2016年四川省绵阳市中考数学试卷（含解析版）.doc

2016年四川省绵阳市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项最符合题目要求
1．﹣4的绝对值是（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．x2+x5=x7 B．x5﹣x2=3x C．x2•x5=x10 D．x5÷x2=x3
3．下列图案，既是轴对称又是中心对称的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图是一个由7个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图为（　　）
A． B． C． D．
5．若关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，则方程的另一根为（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
6．如图，沿AC方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=150°，沿BD的方向前进，取∠BDE=60°，测得BD=520m，BC=80m，并且AC，BD和DE在同一平面内，那么公路CE段的长度为（　　）

A．180m B．260m C．（260﹣80）m D．（260﹣80）m
7．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm
8．在关于x、y的方程组中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴上应表示为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．
10．有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若=2，则的值为（　　）

A． B． C． D．
12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c﹣b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上.
13．因式分解：2mx2﹣4mxy+2my2=　　．
14．如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D=　　．

15．根据绵阳市统计年鉴，2014年末绵阳市户籍总人口数已超过548万人，548万人用科学记数法表示为　　人．
16．△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（4，6），B（3，0），以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为　　．
17．如图，点O是边长为4的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE=　　．

18．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．现用Ai表示第三行开始，从左往右，从上往下，依次出现的第i个数，例如：A1=1，A2=2，A3=1，A4=1，A5=3，A6=3，A7=1，则A2016=　　．

三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19．计算：（π﹣3.14）0﹣|sin60°﹣4|+（）﹣1．

20．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．

21．绵阳七一中学开通了空中教育互联网在线学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会把该平台使用情况分为A（经常使用）、B（偶尔使用）、C（不使用）三种类型，并设计了调查问卷、先后对该校初一（1）班和初一（2）班全体同学进行了问卷调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求此次被调查的学生总人数；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线统计图；
（3）若该校初一年级学生共有1000人，试根据此次调查结果估计该校初一年级中C类型学生约有多少人．

22．如图，直线y=k1x+7（k1＜0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=（k2＞0）的图象在第一象限交于C、D两点，点O为坐标原点，△AOB的面积为，点C横坐标为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图中阴影部分（不含边界）所包含的所有整点的坐标．

23．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OF=4，求AC的长度．

24．绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？

25．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且此抛物线的顶点坐标为M（﹣1，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD与△ACB面积相等时，求点D的坐标；
（3）点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将△PCE沿直线CE翻折，使点P的对应点P′与P、E、C处在同一平面内，请求出点P′坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

26．如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．
（1）求直线DE的解析式；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．

2016年四川省绵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项最符合题目要求
1．﹣4的绝对值是（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．
【考点】绝对值．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵|﹣4|=4，
∴﹣4的绝对值是4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单．

2．下列计算正确的是（　　）
A．x2+x5=x7 B．x5﹣x2=3x C．x2•x5=x10 D．x5÷x2=x3
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则和除法法则进行判断．
【解答】解：x2与x5不是同类项，不能合并，A错误；
x2与x5不是同类项，不能合并，B错误；
x2•x5=x7，C错误；
x5÷x2=x3，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘除法，掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键．

3．下列图案，既是轴对称又是中心对称的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．如图是一个由7个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图为（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．
【解答】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是A中的图形，
故选：A．
【点评】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．

5．若关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，则方程的另一根为（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【考点】根与系数的关系．
【分析】设方程的另一根为m，由一个根为﹣1，利用根与系数的关系求出两根之和，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
【解答】解：关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，设另一根为m，
可得﹣1+m=2，
解得：m=3，
则方程的另一根为3．
故选D．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，设为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．

6．如图，沿AC方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=150°，沿BD的方向前进，取∠BDE=60°，测得BD=520m，BC=80m，并且AC，BD和DE在同一平面内，那么公路CE段的长度为（　　）

A．180m B．260m C．（260﹣80）m D．（260﹣80）m
【考点】勾股定理的应用．
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠E的度数，再根据锐角三角函数的定义可求BE，再根据线段的和差故选即可得出结论．
【解答】解：在△BDE中，
∵∠ABD是△BDE的外角，∠ABD=150°，∠D=60°，
∴∠E=150°﹣60°=90°，
∵BD=520m，
∵sin60°==，
∴DE=520•sin60°=260（m），
公路CE段的长度为260﹣80（m）．
答：公路CE段的长度为（260﹣80）m．
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知三角形外角的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键．

7．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由▱ABCD的周长为26cm，对角线AC、BD相交于点0，若△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，可得AB+AD=13cm，AD﹣AB=3cm，求出AB和AD的长，得出BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．
【解答】解：∵▱ABCD的周长为26cm，
∴AB+AD=13cm，OB=OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OA+OB+AD）﹣（OA+OD+AB）=AD﹣AB=3cm，
∴AB=5cm，AD=8cm．
∴BC=AD=8cm．
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE=BC=4cm；
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键．

