2015年浙江省温州市中考数学试卷(含解析版).doc
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2015年浙江省温州市中考数学试卷 一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分) 1.(4分)(2015•温州)给出四个数0,,﹣1,其中最小的是( ) A.0 B. C.1 D. ﹣1 2.(4分)(2015•温州)将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示),它的主视图是( ) A. B. C. D. 3.(4分)(2015•温州)某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示,若参加人数最少的小组有25人,则参加人数最多的小组有( ) A.25人 B.35人 C.40人 D. 100人 4.(4分)(2015•温州)下列选项中的图形,不属于中心对称图形的是( ) A.等边三角形 B.正方形 C.正六边形 D. 圆 5.(4分)(2015•温州)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosA的值是( ) A. B. C. D. 6.(4分)(2015•温州)若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根,则c的值是( ) A.﹣1 B.1 C.﹣4 D. 4 7.(4分)(2015•温州)不等式组的解是( ) A.x<1 B.x≥3 C.1≤x<3 D. 1<x≤3 8.(4分)(2015•温州)如图,点A的坐标是(2,0),△ABO是等边三角形,点B在第一象限.若反比例函数y=的图象经过点B,则k的值是( ) A.1 B.2 C. D. 9.(4分)(2015•温州)如图,在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE⊥OC,分别交OA,OB于点D,E,以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE=∠GFH=120°,FG=FE,设OC=x,图中阴影部分面积为y,则y与x之间的函数关系式是( ) A.y= B.y= C.y=2 D. y=3 10.(4分)(2015•温州)如图,C是以AB为直径的半圆O上一点,连结AC,BC,分别以AC,BC为边向外作正方形ACDE,BCFG.DE,FC,的中点分别是M,N,P,Q.若MP+NQ=14,AC+BC=18,则AB的长为( ) A. B. C.13 D. 16 二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分) 11.(5分)(2015•温州)分解因式:a2﹣2a+1= . 12.(5分)(2015•温州)一个不透明的袋中只装有1个红球和2个篮球,它们除颜色外其余均相同.现随机从袋中摸出两个球,颜色是一红一蓝的概率是 . 13.(5分)(2015•温州)已知扇形的圆心角为120°,弧长为2π,则它的半径为 . 14.(5分)(2015•温州)方程的根为 . 15.(5分)(2015•温州)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为 m2. 16.(5分)(2015•温州)图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品.该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成(不重叠、无缝隙).图乙中,EF=4cm,上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2,其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到,则该菱形的周长为 cm. 三、解答题(本题有8小题,共80分) 17.(10分)(2015•温州)(1)计算:20150+ (2)化简:(2a+1)(2a﹣1)﹣4a(a﹣1) 18.(8分)(2015•温州)如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D. (1)求证:AB=CD. (2)若AB=CF,∠B=30°,求∠D的度数. 19.(8分)(2015•温州)某公司需招聘一名员工,对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核.甲、乙、丙各项得分如下表: 笔试 面试 体能 甲 83 79 90 乙 85 80 75 丙 80 90 73 (1)根据三项得分的平均分,从高到低确定三名应聘者的排名顺序. (2)该公司规定:笔试,面试、体能得分分别不得低于80分,80分,70分,并按60%,30%,10%的比例计入总分.根据规定,请你说明谁将被录用. 20.(8分)(2015•温州)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何计算它的面积?奥地利数学家皮克(G•Pick,1859~1942年)证明了格点多边形的面积公式S=a+b﹣1,其中a表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形的面积.