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2010年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）3的倒数是（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
2．（3分）化简a+2b﹣b，正确的结果是（　　）
A．a﹣b B．﹣2b C．a+b D．a+2
3．（3分）2010年5月，湖州市第11届房交会总成交金额约2.781亿元，近似数2.781亿元的有效数字的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）如图，已知在▱ABCD中，AD＝3cm，AB＝2cm，则▱ABCD的周长等于（　　）

A．10cm B．6cm C．5cm D．4cm
5．（3分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（　　）

A．5米 B．10米 C．15米 D．10米
6．（3分）一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体中的“★”所在面的对面所标的字是（　　）

A．上 B．海 C．世 D．博
7．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于（　　）

A．6π B．9π C．12π D．15π
8．（3分）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（　　）

A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60°
9．（3分）如图，如果甲、乙两图关于点O成中心对称，则乙图中不符合题意的一块是（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB＝18，BC＝12，AC＝9，对角线OC、AB交于点D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点，以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（　　）

A．点G B．点E C．点D D．点F
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）计算：a2÷a＝　 　．
12．（4分）“五•一”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售．一件标价为100元的运动服，打折后的售价应是　 　元．
13．（4分）为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出20株测得其高度，并求得它们的方差分别为S甲2＝3.6，S乙2＝15.8，则　 　种小麦的长势比较整齐．
14．（4分）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是　 　．

15．（4分）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是　 　．

16．（4分）请你在如图所示的12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的　 　个格点．

三、解答题（共9小题，满分66分）
17．（6分）计算：4+（﹣1）2010﹣tan45°．
18．（6分）解不等式组：．
19．（6分）随机抽取某城市10天空气质量状况，统计如下：
污染指数（w）
40
60
80
90
110
120
天数（t）
1
2
3
2
1
1
其中当w≤50时，空气质量为优；当50＜w≤100时，空气质量为良；当100＜w≤150时，空气质量为轻微污染．
（1）求这10天污染指数（w）的中位数和平均数；
（2）求“从这10天任取一天，这一天空气质量为轻微污染”的概率．
20．（8分）如图，已知在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AD＝2，求对角线BD的长．

21．（8分）某校欲举办“校园吉尼斯挑战赛”，为此该校在三个年级中各随机抽取一个班级进行了一次“你最喜欢的挑战项目”的问卷调查，每名学生都选了一项、已知被调查的三个年级的学生人数均为50人，根据收集到的数据，绘制成如下统计图表（不完整）：
七年级抽查班级“学生最喜欢的挑战项目”人数统计
项目
跳绳
踢毽子
乒乓球
羽毛球
其他
人数（人）

14
10
8
6

根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）在本次随机调查中，七年级抽查班级中喜欢“跳绳”项目的学生有　 　人，九年级抽查班级中喜欢“乒乓球”项目的学生人数占本班人数的百分比为　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的上）
（3）若该校共有900名学生（三个年级的学生人数都相等），请你估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．
22．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EF＝8，EC＝6，求⊙O的半径．

23．（10分）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．
（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；
（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；
（3）在（2）的条件下，若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图象．

