2020年湖南省湘潭市中考数学试卷（含解析版）.doc

2020年湖南省湘潭市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣6的绝对值是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
2．（3分）地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．0.6×108 B．6×107 C．6×108 D．6×109
3．（3分）已知2xn+1y3与x4y3是同类项，则n的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）下列运算中正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．（）﹣1＝﹣2 C．（2﹣）0＝1 D．a3•a3＝2a6
6．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°
7．（3分）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是（　　）

A．0.25 B．0.3 C．25 D．30
8．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx+b≥x时，则x的取值范围为（　　）

A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1
二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
9．（3分）计算：sin45°＝　 　．
10．（3分）在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为　 　．（任意写出一个即可）
11．（3分）计算：＝　 　．
12．（3分）走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是　 　步．
13．（3分）若，则＝　 　．
14．（3分）如图，在半径为6的⊙O中，圆心角∠AOB＝60°，则阴影部分面积为　 　．

15．（3分）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为　 　．

16．（3分）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
数字
形式
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式
|
||
|||
||||
|||||

横式

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是　 　．
三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）
17．（6分）解分式方程：+2＝．

18．（6分）化简求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣2．

19．（6分）生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．（温馨提示：用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班4个学生）
（1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果；
（2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．

20．（6分）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：≈1.732，≈4.123）

21．（6分）“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小时）进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：
收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5
整理数据：
时长x（小时）
4＜x≤5
5＜x≤6
6＜x≤7
7＜x≤8
人数
2
a
8
4
分析数据：
项目
平均数
中位数
众数
数据
6.4
6.5
b
应用数据：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）补全频数直方图；
（3）若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5＜x≤7小时的人数．

22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．

23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）．
（1）求过点B的反比例函数y＝的解析式；
（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．

24．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？

25．（10分）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面积．

26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．

（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．

2020年湖南省湘潭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣6的绝对值是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
【解答】解：负数的绝对值等于它的相反数，所以﹣6的绝对值是6．
故选：B．
【点评】本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．0.6×108 B．6×107 C．6×108 D．6×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：600000000＝6×108，
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）已知2xn+1y3与x4y3是同类项，则n的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据同类项的概念可得关于n的一元一次方程，求解方程即可得到n的值．
【解答】解：∵2xn+1y3与是同类项，
∴n+1＝4，
解得，n＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
4．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，解题的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（3分）下列运算中正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．（）﹣1＝﹣2 C．（2﹣）0＝1 D．a3•a3＝2a6
【分析】根据幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法法则即可逐一判断．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A错误；
B、，故B错误；
C、，正确；
D、a3•a3＝a6，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法，解题的关键是掌握基本的运算法则及公式．
6．（3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°
【分析】根据三角形的外角的性质进行计算即可．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠B+∠A，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B，
∵∠ACD＝110°，∠B＝50°，
∴∠A＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键
7．（3分）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是（　　）

A．0.25 B．0.3 C．25 D．30
【分析】先计算出八年级（3）班的全体人数，然后用选择“5G时代”的人数除以八年级（3）班的全体人数即可．
【解答】解：由图知，八年级（3）班的全体人数为：25+30+10+20+15＝100（人），
选择“5G时代”的人数为：30人，
∴选择“5G时代”的频率是：；
故选：B．
【点评】本题考查了频数分布折线图，及相应频率的计算，熟知以上知识是解题的关键．
8．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx+b≥x时，则x的取值范围为（　　）

