苏州西浦附校七年级下册数学期末试卷测试卷(含答案解析).doc
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苏州西浦附校七年级下册数学期末试卷测试卷(含答案解析) 一、解答题 1.如图,已知直线,点在直线上,点在直线上,点在点的右侧,平分平分,直线交于点. (1)若时,则___________; (2)试求出的度数(用含的代数式表示); (3)将线段向右平行移动,其他条件不变,请画出相应图形,并直接写出的度数.(用含的代数式表示) 2.已知,AB∥CD.点M在AB上,点N在CD上. (1)如图1中,∠BME、∠E、∠END的数量关系为: ;(不需要证明) 如图2中,∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为: ;(不需要证明) (2)如图3中,NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E+∠F=180°,求∠FME的度数; (3)如图4中,∠BME=60°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQ∥NP,则∠FEQ的大小是否发生变化,若变化,请说明理由,若不变化,求出∠FEQ的度数. 3.已知直线,点P为直线、所确定的平面内的一点. (1)如图1,直接写出、、之间的数量关系 ; (2)如图2,写出、、之间的数量关系,并证明; (3)如图3,点E在射线上,过点E作,作,点G在直线上,作的平分线交于点H,若,,求的度数. 4.已知:如图,直线AB//CD,直线EF交AB,CD于P,Q两点,点M,点N分别是直线CD,EF上一点(不与P,Q重合),连接PM,MN. (1)点M,N分别在射线QC,QF上(不与点Q重合),当∠APM+∠QMN=90°时, ①试判断PM与MN的位置关系,并说明理由; ②若PA平分∠EPM,∠MNQ=20°,求∠EPB的度数.(提示:过N点作AB的平行线) (2)点M,N分别在直线CD,EF上时,请你在备用图中画出满足PM⊥MN条件的图形,并直接写出此时∠APM与∠QMN的关系.(注:此题说理时不能使用没有学过的定理) 5.已知,如图:射线分别与直线、相交于、两点,的角平分线与直线相交于点,射线交于点,设,且. (1)________,________;直线与的位置关系是______; (2)如图,若点是射线上任意一点,且,试找出与之间存在一个什么确定的数量关系?并证明你的结论. (3)若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转(如图)分别与、相交于点和点时,作的角平分线与射线相交于点,问在旋转的过程中的值变不变?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由. 二、解答题 6.[感知]如图①,,求的度数. 小乐想到了以下方法,请帮忙完成推理过程. 解:(1)如图①,过点P作. ∴(_____________), ∴, ∴________(平行于同一条直线的两直线平行), ∴_____________(两直线平行,同旁内角互补), ∴, ∴, ∴,即. [探究]如图②,,求的度数; [应用](1)如图③,在[探究]的条件下,的平分线和的平分线交于点G,则的度数是_________º. (2)已知直线,点A,B在直线a上,点C,D在直线b上(点C在点D的左侧),连接,若平分平分,且所在的直线交于点E.设,请直接写出的度数(用含的式子表示). 7.已知:三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中,直线MN经过点C,且,其中,,,点E、F均落在直线MN上. (1)如图1,当点C与点E重合时,求证:;聪明的小丽过点C作,并利用这条辅助线解决了问题.请你根据小丽的思考,写出解决这一问题的过程. (2)将三角形DEF沿着NM的方向平移,如图2,求证:; (3)将三角形DEF沿着NM的方向平移,使得点E移动到点,画出平移后的三角形DEF,并回答问题,若,则________.(用含的代数式表示) 8.如图,AB⊥AK,点A在直线MN上,AB、AK分别与直线EF交于点B、C,∠MAB+∠KCF=90°. (1)求证:EF∥MN; (2)如图2,∠NAB与∠ECK的角平分线交于点G,求∠G的度数; (3)如图3,在∠MAB内作射线AQ,使∠MAQ=2∠QAB,以点C为端点作射线CP,交直线AQ于点T,当∠CTA=60°时,直接写出∠FCP与∠ACP的关系式. 9.如图1,,E是、之间的一点. (1)判定,与之间的数量关系,并证明你的结论; (2)如图2,若、的两条平分线交于点F.直接写出与之间的数量关系; (3)将图2中的射线沿翻折交于点G得图3,若的余角等于的补角,求的大小. 10.(感知)如图①,,求的度数.小明想到了以下方法: 解:如图①,过点作, (两直线平行,内错角相等) (已知), (平行于同一条直线的两直线平行), (两直线平行,同旁内角互补). (已知), (等式的性质). (等式的性质). 