24．如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．

25．（12分）自选题：
如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．

2010年浙江省湖州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．【分析】根据倒数的定义，直接得出结果．
【解答】解：因为3×＝1，
所以3的倒数为．
故选：A．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．【分析】这个式子的运算是合并同类项的问题，根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
【解答】解：a+2b﹣b＝a+（2﹣1）b＝a+b，故选C．
【点评】本题主要考查合并同类项的法则．即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
3．【分析】有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字．
【解答】解：近似数2.781亿元的有效数字为2，7，8，1共4个．故选D．
【点评】本题考查有效数字的定义；注意后面的单位不算入有效数字．
4．【分析】利用平行四边形的对边相等的性质，可知四边长，可求周长．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝2，
∴▱ABCD的周长＝2×（AD+AB）＝2×（3+2）＝10cm．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的基本性质，平行四边形的对边相等．
5．【分析】Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝5米，tanA＝1：；
∴AC＝BC÷tanA＝5米；
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
6．【分析】根据正方体相对的面的特点作答．
【解答】解：相对的面的中间要相隔一个面，则“★”所在面的对面所标的字是“海”，故选B．
【点评】注意正方体的空间图形，应从相对面的特点入手，分析及解答问题．如没有空间观念，动手操作可很快得到答案．
7．【分析】由勾股定理易得圆锥的底面半径长，那么圆锥的侧面积＝×2π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵AB＝3，
∴底面的周长是：6π
∴圆锥的侧面积等×6π×5＝15π，故选D．
【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
8．【分析】根据直径AB⊥弦CD于点E，由垂径定理求出，CE＝DE，即可得出答案．
【解答】解：根据⊙O的直径AB⊥弦CD于点E
∴CE＝DE．
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂径定理，熟练地应用垂径定理是解决问题的关键．
9．【分析】根据中心对称图形的概念和图形特点求解．
【解答】解：观察甲、乙两图，C的图案在绕点O旋转180°后，不能互相重合，因此乙图中不符合题意的一块是C的图案；
故选：C．
【点评】根据中心对称图形的概念求解．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
10．【分析】反比例函数上的点的横纵坐标的乘积相等．根据题意和图形可初步判断为点G，利用直角梯形的性质求得点A和点G的坐标即可判断．
【解答】解：在直角梯形AOBC中，
∵AC∥OB，CB⊥OB，OB＝18，BC＝12，AC＝9，
∴点A的坐标为（9，12），
∵点G是BC的中点，
∴点G的坐标是（18，6），
∵9×12＝18×6＝108，
∴点G与点A在同一反比例函数图象上，
∵AC∥OB，
∴△ADC∽△BDO，
∴＝＝＝，
∴＝，得D（12，8），
又∵E是DC的中点，由D、C的坐标易得E（15，10），
F是DB的中点，由D、B的坐标易得F（15，4）．
故选：A．
【点评】此题综合考查了反比例函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用，灵活利用直角梯形的性质求得相关点的坐标，再利用反比例函数上的点的横纵坐标的乘积相等来判断．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．【分析】根据同底数幂的除法的性质，底数不变，指数相减解答．
【解答】解：a2÷a＝a2﹣1＝a．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法的运算性质，需要熟练掌握．
12．【分析】一件标价为100元的运动服，按八折（原价的80%）销售，直接100×80%即可计算．
【解答】解：根据题意得100×80%＝80元．
【点评】本题比较容易，考查根据实际问题进行计算的基本能力．
13．【分析】根据方差的定义判断．方差越小小麦的长势越整齐．
【解答】解：因为S甲2＝3.6＜S乙2＝15.8，方差小的为甲，所以长势比较整齐的小麦是甲．
故填甲．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．【分析】图甲可直接根据大矩形的面积不同表示方法来得出所求的公式；
图乙需将图形补成正方形，然后仿照图甲的方法进行求解．
【解答】解：如图；
图甲：大矩形的面积可表示为：
①（a﹣b）（a+b）；
②a（a﹣b）+b（a﹣b）＝a2﹣ab+ab﹣b2＝a2﹣b2；
故（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
图乙：大正方形的面积可表示为：
①a（a﹣b+b）＝a2；
②a（a﹣b）+b（a﹣b）+b2＝（a+b）（a﹣b）+b2；
故a2＝b2+（a+b）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．

【点评】此题主要考查了平方差公式和图形面积间的关系，有利于培养学生数形结合的数学思想方法．
15．【分析】连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心．
【解答】解：连接BB1，A1A，易得交点为（9，0）．

故答案为：（9，0）．
【点评】用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点．
16．【分析】要想经过点多，以一个小正方形的中心为圆心，再画图直观地看一下即可．
【解答】解：以一个小正方形的中心为圆心．记圆心坐标为（0.5，0.5），取半径为，此圆经过（6，2），（5，4），（4，5），（2，6），（﹣1，6），（﹣3，5），（﹣4，4），（﹣5，2），（﹣5，﹣1），（﹣4，﹣3），（﹣3，﹣4），（﹣1，5），（2，﹣5），（4，﹣4），（5，﹣3），（6，﹣1），共16个格点．
故答案为：16

【点评】本题考查圆的认识，并且在解答半径与数轴组成的直角三角形时要结合勾股定理解决．
三、解答题（共9小题，满分66分）
17．【分析】注意（﹣1）2010＝1，tan45°＝1．
【解答】解：原式＝4+1﹣1＝4．
【点评】本题考查实数的运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．
18．【分析】先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：不等式x﹣1＜2的解是x＜3，（2分）
不等式2x+3＞2+x的解是x＞﹣1，（12分）
∴原不等式组的解为﹣1＜x＜3．（2分）
【点评】求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19．【分析】根据平均数、中位数和概率公式的定义求解即可．
【解答】解：（1）这组数据按从小到大排列40，60，60，80，80，80，90，90，110，120，
中位数＝（80+80）÷2＝80；
平均数＝（40+60×2+80×3+90×2+110+120）＝81；

