2015年云南省昆明市中考数学试卷（含解析版）.doc

2015年云南省昆明市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣5的绝对值是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．±5
2．（3分）某校组织了“讲文明、守秩序、迎南博”知识竞赛活动，从中抽取了7名同学的参赛成绩如下（单位：分）：80，90，70，100，60，80，80．则这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．90，80 B．70，80 C．80，80 D．100，80
3．（3分）由5个完全相同的正方体组成的立体图形如图所示，则它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠B=40°，过点C作CD∥AB，∠ACD=65°，则∠ACB的度数为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．=﹣3 B．a2•a4=a6
C．（2a2）3=2a6 D．（a+2）2=a2+4
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（　　）

A．①② B．③④ C．②③ D．①③
8．（3分）如图，直线y=﹣x+3与y轴交于点A，与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO=3BO，则反比例函数的解析式为（　　）

A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
10．（3分）据统计，截止2014年12月28日，中国高铁运营总里程超过16000千米，稳居世界高铁里程榜首，将16000千米用科学记数法表示为　 　千米．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是BC、CA的中点，连接DE，则DE=　 　．

12．（3分）计算：﹣=　 　．
13．（3分）关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
14．（3分）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为　 　．

三、解答题（共9小题，满分58分）
15．（5分）计算：+（﹣1）2015+（6﹣π）0﹣（﹣）﹣2．

16．（5分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，BE=CF．求证：AC=DF．

17．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．

18．（6分）2015年4月25日，尼泊尔发生了里氏8.1级地震，某中学组织了献爱心捐款活动，该校教学兴趣小组对本校学生献爱心捐款额做了一次随机抽样调查，并绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．如图所示：
捐款额（元）
频数
百分比
0≤x＜5
5
10%
10≤x＜15
a
20%
15≤x＜20
15
30%
20≤x＜25
14
b
25≤x＜30
6
12%
总计

100%
（1）填空：a=　 　，b=　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校共有1600名学生，估计这次活动中爱心捐款额不低于20元的学生有多少人？

19．（6分）小云玩抽卡片和旋转盘游戏，有两张正面分别标有数字1，2的不透明卡片，背面完全相同；转盘被平均分成3个相等的扇形，并分别标有数字﹣1，3，4（如图所示），小云把卡片背面朝上洗匀后从中随机抽出一张，记下卡片上的数字；然后转动转盘，转盘停止后，记下指针所在区域的数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之积为负数的概率．

20．（6分）如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=15m，CD=20m，AB和CD之间有一景观池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°（点B、E、D在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

21．（7分）某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．
（1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路　 　米；
（2）求原计划每小时抢修道路多少米？

22．（8分）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．

23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

2015年云南省昆明市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣5的绝对值是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．±5
【考点】15：绝对值．菁优网版权所有
【分析】根据绝对值的含义和求法，可得﹣5的绝对值是：|﹣5|=5，据此解答即可．
【解答】解：﹣5的绝对值是：|﹣5|=5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．
2．（3分）某校组织了“讲文明、守秩序、迎南博”知识竞赛活动，从中抽取了7名同学的参赛成绩如下（单位：分）：80，90，70，100，60，80，80．则这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．90，80 B．70，80 C．80，80 D．100，80
【考点】W4：中位数；W5：众数．菁优网版权所有
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．
【解答】解：在这一组数据中80是出现次数最多的，故众数是80；
排序后处于中间位置的那个数是80，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是80；
故选：C．
【点评】本题为统计题，考查极差、众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
3．（3分）由5个完全相同的正方体组成的立体图形如图所示，则它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】几何体的俯视图有3列，每行小正方形数目分别为1，3，且第一行的一个在第二行的最左边，由此得出答案即可．
【解答】解：它的俯视图是．
故选：C．
【点评】此题考查了三视图的作图，注意掌握看所得到的图形的形状、数量与位置．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠B=40°，过点C作CD∥AB，∠ACD=65°，则∠ACB的度数为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】首先根据CD∥AB，可得∠A=∠ACD=65°；然后在△ABC中，根据三角形的内角和定理，求出∠ACB的度数为多少即可．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠A=∠ACD=65°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B
=180°﹣65°﹣40°
=75°
即∠ACB的度数为75°．
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
（2）此题还考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．=﹣3 B．a2•a4=a6
C．（2a2）3=2a6 D．（a+2）2=a2+4
【考点】22：算术平方根；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．菁优网版权所有
【分析】根据同底数幂的乘法的性质，积的乘方的性质，二次根式的性质，完全平分公式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、=3，故错误：
B、正确；
C、（2a2）3=8a6，故正确；
D、（a+2）2=a2+4a+4，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】解不等式组，求出不等式组的解集，即可解答．
【解答】解：不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（　　）