即(等量代换). (探究)如图②,,,求的度数. (应用)如图③所示,在(探究)的条件下,的平分线和的平分线交于点,则的度数是_______________. 三、解答题 11.解读基础: (1)图1形似燕尾,我们称之为“燕尾形”,请写出、、、之间的关系,并说明理由; (2)图2形似8字,我们称之为“八字形”,请写出、、、之间的关系,并说明理由: 应用乐园:直接运用上述两个结论解答下列各题 (3)①如图3,在中,、分别平分和,请直接写出和的关系 ; ②如图4, . (4)如图5,与的角平分线相交于点,与的角平分线相交于点,已知,,求和的度数. 12.如图①,平分,⊥,∠B=450,∠C=730. (1) 求的度数; (2) 如图②,若把“⊥”变成“点F在DA的延长线上,”,其它条件不变,求 的度数; (3) 如图③,若把“⊥”变成“平分”,其它条件不变,的大小是否变化,并请说明理由. 13.如图,平分,平分, 请判断与的位置关系并说明理由; 如图,当且与的位置关系保持不变,移动直角顶点,使,当直角顶点点移动时,问与否存在确定的数量关系?并说明理由. 如图,为线段上一定点,点为直线上一动点且与的位置关系保持不变,①当点在射线上运动时(点除外),与有何数量关系?猜想结论并说明理由.②当点在射线的反向延长线上运动时(点除外),与有何数量关系?直接写出猜想结论,不需说明理由. 14.问题情境:如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°.求∠APC度数. 小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠APC=50°+60°=110°. 问题迁移: (1)如图3,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由; (2)在(1)的条件下,如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系. 15.如图,直线,一副直角三角板中,. (1)若如图1摆放,当平分时,证明:平分. (2)若如图2摆放时,则 (3)若图2中固定,将沿着方向平移,边与直线相交于点,作和的角平分线相交于点(如图3),求的度数. (4)若图2中的周长,现将固定,将沿着方向平移至点与重合,平移后的得到,点的对应点分别是,请直接写出四边形的周长. (5)若图2中固定,(如图4)将绕点顺时针旋转,分钟转半圈,旋转至与直线首次重合的过程中,当线段与的一条边平行时,请直接写出旋转的时间. 【参考答案】 一、解答题 1.(1)60°;(2)n°+40°;(3)n°+40°或n°-40°或220°-n° 【分析】 (1)过点E作EF∥AB,然后根据两直线平行内错角相等,即可求∠BED的度数; (2)同(1)中方法求解 解析:(1)60°;(2)n°+40°;(3)n°+40°或n°-40°或220°-n° 【分析】 (1)过点E作EF∥AB,然后根据两直线平行内错角相等,即可求∠BED的度数; (2)同(1)中方法求解即可; (3)分当点B在点A左侧和当点B在点A右侧,再分三种情况,讨论,分别过点E作EF∥AB,由角平分线的定义,平行线的性质,以及角的和差计算即可. 【详解】 解:(1)当n=20时,∠ABC=40°, 过E作EF∥AB,则EF∥CD, ∴∠BEF=∠ABE,∠DEF=∠CDE, ∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC, ∴∠BEF=∠ABE=20°,∠DEF=∠CDE=40°, ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=60°; (2)同(1)可知: ∠BEF=∠ABE=n°,∠DEF=∠CDE=40°, ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°; (3)当点B在点A左侧时,由(2)可知:∠BED=n°+40°; 当点B在点A右侧时, 如图所示,过点E作EF∥AB, ∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=2n°,∠ADC=80°, ∴∠ABE=∠ABC=n°,∠CDG=∠ADC=40°, ∵AB∥CD∥EF, ∴∠BEF=∠ABE=n°,∠CDG=∠DEF=40°, ∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°; 如图所示,过点E作EF∥AB, ∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=2n°,∠ADC=80°, ∴∠ABE=∠ABC=n°,∠CDG=∠ADC=40°, ∵AB∥CD∥EF, ∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°,∠CDE=∠DEF=40°, ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+40°=220°-n°; 如图所示,过点E作EF∥AB, ∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=n°,∠ADC=70°, ∴∠ABG=∠ABC=n°,∠CDE=∠ADC=40°, ∵AB∥CD∥EF, ∴∠BEF=∠ABG=n°,∠CDE=∠DEF=40°, ∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°; 综上所述,∠BED的度数为n°+40°或n°-40°或220°-n°. 【点睛】 此题考查了平行线的判定与性质,以及角平分线的定义,正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键. 2.(1)∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND;(2)120°;(3)不变,30° 【分析】 (1)过E作EH∥AB,易得EH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解;过F作FH∥AB 解析:(1)∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND;(2)120°;(3)不变,30° 【分析】 (1)过E作EH∥AB,易得EH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解;过F作FH∥AB,易得FH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解; (2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2(∠BME+∠END)+∠BMF-∠FND=180°,可求解∠BMF=60°,进而可求解; (3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME,进而可求解. 【详解】 解:(1)过E作EH∥AB,如图1, ∴∠BME=∠MEH, ∵AB∥CD, ∴HE∥CD, ∴∠END=∠HEN, ∴∠MEN=∠MEH+∠HEN=∠BME+∠END, 即∠BME=∠MEN﹣∠END. 如图2,过F作FH∥AB, ∴∠BMF=∠MFK, ∵AB∥CD, ∴FH∥CD, ∴∠FND=∠KFN, ∴∠MFN=∠MFK﹣∠KFN=∠BMF﹣∠FND, 即:∠BMF=∠MFN+∠FND. 故答案为∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND. (2)由(1)得∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND. ∵NE平分∠FND,MB平分∠FME, ∴∠FME=∠BME+∠BMF,∠FND=∠FNE+∠END, ∵2∠MEN+∠MFN=180°, ∴2(∠BME+∠END)+∠BMF﹣∠FND=180°, ∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND=180°, 即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND=180°, 解得∠BMF=60°, ∴∠FME=2∠BMF=120°; (3)∠FEQ的大小没发生变化,∠FEQ=30°. 由(1)知:∠MEN=∠BME+∠END, ∵EF平分∠MEN,NP平分∠END, ∴∠FEN=∠MEN=(∠BME+∠END),∠ENP=∠END, ∵EQ∥NP, ∴∠NEQ=∠ENP, ∴∠FEQ=∠FEN﹣∠NEQ=(∠BME+∠END)﹣∠END=∠BME, ∵∠BME=60°, ∴∠FEQ=×60°=30°. 【点睛】 本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义,作平行线的辅助线是解题的关键. 3.(1)∠A+∠C+∠APC=360°;(2)见解析;(3)55° 【分析】 (1)首先过点P作PQ∥AB,则易得AB∥PQ∥CD,然后由两直线平行,同旁内角互补,即可证得∠A+∠C+∠APC=360 解析:(1)∠A+∠C+∠APC=360°;(2)见解析;(3)55° 【分析】 (1)首先过点P作PQ∥AB,则易得AB∥PQ∥CD,然后由两直线平行,同旁内角互补,即可证得∠A+∠C+∠APC=360°; (2)作PQ∥AB,易得AB∥PQ∥CD,根据两直线平行,内错角相等,即可证得∠APC=∠A+∠C; (3)由(2)知,∠APC=∠PAB-∠PCD,先证∠BEF=∠PQB=110°、∠PEG=∠FEG,∠GEH=∠BEG,根据∠PEH=∠PEG-∠GEH可得答案. 