8．在关于x、y的方程组中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴上应表示为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解一元一次不等式组；二元一次方程组的解；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】计算题；一元一次不等式(组)及应用．
【分析】把m看做已知数表示出方程组的解，根据x≥0，y＞0求出m的范围，表示在数轴上即可．
【解答】解：，
①×2﹣②得：3x=3m+6，即x=m+2，
把x=m+2代入②得：y=3﹣m，
由x≥0，y＞0，得到，
解得：﹣2≤m＜3，
表示在数轴上，如图所示：
，
故选C
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】解直角三角形．
【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式=，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．
【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，
∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC．
设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x．
在△BCE与△ABC中，
，
∴△BCE∽△ABC，
∴=，即=，
解得x=﹣2±2（负值舍去），
∴AE=﹣2+2．
在△ADE中，∵∠ADE=90°，
∴cosA===．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．证明△BCE∽△ABC是解题的关键．

10．有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系．
【分析】确定剩下的三边长包含的基本事件，剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形的基本事件，即可求出能构成三角形的概率．
【解答】解：剩下的三边长包含的基本事件为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个；
设事件B=“剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“
则事件B包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，
故p（A）=
故选A．
【点评】本题主要考查了用列举法来求古典概率的问题，关键是列举要不重不漏，难度不大．

11．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若=2，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
【分析】设DF=a，则DF=AE=a，AF=EB=2a，由△HFD∽△BFA，得===，求出FH，再由HD∥EB，得△DGH∽△EGB，得===，求出BG即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵AF=2DF，设DF=a，则DF=AE=a，AF=EB=2a，
∵HD∥AB，
∴△HFD∽△BFA，
∴===，
∴HD=1.5a， =，
∴FH=BH，
∵HD∥EB，
∴△DGH∽△EGB，
∴===，
∴=，
∴BG=HB，
∴==．
故选B．

【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题，学会设参数，属于中考常考题型．

12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c﹣b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】计算题；二次函数图象及其性质．
【分析】根据抛物线的图象，对称轴的位置，利用二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：由图象可知，a＞0，b＞0，c＞0，
∵﹣＞﹣1，
∴b＜2a，故①正确，
∵|a﹣b+c|＜c，且a﹣b+c＜0，
∴﹣a+b﹣c＜c，
∴a﹣b+2c＞0，故②正确，
∵﹣＜﹣，
∴b＞a，
∵x1＜﹣1，x2＞﹣，
∴x1•x2＜1，
∴＜1，
∴a＞c，
∴b＞a＞c，故③正确，
∵b2﹣4ac＞0，
∴2ac＜b2，
∵b＜2a，
∴＜3ab，
∴b2=b2+b2＞b2+2ac，
b2+2ac＜b2＜3ab，
∴b2+2ac＜3ab．故④正确．
故选D．
【点评】本题考查二次函数的性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象信息解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上.
13．因式分解：2mx2﹣4mxy+2my2=　2m（x﹣y）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式2m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2mx2﹣4mxy+2my2，
=2m（x2﹣2xy+y2），
=2m（x﹣y）2．
故答案为：2m（x﹣y）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

14．如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D=　66°　．

【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【分析】先依据等腰三角形的性质得到∠ACO=∠AOC，然后依据三角形的内角和定理可求得∠C的度数，然后依据平行线的性质可求得∠D的度数．
【解答】解：∵OA=AC，
∴∠ACO=∠AOC=×（180°﹣∠A）=×（180°﹣48°）=66°．
∵AC∥BD，
∴∠D=∠C=66°．
故答案为：66°．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质的应用，求得∠C的度数是解题的关键．

15．根据绵阳市统计年鉴，2014年末绵阳市户籍总人口数已超过548万人，548万人用科学记数法表示为　5.48×106　人．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将548万用科学记数法表示为：5.48×106．
故答案为5.48×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

16．△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（4，6），B（3，0），以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为　（﹣2，﹣3）或（2，3）　．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行解答．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，A（4，6），
则点A的对应点A′的坐标为（﹣2，﹣3）或（2，3），
故答案为：（﹣2，﹣3）或（2，3）．
【点评】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