A．①② B．③④ C．②③ D．①③
【考点】L8：菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据菱形的性质即可直接作出判断．
【解答】解：根据菱形的对角线互相垂直平分可得：①正确；②错误；
根据菱形的对角线平分一组内角可得③正确．
④错误．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，正确记忆性质的基本内容是关键．
8．（3分）如图，直线y=﹣x+3与y轴交于点A，与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO=3BO，则反比例函数的解析式为（　　）

A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO=3BO，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式．
【解答】解：∵直线y=﹣x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），即OA=3，
∵AO=3BO，
∴OB=1，
∴点C的横坐标为﹣1，
∵点C在直线y=﹣x+3上，
∴点C（﹣1，4），
∴反比例函数的解析式为：y=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解题的关键．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≥1　．
【考点】72：二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
10．（3分）据统计，截止2014年12月28日，中国高铁运营总里程超过16000千米，稳居世界高铁里程榜首，将16000千米用科学记数法表示为　1.6×104　千米．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将16000用科学记数法表示为：1.6×104．
故答案为：1.6×104．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是BC、CA的中点，连接DE，则DE=　4　．

【考点】KX：三角形中位线定理．菁优网版权所有
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出DE=AB=4．
【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是BC、CA的中点，AB=8，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB=×8=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
12．（3分）计算：﹣=　　．
【考点】6B：分式的加减法．菁优网版权所有
【分析】根据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，求解即可．
【解答】解：原式=
=
=．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的加减法，解答本题的关键是掌握同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
13．（3分）关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m的值为　3　．
【考点】AA：根的判别式．菁优网版权所有
【分析】根据题意可知△=0，即42﹣4×2×（m﹣1）=0，解得m=3，
【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0，
即42﹣4×2×（m﹣1）=0，
解得m=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意△=0⇔方程有两个相等的实数根．
14．（3分）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为　　．

【考点】K5：三角形的重心；KM：等边三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】根据等边三角形的性质，可得AD的长，∠ABG=∠HBD=30°，根据等边三角形的判定，可得△MEH的形状，根据直角三角形的判定，可得△FIN的形状，根据面积的和差，可得答案．
【解答】解：如图所示：
，
由△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，得
AD=BE=BC=6，∠ABG=∠HBD=30°．
由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°．
由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°
由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．
由GE为边作等边三角形GEF，得
FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，
△MHE是等边三角形；
S△ABC=AC•BE=AC×EH×3
EH=BE=×6=2．
由三角形外角的性质，得∠BIG=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，
由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，
由线段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2，
由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，
由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，
由锐角三角函数，得FN=1，IN=．
S五边形NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣S△FIN
=×42﹣×22﹣××1=，
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，利用图形的割补法是求面积的关键．

三、解答题（共9小题，满分58分）
15．（5分）计算：+（﹣1）2015+（6﹣π）0﹣（﹣）﹣2．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用乘方的意义计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=3﹣1+1﹣4
=﹣1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（5分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，BE=CF．求证：AC=DF．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】根据BE=CF，求出BC=EF，根据AAS推出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质推出即可．
【解答】证明：∵BE=CF（已知），
∴BE+EC=EC+CF，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC=DF（全等三角形对应边相等）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ABC≌△DEF，注意：全等三角形的对应边相等．
17．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．