如图,a=4,b=6,S=4+×6﹣1=6 (1)请在图中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积. (2)请在图乙中画一个格点三角形,使它的面积为,且每条边上除顶点外无其它格点.(注:图甲、图乙在答题纸上) 21.(10分)(2015•温州)如图,AB是半圆O的直径,CD⊥AB于点C,交半圆于点E,DF切半圆于点F.已知∠AEF=135°. (1)求证:DF∥AB; (2)若OC=CE,BF=,求DE的长. 22.(10分)(2015•温州)某农业观光园计划将一块面积为900m2的圆圃分成A,B,C三个区域,分别种植甲、乙、丙三种花卉,且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株.已知B区域面积是A区域面积的2倍.设A区域面积为x(m2). (1)求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式. (2)若三种花卉共栽种6600株,则A,B,C三个区域的面积分别是多少? (3)若三种花卉的单价(都是整数)之和为45元,且差价均不超过10元,在(2)的前提下,全部栽种共需84000元.请写出甲、乙、丙三种花卉中,种植面积最大的花卉总价. 23.(12分)(2015•温州)如图,抛物线y=﹣x2+6x交x轴正半轴于点A,顶点为M,对称轴MB交x轴于点B.过点C(2,0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方),OE∥CD交MB于点E,EF∥x轴交CD于点F,作直线MF. (1)求点A,M的坐标. (2)当BD为何值时,点F恰好落在该抛物线上? (3)当BD=1时 ①求直线MF的解析式,并判断点A是否落在该直线上. ②延长OE交FM于点G,取CF中点P,连结PG,△FPG,四边形DEGP,四边形OCDE的面积分别记为S1,S2,S3,则S1:S2:S3= 3:4:8 . 24.(14分)(2015•温州)如图,点A和动点P在直线l上,点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边作Rt△ABQ,使∠BAQ=90°,AQ:AB=3:4,作△ABQ的外接圆O.点C在点P右侧,PC=4,过点C作直线m⊥l,过点O作OD⊥m于点D,交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F,使DF=CD,以DE,DF为邻边作矩形DEGF.设AQ=3x. (1)用关于x的代数式表示BQ,DF. (2)当点P在点A右侧时,若矩形DEGF的面积等于90,求AP的长. (3)在点P的整个运动过程中, ①当AP为何值时,矩形DEGF是正方形? ②作直线BG交⊙O于点N,若BN的弦心距为1,求AP的长(直接写出答案). 第37页(共37页) 2015年浙江省温州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分) 1.(4分)(2015•温州)给出四个数0,,﹣1,其中最小的是( ) A.0 B. C.1 D. ﹣1 【考点】实数大小比较.. 【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可. 【解答】解:根据实数比较大小的方法,可得 ﹣1<0<, ∴四个数0,,﹣1,其中最小的是﹣1. 故选:D. 【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小. 2.(4分)(2015•温州)将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示),它的主视图是( ) A. B. C. D. 【考点】简单组合体的三视图.. 【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中. 【解答】解:从正面看易得主视图为长方形,中间有两条垂直地面的虚线. 故选A. 【点评】本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图. 3.(4分)(2015•温州)某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示,若参加人数最少的小组有25人,则参加人数最多的小组有( ) A.25人 B.35人 C.40人 D. 100人 【考点】扇形统计图.. 【分析】根据参加足球的人数除以参加足球所长的百分比,可得参加兴趣小组的总人数,参加兴趣小组的总人数乘以参加乒乓球所占的百分比,可得答案. 【解答】解:参加兴趣小组的总人数25÷25%=100(人), 参加乒乓球小组的人数100×(1﹣25%﹣35%)=40(人), 故选:C. 【点评】本题考查了扇形统计图,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键,扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小. 4.(4分)(2015•温州)下列选项中的图形,不属于中心对称图形的是( ) A.等边三角形 B.正方形 C.正六边形 D. 圆 【考点】中心对称图形.. 【分析】根据中心对称图形的概念求解. 