【详解】 解:(1)∠A+∠C+∠APC=360° 如图1所示,过点P作PQ∥AB, ∴∠A+∠APQ=180°, ∵AB∥CD, ∴PQ∥CD, ∴∠C+∠CPQ=180°, ∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°,即∠A+∠C+∠APC=360°; (2)∠APC=∠A+∠C, 如图2,作PQ∥AB, ∴∠A=∠APQ, ∵AB∥CD, ∴PQ∥CD, ∴∠C=∠CPQ, ∵∠APC=∠APQ-∠CPQ, ∴∠APC=∠A-∠C; (3)由(2)知,∠APC=∠PAB-∠PCD, ∵∠APC=30°,∠PAB=140°, ∴∠PCD=110°, ∵AB∥CD, ∴∠PQB=∠PCD=110°, ∵EF∥BC, ∴∠BEF=∠PQB=110°, ∵EF∥BC, ∴∠BEF=∠PQB=110°, ∵∠PEG=∠PEF, ∴∠PEG=∠FEG, ∵EH平分∠BEG, ∴∠GEH=∠BEG, ∴∠PEH=∠PEG-∠GEH =∠FEG-∠BEG =∠BEF =55°. 【点睛】 此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用. 4.(1)①PM⊥MN,理由见解析;②∠EPB的度数为125°;(2)∠APM +∠QMN=90°或∠APM -∠QMN=90°. 【分析】 (1)①利用平行线的性质得到∠APM=∠PMQ,再根据已知条 解析:(1)①PM⊥MN,理由见解析;②∠EPB的度数为125°;(2)∠APM +∠QMN=90°或∠APM -∠QMN=90°. 【分析】 (1)①利用平行线的性质得到∠APM=∠PMQ,再根据已知条件可得到PM⊥MN; ②过点N作NH∥CD,利用角平分线的定义以及平行线的性质求得∠MNH=35°,即可求解; (2)分三种情况讨论,利用平行线的性质即可解决. 【详解】 解:(1)①PM⊥MN,理由见解析: ∵AB//CD, ∴∠APM=∠PMQ, ∵∠APM+∠QMN=90°, ∴∠PMQ +∠QMN=90°, ∴PM⊥MN; ②过点N作NH∥CD, ∵AB//CD, ∴AB// NH∥CD, ∴∠QMN=∠MNH,∠EPA=∠ENH, ∵PA平分∠EPM, ∴∠EPA=∠ MPA, ∵∠APM+∠QMN=90°, ∴∠EPA +∠MNH=90°,即∠ENH +∠MNH=90°, ∴∠MNQ +∠MNH +∠MNH=90°, ∵∠MNQ=20°, ∴∠MNH=35°, ∴∠EPA=∠ENH=∠MNQ +∠MNH=55°, ∴∠EPB=180°-55°=125°, ∴∠EPB的度数为125°; (2)当点M,N分别在射线QC,QF上时,如图: ∵PM⊥MN,AB//CD, ∴∠PMQ +∠QMN=90°,∠APM=∠PMQ, ∴∠APM +∠QMN=90°; 当点M,N分别在射线QC,线段PQ上时,如图: ∵PM⊥MN,AB//CD, ∴∠PMN=90°,∠APM=∠PMQ, ∴∠PMQ -∠QMN=90°, ∴∠APM -∠QMN=90°; 当点M,N分别在射线QD,QF上时,如图: ∵PM⊥MN,AB//CD, ∴∠PMQ +∠QMN=90°,∠APM+∠PMQ=180°, ∴∠APM+90°-∠QMN=180°, ∴∠APM -∠QMN=90°; 综上,∠APM +∠QMN=90°或∠APM -∠QMN=90°. 【点睛】 本题主要考查了平行线的判定与性质,熟练掌握两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,同位角相等等知识是解题的关键. 5.(1)35,35,平行;(2)∠FMN+∠GHF=180°,证明见解析;(3)不变,2 【分析】 (1)根据(α-35)2+|β-α|=0,即可计算α和β的值,再根据内错角相等可证AB∥CD; (2 解析:(1)35,35,平行;(2)∠FMN+∠GHF=180°,证明见解析;(3)不变,2 【分析】 (1)根据(α-35)2+|β-α|=0,即可计算α和β的值,再根据内错角相等可证AB∥CD; (2)先根据内错角相等证GH∥PN,再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN+∠GHF=180°; (3)作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R,先根据同位角相等证ER∥FQ,得∠FQM1=∠R,设∠PER=∠REB=x,∠PM1R=∠RM1B=y,得出∠EPM1=2∠R,即可得=2. 