2010年湖南省衡阳市中考数学试题及解析.doc

2010年湖南省衡阳市中考数学试卷

一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．（2010•衡阳）﹣的绝对值是（　　）
A． B．﹣2 C．﹣ D．2

2．（2010•衡阳）从n个苹果和3个雪梨中，任选1个，若选中苹果的概率是，则n的值是（　　）
A．6 B．3 C．2 D．1

3．（2010•衡阳）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（　　）

A．50° B．30° C．20° D．15°

4．（2010•衡阳）如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70°，∠c=50°，那么sin∠AEB的值为（　　）

A． B． C． D．

5．（2010•衡阳）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182 C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=182

6．（2010•衡阳）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（　　）

A．8 B．9.5 C．10 D．11.5

二、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）
7．（2010•衡阳）3的绝对值是　_________　．

8．（2010•衡阳）若3xm+5y2与x3yn的和是单项式，则nm=　_________　．

9．（2010•衡阳）据统计，去年我国粮食产量达10 570亿斤，用科学记数法表示为　_________　亿斤．

10．（2010•衡阳）某校九年级（2）班（1）组女生的体重（单位：kg）为：38，40，35，36，65，42，42，则这组数据的中位数是　_________　．

11．（2010•衡阳）如图所示，AB∥CD，∠ABE=66°，∠D=54°，则∠E的度数为　_________　度．

12．（2010•衡阳）如图，已知双曲线y=（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k=　_________　．

13．（2010•衡阳）如图，已知零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC：OA=1：2，量得CD=10mm，则零件的厚度x=　_________　mm．

14．（2010•衡阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为　_________　（结果保留π）．

15．（2010•衡阳）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由　_________　个基础图形组成．

三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（2010•衡阳）先化简再求值：，其中x=5．

17．（2010•衡阳）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：BD=DE．

18．（2010•衡阳）在“首届中国西部（银川）房•车生活文化节”期间，某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中．
（1）参加展销的D型号轿车有多少辆？
（2）请你将图2的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？
（4）若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车一票）放到一起，从中随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率．

19．（2010•衡阳）为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况．在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30度．问：距离B点8米远的保护物是否在危险区内？

20．（2010•衡阳）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于E．
（1）求证：DE=BC；
（2）若tanC=，DE=2，求AD的长．

21．（2010•衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：
（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由．
（2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．

22．（2010•衡阳）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？

23．（2010•衡阳）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．
（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形并求出该矩形的面积；
（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t，求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

2010年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．
考点：绝对值。
分析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
解答：解：||=．
故选A．
点评：规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．
考点：概率公式。
分析：利用选中苹果的概率公式列出方程求解即可．
解答：解：根据概率公式=，n=3．
故选B．
点评：用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
3．
考点：平行线的性质；三角形的外角性质。
专题：计算题。
分析：首先根据平行线的性质得到∠2的同位角∠4的度数，再根据三角形的外角的性质进行求解．
解答：解：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°．∴∠3=∠4﹣∠1=50°﹣30°=20°．故选C．
点评：本题应用的知识点为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．两直线平行，同位角相等．
4．
考点：特殊角的三角函数值；三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系。
分析：根据三角形的内角和是180°求得∠AEB的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值求解．
解答：解：∵∠A=70°，∠c=50°，
∴∠B=∠C=50°，∠AEB=60°，
∴sin∠AEB=．
故选D．
点评：考查了圆周角定理、三角形的内角和是180°，还要熟记特殊角的锐角三角函数值．
5．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：增长率问题。
分析：主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
解答：解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2=182．
故选B．
点评：增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
6．
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质。
专题：计算题。
分析：本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查．在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；△ABE是等腰三角形，AB=BE=6，所以CF=3；在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=，可得AG=2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE=2AG=4，所以△ABE的周长等于16，又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8，因此选A．
解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，AD=DF=9；
∵AB=BE=6，
∴CF=3；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=，可得：AG=2，
又BG⊥AE，
∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵▱ABCD
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选A．
点评：本题考查勾股定理、相似三角形的知识，相似三角形的周长比等于相似比．