【考点】MN：弧长的计算；P7：作图﹣轴对称变换；R8：作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】13：作图题．
【分析】（1）利用关于x轴对称点的横坐标相等，纵坐标化为相反数可先找出点A1、B1、C1的坐标，然后画出图形即可；
（2）利用旋转的性质可确定出点A2、C2的坐标；
（3）利用弧长公式进行计算即可．
【解答】解：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点可知：A1（2，﹣4），B1（1，﹣1），C1（4，﹣3），
如图下图：连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．

（2）如图：

（3）由两点间的距离公式可知：BC=，
∴点C旋转到C2点的路径长=．
【点评】本题主要考查的是图形的对称、图形的旋转以及扇形的弧长公式，掌握相关性质是解题的关键．
18．（6分）2015年4月25日，尼泊尔发生了里氏8.1级地震，某中学组织了献爱心捐款活动，该校教学兴趣小组对本校学生献爱心捐款额做了一次随机抽样调查，并绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．如图所示：
捐款额（元）
频数
百分比
0≤x＜5
5
10%
10≤x＜15
a
20%
15≤x＜20
15
30%
20≤x＜25
14
b
25≤x＜30
6
12%
总计

100%
（1）填空：a=　10　，b=　28%　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校共有1600名学生，估计这次活动中爱心捐款额不低于20元的学生有多少人？

【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】（1）先利用第一组的频数与频率计算出样本容量，再利用样本容量乘以20%即可得到a的值，用14除以样本容量得到b的值；
（2）第二组的频数为10，则可补全频数统计图；
（3）根据样本可得爱心捐款额不低于20元的百分比为28%+12%=40%，然后用总人数乘以40%即可估计出爱心捐款额不低于20元的学生数．
【解答】解：（1）5÷10%=50，
a=50×20=10；b=×%=28%；
（2）如图，

（3）1600×（28%+12%）=640（人）．
答：估计这次活动中爱心捐款额不低于20元的学生有640人．
【点评】本题考查了频数（率）分布直方图：频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．频数分布表列出的是在各个不同区间内数据的个数．也考查了样本估计总体．
19．（6分）小云玩抽卡片和旋转盘游戏，有两张正面分别标有数字1，2的不透明卡片，背面完全相同；转盘被平均分成3个相等的扇形，并分别标有数字﹣1，3，4（如图所示），小云把卡片背面朝上洗匀后从中随机抽出一张，记下卡片上的数字；然后转动转盘，转盘停止后，记下指针所在区域的数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之积为负数的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）首先根据题意列出图表，然后由图表求得所有可能的结果；
（2）由（1）列出的图表可得出所有出现的结果，再根据概率公式即可求出答案．
【解答】解：（1）列表如下：

﹣1
3
4
1
1，﹣1
1，3
1，4
2
2，﹣1
2，3
2，4
（2）∵两数之积为负数的情况共有2种可能：（1，﹣1），（2，﹣1），
∴P（两数之积为负数）==．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（6分）如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=15m，CD=20m，AB和CD之间有一景观池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°（点B、E、D在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【分析】在RT△ABE中，根据正切函数可求得BE，在RT△DEC中，根据等腰直角三角形的性质求得ED，然后根据BD=BE+ED求解即可．
【解答】解：由题意得：∠AEB=42°，∠DEC=45°，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴在RT△ABE中，∠ABE=90°，AB=15，∠AEB=42°，
∵tan∠AEB=，
∴BE=≈15÷0.90=，
在RT△DEC中，∠CDE=90°，∠DEC=∠DCE=45°，CD=20，
∴ED=CD=20，
∴BD=BE+ED=+20≈36.7（m）．
答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21．（7分）某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．
（1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路　1200　米；
（2）求原计划每小时抢修道路多少米？
【考点】B7：分式方程的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）按原计划完成总任务的时，列式计算即可；
（2）设原计划每天修道路x米．根据原计划工作效率用的时间+实际工作效率用的时间=10等量关系列出方程．
【解答】解：（1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路3600×=1200米，
故答案为：1200米；