【详解】 解:(1)∵(α-35)2+|β-α|=0, ∴α=β=35, ∴∠PFM=∠MFN=35°,∠EMF=35°, ∴∠EMF=∠MFN, ∴AB∥CD; (2)∠FMN+∠GHF=180°; 理由:由(1)得AB∥CD, ∴∠MNF=∠PME, ∵∠MGH=∠MNF, ∴∠PME=∠MGH, ∴GH∥PN, ∴∠GHM=∠FMN, ∵∠GHF+∠GHM=180°, ∴∠FMN+∠GHF=180°; (3)的值不变,为2, 理由:如图3中,作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R, ∵AB∥CD, ∴∠PEM1=∠PFN, ∵∠PER=∠PEM1,∠PFQ=∠PFN, ∴∠PER=∠PFQ, ∴ER∥FQ, ∴∠FQM1=∠R, 设∠PER=∠REB=x,∠PM1R=∠RM1B=y, 则有:, 可得∠EPM1=2∠R, ∴∠EPM1=2∠FQM1, ∴==2. 【点睛】 本题主要考查平行线的判定与性质,熟练掌握内错角相等证平行,平行线同旁内角互补等知识是解题的关键. 二、解答题 6.[感知]见解析;[探究]70°;[应用](1)35;(2)或 【分析】 [感知]过点P作PM∥AB,根据平行线的性质得到∠1=∠AEP,∠2+∠PFD=180°,求出∠2的度数,结合∠1可得结果; 解析:[感知]见解析;[探究]70°;[应用](1)35;(2)或 【分析】 [感知]过点P作PM∥AB,根据平行线的性质得到∠1=∠AEP,∠2+∠PFD=180°,求出∠2的度数,结合∠1可得结果; [探究]过点P作PM∥AB,根据AB∥CD,PM∥CD,进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数; [应用](1)如图③所示,在[探究]的条件下,根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,可得∠G的度数; (2)画出图形,分点A在点B左侧和点A在点B右侧,两种情况,分别求解. 【详解】 解:[感知]如图①,过点P作PM∥AB, ∴∠1=∠AEP=40°(两直线平行,内错角相等) ∵AB∥CD, ∴PM∥CD(平行于同一条直线的两直线平行), ∴∠2+∠PFD=180°(两直线平行,同旁内角互补), ∴∠PFD=130°(已知), ∴∠2=180°-130°=50°, ∴∠1+∠2=40°+50°=90°,即∠EPF=90°; [探究]如图②,过点P作PM∥AB, ∴∠MPE=∠AEP=50°, ∵AB∥CD, ∴PM∥CD, ∴∠PFC=∠MPF=120°, ∴∠EPF=∠MPF-∠MPE=120°-50°=70°; [应用](1)如图③所示, ∵EG是∠PEA的平分线,FG是∠PFC的平分线, ∴∠AEG=∠AEP=25°,∠GFC=∠PFC=60°, 过点G作GM∥AB, ∴∠MGE=∠AEG=25°(两直线平行,内错角相等) ∵AB∥CD(已知), ∴GM∥CD(平行于同一条直线的两直线平行), ∴∠GFC=∠MGF=60°(两直线平行,内错角相等). ∴∠G=∠MGF-∠MGE=60°-25°=35°. 故答案为:35. (2)当点A在点B左侧时, 如图,故点E作EF∥AB,则EF∥CD, ∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF, ∵平分平分,, ∴∠ABE=∠BEF=,∠CDE=∠DEF=, ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=; 当点A在点B右侧时, 如图,故点E作EF∥AB,则EF∥CD, ∴∠DEF=∠CDE,∠ABG=∠BEF, ∵平分平分,, ∴∠DEF=∠CDE=,∠ABG=∠BEF=, ∴∠BED=∠DEF-∠BEF=; 综上:∠BED的度数为或. 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论,角平分线的定义,解决本题的关键是熟练运用平行线的性质. 7.(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析;. 【分析】 (1)过点C作,得到,再根据,,得到,进而得到,最后证明; (2)先证明,再证明,得到,问题得证; (3)根据题意得到,根据(2)结论得到∠D 解析:(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析;. 【分析】 (1)过点C作,得到,再根据,,得到,进而得到,最后证明; (2)先证明,再证明,得到,问题得证; (3)根据题意得到,根据(2)结论得到∠DEF=∠ECA=,进而得到,根据三角形内角和即可求解. 【详解】 解:(1)过点C作, , , , , , , , , ; (2)解:,, 又, , , , , , ; (3)如图三角形DEF即为所求作三角形. ∵, ∴, 由(2)得,DE∥AC, ∴∠DEF=∠ECA=, ∵, ∴∠ACB=, ∴ , ∴∠A=180°-=. 故答案为为:. 【点睛】 本题考查了平行线的判定,三角形的内角和等知识,综合性较强,熟练掌握相关知识,根据题意画出图形是解题关键. 8.(1)见解析;(2)∠CGA=45°;(3)∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°. 