A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1
【分析】将P（1，1）代入y＝kx+b（k＜0），可得k﹣1＝﹣b，再将kx+b≥x变形整理，得﹣bx+b≥0，求解即可．
【解答】解：由题意，将P（1，1）代入y＝kx+b（k＜0），
可得k+b＝1，即k﹣1＝﹣b，
整理kx+b≥x得，（k﹣1）x+b≥0，
∴﹣bx+b≥0，
由图象可知b＞0，
∴x﹣1≤0，
∴x≤1，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．
二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
9．（3分）计算：sin45°＝　　．
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°＝．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；
sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；
sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．
10．（3分）在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为　3　．（任意写出一个即可）
【分析】根据数轴表示数的意义，可得出答案为±3，±2，±1，0中任意写出一个即可．
【解答】解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：﹣3，3，﹣2，2，﹣1，1，0从中任选一个即可
故答案为：3（答案不唯一，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3任意一个均可）；
【点评】本题考查了数轴、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
11．（3分）计算：＝　　．
【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解．
【解答】解：＝2﹣＝．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
12．（3分）走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是　6400　步．
【分析】根据算术平均数的计算公式即可解答．
【解答】解：这3天步数的平均数是：（步），
故答案为：6400．
【点评】本题考查了平均数的计算，解题的关键是掌握平均数的计算公式．
13．（3分）若，则＝　　．
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．
【解答】解：由可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
14．（3分）如图，在半径为6的⊙O中，圆心角∠AOB＝60°，则阴影部分面积为　6π　．

【分析】直接根据扇形的面积计算公式计算即可．
【解答】解：阴影部分面积为，
故答案为：6π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．
15．（3分）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为　3　．

【分析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
【解答】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，
∴PM＝PD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
16．（3分）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
数字
形式
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式
|
||
|||
||||
|||||

横式

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是　9167　．
【分析】根据算筹计数法来计数即可．
【解答】解：根据算筹计数法，表示的数是：9167
故答案为：9167．
【点评】本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）
17．（6分）解分式方程：+2＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：
去分母得，3+2（x﹣1）＝x，
解得，x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
所以，原方程的解为：x＝﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18．（6分）化简求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣2．
【分析】根据分式的混合运算法则，先化简，再将a＝﹣2代入计算即可．
【解答】解：
＝
＝a﹣1，
将a＝﹣2代入得：原式＝﹣2﹣1＝﹣3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19．（6分）生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．（温馨提示：用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班4个学生）
（1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果；
（2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
【分析】（1）直接列举出所有可能出现的结果即可；
（2）列出表格，找出符合题意的可能结果，再利用概率公式求出概率即可．
【解答】解：（1）可能出现的结果有：男1女1、男1男2、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2；
（2）列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有4种情况，其中恰好选中一男一女有2种情况，
所以恰好选中一男一女的概率为．
【点评】本题考查列举法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．
20．（6分）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：≈1.732，≈4.123）

【分析】先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度．
【解答】解：∵DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，
∴在Rt△DCE中，＝10，
∴解得DC＝5．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝5．
∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，
∴，
∴BF＝4AB＝20，
∴在Rt△ABF中，≈20.62（m）．
故斜坡AF的长度约为20.62米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的性质，以及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键．
21．（6分）“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小时）进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：
收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5
整理数据：
时长x（小时）
4＜x≤5
5＜x≤6
6＜x≤7
7＜x≤8
人数
2
a
8
4
分析数据：
项目
平均数
中位数
众数
数据
6.4
6.5
b
应用数据：
（1）填空：a＝　6　，b＝　6.5　；
（2）补全频数直方图；
（3）若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5＜x≤7小时的人数．

【分析】（1）根据各组频数之和等于数据总数，可得5＜x≤6范围内的数据；找出数据中次数最多的数据即为所求；
（2）根据（1）中的数据画图即可；
（3）先算出样本中学习时长在5＜x≤7小时的人数所占的百分比，再用总数乘以这个百分比即可．
【解答】解：（1）由总人数是20人可得在5＜x≤6的人数是20﹣2﹣8﹣4＝6（人），所以a＝6，
根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以这组数据的众数b＝6.5；
故答案为：6，6.5；

（2）由（1）得a＝6．
频数分布直方图补充如下：

（3）由图可知，学习时长在5＜x≤7小时的人数所占的百分比＝×100%＝70%，
∴1000×70%＝700（人）．
∴学习时长在5＜x≤7小时的人数是700人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了众数，利用样本估计总体．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）AB为⊙O的直径得AD⊥BC，结合AB＝AC，用HL证明三角形全等；
（2）由△ABD≌△ACD得BD＝BC，结合AO＝BO得OD为△ABC的中位线，由DE⊥AC得OD⊥DE，可得直线DE为⊙O切线．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）；
（2）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，如图所示：