17．如图，点O是边长为4的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE=　6﹣2　．

【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质；旋转的性质．
【分析】令OB1与BC的交点为F，B1C1与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，根据等边三角形的性质以及内心的性质找出△FOB为等腰三角形，并且△BFO∽△B1FD，根据相似三角形的性质找出B1D的长度，再通过找全等三角形以及解直角三角形求出C1E的长度，由此即可得出DE的长度．
【解答】解：令OB1与BC的交点为F，B1C1与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，如图所示．
∵将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，
∴∠BOF=30°，
∵点O是边长为4的等边△ABC的内心，
∴∠OBF=30°，OB=AB=4，
∴△FOB为等腰三角形，BN=OB=2，
∴BF===OF．
∵∠OBF=∠OB1D，∠BFO=∠B1FD，
∴△BFO∽△B1FD，
∴．
∵B1F=OB1﹣OF=4﹣，
∴B1D=4﹣4．
在△BFO和△CMO中，有，
∴△BFO≌△CMO（ASA），
∴OM=BF=，C1M=4﹣，
在△C1ME中，∠C1ME=∠MOC+∠MCO=60°，∠C1=30°，
∴∠C1EM=90°，
∴C1E=C1M•sin∠C1ME=（4﹣）×=2﹣2．
∴DE=B1C1﹣B1D﹣C1E=4﹣（4﹣4）﹣（2﹣2）=6﹣2．
故答案为：6﹣2．

【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形内心的性质、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以及解直角三角形，解题的关键是求出线段B1D、C1E的长度．本题属于中档题，难度不小，解决该题型题目时，用到了相似三角形和全等三角形的判定及性质，因此找出相等的边角关系是关键．

18．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．现用Ai表示第三行开始，从左往右，从上往下，依次出现的第i个数，例如：A1=1，A2=2，A3=1，A4=1，A5=3，A6=3，A7=1，则A2016=　1953　．

【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】根据杨辉三角中的已知数据，可以发现其中规律，每行的数的个数正好是这一行的行数，由题意可以判断A2016在哪一行第几个数，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，第n行有n个数，
故除去前两行的总的个数为：，
当n=63时， =2013，
∵2013＜2016，
∴A2016是第64行第三个数，
∴A2016==1953，
故答案为：1953．
【点评】此题考查数字排列的规律，解题的关键是明确题意，发现其中的规律，计算出所求问题的答案．

三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19．计算：（π﹣3.14）0﹣|sin60°﹣4|+（）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】本题涉及零指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：：（π﹣3.14）0﹣|sin60°﹣4|+（）﹣1
=1﹣|2×﹣4|+2
=1﹣|﹣1|+2
=2．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式化简、绝对值等考点的运算．

20．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=[﹣]•
=[﹣]•
=•
=，
当a=+1时，原式==．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．

21．绵阳七一中学开通了空中教育互联网在线学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会把该平台使用情况分为A（经常使用）、B（偶尔使用）、C（不使用）三种类型，并设计了调查问卷、先后对该校初一（1）班和初一（2）班全体同学进行了问卷调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求此次被调查的学生总人数；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线统计图；
（3）若该校初一年级学生共有1000人，试根据此次调查结果估计该校初一年级中C类型学生约有多少人．

【考点】折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）先由折线统计图得到偶尔使用的学生有58人，再由扇形统计图得到了解很少的学生所占的百分比，然后用58除以这个百分比即可得到接受问卷调查的学生人数；
（2）先用总数分别减去其它三组的人数得到C的学生数，再补全折线统计图；用c部分所占的百分比乘以360°即可得到c部分所对应扇形的圆心角的大小；
（3）利用样本中c程度的百分比表示该校这两项所占的百分比，然后用1000乘以这个百分比即可得到c程度的总人数的估计值．
【解答】解：（1）由扇形统计图知B类型人数所占比例为58%，从折线图知B类型总人数=26+32=58人，
所以此次被调查的学生总人数=58÷58%=100人；
（2）由折线图知A人数=18+14=32人，故A的比例为32÷100=32%，
所以C类比例=1﹣58%﹣32%=10%，
所以类型C的扇形的圆心角=360°×10%=36°，
C类人数=10%×100﹣2=8人，折线图如下：

（3）根据此次可得C的比例为10%，估计该校初一年级中C类型学生约1000×10%=100人．
【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图和用样本估计总体．