【解答】解:A、不是中心对称图形,故本选项正确; B、是中心对称图形,故本选项错误; C、是中心对称图形,故本选项错误; D、是中心对称图形,故本选项错误. 故选A. 【点评】本题考查了中心对称图形的概念:中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合. 5.(4分)(2015•温州)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosA的值是( ) A. B. C. D. 【考点】锐角三角函数的定义.. 【分析】根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可. 【解答】解:∵AB=5,BC=3, ∴AC=4, ∴cosA==. 故选D. 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边 6.(4分)(2015•温州)若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根,则c的值是( ) A.﹣1 B.1 C.﹣4 D. 4 【考点】根的判别式.. 【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4×4c=0,然后解一次方程即可. 【解答】解:∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根, ∴△=42﹣4×4c=0, ∴c=1, 故选B. 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根. 7.(4分)(2015•温州)不等式组的解是( ) A.x<1 B.x≥3 C.1≤x<3 D. 1<x≤3 【考点】解一元一次不等式组.. 【分析】先求出每个不等式的解集,再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可. 【解答】解: ∵解不等式①得:x>1, 解不等式②得:x≤3, ∴不等式组的解集为1<x≤3, 故选D. 【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用,解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集,难度适中. 8.(4分)(2015•温州)如图,点A的坐标是(2,0),△ABO是等边三角形,点B在第一象限.若反比例函数y=的图象经过点B,则k的值是( ) A.1 B.2 C. D. 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;等边三角形的性质.. 【分析】首先过点A作BC⊥OA于点C,根据AO=2,△ABO是等边三角形,得出B点坐标,进而求出反比例函数解析式. 【解答】解:过点A作BC⊥OA于点C, ∵点A的坐标是(2,0), ∴AO=2, ∵△ABO是等边三角形, ∴OC=1,BC=, ∴点B的坐标是(1,), 把(1,)代入y=, 得k=. 故选C. 【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识,根据已知表示出B点坐标是解题关键. 9.(4分)(2015•温州)如图,在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE⊥OC,分别交OA,OB于点D,E,以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE=∠GFH=120°,FG=FE,设OC=x,图中阴影部分面积为y,则y与x之间的函数关系式是( ) A.y= B.y= C.y=2 D. y=3 【考点】菱形的性质;等边三角形的判定与性质;解直角三角形.. 【分析】由在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE⊥OC,可得△OCD与△OCE是等腰直角三角形,即可得OC垂直平分DE,求得DE=2x,再由∠DFE=∠GFH=120°,可求得C与DF,EF的长,继而求得△DF的面积,再由菱形FGMH中,FG=FE,得到△FGM是等边三角形,即可求得其面积,继而求得答案. 【解答】解:∵ON是Rt∠AOB的平分线, ∴∠DOC=∠EOC=45°, ∵DE⊥OC, ∴∠ODC=∠OEC=45°, ∴CD=CE=OC=x, ∴DF=EF,DE=CD+CE=2x, ∵∠DFE=∠GFH=120°, ∴∠CEF=30°, ∴CF=CE•tan30°=x, ∴EF=2CF=x, ∴S△DEF=DE•CF=x2, ∵四边形FGMH是菱形, ∴FG=MG=FE=x, ∵∠G=180°﹣∠GFH=60°, ∴△FMG是等边三角形, ∴S△FGH=x2, ∴S菱形FGMH=x2, ∴S阴影=S△DEF+S菱形FGMH=x2. 故选B. 【点评】此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意证得△OCD与△OCE是等腰直角三角形,△FGM是等边三角形是关键. 10.(4分)(2015•温州)如图,C是以AB为直径的半圆O上一点,连结AC,BC,分别以AC,BC为边向外作正方形ACDE,BCFG.DE,FC,的中点分别是M,N,P,Q.