由△ABD≌△ACD知：BD＝DC，
又∵OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形判定和性质，切线的判定，平行线的判定和性质，熟知以上知识的应用是解题的关键．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）．
（1）求过点B的反比例函数y＝的解析式；
（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．

【分析】（1）由A的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）证明△OBF～△BDF，利用相似三角形的性质得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，
∵A（3，4），
∴OE＝3，AE＝4，
∴，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO＝AB＝OC＝5，AB∥x轴，
∴EF＝AB＝5，
∴OF＝OE+EF＝3+5＝8，
∴B（8，4）．
设过B点的反比例函数解析式为，
把B点坐标代入得，k＝32，
∴反比例函数解析式为；

（2）∵OB⊥BD，
∴∠OBD＝90°，
∴∠OBF+∠DBF＝90°，
∵∠DBF+∠BDF＝90°，
∴∠OBF＝∠BDF，
又∠OFB＝∠BFD＝90°，
∴△OBF～△BDF，
∴，
∴，
解得，DF＝2，
∴OD＝OF+DF＝8+2＝10，
∴D（10，0）．
设BD所在直线解析式为y＝kx+b，
把B（8，4），D（10，0）分别代入，
得：，解得，，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+20．

【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
24．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可；
（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
【解答】解：（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，
由题意得：，
解得．
答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，
根据题意得，
解得：，
则n可以取17、18、19、20，
当n＝17时，50﹣n＝33，共花费17×35+33×30＝1585（元）；
当n＝18时，50﹣n＝32，共花费18×35+32×30＝1590（元）；
当n＝19时，50﹣n＝31，共花费19×35+31×30＝1595（元）；
当n＝20时，50﹣n＝30，共花费20×35+30×30＝1600（元）；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
【点评】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．
25．（10分）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面积．
【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；
（2）根据（1）的证明可求解；
（3）①证明△CME∽△ABM，得，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；
②分别求出S△BMC和S△ABM即可求得正方形ABCD的面积．
【解答】解：（1）连接DE，如图一，
∵点O是△ABC的重心，
∴AD，BE是BC，AC边上的中线，
∴D，E为BC，AC边上的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴＝，
∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°，
∴AD＝，OD＝，
∴，＝；
（2）由（1）同理可得，，是定值；
点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1：3，
则△OBC和△ABC的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比，
故＝，是定值；
（3）①∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，AB＝BC＝CD＝4，
∴△CME～△AMB，
∴，
∵E为CD的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
②∴S△CME＝1，且，
∴S△BMC＝2，
∵，
∴，
∴S△AMB＝4，
∴S△ABC＝S△BMC+S△ABM＝2+4＝6，
又S△ADC＝S△ABC，
∴S△ADC＝6，
∴正方形ABCD的面积为：6+6＝12．

【点评】本题是一道相似形综合题目，主要考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．

（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．
【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；
②如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，根据轴对称的性质得到OB'＝OB，PB'＝PB，求出点B的坐标，利用勾股定理得到，再根据PB'＝PB，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；
（2）当b≥4时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当0≤x≤2时，函数的增减性，从而得到当x＝2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）①抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线，
∴若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴，
则，解得：b＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；

②存在，
如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，
则OB'＝OB，PB'＝PB，
对于y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴OB'＝OB＝5，
∴，
∴，
设点P（2，m），
由PB'＝PB可得：，解得：，
∴P（2，）；
同理，当点P在x轴下方时，P（2，﹣）．
综上所述，点P（2，）或P（2，﹣）；

（2）∵抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线，
∴当b≥4时，，
∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，取x＝2，y有最大值，
即y＝﹣4+2b+5＝2b+1，
∴3≤2b+1≤15，解得：1≤b≤7，
又∵b≥4，
∴4≤b≤7．

【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第（1）②问要先画出图形再理解，第（2）问运用到了二次函数的增减性，难度适中，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质．
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