选项不符合题意；
C选项，原式=a5，故该选项不符合题意；
D选项，原式=a12，故该选项不符合题意；
故选：A．
根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据同底数幂的乘法判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握(am)n=amn是解题的关键．

4.【答案】B
【解析】解：将这组数据重新排列为103，105，105，105，108，108，110，
这组数据出现次数最多的是105，
所以众数为105，
最中间的数据是105，
所以中位数是105，
故选：B．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

5.【答案】C
【解析】解：在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠DCE=40°，
则∠CED=90°−40°=50°，
∵l//AB，
∴∠1=∠CED=50°，
故选：C．
根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．

6.【答案】A
【解析】解：A.对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故选项A符合题意；
B.菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故选项B不符合题意；
C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故选项C不符合题意；
D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故选项D不符合题意；
故选：A．
根据对顶角性质判断A，根据平行四边形的性质判断B，根据三角形的内心定义判断C，根据全等三角形的判定定理判断D．
本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．

7.【答案】B
【解析】解：设城中有x户人家，
依题意得：x+13x=100，
解得：x=75，
∴城中有75户人家．
故选：B．
设城中有x户人家，利用鹿的数量=城中人均户数+13×城中人均户数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

8.【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=mx2−4m2x−3，
∴对称轴为x=2m，抛物线与y轴的交点为(0,−3)，
∵点P(xp,yp)是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤−3，
∴①当m>0时，对称轴x=2m>0，
此时，当x=4时，y≤−3，即m⋅42−4m2⋅4−3≤−3，
解得m≥1；
②当m<0时，对称轴x=2m<0，
当0≤x≤4时，y随x增大而减小，
则当0≤xp≤4时，yp≤−3恒成立；
综上，m的取值范围是：m≥1或m<0．
故选：A．
先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m>0或m<0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．
本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．

9.【答案】x≥1
【解析】解：由题意得：x−1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

10.【答案】6.53×108
【解析】解：653000000=6.53×108．
故答案为：6.53×108．
利用科学记数法的定义解决．
考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．

11.【答案】3
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵BC=6，
∴CD=3，
故答案为：3．
根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．

12.【答案】2
【解析】解：3xx+1=2，
3x=2x+2，
x=2，
经检验x=2是方程的解，
故答案为：2．
去分母，移项、合并同类项，再求所求的根进行检验即可求解．
本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．

13.【答案】m<1
【解析】解：根据题意得Δ=22−4×1×m>0，
解得m<1，
所以实数m的取值范围是m<1．
故答案为：m<1．
根据判别式的意义得到Δ=22−4×1×m>0，然后解不等式求出m的取值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．

14.【答案】20
【解析】解：∵C类作业有30份，且C类作业份数占总份数的30%，
∴总份数为：30÷30%=100(份)，
∵A，D类作业分别有25份，25份，
∴B类作业的份数为：100−25−30−25=20(份)，
故答案为：20．
由条形统计图可得A，C，D类作业分别有25份，30份，25份，由扇形统计图可得C类作业份数占总份数的30%，可得总份数为100份，减去A，C，D类作业的份数即可求解．
本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是能够根据统计图提取所需信息．

15.【答案】87
【解析】解：过点P作PC⊥AB，垂足为P，

设PC=x米，
在Rt△APC中，∠APC=30°，
∴AC=PC⋅tan30°=33x(米)，
在Rt△CBP中，∠CPB=60°，
∴BC=CP⋅tan60°=3x(米)，
∵AB=200米，
∴AC+BC=200，
∴33x+3x=200，
∴x=503≈87，
∴PC=87米，
∴点P到赛道AB的距离约为87米，
故答案为：87．
过点P作PC⊥AB，垂足为P，设PC=x米，然后分别在Rt△APC和Rt△CBP中，利用锐角三角函数的定义求出AC，BC的长，再根据AB=200米，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

16.【答案】14π9 2539
【解析】解：(1)∵∠AOD=2∠ABD=70°，
∴AD的长=70⋅π⋅4180=14π9，
故答案为：14π9．

(2)连接AD．

∵AC是切线，AB是直径，
∴AB⊥AC，
∴BC=AB2+AC2=62+82=10，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥CB，
∴12⋅AB⋅AC=12⋅AB⋅AD，
∴AD=245，
∴BD=AB2−AD2=82−(245)2=325，
∵OB=OD，EO=ED，
∴∠EDO=∠EOD=∠B，
∴△DOE∽△DBO，
∴DODB=DEDO，
∴4325=DE4，
∴DE=52，
∴BE=BD−DE=325−52=3910，
∴DEBE=523910=2539．
故答案为：2539．
(1)利用弧长公式求解；
(2)解直角三角形求出BC，AD，BD，再利用相似三角形的性质求出DE，BE，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

17.【答案】解：|−3|−2tan45°+(−1)2022−(3−π)0
=3−2×1+1−1
=3−2+1−1
=1．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键．

18.【答案】解：a(a−4)+(a+1)(a−1)+1
=a2−4a+a2−1+1
=2a2−4a
=2(a2−2a)，
∵a2−2a+1=0，
∴a2−2a=−1，
∴原式=2×(−1)=−2．
【解析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．
本题考查代数式的运算，熟练掌握单项式乘多项式，平方差公式是解题的关键．

19.【答案】①
【解析】(1)解：添加的条件是∠1=∠2，
故答案为：①；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△ADE和△CDF中，
∠1=∠2∠A=∠CAE=CF，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴AD=CD，
∴▱ABCD为菱形．
(1)添加合适的条件即可；
(2)证△ADE≌△CDF(AAS)，得AD=CD，再由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．