【分析】 (1)有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°,然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠K 解析:(1)见解析;(2)∠CGA=45°;(3)∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°. 【分析】 (1)有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°,然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠KCF,从而判断两直线平行; (2)设∠KAN=∠KCF=α,过点G作GH∥EF,结合角平分线的定义和平行线的判定及性质求解; (3)分CP交射线AQ及射线AQ的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解. 【详解】 解:(1)∵AB⊥AK ∴∠BAC=90° ∴∠MAB+∠KAN=90° ∵∠MAB+∠KCF=90° ∴∠KAN=∠KCF ∴EF∥MN (2)设∠KAN=∠KCF=α 则∠BAN=∠BAC+∠KAN=90°+α ∠KCB=180°-∠KCF=180°-α ∵AG平分∠NAB,CG平分∠ECK ∴∠GAN=∠BAN=45°+α,∠KCG=∠KCB=90°-α ∴∠FCG=∠KCG+∠KCF=90°+α 过点G作GH∥EF ∴∠HGC=∠FCG=90°+α 又∵MN∥EF ∴MN∥GH ∴∠HGA=∠GAN=45°+α ∴∠CGA=∠HGC-∠HGA=(90°+α)-(45°+α)=45° (3)①当CP交射线AQ于点T ∵ ∴ 又∵ ∴ 由(1)可得:EF∥MN ∴ ∵ ∴ ∵, ∴ ∴ 即∠FCP+2∠ACP=180° ②当CP交射线AQ的反向延长线于点T,延长BA交CP于点G ,由EF∥MN得 ∴ 又∵,, ∴ ∵, ∴ ∴ ∴ 由①可得 ∴ ∴ 综上,∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°. 【点睛】 本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系,准确理解题意,正确推理计算是解题关键. 9.(1),见解析;(2);(3)60° 【分析】 (1)作EF//AB,如图1,则EF//CD,利用平行线的性质得∠1=∠BAE,∠2=∠CDE,从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED; (2)如图2, 解析:(1),见解析;(2);(3)60° 【分析】 (1)作EF//AB,如图1,则EF//CD,利用平行线的性质得∠1=∠BAE,∠2=∠CDE,从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED; (2)如图2,由(1)的结论得∠AFD=∠BAF+∠CDF,根据角平分线的定义得到∠BAF=∠BAE,∠CDF=∠CDE,则∠AFD=(∠BAE+∠CDE),加上(1)的结论得到∠AFD=∠AED; (3)由(1)的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG,利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF,再利用等量代换得到∠AGD=2∠AED-∠BAE,加上90°-∠AGD=180°-2∠AED,从而可计算出∠BAE的度数. 【详解】 解:(1) 理由如下: 作,如图1, , . ,, ; (2)如图2,由(1)的结论得, 、的两条平分线交于点F, ,, , , ; (3)由(1)的结论得, 而射线沿翻折交于点G, , , , , . 【点睛】 本题考查了平行线性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等. 10.[探究] 70°;[应用] 35 【分析】 [探究]如图②,根据AB∥CD,∠AEP=50°,∠PFC=120°,即可求∠EPF的度数. [应用]如图③所示,在[探究]的条件下,根据∠PEA的平分线 解析:[探究] 70°;[应用] 35 【分析】 [探究]如图②,根据AB∥CD,∠AEP=50°,∠PFC=120°,即可求∠EPF的度数. [应用]如图③所示,在[探究]的条件下,根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,可得∠G的度数. 【详解】 解:[探究]如图②,过点P作PM∥AB, ∴∠MPE=∠AEP=50°(两直线平行,内错角相等) ∵AB∥CD(已知), ∴PM∥CD(平行于同一条直线的两直线平行), ∴∠PFC=∠MPF=120°(两直线平行,内错角相等). ∴∠EPF=∠MPF-MPE=120°50°=70°(等式的性质). 