若MP+NQ=14,AC+BC=18,则AB的长为( ) A. B. C.13 D. 16 【考点】梯形中位线定理.. 【分析】连接OP,OQ,根据DE,FC,的中点分别是M,N,P,Q得到OP⊥AC,OQ⊥BC,从而得到H、I是AC、BD的中点,利用中位线定理得到OH+OI=(AC+BC)=9和PH+QI,从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解. 【解答】解:连接OP,OQ, ∵DE,FC,的中点分别是M,N,P,Q, ∴OP⊥AC,OQ⊥BC, ∴H、I是AC、BD的中点, ∴OH+OI=(AC+BC)=9, ∵MH+NI=AC+BC=18,MP+NQ=14, ∴PH+QI=18﹣14=4, ∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13, 故选C. 【点评】本题考查了中位线定理,解题的关键是正确的作出辅助线,题目中还考查了垂径定理的知识,难度不大. 二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分) 11.(5分)(2015•温州)分解因式:a2﹣2a+1= (a﹣1)2 . 【考点】因式分解-运用公式法.. 专题: 计算题. 【分析】观察原式发现,此三项符合差的完全平方公式a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2,即可把原式化为积的形式. 【解答】解:a2﹣2a+1=a2﹣2×1×a+12=(a﹣1)2. 故答案为:(a﹣1)2. 【点评】本题考查了完全平方公式分解因式,熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键. 12.(5分)(2015•温州)一个不透明的袋中只装有1个红球和2个篮球,它们除颜色外其余均相同.现随机从袋中摸出两个球,颜色是一红一蓝的概率是 . 【考点】列表法与树状图法.. 【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与随机从袋中摸出两个球,颜色是一红一蓝的情况,再利用概率公式即可求得答案. 【解答】解:画树状图得: ∵共有6种等可能的结果,随机从袋中摸出两个球,颜色是一红一蓝的有4种情况, ∴随机从袋中摸出两个球,颜色是一红一蓝的概率是:=. 故答案为:. 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 13.(5分)(2015•温州)已知扇形的圆心角为120°,弧长为2π,则它的半径为 3 . 【考点】弧长的计算.. 【分析】根据弧长公式代入求解即可. 【解答】解:∵L=, ∴R==3. 故答案为:3. 【点评】本题考查了弧长的计算,解答本题的关键是掌握弧长公式:L=. 14.(5分)(2015•温州)方程的根为 x=2 . 【考点】解分式方程.. 【分析】观察可得最简公分母是x(x+1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解. 【解答】解:去分母得:2(x+1)=3x 即2x+2=3x 解得:x=2 经检验:x=2是原方程的解. 故答案是:x=2 【点评】(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解. (2)解分式方程一定注意要验根. 15.(5分)(2015•温州)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为 75 m2. 【考点】二次函数的应用.. 【分析】设垂直于墙的材料长为x米,则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x,表示出总面积S=x(30﹣3x)=﹣3x2+30x=﹣3(x﹣5)2+75即可求得面积的最值. 【解答】解:设垂直于墙的材料长为x米, 则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x, 则总面积S=x(30﹣3x)=﹣3x2+30x=﹣3(x﹣5)2+75, 故饲养室的最大面积为75平方米, 故答案为:75. 【点评】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型,难度不大. 16.(5分)(2015•温州)图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品.该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成(不重叠、无缝隙).图乙中,EF=4cm,上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2,其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到,则该菱形的周长为 cm. 【考点】菱形的性质;矩形的性质.. 【分析】首先取CD的中点G,连接HG,设AB=6acm,则BC=7acm,中间菱形的对角线HI的长度为xcm;然后根据GH∥BC,可得x=3.5a﹣2;再根据上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2,可得a(7a﹣x)=18,据此求出a、x的值各是多少;最后根据AM∥FC,求出HK的长度,再用HK的长度乘以4,求出该菱形的周长为多少即可. 