二、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）
7．
考点：绝对值。
分析：绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
解答：解：根据正数的绝对值是它本身，得|3|=3．
点评：此题主要考查了绝对值的性质．
8．
考点：同类项；解一元一次方程。
专题：方程思想。
分析：根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程m+5=3，n=2，求出n，m的值，再代入代数式计算即可．
解答：解：∵3xm+5y2与x3yn是同类项，
∴m+5=3，n=2，m=﹣2，
∴nm=n﹣2﹣2=．
点评：本题考查同类项的定义、方程思想及负整数指数的意义，是一道基础题，比较容易解答，但有的学生可能会把2﹣2误算为﹣4．
9．
考点：科学记数法—表示较大的数。
专题：应用题。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
解答：解：10 570亿斤，用科学记数法表示为1.057×104亿斤．
点评：把一个大于10的数写成科学记数法a×10n的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为a，把整数位数减1作为n，从而确定它的科学记数法形式．
10．
考点：中位数。
专题：应用题。
分析：根据中位数的定义求解．把数据按大小排列，第4个数为中位数．
解答：解：题目中数据共有7个，中位数是按从小到大排列后第4个数作为中位数，故这组数据的中位数是40．
故答案为40．
点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．
11．
考点：三角形的外角性质；平行线的性质。
专题：计算题。
分析：利用三角形的外角与内角的关系及平行线的性质可直接解答．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠BFC=∠ABE=66°，
在△EFD中利用三角形外角等于不相邻的两个内角的和，得到∠E=∠BFC﹣∠D=12°．
点评：本题考查了三角形外角与内角的关系及平行线的性质，比较简单．
12．
考点：反比例函数系数k的几何意义。
分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
解答：解：过D点作DE⊥x轴，垂足为E，
∵Rt△OAB中，∠OAB=90°，
∴DE∥AB，
∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D，
∴DE为Rt△OAB的中位线，
∵双曲线y=（k＞0），可知S△AOC=S△DOE=k，
∴S△AOB=4S△DOE=2k，
由S△AOB﹣S△AOC=S△OBC=3，得2k﹣k=3，
解得k=2．
故本题答案为：2．

点评：主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
13．
考点：相似三角形的应用。
分析：要求零件的厚度，由题可知只需求出AB即可．因为CD和AB平行，可得△AOB∽△COD，可以根据相似三角形对应边成比例即可解答．
解答：解：∵两条尺长AC和BD相等，OC=OD
∴OA=OB
∵OC：OA=1：2
∴OD：OB=OC：OA=1：2
∵∠COD=∠AOB
∴△AOB∽△COD
∴CD：AB=OC：OA=1：2
∵CD=10mm
∴AB=20mm
∴2x+20=25
∴x=2.5mm．
点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出零件的内孔直径AB即可求得x的值．
14．
考点：扇形面积的计算。
分析：图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．
解答：解：阴影部分的面积=π×4÷2+π×1÷2﹣4×2÷2=．
点评：此题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积．
15．
考点：规律型：图形的变化类。
专题：规律型。
分析：观察图形很容易看出每加一个图案就增加三个基础图形，以此类推，便可求出结果．
解答：解：第一个图案基础图形的个数：3+1=4；
第二个图案基础图形的个数：3×2+1=7；
第三个图案基础图形的个数：3×3+1=10；
…
第n个图案基础图形的个数就应该为：3n+1．
点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

三、解答题（共8小题，满分75分）
16．
考点：分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
解答：解：原式=，
=，
=；
当x=5时，原式==．
点评：本题是分式的混合运算，应特别注意运算顺序以及运算符号的处理．
17．
考点：等边三角形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：欲证BD=DE，只需证∠DBE=∠E，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明∠DBE=∠E=30°．
解答：证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE=∠ABC=30°．
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E．
∵∠ACB=60°，且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠CDE+∠E=60°．
∴∠CDE=∠E=30°，
∴∠DBE=∠DEB=30°，
∴BD=DE．
点评：本题考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
18．
考点：利用频率估计概率；扇形统计图；条形统计图；概率公式。
专题：图表型。
分析：（1）先求出D型号轿车所占的百分比，再利用总数1000辆即可求出答案；
（2）利用C型号轿车销售的成交率为50%，求出C型号轿车的售出量，补充统计图即可；
（3）分别求出各种型号轿车的成交率即可作出判断；
（4）先求出已售出轿车的总数，利用售出的A型号车的数量即可求出答案．
解答：解：（1）∵1﹣35%﹣20%﹣20%=25%，
∴1000×25%=250（辆）（1分）

（2）如图，（1000×20%×50%=100）（2分）

（3）四种型号轿车的成交率：
A：×100%=48%；
B：×100%=49%；
C：50%；
D：×100%=52%
∴D种型号的轿车销售情况最好．（4分）

（4）∵．
∴抽到A型号轿车发票的概率为．（6分）

点评：利用统计图解决问题时，要善于从图中寻找各种信息．
当一个事件的频率具有稳定性时，可以用该事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．部分数目=总体数目乘以相应概率．
19．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
专题：应用题。
分析：首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，分别求解可得AB的值，比较AB与8的大小，进而可判断出答案．
解答：解：在Rt△DBC中，DB=3，
∴BC=BD÷cos30°=2；
在Rt△ABC中，BC=2，∠CAB=30°，
∴AB=BC÷sin30°=4．
∵8＞4，
∴距离B点8米远的保护物不在危险区内．
点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
20．
考点：切线的性质；圆周角定理；解直角三角形。
专题：几何综合题。
分析：（1）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形ABD和BCD，根据切线的判定定理知BC是圆的切线，结合切线长定理得到BE=DE，再根据等边对等角以及等角的余角相等证明DE=CE；
（2）在直角三角形ABC中，根据锐角三角函数的概念以及勾股定理计算它的三边．再根据相似三角形的判定和性质进行计算．
解答：（1）证明：连接BD，
∵AB是直径，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，∠BDC=90°．
而DE是⊙O的切线，
∴DE=BE．
∴∠EBD=∠EDB．
又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，
∴∠DCE=∠CDE，
∴DE=CE．
故DE=BC．