答:∠EPF的度数为70°; [应用]如图③所示, ∵EG是∠PEA的平分线,PG是∠PFC的平分线, ∴∠AEG=∠AEP=25°,∠GCF=∠PFC=60°, 过点G作GM∥AB, ∴∠MGE=∠AEG=25°(两直线平行,内错角相等) ∵AB∥CD(已知), ∴GM∥CD(平行于同一条直线的两直线平行), ∴∠GFC=∠MGF=60°(两直线平行,内错角相等). ∴∠G=∠MGF-MGE=60°-25°=35°. 答:∠G的度数是35°. 故答案为:35. 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论,解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质. 三、解答题 11.(1),理由详见解析;(2),理由详见解析:(3)①;②360°;(4); . 【分析】 (1)根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论; (2)根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结 解析:(1),理由详见解析;(2),理由详见解析:(3)①;②360°;(4); . 【分析】 (1)根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论; (2)根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论; (3)①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论; ②连结BE,由(2)的结论及四边形内角和为360°即可得出结论; (4)根据(1)的结论、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可得出结论. 【详解】 (1).理由如下: 如图1,,,,; (2).理由如下: 在中,,在中,,,; (3)①,,、分别平分和,,. 故答案为:. ②连结. ∵,. 故答案为:; (4)由(1)知,,,,,,,,,,,; . 【点睛】 本题考查了角平分线的性质,三角形内角和;熟练掌握角平分线的性质,进行合理的等量代换是解题的关键. 12.(1)∠DAE =14°;(2)∠DFE =14°;(3)∠DAE 的大小不变,∠DAE =14°,证明详见解析. 【分析】 (1)求出∠ADE的度数,利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE 解析:(1)∠DAE =14°;(2)∠DFE =14°;(3)∠DAE 的大小不变,∠DAE =14°,证明详见解析. 【分析】 (1)求出∠ADE的度数,利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数. (2)求出∠ADE的度数,利用∠DFE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数. (3)利用AE平分∠BEC,AD平分∠BAC,求出∠DFE=15°即是最好的证明. 【详解】 (1)∵∠B=45°,∠C=73°, ∴∠BAC=62°, ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD=31°, ∴∠ADE=∠B+∠BAD=45°+31°=76°, ∵AE⊥BC, ∴∠AEB=90°, ∴∠DAE=90°-∠ADE=14°. (2)同(1),可得,∠ADE=76°, ∵FE⊥BC, ∴∠FEB=90°, ∴∠DFE=90°-∠ADE=14°. (3)的大小不变.=14° 理由:∵ AD平分∠ BAC,AE平分∠BEC ∴∠BAC=2∠BAD,∠BEC=2∠AEB ∵ ∠BAC+∠B+∠BEC+∠C =360° ∴2∠BAD+2∠AEB=360°-∠B-∠C=242° ∴∠BAD+∠AEB=121° ∵ ∠ADE=∠B+∠BAD ∴∠ADE=45°+∠BAD ∴∠DAE=180°-∠AEB-∠ADE=180°-∠AEB-45°-∠BAD=135°-(∠AEB+∠BAD)=135°-121°=14° 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质,熟练掌握性质是解题的关键. 13.(1)详见解析;(2)∠BAE+∠MCD=90°,理由详见解析;(3)详见解析. 【详解】 试题分析:(1)先根据CE平分∠ACD,AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,再 解析:(1)详见解析;(2)∠BAE+∠MCD=90°,理由详见解析;(3)详见解析. 