【解答】解:如图乙,取CD的中点G,连接HG,, 设AB=6acm,则BC=7acm,中间菱形的对角线HI的长度为xcm, ∵BC=7acm,MN=EF=4cm, ∴CN=, ∵GH∥BC, ∴, ∴, ∴x=3.5a﹣2…(1); ∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2, ∴6a•(7a﹣x)÷2=54, ∴a(7a﹣x)=18…(2); 由(1)(2),可得 a=2,x=5, ∴CD=6×2=12(cm),CN=, ∴DN==15(cm), 又∵DH===7.5(cm), ∴HN=15﹣7.5=7.5(cm), ∵AM∥FC, ∴, ∴HK=, ∴该菱形的周长为: =(cm). 故答案为:. 【点评】(1)此题主要考查了菱形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①菱形具有平行四边形的一切性质;②菱形的四条边都相等;③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线. (2)此题还考查了矩形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①平行四边形的性质矩形都具有;②角:矩形的四个角都是直角;③边:邻边垂直; ④对角线:矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形,又是中心对称图形.它有2条对称轴,分别是每组对边中点连线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点. 三、解答题(本题有8小题,共80分) 17.(10分)(2015•温州)(1)计算:20150+ (2)化简:(2a+1)(2a﹣1)﹣4a(a﹣1) 【考点】整式的混合运算;实数的运算.. 【分析】(1)先算乘方、化简二次根式与乘法,最后算加法; (2)利用平方差公式和整式的乘法计算,进一步合并得出答案即可. 【解答】解:(1)原式=1+2﹣1 =2; (2)原式=4a2﹣1﹣4a2+4a =4a﹣1. 【点评】此题考查整式的混合运算,掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键. 18.(8分)(2015•温州)如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D. (1)求证:AB=CD. (2)若AB=CF,∠B=30°,求∠D的度数. 【考点】全等三角形的判定与性质.. 【分析】(1)易证得△ABE≌△CDF,即可得AB=CD; (2)易证得△ABE≌△CDF,即可得AB=CD,又由AB=CF,∠B=30°,即可证得△ABE是等腰三角形,解答即可. 【解答】证明:(1)∵AB∥CD, ∴∠B=∠C, 在△ABE和△CDF中, , ∴△ABE≌△CDF(AAS), ∴AB=CD; (2)∵△ABE≌△CDF, ∴AB=CD,BE=CF, ∵AB=CF,∠B=30°, ∴AB=BE, ∴△ABE是等腰三角形, ∴∠D=. 【点评】此题考查全等三角形问题,关键是根据AAS证明三角形全等,再利用全等三角形的性质解答. 19.(8分)(2015•温州)某公司需招聘一名员工,对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核.甲、乙、丙各项得分如下表: 笔试 面试 体能 甲 83 79 90 乙 85 80 75 丙 80 90 73 (1)根据三项得分的平均分,从高到低确定三名应聘者的排名顺序. (2)该公司规定:笔试,面试、体能得分分别不得低于80分,80分,70分,并按60%,30%,10%的比例计入总分.根据规定,请你说明谁将被录用. 【考点】加权平均数.. 【分析】(1)代入求平均数公式即可求出三人的平均成绩,比较得出结果; (2)由于甲的面试成绩低于80分,根据公司规定甲被淘汰;再将乙与丙的总成绩按比例求出测试成绩,比较得出结果. 【解答】解:(1)甲=(83+79+90)÷3=84, 乙=(85+80+75)÷3=80, 丙=(80+90+73)÷3=81. 从高到低确定三名应聘者的排名顺序为:甲,丙,乙; (2)∵该公司规定:笔试,面试、体能得分分别不得低于80分,80分,70分, ∴甲淘汰; 乙成绩=85×60%+80×30%+75×10%=82.5, 丙成绩=80×60%+90×30%+73×10%=82.3, 乙将被录取. 【点评】本题考查了算术平均数和加权平均数的计算.平均数等于所有数据的和除以数据的个数. 20.(8分)(2015•温州)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何计算它的面积?奥地利数学家皮克(G•Pick,1859~1942年)证明了格点多边形的面积公式S=a+b﹣1,其中a表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形的面积.如图,a=4,b=6,S=4+×6﹣1=6 (1)请在图中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积. (2)请在图乙中画一个格点三角形,使它的面积为,且每条边上除顶点外无其它格点.