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2017年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（大题共12小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣7的绝对值是（　　）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
2．（3分）“五一”期间，某市共接待海内外游客约567000人次，将567000用科学记数法表示为（　　）
A．567×103 B．56.7×104 C．5.67×105 D．0.567×106
3．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．2x•3x＝6x B．3x﹣2x＝x C．（2x）2＝4x D．6x÷2x＝3x
4．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（　　）

A． B．2 C．6 D．8
7．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．四边都相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
8．（3分）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S＝，其中p＝；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S＝，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　）
A．7 B．11 C．12 D．16
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）

A． B． C． D．
12．（3分）已知抛物线y＝x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y＝x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）
13．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是　 　．
14．（3分）分解因式：2m2﹣8＝　 　．
15．（3分）若关于x的分式方程+＝3的解为正实数，则实数m的取值范围是　 　．
16．（3分）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD＝2cm，OE＝4cm，则线段AO的长度为　 　cm．
三、解答题（本大题共3小题，每题6分，共18分）
17．（6分）计算：（﹣3）2+20170﹣×sin45°．
18．（6分）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF＝DC，∠A＝∠D，BC∥EF，求证：AB＝DE．

19．（6分）化简：•（1+）．
四、本大题共2小题，每小题7分，共14分
20．（7分）某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；
（3）估计该单位750名职工共捐书多少本？

21．（7分）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
五、本大题共2小题，每小题8分，共16分.
22．（8分）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．

23．（8分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数y＝﹣的图象交于点B（a，4）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1＝k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2＝的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．
六、本大题共两个小题，每小题12分，共24分
24．（12分）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；
（2）若AC＝6，AB＝10，求CG的长．

25．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．

2017年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（大题共12小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】根据绝对值的性质解答，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a．
【解答】解：|﹣7|＝7．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：567000＝5.67×105，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝6x2，不符合题意；
B、原式＝x，符合题意；
C、原式＝4x2，不符合题意；
D、原式＝3，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．【分析】根据左视图是从左边看到的图形解答．
【解答】解：左视图有2行，每行一个小正方体．
故选：D．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
5．【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：由A（a，1）关于原点的对称点为B（﹣4，b），得
a＝4，b＝﹣1，
a+b＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
6．【分析】根据垂径定理，可得答案．
【解答】解：连接OC，

由题意，得
OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，
CE＝ED＝＝，
CD＝2CE＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，利用勾股定理，垂径定理是解题关键．
7．【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．
【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；
B、矩形的对角线相等，故错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，
故选：D．
【点评】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．【分析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可判断．
【解答】解：当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．
选项C中的曲线，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．故C中曲线不能表示y是x的函数，
故选：C．
【点评】考查了函数的概念，理解函数的定义，是解决本题的关键．
9．【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为2，3，4的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：∵S＝，
∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．
10．【分析】由根与系数的关系可得出m+n＝2t、mn＝t2﹣2t+4，将其代入（m+2）（n+2）＝mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）＝（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值．
【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，
∴m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4，
∴（m+2）（n+2）＝mn+2（m+n）+4＝t2+2t+8＝（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7＝16．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及二次函数的最值，根据根与系数的关系找出（m+2）（n+2）＝（t+1）2+7是解题的关键．
11．【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF＝AF，EF＝AE，由矩形的对称性得：AE＝DE，得出EF＝DE，设EF＝x，则DE＝3x，由勾股定理求出DF＝＝2x，再由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝BC＝AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴＝，
∴EF＝AF，
∴EF＝AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE＝DE，
∴EF＝DE，设EF＝x，则DE＝3x，
∴DF＝＝2x，
∴tan∠BDE＝＝＝；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
12．【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝x2+1于点P，由PF＝PE结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF周长取最小值，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出△PMF周长的最小值．
【解答】解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，
∵F（0，2）、M（，3），
∴ME＝3，FM＝＝2，
∴△PMF周长的最小值＝ME+FM＝3+2＝5．
故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的性质以及三角形三边关系，根据三角形的三边关系确定点P的位置是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）
13．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解；袋子中球的总数为：4+2＝6，
∴摸到白球的概率为：＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
14．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：2m2﹣8，
＝2（m2﹣4），
＝2（m+2）（m﹣2）．
故答案为：2（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
15．【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：+＝3，
方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m＝3x﹣6，
解得，x＝，
∵≠2，
∴m≠2，
由题意得，＞0，
解得，m＜6，
故答案为：m＜6且m≠2．
【点评】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
16．【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．
【解答】解：连接AO并延长，交BC于H，
由勾股定理得，DE＝＝2，
∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，
∴BC＝2DE＝4，O是△ABC的重心，
∴AH是中线，又BD⊥CE，
∴OH＝BC＝2，
∵O是△ABC的重心，
∴AO＝2OH＝4，
故答案为：4．