（2）∵当100＜w≤150时，空气质量为轻微污染，
∴＝，
∴从这10天中任选一天，这一天的空气质量为轻微污染的概率P＝．
【点评】解题的关键是正确理解各概念的含义．用到的知识点为：一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数；概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．【分析】（1）根据等腰梯形在同一底上的两个角相等，求得∠ABC＝60°，再由BD平分∠ABC，得∠ABD的度数；
（2）判断出△ABD是直角三角形，由勾股定理求得BD．
【解答】解：（1）∵DC∥AB，AD＝BC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠A＝60°，
又∵BD平分∠ABC，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°．

（2）∵∠A＝60°，∠ABD＝30°，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝2AD＝4，（直角三角形中30°所对的边是斜边的一半），
∴对角线BD＝＝2．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用．
21．【分析】（1）被调查的三个年级的学生人数均为50人，由表用50减去其它各项的人数即可求得七年级抽查班级中喜欢“跳绳”项目的学生的人数，由扇形图用1减去其它项所占的百分比，即可求出九年级抽查班级中喜欢“乒乓球”项目的学生人数占本班人数的百分比；
（2）由表求出八年级抽查班级中喜欢“踢毽子”项目的学生的人数，补全图：
（3）算出每个年级中喜欢“羽毛球”项目的学生人数，加起来求总人数．
【解答】解：（1）50﹣14﹣10﹣8﹣6＝12（人）；
1﹣28%﹣20%﹣18%﹣16%＝18%；（4分）

（2）50﹣15﹣9﹣9﹣7＝10（人），补全图：

（3）50×20%＝10（人），
900×＝162（人），
该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数约为162人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．【分析】（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥EF即可．
（2）先根据勾股定理求出CF的长，再根据相似三角形的判定和性质求出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD交于AB于点G．
∵D是的中点，OD为半径，
∴AG＝BG．
∵AO＝OC，
∴OG是△ABC的中位线．
∴OG∥BC，
即OD∥CE．
又∵CE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△CEF中，CE＝6，EF＝8，
∴CF＝10．
设半径OC＝OD＝r，则OF＝10﹣r，
∵OD∥CE，
∴△FOD∽△FCE，
∴，
∴＝，
∴r＝，
即：⊙O的半径为．

【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的判定和性质．
23．【分析】（1）设出AB所在直线的函数解析式，由解析式可以算出甲乙两地之间的距离．
（2）设出两车的速度，由图象列出关系式．
（3）根据（2）中快车与慢车速度，求出C，D，E坐标，进而作出图象即可．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b．
∵直线AB经过点（1.5，70），（2，0），
∴，
解得．
∴直线AB的解析式为y＝﹣140x+280（x≥0）．
∵当x＝0时，y＝280．
∴甲乙两地之间的距离为280千米．

（2）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时．
由题意可得，
解得．
∴快车的速度为80千米/时．
∴快车从甲地到达乙地所需时间为t＝＝小时；

（3）∵快车的速度为80千米/时．慢车的速度为60千米/时．
∴当快车到达乙地，所用时间为：＝3.5小时，
∵快车与慢车相遇时的时间为2小时，
∴y＝（3.5﹣2）×（80+60）＝210，
∴C点坐标为：（3.5，210），
此时慢车还没有到达甲地，若要到达甲地，这个过程慢车所用时间为：＝小时，
当慢车到达甲地，此时快车已经驶往甲地时间为：﹣3.5＝小时，
∴此时距甲地：280﹣×80＝千米，
∴D点坐标为：（，），
再一直行驶到甲地用时3.5×2＝7小时．
∴E点坐标为：（7，0），
故图象如图所示：