(注:图甲、图乙在答题纸上) 【考点】作图—应用与设计作图.. 【分析】(1)根据皮克公式画图计算即可; (2)根据题意可知a=3,b=3,画出满足题意的图形即可. 【解答】解:(1)如图所示,a=4,b=4,S=4+×4﹣1=5; (2)因为S=,b=3,所以a=3,如图所示, 【点评】本题考查了应用与设计作图,关键是理解皮克公式,根据题意求出a、b的值. 21.(10分)(2015•温州)如图,AB是半圆O的直径,CD⊥AB于点C,交半圆于点E,DF切半圆于点F.已知∠AEF=135°. (1)求证:DF∥AB; (2)若OC=CE,BF=,求DE的长. 【考点】切线的性质.. 【分析】(1)证明:连接OF,根据圆内接四边形的性质得到∠AEF+∠B=180°,由于∠AEF=135°,得出∠B=45°,于是得到∠AOF=2∠B=90°,由DF切⊙O于F,得到∠DFO=90°,由于DC⊥AB,得到∠DCO=90°,于是结论可得; (2)过E作EM⊥BF于M,由四边形DCOF是矩形,得到OF=DC=OA,由于OC=CE,推出AC=DE,设DE=x,则AC=x,在Rt△FOB中,∠FOB=90°,OF=OB,BF=2,由勾股定理得:OF=OB=2,则AB=4,BC=4﹣x,由于AC=DE,OCDF=CE,由勾股定理得:AE=EF,通过Rt△ECA≌Rt△EMF,得出AC=MF=DE=x,在Rt△ECB和Rt△EMB中,由勾股定理得:BC=BM,问题可得. 【解答】(1)证明:连接OF, ∵A、E、F、B四点共圆, ∴∠AEF+∠B=180°, ∵∠AEF=135°, ∴∠B=45°, ∴∠AOF=2∠B=90°, ∵DF切⊙O于F, ∴∠DFO=90°, ∵DC⊥AB, ∴∠DCO=90°, 即∠DCO=∠FOC=∠DFO=90°, ∴四边形DCOF是矩形, ∴DF∥AB; (2)解:过E作EM⊥BF于M, ∵四边形DCOF是矩形, ∴OF=DC=OA, ∵OC=CE, ∴AC=DE, 设DE=x,则AC=x, ∵在Rt△FOB中,∠FOB=90°,OF=OB,BF=2,由勾股定理得:OF=OB=2, 则AB=4,BC=4﹣x, ∵AC=DE,OCDF=CE, ∴由勾股定理得:AE=EF, ∴∠ABE=∠FBE, ∵EC⊥AB,EM⊥BF ∴EC=EM,∠ECB=∠M=90°, 在Rt△ECA和Rt△EMF中 ∴Rt△ECA≌Rt△EMF, ∴AC=MF=DE=x, 在Rt△ECB和Rt△EMB中,由勾股定理得:BC=BM, ∴BF=BM﹣MF=BC﹣MF=4﹣x﹣x=2, 解得:x=2﹣, 即DE=2﹣. 【点评】本题考查了圆周角性质,圆内接四边形的性质,全等三角形的性质和判定,角平分线性质,矩形的性质和判定的应用,正确的作出辅助线是解题的关键. 22.(10分)(2015•温州)某农业观光园计划将一块面积为900m2的圆圃分成A,B,C三个区域,分别种植甲、乙、丙三种花卉,且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株.已知B区域面积是A区域面积的2倍.设A区域面积为x(m2). (1)求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式. (2)若三种花卉共栽种6600株,则A,B,C三个区域的面积分别是多少? (3)若三种花卉的单价(都是整数)之和为45元,且差价均不超过10元,在(2)的前提下,全部栽种共需84000元.请写出甲、乙、丙三种花卉中,种植面积最大的花卉总价. 【考点】一次函数的应用.. 【分析】(1)设A区域面积为x,则B区域面积是2x,C区域面积是900﹣3x,根据每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株,即可解答; (2)当y=6600时,即﹣21x+10800=6600,解得:x=200,则2x=400,900﹣3x=300,即可解答; (3)设三种花卉的单价分别为a元、b元、c,根据根据题意得:,整理得:3b+5c=95,根据三种花卉的单价(都是整数)之和为45元,且差价均不超过10元,所以b=15,c=10,a=20,即可解答. 【解答】解:(1)y=3x+12x+12(900﹣3x)=﹣21x+10800. (2)当y=6600时,即﹣21x+10800=6600, 解得:x=200, ∴2x=400,900﹣3x=300, 答:A,B,C三个区域的面积分别是200m2,400m2,300m2. (3)设三种花卉的单价分别为a元、b元、c元,在(2)的前提下,分别种植甲、乙、丙三种花卉的株数为600株,2400株,3600株, 根据题意得:, 整理得:3b+5c=95, ∵三种花卉的单价(都是整数)之和为45元,且差价均不超过10元, ∴b=15,c=10, ∴a=20, ∴种植面积最大的花卉总价为:2400×15=36000(元), 答:种植面积最大的花卉总价为36000元. 【点评】本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是关键题意,列出函数关系式和方程组. 23.(12分)(2015•温州)如图,抛物线y=﹣x2+6x交x轴正半轴于点A,顶点为M,对称轴MB交x轴于点B.