【点评】本题考查的是重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
三、解答题（本大题共3小题，每题6分，共18分）
17．【分析】首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（﹣3）2+20170﹣×sin45°
＝9+1﹣3×
＝10﹣3
＝7
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．【分析】欲证明AB＝DE，只要证明△ABC≌△DEF即可．
【解答】证明：∵AF＝CD，
∴AC＝DF，
∵BC∥EF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
19．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝•＝．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、本大题共2小题，每小题7分，共14分
20．【分析】（1）根据题意列式计算得到D类书的人数，补全条形统计图即可；
（2）根据次数出现最多的数确定众数，按从小到大顺序排列好后求得中位数；
（3）用捐款平均数乘以总人数即可．
【解答】解（1）捐D类书的人数为：30﹣4﹣6﹣9﹣3＝8，
补图如图所示；
（2）众数为：6 中位数为：6
平均数为：＝（4×4+5×6+6×9+7×8+8×3）＝6；
（3）750×6＝4500，
即该单位750名职工共捐书约4500本．

【点评】此题主要考查了中位数，众数，平均数的求法，条形统计图的画法，用样本估计总体的思想和计算方法；要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
21．【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程组求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个．根据：购买的乙种书柜的数量≥甲种书柜数量且所需资金≤4320列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．
【解答】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：
，
解之得：，
答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．

（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；
由题意得：
解之得：8≤m≤10
因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，
方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，
方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．
五、本大题共2小题，每小题8分，共16分.
22．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD＝30°，设BC＝x，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：
∠BCD＝30°，设BC＝x，则：
在Rt△BCD中，BD＝BC•sin30°＝x，CD＝BC•cos30°＝x；
∴AD＝30x，
∵AD2+CD2＝AC2，即：（30+x）2+（x）2＝702，
解之得：x＝50（负值舍去），
答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里．

【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
23．【分析】（1）根据点B的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）根据“上加下减”找出直线l的解析式，联立直线l和反比例函数解析式成方程组，解方程组可找出交点坐标，画出函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出使y1＜y2成立的x的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝﹣的图象过点B（a，4），
∴4＝﹣，解得：a＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，4）．
将A（2，﹣6）、B（﹣3，4）代入y＝kx+b中，
，解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣2．

（2）直线AB向上平移10个单位后得到直线l的解析式为：y1＝﹣2x+8．
联立直线l和反比例函数解析式成方程组，
，解得：，，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为（1，6）和（3，2）．
画出函数图象，如图所示．
观察函数图象可知：当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数图象在直线l的上方，
∴使y1＜y2成立的x的取值范围为0＜x＜1或x＞3．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出两函数图象的交点坐标．
六、本大题共两个小题，每小题12分，共24分
24．【分析】（1）欲证明DF∥OA，只要证明OA⊥CD，DF⊥CD即可；
（2）过点作EM⊥OC于M，易知＝，只要求出EM、FM、FC即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接OD．
∵AB与⊙O相切于点D，又AC与⊙O相切于点C，
∴AC＝AD，OC⊥CA．
∴CF是⊙O的直径，
∵OC＝OD，
∴OA⊥CD，
∵CF是直径，
∴∠CDF＝90°，
∴DF⊥CD，
∴DF∥AO．

（2）过点作EM⊥OC于M，
∵AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝8，
∴AD＝AC＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝4，
∵AB是切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∵CF是直径，
∴∠CDF＝90°，
∵∠BDF+∠ODF＝90°，∠CDO+∠ODF＝90°，
∴∠BDF＝∠CDO，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠BDF＝∠BCD，
∴△BDF∽△BCD，可得BD2＝BF•BC，
∴BF＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝6．OC＝CF＝3，
∴OA＝＝3，
∵OC2＝OE•OA，
∴OE＝，
∵EM∥AC，
∴＝＝＝，
∴OM＝，EM＝，FM＝OF+OM＝，
∴＝＝＝，
∴CG＝EM＝2．

【点评】本题考查切线的性质、直径的性质、切线长定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
25．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；
（3）可设出P点坐标，表示出△PAB、△AFO、△COB，利用S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AFO﹣S△BOC可表示成关于P点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．．
【解答】解：
（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；

（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，

∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO＝∠DBA，即点D满足条件，
∴D（3，2）；
当点D在x轴下方时，
∵∠DBA＝∠CAO，
∴BD∥AC，
∵C（0，2），
∴可设直线AC解析式为y＝kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k＝2，
∴直线AC解析式为y＝2x+2，
∴可设直线BD解析式为y＝2x+m，把B（4，0）代入可求得m＝﹣8，
∴直线BD解析式为y＝2x﹣8，
联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，
∴D（﹣5，﹣18）；
综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；

（3）设P（t，﹣t2+t+2），
∵AB＝5，OC＝2，
∴S△PAB＝（﹣t2+t+2）×5＝﹣t2+t+5，
∵＝，
∴OF＝﹣（t﹣4），
∴S△AFO＝×1×[﹣（t﹣4）]＝﹣（t﹣4），且S△BOC＝×2×4＝4，
∴S1﹣S2＝﹣t2+t+5+（t﹣4）﹣4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．
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