（2）解：由（1）知，BC=2DE=4．
在Rt△ABC中，AB=BCtanC=4×=2，
AC==6．
∵∠ADB=∠ABC=90°，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB．
∴，
∴=．
解得AD=．

点评：本题考查了圆及三角函数的相关知识，注意数形结合思想的运用．
21．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。
分析：（1）根据题意，求证△BAE≌△HAE，△HAF≌△DAF，然后根据全等三角形的性质求∠EAF=∠BAD．
（2）根据（1）的求证结果，用等量代换来计算△ECF的周长，如果结果是定量，就说明△ECF的周长没有变化，反之，△ECF的周长有变化．
解答：解：（1）∠EAF的大小没有变化．理由如下：
根据题意，知
AB=AH，∠B=90°，
又∵AH⊥EF，
∴∠AHE=90°，
∵AE=AE，
∴Rt△BAE≌Rt△HAE（HL），
∴∠BAE=∠HAE，
同理，△HAF≌△DAF，
∴∠HAF=∠DAF，
∴∠EAF=∠BAH∠HAD=（∠BAH+∠HAD）=∠BAD，
又∵∠BAD=90°，
∴∠EAF=45°，
∴∠EAF的大小没有变化．

（2）△ECF的周长没有变化．理由如下：
C△EFC=EF+EC+FC，
由（1），得Rt△BAE≌Rt△HAF，
∴AE=AF，
∵AH⊥EF，∠EAF=45°，
∴∠BAE=∠EAH=∠HAF=∠FAD=22.5°，
∴BE=EH，HF=DF，
∴C△EFC=EB+DF+EC+FC=2BC，
∴△ECF的周长没有变化．

点评：解答本题的关键是利用正方形的性质和全等三角形的判定定理来判定三角形全等，再根据三角形全等的性质来解答问题．
22．
考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。
专题：应用题；方案型。
分析：（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车．
根据“1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车”和“2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”列方程组求解．
（2）设工厂有a名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据a，n都是正整数和0＜n＜10，进行分析n的值的情况；
（3）建立函数关系式，根据使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少，两个条件进行分析．
解答：解：（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车．
根据题意，得，
解得．
答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车．

（2）设工厂有a名熟练工．
根据题意，得12（4a+2n）=240，
2a+n=10，
n=10﹣2a，
又a，n都是正整数，0＜n＜10，
所以n=8，6，4，2．
即工厂有4种新工人的招聘方案．
①n=8，a=1，即新工人8人，熟练工1人；
②n=6，a=2，即新工人6人，熟练工2人；
③n=4，a=3，即新工人4人，熟练工3人；
④n=2，a=4，即新工人2人，熟练工4人．

（3）结合（2）知：要使新工人的数量多于熟练工，则n=8，a=1；或n=6，a=2；或n=4，a=3．
根据题意，得
W=2000a+1200n=2000a+1200（10﹣2a）=12000﹣400a．
要使工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少，则a应最大．
显然当n=4，a=3时，工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少．
点评：此题要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值．
23．
考点：一次函数综合题。
专题：压轴题。
分析：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．当PQ∥AB时即可得出四边形MNQP是矩形，根据特殊角的三角函数值求出四边形MNQP的面积；
（2）根据①当0＜t＜1时；②当1≤t≤2时；③当2＜t＜3时，分别求出四边形MNQP的面积，即四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．
解答：解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD=2，
当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，
即当AM=时，四边形MNQP是矩形，
∴t=秒时，四边形MNQP是矩形，
∵PM=AMtan60°=，
PQ=MN=AB﹣2AM=4﹣3=1，
∴S四边形MNQP=PM•PQ=；

（2）①当0＜t≤1时，点P、Q都在AC上，并且四边形PMNQ为直角梯形，
在Rt△AMP中，
∵∠A=60°，AM=t，
∴PM=AM=t，
在Rt△ANQ中，
而AN=AM+MN=t+1，
∴QN=AN=（t+1），
∴S四边形MNQP=（PM+QN）MN=[t+（t+1）]=t+；
②当1＜t＜2时，
点P在AC上，点Q在BC上，
PM=t，
BN=AB﹣AM﹣MN=4﹣1﹣t=3﹣t，
在Rt△BNQ中，
QN=BN=（3﹣t），
∴S四边形MNQP=（PM+QN）MN=[t+（3﹣t）]×1=；
③当2≤t＜3时，点P、Q都在BC上，
BM=4﹣t，BN=3﹣t，
∴PM=BM=（4﹣t），QN=BN=（3﹣t），
∴S四边形MNQP=（PM+QN）MN=[（3﹣t）+（4﹣t）]=﹣t． （10分）

点评：本题涉及到动点问题，比较复杂，解答此题的关键是根据题意画出图形，由数形结合便可解答，体现了数形结合在解题中的重要作用．