过点C(2,0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方),OE∥CD交MB于点E,EF∥x轴交CD于点F,作直线MF. (1)求点A,M的坐标. (2)当BD为何值时,点F恰好落在该抛物线上? (3)当BD=1时 ①求直线MF的解析式,并判断点A是否落在该直线上. ②延长OE交FM于点G,取CF中点P,连结PG,△FPG,四边形DEGP,四边形OCDE的面积分别记为S1,S2,S3,则S1:S2:S3= 3:4:8 . 【考点】二次函数综合题.. 【分析】(1)在抛物线解析式中令y=0,容易求得A点坐标,再根据顶点式,可求得M点坐标; (2)由条件可证明四边形OCFE为平行四边形,可求得EF的点,可求得F点坐标,可得出BE的长,再利用平行线的性质可求得BD的长; (3)①由条件可求得F点坐标,可求得直线MF的解析式,把A点坐标代入其解析式可判断出A点在直线MF上;②由点的坐标结合勾股定理求得OE、GE、CD、DM、MF的长,再结合面积公式可分别表示出S1,S2,S3,可求得答案. 【解答】解: (1)令y=0,则﹣x2+6x=0,解得x=0或x=6, ∴A点坐标为(6,0), 又∵y=﹣x2+6x=﹣(x﹣3)2+9, ∴M点坐标为(3,9); (2)∵OE∥CF,OC∥EF, ∴四边形OCFE为平行四边形,且C(2,0), ∴EF=OC=2, 又B(3,0), ∴OB=3,BC=1, ∴F点的横坐标为5, ∵点F落在抛物线y=﹣x2+6x上, ∴F点的坐标为(5,5), ∴BE=5, ∵OE∥CF, ∴=,即=, ∴BD=; (3)①当BD=1时,由(2)可知BE=3BD=3, ∴F(5,3), 设直线MF解析式为y=kx+b, 把M、F两点坐标代入可得,解得, ∴直线MF解析式为y=﹣3x+18, ∵当x=6时,y=﹣3×6+18=0, ∴点A落在直线MF上; ②如图所示, ∵E(3,3), ∴直线OE解析式为y=x, 联立直线OE和直线MF解析式可得,解得, ∴G(,), ∴OG==,OE=CF=3, ∴EG=OG﹣OE=﹣3=, ∵=, ∴CD=OE=, ∵P为CF中点, ∴PF=CF=, ∴DP=CF﹣CD﹣PF=3﹣﹣=, ∵OG∥CF, ∴可设OG和CF之间的距离为h, ∴S△FPG=PF•h=×h=h, S四边形DEGP=(EG+DP)h=×(+)h=h, S四边形OCDE=(OE+CD)h=(3+)h=2h, ∴S1,S2,S3=h:h:2h=3:4:8, 故答案为:3:4:8. 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用,涉及二次函数的性质、一元二次方程、平行四边形的判定和性质、平行线分线段成比例、待定系数法、勾股定理等知识点.在(1)中注意抛物线顶点式的应用,在(2)中求得F点的坐标是解题的关键,在(3)①中,求得直线MF的解析式是解题的关键,在②中利用两平行线间的距离为定值表示出S1,S2,S3是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性质较强,难度较大. 24.(14分)(2015•温州)如图,点A和动点P在直线l上,点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边作Rt△ABQ,使∠BAQ=90°,AQ:AB=3:4,作△ABQ的外接圆O.点C在点P右侧,PC=4,过点C作直线m⊥l,过点O作OD⊥m于点D,交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F,使DF=CD,以DE,DF为邻边作矩形DEGF.设AQ=3x. (1)用关于x的代数式表示BQ,DF. (2)当点P在点A右侧时,若矩形DEGF的面积等于90,求AP的长. (3)在点P的整个运动过程中, ①当AP为何值时,矩形DEGF是正方形? ②作直线BG交⊙O于点N,若BN的弦心距为1,求AP的长(直接写出答案). 【考点】圆的综合题.. 【分析】(1)由AQ:AB=3:4,AQ=3x,易得AB=4x,由勾股定理得BQ,再由中位线的性质得AH=BH=AB,求得CD,FD; (2)利用(1)的结论,易得CQ的长,作OM⊥AQ于点M(如图1),则OM∥AB,由垂径定理得QM=AM=x,由矩形性质得OD=MC,利用矩形面积,求得x,得出结论; (3)①点P在A点的右侧时(如图1),利用(1)(2)的结论和正方形的性质得2x+4=3x,得AP;点P在A点的左侧时,当点C在Q右侧,0<x<时(如图2),4﹣7x=3x,解得x,易得AP;当时(如图3),7﹣4x=3x,得AP;当点C在Q的左侧时,即x≥(如图4),同理得AP; ②连接NQ,由点O到BN的弦心距为l,得NQ=2,当点N在AB的左侧时(如图5),过点B作BM⊥EG于点M,GM=x,BM=x,易得∠GBM=45°,BM∥AQ,易得AI=AB,求得IQ,由NQ得AP;当点N在AB的右侧时(如图6),过点B作BJ⊥GE于点J,由GJ=x,BJ=4x得tan∠GBJ=,利用(1)(2)中结论得AI=16x,QI=19x, 解得x,得AP. 【解答】解:(1)在Rt△ABQ中, ∵AQ:AB=3:4,AQ=3x, ∴AB=4x, ∴BQ=5x, ∵OD⊥m,m⊥l, ∴OD∥l, ∵OB=OQ, ∴=2x, ∴CD=2x, ∴FD==3x; (2)∵AP=AQ=3x,PC=4, ∴CQ=6x+4, 作OM⊥AQ于点M(如图- 配套讲稿:
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