（2）设原计划每小时抢修道路x米，
根据题意得：，
解得：x=280，
经检验：x=280是原方程的解．
答：原计划每小时抢修道路280米．
【点评】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效．
22．（8分）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．

【考点】MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）连接OE，证明FG是⊙O的切线，只要证明∠OEF=90°即可；
（2）设OA=OE=x，则OB=10﹣x，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，即（10﹣x）2+52=x2，求出x的值，即可解答．
【解答】解：（1）如图1，连接OE，

∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∵AE平分∠FAH，
∴∠EAO=∠FAE，
∴∠FAE=∠AEO，
∴AF∥OE，
∴∠AFE+∠OEF=180°，
∵AF⊥GF，
∴∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE⊥GF，
∵点E在圆上，OE是半径，
∴GF是⊙O的切线．
（2）∵四边形ABCD是矩形，CD=10，
∴AB=CD=10，∠ABE=90°，
设OA=OE=x，则OB=10﹣x，
在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，
由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，
∴（10﹣x）2+52=x2，
∴，
，
∴⊙O的直径为．
【点评】本题考查的是切线的判定，解决本题的关键是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【分析】（1）首先利用对称轴公式求出a的值，然后把点A的坐标与a的值代入抛物线的解析式，求出c的值，即可确定出抛物线的解析式．
（2）首先根据抛物线的解析式确定出点C的坐标，再根据待定系数法，确定出直线AC解析式为y=﹣x+2；然后设点M的坐标为（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），求出MH的值是多少，再根据CM=CH，OC=GE=2，可得MH=2EH，据此求出m的值是多少，再把m的值代入抛物线的解析式，求出y的值，即可确定点M的坐标．
（3）首先判断出△ABC为直角三角形，然后分两种情况：①当=时；②当=时；根据相似三角形的性质，判断出是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似即可．
【解答】解：（1）∵x=﹣=，b=，
∴a=﹣，
把A（4，0），a=﹣代入y=ax2+x+c，
可得（）×42+×4+c=0，
解得c=2，
则抛物线解析式为y=﹣x2+x+2．

（2）如图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，
，
∵y=﹣x2+x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴C点的坐标是（0，2），
设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b，
可得，
解得：，
∴直线AC解析式为y=﹣x+2，
∵点M在抛物线上，点H在AC上，MG⊥x轴，
∴设点M的坐标为（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），
∴MH=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，
∵CM=CH，OC=GE=2，
∴MH=2EH=2×[2﹣（﹣m+2）]=m，
又∵MH=﹣m2+2m，
∴﹣m2+2m=m，
即m（m﹣2）=0，
解得m=2或m=0（不符合题意，舍去），
∴m=2，
当m=2时，
y=﹣×22+×2+2=3，
∴点M的坐标为（2，3）．

（3）存在点P，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，理由为：
∵抛物线与x轴交于A、B两点，A（4，0），A、B两点关于直线x=成轴对称，
∴B（﹣1，0），
∵AC==2，BC==，AB=5，
∴AC2+BC2=+=25，AB2=52=25，
∵AC2+BC2=AB2=25，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ACB=90°，
线段MG绕G点旋转过程中，与抛物线交于点N，当NP⊥x轴时，∠NPG=90°，
设P点坐标为（n，0），
则N点坐标为（n，﹣n2+n+2），
①如图2，

当=时，
∵∠N1P1G=∠ACB=90°，
∴△N1P1G∽△ACB，
∴=，
解得：n1=3，n2=﹣4（不符合题意，舍去），
∴P的坐标为（3，0）．
②当=时，
∵∠N2P2G=∠BCA=90°，
∴△N2P2G∽△BCA，
∴，
解得：n1=1，n2=1﹣（不符合题意，舍去），
∴P的坐标为（1+，0）．
∴存在点P（3，0）或（1，0），使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似．
【点评】（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握．
（3）此题还考查了相似三角形的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．

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