22．如图，直线y=k1x+7（k1＜0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=（k2＞0）的图象在第一象限交于C、D两点，点O为坐标原点，△AOB的面积为，点C横坐标为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图中阴影部分（不含边界）所包含的所有整点的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）分别令x=0、y=0，求得对应y和x的值，从而的得到点A、B的坐标，然后依据三角形的面积公式可求得k1的值，然后由直线的解析式可求得点C的坐标，由点C的坐标可求得反比例函数的解析式；
（2）由函数的对称性可求得D（6，1），从而可求得x的值范围，然后求得当x=2、3、4、5时，一次函数和反比例函数对应的函数值，从而可得到整点的坐标．
【解答】解：（1）∵当x=0时，y=7，当y=0时，x=﹣，
∴A（﹣，0）、B（0、7）．
∴S△AOB=|OA|•|OB|=×（﹣）×7=，解得k1=﹣1．
∴直线的解析式为y=﹣x+7．
∵当x=1时，y=﹣1+7=6，
∴C（1，6）．
∴k2=1×6=6．
∴反比例函数的解析式为y=．
（2）∵点C与点D关于y=x对称，
∴D（6，1）．
当x=2时，反比例函数图象上的点为（2，3），直线上的点为（2，5），此时可得整点为（2，4）；
当x=3时，反比例函数图象上的点为（3，2），直线上的点为（3，4），此时可得整点为（3，3）；
当x=4时，反比例函数图象上的点为（4，），直线上的点为（4，3），此时可得整点为（4，2）；
当x=5时，反比例函数图象上的点为（5，），直线上的点为（5，2），此时，不存在整点．
综上所述，符合条件的整点有（2，4）、（3，3）、（4，2）．
【点评】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，依据三角形的面积求得k1的值是解题的关键．

23．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OF=4，求AC的长度．

【考点】直线与圆的位置关系；三角形中位线定理；垂径定理；切线的判定．
【分析】（1）先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；
（2）先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切．
证明：连接OD、AD，
∵点D是的中点，
∴=，
∴∠DAO=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切．

（2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，
由垂径定理可得：OH⊥BC， ==，
∴=，
∴DG=BC，
∴弦心距OH=OF=4，
∵AB是直径，
∴BC⊥AC，
∴OH∥AC，
∴OH是△ABC的中位线，
∴AC=2OH=8．

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．

24．绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元，由题意列出关于x的方程，求出x的值即可；
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，根据题意列出关于y的不等式组，求出y的整数解即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元，
由题意得， =，解得x=50．
经检验，x=50是原分式方程的解，且符合实际意义．

（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，
由题意得，解得23＜y≤25．
∵y为整数，
∴y=24或25，
∴共有两种方案：
方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；
方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
【点评】本题考查的是分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

25．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且此抛物线的顶点坐标为M（﹣1，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD与△ACB面积相等时，求点D的坐标；
（3）点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将△PCE沿直线CE翻折，使点P的对应点P′与P、E、C处在同一平面内，请求出点P′坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由抛物线经过的C点坐标以及顶点M的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）设点D坐标为（﹣1，yD），根据三角形的面积公式以及△ACD与△ACB面积相等，即可得出关于yD含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）作点P关于直线CE的对称点P′，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E交y轴于点N．根据对称的性质即可得出△EON≌△CP′N，从而得出CN=NE，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，进而得出点P的坐标，在Rt△P′NC中，由勾股定理可求出CN的值，再由相似三角形的性质以及线段间的关系即可找出点P′的坐标，将其代入抛物线解析式中看等式是否成立，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点C（0，3），顶点为M（﹣1，4），
∴，解得：．
∴所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．
（2）依照题意画出图形，如图1所示．
令y=﹣x2﹣2x+3=0，解得：x=﹣3或x=1，
故A（﹣3，0），B（1，0），
∴OA=OC，△AOC为等腰直角三角形．
设AC交对称轴x=﹣1于F（﹣1，yF），
由点A（﹣3，0）、C（0，3）可知直线AC的解析式为y=x+3，
∴yF=﹣1+3=2，即F（﹣1，2）．
设点D坐标为（﹣1，yD），
则S△ADC=DF•AO=×|yD﹣2|×3．
又∵S△ABC=AB•OC=×[1﹣（﹣3）]×3=6，且S△ADC=S△ABC，
∴×|yD﹣2|×3．=6，解得：yD=﹣2或yD=6．
∴点D的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，6）．
（3）如图2，点P′为点P关于直线CE的对称点，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E交y轴于点N．
在△EON和△CP′N中，，
∴△EON≌△CP′N（AAS）．
设NC=m，则NE=m，
∵A（﹣3，0）、M（﹣1，4）可知直线AM的解析式为y=2x+6，
∴当y=3时，x=﹣，即点P（﹣，3）．
∴P′C=PC=，P′N=3﹣m，
在Rt△P′NC中，由勾股定理，得： +（3﹣m）2=m2，
解得：m=．
∵S△P′NC=CN•P′H=P′N•P′C，
∴P′H=．
由△CHP′∽△CP′N可得：，
∴CH==，
∴OH=3﹣=，
∴P′的坐标为（，）．
将点P′（，）代入抛物线解析式，
得：y=﹣﹣2×+3=≠，
∴点P′不在该抛物线上．

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、全等三角形的判定及性质以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）找出关于yD含绝对值符号的一元一次方程；（3）求出点P′坐标．本题属于中档题，难度不小，（3）中求出点P′的坐标是本题的难点，使用