【点评】本题主要考查一次函数的应用，用函数解决实际问题，作图时应该仔细．
24．【分析】（1）根据OA、AB、OC的长，即可得到A、B、C三点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）此题要通过构造全等三角形求解；过B作BM⊥x轴于M，由于∠EBF是由∠DBC旋转而得，所以这两角都是直角，那么∠EBF＝∠ABM＝90°，根据同角的余角相等可得∠EBA＝∠FBM；易知BM＝OA＝AB＝2，由此可证得△FBM≌△EBA，则AE＝FM；CM的长易求得，关键是FM即AE的长；设抛物线的顶点为G，由于G点在线段AB的垂直平分线上，若过G作GH⊥AB，则GH是△ABE的中位线，G点的坐标易求得，即可得到GH的长，从而可求出AE的长，即可由CF＝CM+FM＝AE+CM求出CF的长；
（3）由（2）的全等三角形易证得BE＝BF，则△BEF是等腰直角三角形，其面积为BF平方的一半；△BFC中，以CF为底，BM为高即可求出△BFC的面积；可设CF的长为a，进而表示出FM的长，由勾股定理即可求得BF的平方，根据上面得出的两个三角形的面积计算方法，即可得到关于S、a的函数关系式，根据函数的性质即可求出S的最小值及对应的CF的长．
【解答】解：（1）由题意可得A（0，2），B（2，2），C（3，0），
设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
则，
解得；
∴抛物线的解析式为y＝﹣+x+2；

（2）设抛物线的顶点为G，
则G（1，），过点G作GH⊥AB，垂足为H，
则AH＝BH＝1，GH＝﹣2＝；
∵EA⊥AB，GH⊥AB，
∴EA∥GH；
∴GH是△BEA的中位线，
∴EA＝2GH＝；
过点B作BM⊥OC，垂足为M，则BM＝OA＝AB；
∵∠EBF＝∠ABM＝90°，
∴∠EBA＝∠FBM＝90°﹣∠ABF，
∴Rt△EBA≌Rt△FBM，
∴FM＝EA＝；
∵CM＝OC﹣OM＝3﹣2＝1，
∴CF＝FM+CM＝；

（3）设CF＝a，则FM＝a﹣1，
∴BF2＝FM2+BM2＝（a﹣1）2+22＝a2﹣2a+5，
∵△EBA≌△FBM，
∴BE＝BF，
则S△BEF＝BE•BF＝（a2﹣2a+5），
又∵S△BFC＝FC•BM＝×a×2＝a，
∴S＝（a2﹣2a+5）﹣a＝a2﹣2a+，
即S＝（a﹣2）2+；
∴当a＝2（在0＜a＜3范围内）时，S最小值＝．

【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、全等三角形的判定和性质以及三角形面积的求法等重要知识点，能够正确的将求图形面积最大（小）问题转换为二次函数求最值的问题是解答（3）题的关键．
25．【分析】（1）假设存在符合条件的Q点，由于PE⊥PC，且四边形ABCD是矩形，易证得△APE∽△DCP，可得AP•PD＝AE•CD，同理可通过△AQE∽△DCQ得到AQ•QD＝AE•DC，则AP•PD＝AQ•QD，分别用PD、QD表示出AP、AQ，将所得等式进行适当变形即可求得AP、AQ的数量关系．
（2）由于BE的最大值为AB的长即2，因此只需求得BE的最小值即可；设AP＝x，AE＝y，在（1）题中已经证得AP•PD＝AE•CD，用x、y表示出其中的线段，即可得到关于x、y的函数关系式，根据函数的性质即可求得y的最大值，由此可求得BE的最小值，即可得到BE的取值范围．
【解答】解：（1）假设存在这样的点Q；
∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠DPC＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠DPC+∠DCP＝90°，
∴∠APE＝∠DCP，
又∵∠A＝∠D＝90°，
∴△APE∽△DCP，
∴＝，
∴AP•DP＝AE•DC；
同理可得AQ•DQ＝AE•DC；
∴AQ•DQ＝AP•DP，即AQ•（3﹣AQ）＝AP•（3﹣AP），
∴3AQ﹣AQ2＝3AP﹣AP2，
∴AP2﹣AQ2＝3AP﹣3AQ，
∴（AP+AQ）（AP﹣AQ）＝3（AP﹣AQ）；
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ＝3
∵AP≠AQ，
∴AP≠，即P不能是AD的中点，
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．
当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ＝3．

（2）设AP＝x，AE＝y，由AP•DP＝AE•DC可得x（3﹣x）＝2y，
∴y＝x（3﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝（在0＜x＜3范围内）时，y最大值＝；
而此时BE最小为，
又∵E在AB上运动，且AB＝2，
∴BE的取值范围是≤BE＜2．

【点评】此题主要考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数最值的应用；（1）题中，通过两步相似得到与所求相关的乘积式，并能正确地进行化简变形是解决此题的关键．
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日期：2020/2/18 19:03:01；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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