20.【答案】13
【解析】解：(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，
则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为13，
故答案为：13；
(2)将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，
列表如下：

①
②
③
①

(②,①)
(③,①)
②
(①,②)

(③,②)
③
(①,③)
(②,③)

由表知，共有6种等可能结果，其中抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的有2种结果，
所以抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率为26=13．
(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】解：(1)把点A(−1,2)代入y=kx(k≠0)得：2=k−1，
∴k=−2，
∴反比例函数的解析式为y=−2x；

(2)∵反比例函数y=kx(k≠0)与正比例函数y=mx(m≠0)的图象交于点A(−1,2)和点B，
∴B(1,−2)，
∵点C是点A关于y轴的对称点，
∴C(1,2)，
∴CD=2，
∴S△ABC=12×2×(2+2)=4．

(3)根据图象得：不等式kx<mx的解集为x<−1或0<x<1．
【解析】(1)把点A(−1,2)代入y=kx(k≠0)可得k的值，求得反比例函数的解析式；
(2)根据对称性求得B、C的坐标然后利用三角形面积公式可求解．
(3)根据图象得出不等式kx<mx的解集即可．
本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．

22.【答案】解：(1)设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．
根据题意得：3x+y=1405x+3y=300，
解得：x=30y=50，
答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元．
(2)设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳(46−a)根，
由题意得：30(46−a)+50a≤1780，
解得：a≤20，
答：至多可以购买B种跳绳20根．
【解析】(1)设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．由题意：若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳(46−a)根，由题意：总费用不超过1780元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．

23.【答案】3  垂直
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，∠A=30°，
∴AB=3BC=33，
在Rt△BDE中，∠BDE=30°，BE=2，
∴BD=3BE=23，
∴EC=1，AD=3，
∴ADEC=3，此时AD⊥EC，
故答案为：3，垂直；

(2)结论成立．
理由：∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠CBE，
∵AB=3BC，BD=3BE，
∴ACBC=DBEB，
∴△ABD∽△CBE，
∴ADEC=ABBC=3，∠ADB=∠BEC，
∵∠ADB+∠CDB=180°，
∴∠CDB+∠BEC=180°，
∴∠DBE+∠DCE=180°，
∵∠DBE=90°，
∴∠DCE=90°，
∴AD⊥EC；

(3)如图3中，过点B作BJ⊥AC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KT⊥AC于点K．

∵∠AJB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABJ=60°，
∴∠KBJ=60°−α．
∵AB=33，
∴BJ=12AB=332，AJ=3BJ=92，
当DF=BE时，四边形BEFD是矩形，
∴∠ADB=90°，AD=AB2−BD2=(33)2−(23)2=15，
设KT=m，则AT=3m，AK=2m，
∵∠KTB=∠ADB=90°，
∴tanα=KTBT=ADBD，
∴mBT=1523，
∴BT=255m，
∴3m+255m=33，
∴m=45−61511，
∴AK=2m=90−121511，
∴KJ=AJ−AK=92−90−121511=2415−8122，
∴tan(60°−α)=KJBJ=85−9311．
(1)解直角三角形求出EC，AD，可得结论；
(2)结论不变，证明△ABD∽△CBE，推出ADEC=ABBC=3，∠ADB=∠BEC，可得结论；
(3)如图3中，过点B作BJ⊥AC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KT⊥AC于点K.求出BJ，JK，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

24.【答案】解：(1)将点A(−3,0)和点B(1,0)代入y=x2+bx+c，
∴9−3b+c=01+b+c=0，
解得b=2c=−3，
∴y=x2+2x−3；
(2)∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴抛物线的顶点(−1,−4)，
∵顶点(−1,−4)关于原点的对称点为(1,4)，
∴抛物线F2的解析式为y=−(x−1)2+4，
∴y=−x2+2x+3；
(3)由题意可得，抛物线F3的解析式为y=−(x−1)2+6=−x2+2x+5，
①联立方程组y=−x2+2x+5y=x2+2x−3，
解得x=2或x=−2，
∴C(−2,−3)或D(2,5)；
②设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴−2k+b=−32k+b=5，
解得k=2b=1，
∴y=2x+1，
过点M作MF//y轴交CD于点F，过点N作NE//y轴交于点E，
设M(m,m2+2m−3)，N(n,−n2+2n+3)，
则F(m,2m+1)，N(n,2n+1)，
∴MF=2m+1−(m2+2m−3)=−m2+4，
NE=−n2+2n+3−2n−1=−n2+2，
∵−2<m<2，−2<n<2，
∴当m=0时，MF有最大值4，
当n=0时，NE有最大值2，
∵S四边形CMDN=S△CDN+S△CDM=12×4×(MF+NE)=2(MF+NE)，
∴当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为12．
【解析】(1)将点A(−3,0)和点B(1,0)代入y=x2+bx+c，即可求解；
(2)利用对称性求出函数F1顶点(−1,−4)关于原点的对称点为(1,4)，即可求函数F2的解析式；
(3)①通过联立方程组y=−x2+2x+7y=x2+2x−3，求出C点和D点坐标即可；
②求出直线CD的解析式，过点M作MF//y轴交CD于点F，过点N作NE//y轴交于点E，设M(m,m2+2m−3)，N(n,−n2+2n+3)，则F(m,2m+2)，N(n,2n+1)，可求MF=−m2+4，NE=−n2+2，由S四边形CMDN=S△CDN+S△CDM=2(MF+NE)，分别求出MF的最大值4，NE的最大值2，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和对称的性质是解题的关键．

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