【详解】 试题分析:(1)先根据CE平分∠ACD,AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180,故可得出结论; (2)过E作EF∥AB,根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD,∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,故∠BAE+∠ECD=90°,再由∠MCE=∠ECD即可得出结论; (3)根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°,∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°,故∠BAC=∠PQC+∠QPC. 试题解析:证明:(1)∵CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∴∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE. ∵∠EAC+∠ACE=90°,∴∠BAC+∠ACD=180,∴AB∥CD; (2)∠BAE+∠MCD=90°.证明如下: 过E作EF∥AB.∵AB∥CD,∴EF∥∥AB∥CD,∴∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE. ∵∠E=90°,∴∠BAE+∠ECD=90°. ∵∠MCE=∠ECD,∴∠BAE+∠MCD=90°; (3)①∠BAC=∠PQC+∠QPC.理由如下: 如图3:∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°. ∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°,∴∠BAC=∠PQC+∠QPC; ②∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°.理由如下: 如图4:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACQ. ∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°,∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°. 点睛:本题考查了平行线的性质,根据题意作出平行线是解答此题的关键. 14.(1),理由见解析; (2)当点P在B、O两点之间时,; 当点P在射线AM上时,. 【分析】 (1)过P作PE∥AD交CD于E,推出AD∥PE∥BC,根据平行线的性质得出∠α=∠DPE,∠β=∠C 解析:(1),理由见解析; (2)当点P在B、O两点之间时,; 当点P在射线AM上时,. 【分析】 (1)过P作PE∥AD交CD于E,推出AD∥PE∥BC,根据平行线的性质得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出答案; (2)分两种情况:①点P在A、M两点之间,②点P在B、O两点之间,分别画出图形,根据平行线的性质得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出结论. 【详解】 解:(1)∠CPD=∠α+∠β,理由如下: 如图,过P作PE∥AD交CD于E. ∵AD∥BC, ∴AD∥PE∥BC, ∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE, ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β. (2)当点P在A、M两点之间时,∠CPD=∠β-∠α. 理由:如图,过P作PE∥AD交CD于E. ∵AD∥BC, ∴AD∥PE∥BC, ∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE, ∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α; 当点P在B、O两点之间时,∠CPD=∠α-∠β. 理由:如图,过P作PE∥AD交CD于E. ∵AD∥BC, ∴AD∥PE∥BC, ∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE, ∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β. 【点睛】 本题考查了平行线的性质的运用,主要考核了学生的推理能力,解决问题的关键是作平行线构造内错角,利用平行线的性质进行推导.解题时注意:问题(2)也可以运用三角形外角性质来解决. 15.(1)见详解;(2)15°;(3)67.5°;(4)45cm;(5)10s或30s或40s 【分析】 (1)运用角- 配套讲稿:
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